Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 1 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 1: Những khái niệm cơ bản đã giới thiệu một số tình huống tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí, phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa, tính lồi lõm,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Thời lượng: tiết (2 buổi) Các tình tối ưu hóa thiết kế Cơ khí h a a V  dm  S  3 Các tình tối ưu hóa thiết kế Cơ khí Cho dầm với mặt cắt hình trịn đặc với đường kính d, làm từ vật liệu có khối lượng riêng ρ Chiều dài dầm L Tìm đường kính d để khối lượng dầm tối thiểu, biết tần số dao động riêng thứ khơng vượt q giá trị f Các tình tối ưu hóa thiết kế Cơ khí Tìm d, D, N để lị xo nhẹ mà đảm bảo điều kiện: - Về độ cứng - Về độ bền - Về tần số dao động Phân dạng vấn đề tối ưu hóa Tối ưu hóa Có ràng buộc Khơng ràng buộc Phát biểu vấn đề tối ưu hóa  x1     x2  Tìm X      x   n Để hàm f(X) nhỏ  x1     x2  Tìm X      x   n Để hàm f(X) nhỏ phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc Phát biểu vấn đề tối ưu hóa Phát biểu vấn đề tối ưu hóa - Thường là: • Kích thước kết cấu (dài, góc) • Các thuộc tính vật liệu (khối lượng, nhiệt độ, …) - Giá trị tham biến thường nằm khoảng giới hạn - Tham biến số thực, rời rạc, số nhị phân, số nguyên Phát biểu vấn đề tối ưu hóa - Thường là: • Khối lượng vật hay chi tiết, cụm vật, v.v… • Ứng suất, độ bền • Chuyển vị, độ cứng • Giá thành, chi phí • Hiệu suất, công suất, suất Phát biểu vấn đề tối ưu hóa Thường điều kiện liên quan đến: - ngưỡng giới hạn tượng vật l{ - ngưỡng giới hạn yêu cầu kỹ thuật kích thước, khối lượng, ứng suất, biến dạng, tần số dao động, suất, độ nhám bề mặt, sai số, v.v… Tính lồi lõm (Convexity) Tập hợp lồi Tập hợp không lồi 10 Giá trị riêng (Eigenvalues) Véctơ riêng (Eigenvector) 1    L   2   n x1   n      V    v1  n x n   n x1 v2 n x1    n x1  - Là ma trận (của) véctơ riêng - Là véc tơ (của) giá trị riêng Có nghĩa có n đẳng thức sau:  A  nxn  A  nxn v1  1  v1 n x1 n x1 v n  n  v n n x1 n x1 38 Giá trị riêng (Eigenvalues) Véctơ riêng (Eigenvector) Khi có λi ta làm sau để tìm véctơ riêng :    A   vi  i  vi    A   i  I    vi   nxn  n x1 n x1 n x1 nxn n x n   Δ  Δ  Dùng phép khử Gauss để đưa dạng bậc n x n n x1 thang (Reduced Row Echelon Form) 39 Giá trị riêng (Eigenvalues) Véctơ riêng (Eigenvector) Tìm giá trị riêng véctơ riêng ma trận sau: 40 1 3      A        3x3  6 6  Tính ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix)   1      Δ  A    I          3x 3x   3x  3 5   6      Tính phương trình đặc trưng (Characteristic Equation)     det  Δ     12  16            3x    Giải phương trình đặc trưng ta có nghiệm λ, từ có véctơ giá trị riêng: T L   2 2 3x1 4.1 Tìm véctơ riêng giá trị riêng λ1 = 4:    3 3   A   1   I     9    3x1  3x 3x   6 1   2 v1     2 3x1 1     R1   R2  R3 41 4.2 Tìm véctơ riêng giá trị riêng λ2 = λ3 = -2:    3   A   2   I     3    3x1  3x 2 3x   6  R1   R2  R3 - ma trận (của) véctơ riêng     V    v1  3x   3x1 v2 3x1 v2 3x1 1 1       1    3x1   1 0   1   1  0  ; v    1  3x1   42 Ma trận Hessian xác định dương (Positive Definite Hessian Matrix) 43 Ma trận Hessian xác định dương tồn giá trị riêng mang dấu +  1  A   1 1 Ma trận đối xứng  1  1  2     A   I   1   1   det       6  10    1    2    0 Ma trận xác định dương Eiv  0.585786438     3.414213562     Chú {: Do ma trận Hessian ma trận đối xứng nên giá trị riêng λi số thực số phức Ma trận Hessian xác định dương (Positive Definite Hessian Matrix) 44 Ma trận Hessian xác định dương toàn giá trị phần tử sở (pivot) dương  1  R1 A   1 1 R2  1  R3  1  R2  R2  R1     2   1   1    R3 3 R3  R2    2     0  Ma trận đối xứng Toàn phần tử sở >0 nên ma trận xác định dương Ma trận Hessian xác định dương (Positive Definite Hessian Matrix) 45 Ma trận Hessian xác định dương toàn định thức ma trận thành phần tính từ điểm bên trái lớn A1  a11  A  a11 a21 a12 a22 a13 a23 a14 a24 a31 a41 a32 a42 a33 a43 a34 a44 a11 A2  a21 a12 0 a22 a11 A3  a21 a12 a22 a13 a23  a31 a32 a33 a11 a21 A4  a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 0 a34 a41 a42 a43 a44 Ma trận Hessian xác định dương (Positive Definite Hessian Matrix)  1  A   1 1  1  46 Ma trận đối xứng A1   A2  1 1 2 1 1  1 A3  1 30 1 1 1 1 1 0 1 1 40 Toàn định thức thành phần >0 nên ma trận xác định dương Cách vất vả tính tốn 47 Tính lồi lõm (Convexity) Hàm nhiều biến f  x  , x  x1 , x2 , 1 1 cặp điểm x   x1  1 x2 , xn hàm lồi với 1  T xn  ; x  2  2   x1  2  2 T x2 xn  λ thuộc khoảng    thỏa mãn điều kiện sau: f  x 2  1    x1    f x 2  1    f x1          f x 2  1    f x1 f  x 2  1    x 1    f x1   f x 2 x1 x 2  x 2  1    x1 48 Tính lồi lõm (Convexity) Hàm nhiều biến f  x  , x  x1 , x2 , 1 1 cặp điểm x   x1  1 x2 , xn hàm lõm với 1  T xn  ; x  2  2  2   x1  2 T x2 xn  λ thuộc khoảng    thỏa mãn điều kiện sau: f  x 2  1    x1    f x 2  1    f x1     f  x 2  1    x 1    f x1   f x 2      f x 2  1    f x1 x1 x 2  x 2  1    x1 Tính lồi lõm (Convexity) Hàm nhiều biến f  x  , x  x1 , x2 , , xn hàm lồi ma trận Hessian [H] bán xác định dương (positive semidefinite) Bất cực tiểu địa phương (Local minimum) hàm số lồi f(x) cực tiểu tồn cục (Global minimum) 49 Tính lồi lõm (Convexity) 50 Xác định tính lồi – lõm hàm số sau: d2 f  a)  H      e x   x  Hàm số lồi chặt chẽ  dx  d2 f  b)  H      16  x  Hàm số lõm chặt chẽ  dx    f 2 f  Theo định nghĩa ma trận xác  x  x1x2  18 x1  định dương, -12