SKKN Phương pháp giải bài tập về số nguyên tố lớp 6

Mở đầu Vị trí số nguyên tố trong số học Số học là một môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông, nó đợc đa vào từ những năm đầu của cấp THCS nhng hầu nh nó có mặt trong tất cả các

Trang 1

Mục lục Mục lục 1

I Mở đầu 2

1 Vị trí số nguyên tố trong số học 2

2 Thực trạng học toán hiện nay của học sinh 2

II Biện pháp đã thực hiện 4

III Kết luận 15

Trang 2

Mở đầu

Vị trí số nguyên tố trong số học

Số học là một môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông,

nó đợc đa vào từ những năm đầu của cấp THCS nhng hầu nh

nó có mặt trong tất cả các kỳ thi học sinh giỏi cấp cơ sở đến cấp quốc gia cũng nh các kỳ thi quốc tế Nếu coi số học là “bà chúa” của Toán học thì số nguyên tố là vấn đề trọng tâm của

số học bởi mọi số lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất Bởi thể giải toán là vấn đề trọng tâm của ngời dạy cũng nh ngời học, nó là hình thức tốt nhất để rèn luyện các kỹ năng, rèn luyện tính cần cù kiên trì nhẫn nại và cũng rèn luyện trí thông minh sáng tạo Hơn nữa, giải toán cũng là thớc đo năng lực của ngời học toán

Thực trạng học toán hiện nay của học sinh

Hiện nay môn số học là môn mà đa số học sinh sợ nhất Đối với những học sinh lời học đã đành, còn đối với những học sinh

“chăm học” mặc dầu “thuộc” lý thuyết nhng vẫn không giải

đ-ợc Với các bài tập số nguyên tố cũng không thoát khỏi tình trạng này Thông thờng học sinh chỉ hiểu và giải đợc những bài toán

cụ thể mà thầy đã giải chứ cha biết qua đó để học tập cách giải, cách suy nghĩ các bài toán khác, ngay cả những bài toán

t-ơng tự nhiều học sinh khi bắt gặp bài toán là cứ nháp lia lịa chứ không định hớng đợc mình sẽ giải quyết nh thế nào? Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này là:

Học sinh lời học, lời suy nghĩ, cha hiểu đợc bản chất vấn

đề.Không tìm ra phơng pháp giải (không biết bắt đầu từ

đâu)

Những tồn tại trên không những do học sinh mà do cả ngời thầy Thông thờng ngời thầy chỉ nặng về trình bày lời giải đã tìm ra mà cha chú trọng đến hớng dẫn học sinh tìm ra lời giải

Đối với học sinh lớp 6 thì việc giải một bài toán nói chung và bài toán số nguyên tố nói riêng lại càng khó khăn hơn bởi các em cha

có kinh nghiệm giải toán, cha có kỹ năng và công cụ giải toán còn hạn chế Với đặc điểm tâm lý học sinh lớp 6 thích hoạt

Trang 3

động tìm kiếm, không thích sự áp đặt Các em sẽ nhớ lâu những gì mà bản thân mình đã tìm ra, điều này lại càng vun đắp lòng say mê học toán, thôi thúc các em nghiên cứu khám phá đi đến chân trời vinh quang của toán học

Vậy làm thế nào để giúp các em có một phơng pháp học tập tốt, đó là điều mà tôi trăn trở trong quá trình giảng dạy cũng

nh bồi dỡng học sinh khá giỏi Toán 6 Tôi xin mạo muội đa ra những suy nghĩ, những việc làm của bản thân chẳng hạn khi dạy cho học sinh giải bài tập về số nguyên tố

Để giải quyết những bài tập về số nguyên tố cho học sinh lớp 6, học sinh cần nắm chắc các lý thuyết sau:

Định nghĩa số nguyên tố, hợp số

Bảng số nguyên tố

Sự phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Các tính chất chia hết, dấu hiệu chia hết

Các tính chất chẵn lẻ

Biện pháp đã thực hiện

Phơng châm thực hiện là:

Nắm vững kiến thức cơ bản tại lớp, thuộc bài tại lớp

Xuất phát từ nhận xét, ví dụ mà đọng đến kiến thức

Giáo viên chỉ gợi ý, đặt vấn đề và kết luận

Cho học sinh quan sát kỹ bảng số nguyên tố và thấy

2 là số nguyên tố bé nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất Và mọi số nguyên tố khác đều là số

lẻ

Chứng minh rằng: 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất

Giả sử tồn tại số nguyên tố p ≠ 2 mà p chẵn nên p có dạng p = 2k (k  N) ( P 2 và lớn hơn 2)  p là hợp số Vậy chỉ có duy nhất p = 2

1.b) Học sinh quan sát bảng số nguyên tố thấy 2 và 3 là cặp số tự nhiên liên tiếp duy nhất đều là số nguyên tố.

Bộ 3 số lẻ liên tiếp 3, 5, 7 là bộ 3 số nguyên tố duy nhất.

Chứng minh rằng:

+ 2 và 3 là cặp số tự nhiên liên tiếp duy nhất là nguyên tố

Trang 4

+ Bộ 3 số lẻ liên tiếp 3, 5, 7 là bộ 3 số nguyên tố duy nhất

Chứng minh:

Thật vậy, xét cặp số tự nhiên liên tiếp a, a + 1 (a > 2)  trong 2 số a

và a + 1  một số chia hết cho 2 nên là hợp số

Xét bộ 3 số lẻ a, a + 2, a + 4 (a > 3) trong 3 số lẻ liên tiếp có 1 số là bội của 3, bội đó lớn hơn 3 nên là hợp số

Kết luận 1:

+ 2, 3 là cặp số tự nhiên liên tiếp duy nhất

là nguyên tố.

+ Bộ 3 số lẻ liên tiếp 3, 5, 7 là bộ 3 số nguyên tố duy nhất.

Nhìn vào bảng số nguyên tố thấy từ 1 đến 10 có 4

số nguyên tố, từ 1 đến 100 có 25 số nguyên tố, từ 1

đến 1000 có 168 số nguyên tố Vậy phải chăng các

số nguyên tố đợc sắp xếp một cách tha dần trên trục số.

Ví dụ 1 Hãy tìm 10 số tự nhiên liên tiếp chứa nhiều số nguyên

tố nhất (học sinh nhìn vào bảng số nguyên tố sẽ thấy đó là các

số tự nhiên từ 2 đến 11)

Gọi 10 số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2,… , a + 9 (a > 1) Với a = 2 ta có các số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 11 (có 5 số nguyên tố)

Với a > 2 ta có dãy 10 số trong đó có 5 số chẵn, 5 số lẻ, 5 số chẵn này đều là hợp số Trong 5 số lẻ liên tiếp của dãy a, a + 2,

…, a + 8 (nếu a lẻ) hoặc a +1, a + 3, a + 5, a + 7, a + 9 (nếu a chẵn)

Giả sử 5 số lẻ là: a, a + 2, a + 4, a + 6, a + 8

Nếu a 3  a + 6 3 nên a + 6 là hợp số

Nếu a = 3k + 1 (k  N) thì a + 8 3 nên a + 8 là hợp số

Nh vậy trong dãy 5 số lẻ có nhiều nhất 4 số nguyên tố

Tơng tự giả sử 5 số lẻ là a + 1, a +3, a + 5, a + 7, a + 9

Nếu a 3  a + 3 3 nên a + 3 là hợp số

Vậy trong 5 số lẻ trên có nhiều nhất là 4 số nguyên tố Vậy 10 số

tự nhiên liên tiếp chứa nhiều số nguyên tố nhất là 2, 3,… 11

Ví dụ 2 Bài 158 sách Bài tập toán 6-Tập 1

Trang 5

Gọi a = 2.3.4.5… 101, có phải 100 số tự nhiên liên tiếp sau

đây đều là hợp số không?

a + 2, a + 3, … , a+ 101

Giải: Ta thấy a > 2; a > 3, …, a > 101

và: a + 2 2 nên a + 2 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 2)

a + 3 3 nên a + 3 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 3)

………

Vậy a + 2, a + 3, … , a + 101 trong đó a = 2.3.4.5… 101 đều

là hợp số

Ví dụ 3 Có tồn tại 10000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số không?

Giải: Gọi a = 2.3.4… 10001, khi đó 10000 số tự nhiên liên tiếp

là a + 2, a + 3, …, a + 10001

Rõ ràng a > 2; a > 3, …, a > 10001

và: a + 2 2 nên a + 2 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 2)

………

Vậy a + 2, a + 3, … , a + 10001 trong đó a = 2.3.4.5… 10001

đều là hợp số

Qua 3 ví dụ trên cho phép ta kết luận:

+ Tập hợp số nguyên tố đợc sắp xếp tha dần trên trục số

+ Và cho học sinh thừa nhận ngời ta đã chứng minh đợc có vô

số số nguyên tố

Nhìn trên bảng số nguyên tố xem các số nguyên tố

đợc biểu diễn theo công thức nào?

3 = 4.1 – 1

5 = 4.1 + 1

7 = 4.2 – 1

11 = 4.3 – 1

…

Phải chăng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết đợc dới dạng 4k

± 1 ( k  N*)

b) Cũng tơng tự nhìn bảng số nguyên tố ta thấy:

5 = 3.2 – 1

Trang 6

7 = 3.2 + 1

11 = 3.4 – 1

13 = 3.4 + 1

…

Vậy phải chăng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết đợc dới dạng 3k ± 1 (k  N*)

c) Cũng tơng tự nhìn bảng số nguyên tố ta thấy:

5 = 6.1 – 1

7 = 6.1 + 1

11 = 6.2 – 1

13 = 6.2 + 1

…

Vậy phải chăng mọi số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 đều viết đợc dới dạng 6k ± 1 (k  N*)

Với những nhận xét nh trên học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình giải toán cũng nh chứng minh

Ví dụ 4 1) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết đợc dới dạng 4k ± 1 (k  N*)

2) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết đợc dới dạng 3k ± 1 (k  N*)

3) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 đều viết đợc dới dạng 6k ± 1 (k  N*)

Chứng minh:

Khi chia số tự nhiên a lớn hơn 2 cho 4 thì đợc các

số d lần lợt là 0, 1, 2, 3

Khi a = 4m thì a là hợp số

Khi a = 4k + 1

Khi a = 4p + 2 thì a 2 nên a là hợp số

Khi a = 4q + 3 = 4q + 4 – 1 = 4(q + 1) – 1 có dạng 4k – 1 trong

đó k = q + 1

Kết luận: Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k ± 1

Các trờng 2); 3) chứng minh hoàn toán tơng tự

Ví dụ 5 Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p > 3 thì p2 : 3 d 1 Giải: Theo kết luận 2) mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 3k ± 1 (k  N*) nên p2 = (3k ± 1)2 = 9k2 ± 6k + 1 = 3k(3k ± 2) +

1 rõ ràng p2 : 3 d 1

Kết luận 2:

Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết đợc dới dạng 4k ± 1 (k  N * ).

Trang 7

Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết đợc dới dạng 3k ± 1 (k  N * ).

Mọi số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 đều viết đợc dới dạng 6k ± 1 (k  N * ).

Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì bình phơng của nó chia cho 3 d 1.

Điều ngợc lại của các mệnh đề trên không đúng

Nhờ những nhận xét trên mà ta có những kết luận về số nguyên tố điều này giúp các em nắm đợc sâu hơn về bản chất số nguyên tố từ đó các em có thể hình thành đợc phơng pháp giải bài toán về số nguyên tố

Sau đây là một số bài toán đã đợc áp dụng từ cách làm trên

Bài toán 1 Số 2003 có thể viết đợc dới dạng tổng 2 số nguyên

tố không?

Giải: Rõ ràng là không bởi 2003 là số lẻ  2003 = một số chẵn

+ một số lẻ Số chẵn đó là 2 nên 2003 = 2 + 2001 mà 2001 3 nên là hợp số

Bài toán 2 Tìm 2 số tự nhiên a, b sao cho a.b = a + b đều là

số nguyên tố

Giải: Để a.b là nguyên tố  a = 1 (hoặc b = 1), số còn lại phải là

số nguyên tố

Với a = 1 thì b là nguyên tố

vì: a + b là nguyên tố mà a = 1 nên 1 + b là nguyên tố Nếu 1 + b chẵn  1 + b = 2  b = 1 (loại vì b là nguyên tố) Nếu 1 + b lẻ  b chẵn nên b = 2

Vậy cặp số tự nhiên duy nhất đó là 1 và 2

Bài toán 3 Tìm tất cả các số nguyên tố x, y, z sao cho: xy + 1

= z cũng là số nguyên tố

Giải: Vì x, y là nguyên tố nên x ≥ 2, y ≥ 2  xy ≥ 4 và xy + 1 ≥ 5 mà

xy + 1 = z nên z ≥ 5  z lẻ (z là nguyên tố) nên xy chẵn  x chẵn

 x = 2 (vì x là nguyên tố)

Nếu y chẵn (y nguyên tố) nên y = 2

Nếu y lẻ, y có dạng y = 2k + 1 (k  N*) khi đó z = x2k + 1 + 1

= 2.(22)k + 1 (do x = 2)

Ta thấy 22 : 3 d 1  (22)k : 3 d 1 nên 2.(22)k : 3 d 2 nên z = 2.(22)k + 1 3 vô lý vì z là nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5

Vậy chỉ có x = 2, y = 2 thoả mãn đề bài

Thử lại: 22 + 1 = 5

Trang 8

Bài toán 4 Tìm số nguyên tố x, y sao cho x2 – 2y2 = 1.

Giải: Từ x2 – 2y2 = 1  x2 = 1 + 2y2 do 1 + 2y2 lẻ nên x2 lẻ  x lẻ,

x có dạng x = 2m + 1 (m  N*) Khi đó bài toán đã cho trở thành (2m + 1)2 = 1 + 2y2 hay 4m2 + 4m + 1 = 1 + 2y2 hay y2 = 2m2 + 2m = 2m(m+1) Do m, m + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên 2m(m + 1) chẵn, y2 chẵn  y chẵn  y = 2 (vì y là nguyên tố)

Với y = 2 thì x2 = 1 + 2.22 = 9  x = 3

Vậy với x =3, y = 2 thì x2 – 2y2 = 1 và x, y là nguyên tố

Bài toán 5 Tìm số nguyên tố biết chúng bằng tổng 2 số

nguyên tố và bằng hiệu 2 số nguyên tố

Giải: Gọi số nguyên tố cần tìm là p Ta có:

p = p1 + p2 = p3 – p4 (p1, p2, p3, p4 là số nguyên tố)

Giả sử p1 > p2 do p1, p2, p3, p4 là số nguyên tố nên p1 + p2 , p3 – p4 là số lẻ  p2 = 2, p4 = 2 do đó p = p1 + 2 = p3 – 2  p3 = p +

2 và p1 = p – 2

Bài toán trở thành: Tìm số nguyên tố p sao cho p, p – 2, p + 2 là

số nguyên tố

Với p = 3 thì p – 2 = 1 không phải là số nguyên tố

Với p = 5 thì p – 2 = 3, p + 2 = 7 thoả mãn yêu cầu bài toán Với p > 5, p có dạng 6k ± 1

Với p = 6k + 1 thì p + 2 = 6k + 3 3 nên là hợp số

Với p = 6k – 1 thì p – 2 = 6k – 3 3 nên là hợp số

Thử lại: 5 = 3 + 2 = 7 – 2

Nên chỉ duy nhất p = 5 thoả mãn

Bài toán 6 Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là bình phơng của

một số tự nhiên

Giải: Đặt x2 = 4p + 1 (x  N)

Do 4p + 1 lẻ nên x2 lẻ nên x có dạng x = 2k + 1 (k  N) Khi đó: (2k + 1)2 = 4p + 1 hay 4k2 + 4k + 1 = 4p + 1  p = k2 + k = k(k + 1) Vì k, k + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có một số chẵn Vậy p phải là số nguyên tố chẵn nên chỉ có duy nhất p = 2

Thử lại: 4.2 + 1 = 9 = 32

Bài toán 7 Tìm số nguyên tố p sao cho: 3p2 + 1 và 24p2 + 1

đều là số nguyên tố

Giải:

Trang 9

Nếu p = 2  3p + 1 = 3.2 + 1 = 13 là số nguyên tố.

24p2 + 1 = 24.22 + 1 = 97 là số nguyên tố

Nếu p > 2 nên p lẻ  3p2 lẻ nên 3p2 + 1 chẵn và lớn hơn 2 nên 3p2 + 1 là hợp số

Vậy chỉ có p = 2

Bài toán 8 (Sử dụng kết luận 2)

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: p + 10, p + 14 đều là nguyên tố

Giải: Bằng cách mò mẫn cho p = 2, 3, 5,… sau đó loại các giá

trị không thoả mãn của p

Với p = 2 thì p + 10 và p + 14 đều là hợp số

Với p = 3 thì p + 10 = 13 và p + 14 = 17 đều là số nguyên tố Với p > 3, p có dạng p = 3k ± 1

+ Khi p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 15 3 và lớn hơn 3 nên p là hợp số

+ Khi p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9 3 và lớn hơn 3 nên p là hợp số

Vậy chỉ có duy nhất p = 3

2) Tìm số nguyên tố p sao cho:

p + 2, p + 8, 4p2 + 1 đều là số nguyên tố

p2 + 1 đều là số nguyên tố

2p + 1, 4p + 1 đều là số nguyên tố

2p – 1, 4p – 1 đều là số nguyên tố

Giải: Các bài toán trên có cùng cách giải nh bài toán 8.1 và đều

sử dụng kết luận 2)

Bài toán 9 (Sử dụng phép chi hết và phép chia có d).

Một số nguyên tố p khi chia cho 30 thì có số d là

r Tìm r với r không phải là nguyên tố

Giải: p có dạng p = 30k + r (k  N*); 0 < r < 30 (r  N)

= 2.3.5k + r

Do p là nguyên tố nên r không chia hết cho 2, cho 3, cho 5

Do r không phải là số nguyên tố nên ta loại các giá trị là bội của

2, của 3, của 5 và loại tiếp các số nguyên tố nhỏ hơn 30 Ta tìm

đợc r = 1

2) Chứng minh rằng khi chia một số nguyên tố bất kỳ cho 30 thì đợc số d bằng 1 hoặc là số nguyên tố Kết quả thay đổi thế nào khi chia p cho 60

Giải: p có dạng p = 30k + r (k  N*); 0 < r < 30 (r  N)

= 2.3.5k + r

Trang 10

Do p là nguyên tố nên r không chia hết cho 2, cho 3, cho 5 Loại các bội của 2, 3, 5 nhỏ hơn 30 thì còn lại r = 1 hoặc r là các số nguyên tố nhỏ hơn 30

Khi chia p cho 60 thì bài toán không còn đúng nữa

Ví dụ: 109 = 60.1 + 49 (49 là hợp số)

Bài toán 10 Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì

bình phơng của nó chia 12 d 1

Giải: Vì P > 3, p có dạng p = 6k ± 1 (theo kết luận 2))

nên p2 = (6k ± 1)2

= 36k2 ± 12k + 1 = 12k(3k ± 1) + 1, rõ ràng chia cho 12 d 1

Bài toán 11 Chứng minh rằng: nếu a; a + n; a + 2n đều là số

nguyên tố lớn hơn 3 thì n chia hết cho 6

Chứng minh: vì a; a + n; a + 2n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên

là các số lẻ

Nếu n lẻ  a + n chẵn nên a + n 2 và lớn hơn 2 nên a + n là hợp số, trái với giả thiết a + n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n phải là số chẵn

Đặt n = 2k

+ Nếu k 3 thì n = 2k 6

+ Nếu k = 3t + 1thì a + n = a + 6t + 2

a + 2n = a + 12t + 4 Với a : 3 d 1 thì a = 3q + 1, khi đó a + 6t + 2 = 3q + 6t + 3 3

và lớn hơn 3 nên là hợp số

Với a : 3 d 2 thì a + 2n = a + 12t + 4 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

+ Nếu k = 3t + 2 thì 3 số đã cho là: a, a + 6t + 4, a + 12t + 8 Với a : 3 d 1 thì a + 12t + 8 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

Với a : 3 d 2 thì a + 6t + 4 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

Vậy để 3 số a; a + n; a + 2n đồng thời là 3 số nguyên tố thì n

6

Điều ngợc lại không đúng: Nếu a là số nguyên tố lớn hơn 3 và n

6 thì:

a, a + n, a + 2n không phải là số nguyên tố Chẳng hạn với

a = 13, n = 6 thì 13 + 2.6 = 25 là hợp số

Bài toán 12 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 + 98 là số nguyên tố hay hợp số

Trang 11

Giải: Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p : 3 d 1 hay p = 3k +

1 (k  N*) nên p2 + 98 = 3k + 1 + 98 = 3k + 99 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

Bài toán 13 Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng các

bình phơng của chúng cũng là số nguyên tố

Giải: Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp đó là p, q, r Theo bài toán 12

thì mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì bình phơng của chúng chia cho 3 d 1 Vì thế:

p2 : 3 d 1; q2 : 3 d 1; r2 : 3 d 1 nên p2 + q2 + r2 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

Vậy chỉ có p = 2 hoặc p = 3

+ Với p = 2 thì q và r là các số lẻ nên q2, r2 cũng là số lẻ nên q2 +

r-2 là số chẵn (p chẵn) Vậy p2 + q2 + r2 2 và lớn hơn 2 nên là hợp số

Vậy chỉ còn p = 3  q = 5, r = 7

Thử lại: 32 + 52 + 72 = 9 + 25 + 49 = 83 là số nguyên tố

Bài toán 14 Chứng minh rằng nếu p và p + 10 là số nguyên tố

thì p + 32 là hợp số

Chứng minh: Vì p, p + 10 là số nguyên tố nên p là số lẻ (Vì

nếu p chẵn thì p = 2 khi đó p + 10 = 12 là hợp số)

Với p = 3 thì p và p + 10 đều là số nguyên tố còn p + 32 = 35

là hợp số

Với p > 3, p có dạng: p =3k ± 1

+ Với p = 3k + 1 thì p + 32 = 3k + 1 +32 = 3k + 33 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

+ Với p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9 3 và lớn hơn 3 nên là hợp

số, trái với giả thiết p + 10 là số nguyên tố

Vậy nếu p, p + 10 là số nguyên tố thì p + 32 là hợp số

Bài toán 15 (Các bài toán sau có cùng cách giải với bài toán 14) Chứng minh rằng:

p và 2p + 1 là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số

p và 8p – 1 là số nguyên tố thì 8p + 1 là hợp số

p là số nguyên tố lớn hơn 3, p + 8 cũng là số nguyên tố thì p + 10 là hợp số

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	100,5 KB