Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các kiến thức Vật Lý về mạch điện, cả giáo viên và học sinh đều gặp khó khăn về các vấn đề về mạch phi tuyến.Vì tài liệu tham khảo phần này tương đối ít; các vấn đề khó nên ảnh hưởng không nhỏ đến quá trình học tập của các em. Qua quá trình dạy chuyên và bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân tôi tìm hiểu và đúc rút một số kinh nghiệm của bản thân về các vấn đề về mạch phi tuyến. Nhằm giúp bản thân tôi trong quá trình giảng dạy được tốt hơn và để chia sẽ những kinh nghiệm với đồng nghiệp tôi chọn chuyên đề: “PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠCH PHI TUYẾN”
CHUYÊN ĐỀ MẠCH PHI TUYẾN I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi kiến thức Vật Lý mạch điện, giáo viên học sinh gặp khó khăn vấn đề mạch phi tuyến.Vì tài liệu tham khảo phần tương đối ít; vấn đề khó nên ảnh hưởng khơng nhỏ đến q trình học tập em Qua trình dạy chuyên bồi dưỡng học sinh giỏi, thân tơi tìm hiểu đúc rút số kinh nghiệm thân vấn đề mạch phi tuyến Nhằm giúp thân tơi q trình giảng dạy tốt để chia kinh nghiệm với đồng nghiệp chọn chuyên đề: “PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠCH PHI TUYẾN” Cấu trúc đề tài: - Lý thuyết mạch phi tuyến - Phương pháp giải vấn đề mạch phi tuyến - Một số tập vận dụng Các loại tập: - Mạch có chứa phần tử phi tuyến - Bài tốn đồ thị - Bài tốn điốt nắn dòng II TẦM QUAN TRỌNG CỦA CHUYÊN ĐỀ Mạch điện phi tuyến dạng tốn quan trọng chương trình chun sâu mạch điện, loại toán thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đặc biệt đề thi học sinh giỏi quốc gia Theo thống kê từ đề thi học sinh giỏi quốc gia từ 2001 đến 2014 số tốn mạch phi tuyến xuất thường xuyên III THỰC TRẠNG CHUYÊN ĐỀ Thực trạng bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí nay, giáo viên chưa trọng nhiều đến dạng toán dạng tốn phức tạp, áp dụng nhiều cơng cụ tốn đạo hàm, vi phân, tích phân, phương pháp số Trong học sinh lớp 11 chưa kịp trang bị công cụ gây khó khăn với học sinh việc tiếp cận tốn dạng Ngồi ra, cấu trúc đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh tỉnh nhà chưa tiếp cận với dạng toán nên chưa có động lực để giáo viên tìm tòi nghiên cứu IV NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ A.VĂN LÝGIANG THUYẾT MẠCH PHI TUYẾN GIÁO VIÊN: LÊ Mạch phi tuyến gì? BỘ MƠN: VẬT LÝMạch tuyến tính mạch điện chứa phần tử tuyến tính Phân tử tuyến tính phần tử điện trở R,( cuộn dây L hay tụ điện C mạch xoay chiêu) có trị số khơng đổi theo thời gian Cường độ dòng điện chạy qua phần tử tuyến tính tỉ lệ thuận với hiệu điện hai đầu phần tử Ví dụ: I = U R Các phần tử gọi tuyến tính đặc tuyến Vơn-Ampe đường thẳng Nghĩa là, cường độ dòng điện I phụ thuộc vào hiệu điện U theo hàm số I bậc (hàm số tuyến tính) U Mạch phi tuyến mạch điện chứa phần tử phi tuyến phần tử ví dụ điện trở R,( cuộn dây L hay tụ điện C mạch xoay chiêu) có trị số thay đổi theo thời gian Đối với phần tử phi tuyến dòng điện chạy qua khơng tn theo định luật Ơm Ví dụ: trị số điện trở thay đổi thì: I≠ U R Khi đặc tuyến Vơn-Ampe khơng phải đường thẳng Nghĩa là, cường độ dòng điện I phụ thuộc vào hiệu điện U theo hàm số hàm số bậc (hàm số phi tuyến tính) Trong kỹ thuật đời sống ta thường gặp phần tử phi tuyến nhiều thực tế phần tử mạch điện có trị số phụ thuộc vào nhiệt độ Một số phần tử phi tuyến: - Dây tóc bóng đèn - Nhiệt điện trở thermistor - Điện trở phi tuyến varister - Điốt điện tử - Điốt bán dẫn Các thông số đặc trưng cho mạch phi tuyến Một phần tử tuyến tính có trị số khơng đổi ví dụ điện trở R , cuộn cảm L, điện dung C gọi thông số “tĩnh” Một phần tử phi tuyến ngồi thơng sơ “tĩnh” có thơng số “động” Các thông số “động” hay thông sô tức thời phần tử phi tuyến đặc trưng cho phần tử phi tuyến đó,còn thơng số “tĩnh” thơng sơ trung bình thường khơng mang nhiều ý nghĩa vật lý ( sử dụng toán) + Điện trở: - Điện trở tĩnh: R = U I - Điện trở trung bình: Rtb = - Điện trở động: Rd = + Độ tự cảm cuộn dây: - Độ tự cảm tĩnh: L = ∆U ∆I du =u' di Φ I - Độ tự cảm trung bình: Ltb = - Độ tự cảm động: Ld = dΦ di ∆Φ ∆I + Điện dung tụ điện: - Điện dung tĩnh: C = Q U - Điện dung trung bình: Ctb = - Điện dung động: C = dq dt ∆Q ∆U Các thông số Rd , Ld , Cd hàm theo cường độ dòng điện i hiệu điện u chúng nên đặc trưng cho phần tử phi tuyến điểm đặc tuyến vôn – ampe Các cách biểu diễn đặc tuyến phần tử phi tuyến thường gặp Cách 1: cho hàm số u = f(i) hay i = f(u), với f khơng phải hàm tuyến tính Cách 2: cho đặc tuyến vơn – ampe phân tử Cách 3: cho đồ thị đặc tuyến vôn – ampe phân tử kèm theo số liệu toạ độ số điểm Cách 4: cho bảng ghi số liệu U – I cách cho kiện mang tính sử lý số liệu Các tính chất mạch phi tuyến + Mạch phi tuyến khơng có tính xếp chồng nghiệm hay khơng áp dụng nguyên lý chồng chập trạng thái điện + Mạch phi tuyến có tính chât tạo tần số Ví dụ: với phần tử phi tuyến R, L ,C mạch điện xoay chiều điện áp có tần số góc ω dòng qua mạch có tần số góc 0, ω, 2ω, 3ω,… Nếu điện áp kích thích dạng hình sin quan hệ phi tuyến nên cường độ dòng điện mạch khơng có dạng sin mà phân tích thành tổng dao động điều hồ có tần số khác + Các định luật Kirchhoff mạch điện phi tuyến B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ MẠCH PHI TUYẾN Thơng thường dựa vào kiện u cầu đề có phương pháp sau để tìm nghiệm gần toán mạch phi tuyến phương pháp kết hợp với định luật nghiệm mạch phi tuyến Ba phương pháp là: Phương pháp đồ thị, phương pháp số phương pháp biểu diễn gần đặc tuyến hàm xấp xĩ Phương pháp đồ thị: Từ đặc tuyến phần tử, ta vẽ đặc tuyến chung mạch, sau xác định điểm làm việc theo kiện tập Do mạch điện chủ yếu cấu thành từ hai cách ghép ghép sông song ghép nối tiếp nên ta xét hai trường hợp mạch phi tuyến * Trường hợp phần tử ghép nối tiếp: Nguyên tắc: mạch nối tiếp dựa vào i (U1) định luật Kirchhoff, ta có: i (U2) U Ii = I U = ΣU i Từ nguyên tắc ta vẽ đặc tuyến vôn – ampe mạch nối tiếp cách cộng đặc tuyến I(Ui) theo trục hồnh ( trục OU) hình vẽ sau * Các phần tử ghép song song: i(U1) Đối với trường hợp phần tử Phi tuyến ghép song song ta có: U = U i I = ΣI i I U i2(U) i1(U) Từ nguyên tắc ta vẽ đặc tuyến vơn – ampe mạch nối tiếp cách cộng đặc tuyến I(Ui) theo trục tung ( trục I) hình vẽ u V Đối với mạch phức tạp ta nhóm nhóm nối tiếp song song vẽ đặc tuyến chung cho đoạn mạch Ưu điểm phương pháp giải toán đồ thị hay đặc tuyến vôn-ampe Nhược điểm phương pháp giải mạch phức tạp giải tốn phương pháp đồ thị trở nên khó khăn tính xác khơng cao, Phương pháp số: Để khắc phục nhược điểm phương pháp đồ thị cho mạch phức tạp người ta dùng phương pháp số Nội dung phương pháp là: - Biểu diễn gần đặc trưng V-A phần tử hàm số đại số - Giải phương trình đại số phương pháp đại số phương phá số Phương pháp số có độ tin cậy xác cao phương pháp lặp Phương pháp lặp bản: Cơ sở toán học: xét phương trình g(x) = (1) Ta đưa phương trình dạng x = f(x) (2) cho f(x) hàm có tập xác định R Chọn x0 nghiệm gần (1) Ta có x1 = f(x0); x2 = f(x1); x3 = f(x2),…, xn+1 = f(xn) Ta lặp lặp lại đến xn+1 = xn = x (*) x nghiem (1) Chứng minh: dễ dàng thấy xảy điều kiện (*) x thoả (2) x nghiệm (1) Phương pháp lặp Newton: Vận dụng công thức Newton: Biểu diễn đặ tuyến hàm phi tuyến g (x) = Chọn x0 nghiệm gần g ( x0 ) Thì nghiệm gần bậc là: x1 = x0 - g ' ( x ) Nghiệm gần bậc n+1 là: g(xn ) xn+1= xn - g ' ( x ) n Khi n → g(x) → Khi g(xn+1) = g( xn ) = lấy xn+1là nghiệm phương trình Phép lặp nhiều lần hiệu xn+1 – xn nhỏ nghiệm xác Phương pháp lặp phương pháp lặp Newton thường dùng toán mạch phi tuyến phải giải phương trình phi tun tính tính Nếu kết hợp với phương pháp đồ thị nhằm tìm x0 gần sau vài bước lặp ta xác định đựơc nghiệm gấn phương trình Phương pháp lặp Newton khơng xác phương pháp lặp lại nhanh cho nghiệm hàm tương đối phức tạp Do đó, phải sử dụng đến phương pháp lặp mà khơng cần độ xác q cao ta nên dùng phương pháp lặp Newton để giải toán cách nhanh Phương pháp biểu diễn gần đặc tuyến hàm xâp xĩ: Đơi gặp tốn cho đồ thị bảng số liệu mà vẽ đồ thị ta dạng đồ thị gần với với đồ thị hàm giải tích quen thuộc ta biểu diễn I = f(U) hay U = f(I) cho hàm giải tích Phương pháp gọi biểu diễn gân đặc tuyến hàm xấp xĩ Lưu ý để tăng độ xác, sau tìm hàm xấp xĩ ta nên vẽ đồ thị biểu diễn quan hệ I – f(U) (hayU – f(I)) với I = kf(U) ( hay U = kf(I)) k số Ta xem thử đồ thị I – f(U) có gần đường thẳng hay khơng có lợi dùng đường thẳng để ngoại suy đồ thị Một số hàm giải tích bản: y = ex x+a y= x+b y = a.x Lưu ý: Ngoài ba phương pháp điển hình nêu trên, nhiều tốn mạch phi tuyến cần dùng định luật Kiếc-sốp lập hệ phương trình để giải Bài tập ví dụ: Ví dụ 1: Cho mạch điện hình vẽ: có nguồn khơng đổi E = U = 10V, điện trở R điện trở phi tuyến Đóng khố K Tìm số Ampe kế, cho biết điện trở Ampe kế, nguồn dây dẫn tổng cộng R1 = 500Ώ Cho biết R có đặc tuyến vôn – ampe sau: a Cho đồ thị I(U) hình vẽ b Cho bảng số liệu: U(V) 1,0 2,0 3,0 4,0 I(mA) 4,0 5,7 6,9 8,0 Giải: a Ta dùng phương pháp đồ thị E −u U −u Ta có: E = i.R1 + u ⇒ i = R = R 1 Thay số ta được: i = 20 − 2u Vẽ đồ thị hàm số i = 20 − 2u sau: Giao điểm hai đồ thị tọa độ mà mạch làm việc Dựa đồ thị ta xác định i = 9,3mA u = 5,4V b Dựa vào bảng số liệu ta có đồ thị gần hình vẽ Ta nhận thấy đồ thị có dạng xấp xĩ parabol nên ta vẽ đồ thị u=k.0,25i2 Từ đồ thị suy k = 0,25 Vậy: u = 0,0625i2 Kết hợp với u = U − i.R1 ⇒ 0, 0625i + i.R1 − U = Thay số vào ta được: 0.0625i +0.5i – 10 = (với R1 = 0,5k Ω ) Giải phương trình bậc hai ta được: i=9,266499161mA Nếu dùng phương pháp lặp i = 10 − 0,5i Chọn i= 10 ta bắt đầu lặp ta có bảng sau: i = 10 − 0,5i I 10 8.94427191 8.94427191 9.404564037 9.404564037 9.206708842 9.206708842 9.292272556 9.292272556 9.255367067 9.255367067 9.271303223 9.271303223 9.264425196 9.264425196 9.267394371 9.267394371 9.266112725 9.266112725 9.26666597 9.26666597 9.266427156 9.266427156 9.266530243 9.266530243 9.266485745 9.266485745 9.266504953 9.266504953 9.266496661 9.266496661 9.266500241 9.266500241 9.266498696 9.266498696 9.266499362 9.266499362 9.266499075 9.266499075 9.266499199 9.266499199 9.266499145 9.266499145 9.266499168 9.266499168 9.266499158 9.266499158 9.266499163 9.266499163 9.266499161 9.266499161 9.266499162 9.266499162 9.266499161 Vậy muốn nghiệm xác đến chữ số thập phân ta cần lặp 10 lần Tuy nhiên phương pháp lặp nên sử dụng trường hợp phương trình phi tuyến không giải cách thông thường Nếu dùng phương pháp lặp Newton, ta có: g(i) = 0.0625i +0.5i – 10 g’(i) = 0.125i + 0.5 g ( xn ) 0.0625in + 0.5in – 10 = in − Nên: in +1 = i n − g '( xn ) 0.125in + 0.5 Chọn i0 = 10mA thực phép lặp ta có bảng: in − in +1 0.0625in + 0.5in – 10 0.125in + 0.5 10 9.285714285 9.285714285 9.266513057 9.266513057 9.266499161 9.266499161 9.266499161 Ta thấy sau bước lặp cho kết xác đến chữ số thập phân Ví dụ 2: Cho mạch điện hình vẽ, pin có suất điện động E điện trở r Điện trở biến trở có giá trị R Các dây nối có điện trở khơng đáng kể Đ điốt lí A tưởng Tính hiệu điện hai đầu biến trở R giảm từ lớn xuống nhỏ Có giá trị đặc biệt R0 R, xác định giá trị (trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 19841985) Giải: Khi R lớn Thì I nhỏ Nếu chọn VA = thì: VB = 2ξ − 2rI ≈ 2ξ Dòng i2 qua nhánh nhỏ VC = ξ − ri2 ≈ ξ Ta thấy VB > VC nên ốt khơng cho dòng điện chạy qua Do ta có: Đ C B R 2ξ 2ξ R ⇒ UR = (1) R+r R+r Nếu R giảm I tăng, VB giảm; Khi VB = VC = ξ điốt mở Lúc đó: U R = VB = ξ I= Thay vào ta tính giá trị R = R0 = 2r Khi R