Chuyên đề thể tích - Giải mẫu - OTDH

CHUYấN TH TCH Phần 1. Thể tích khối đa diện A. Lý thuyết 1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12) 2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện a) Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật b) Thể tích của khối chóp V= 3 1 S đáy . h ; h: Chiều cao của khối chóp c) Thể tích của khối lăng trụ V= S đáy . h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ B. Các dạng bài tập Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện *Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể: +áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích +Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính đợc +Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích. *Các bài tập 1)Về thể tích của khối chóp +Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng công thức :V= 3 1 S đáy . h Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau: a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60 o b) AB = a, SA = l c) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng giải: 1 CHUYấN TH TCH a) Gọi O là tâm ABC đều SO (ABC) S ABC = 2 1 a 2 3a = 4 3 2 a ABC có SA = SB; ABC = 60 o SA = AB = SB = a C S A B O a SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có: SO 2 = SA 2 - OA 2 = a 2 - ( 3 2 a 2 3 ) 2 = 2 2 2 3 2 3 a a a = SO = a 3 2 Vậy VSABC = SABC . SO = 3 1 . 4 3 2 a . a 3 2 . 3 2 2 a l b) Tơng tự câu a đáp số: VSABC = 3 1 . 4 3 2 a . 3 2 2 a l c) Gọi O là tâm ABC Gọi A là trung điểm BC Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO = Tam giác vuông SOA có: SO 2 = l 2 - OA 2 = l 2 - 9 4 AA 2 Tam giác vuông SOA có: sin'.sin 3 1 ' 3 1 AASO AA SO == (2) Từ (1) (2) ta có: 2 9 4 2 9 1 sin'.sin' lAAAA =+ O B A' A C a AA 2 (sin 2 + 4) = 9l 2 4sin 3 2 ' + = l AA SABC = )4(sin2 33 4sin3 3 4sin 3 2 1 2 1 2 2 22 '. + ++ == l ll BCAA 4sin sin. 4sin 3 3 1 22 sin ++ == ll SO 2 CHUYấN TH TCH VSABC = 3 1 SABC . SO = 4sin).4(sin sin 3 3 22 2 . ++ l Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VAABC theo a? Giải. -Gọi H là trung điểm BC AH (ABC) (gt) -Ta có SABC = 3. 2 2 1 2 1 aACAB = -Vì AH (ABC) AH AH Tam giác vuông AHA có: AH 2 = AA 2 - AH 2 = (2a) 2 - 4 1 .(a 2 + 3a 2 ) hay AH 2 = 4a 2 - a 2 = 3a 2 AH = a 3 B C H 2a a a 3 C' A' VAABC = 3 1 SABC .AH = 2 2 2 1 3 1 2 3.3. a aa = Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có AB = BC =a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC a) tính VSABC b) Chứng minh rằng AB (ABC). Tính VSABC Giải a) SABC = 2 2 1 2 1 . aBCBA = ; SA =a VSABC = 3 1 SABC .SA = 6 1 a 3 a C A a a B' C' B b) SAB có AB = SA = a SAB cân tại A AB SB BS = BB 3 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ BC⊥ SA ⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’) AC’ ⊥ SC C¸ch 1 2 2 2 1 2 1 2' a aSBAB === V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC = aACSA 3 22 =+ 3 2 ' a SC SA SC == B’C’ 2 = SB’ 2 - SC’ 2 = 66 '' 2 aa CB =⇒ ⇒S∆AB’C’ = 3462 2 1 2 1 2 '''. aaa CBAB == ⇒V∆AB’C’ = 363243 1 32 aaa = C¸ch 2 3 ' ' 1 1 2 3 3 a SB SC SB SC a = = = 3 ' ' 3 3 ' ' ' 1 1 1 ' ' ' 6 6 6 36 3 SAB C SABC a V SA SB SC a SA B C V SA SB SC a V a = = = ⇒ = = Bµi 4 H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. TÝnh VSABC. Gi¶i DÔ thÊy (SB, (ABC)) = α = SBA (SB, (SAD)) = β = BSD ∆ABC c©n ⇒ AD ⊥ BC DB = DC ∆SAB cã cos α = SB AB (1) BC ⊥ AD BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD a B A C D S 4 CHUYấN TH TCH Tam giác vuông SB có sin = SB BD (2) Từ (1) (2) sinsincos 22 aAB BDAB == sin cos 22 2 2 aAB AB = AB 2 (sin 2 cos 2 ) = -a 2 cos 2 AB = cos 2 sincos 1 22 a SSAB =BD.AD = 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos cos cos sin cos sin . . Sin a a AD AB = = SA = AB. tan = 22 sincos sin a VSABC = 3 1 SA.SABC = 22 sincos sin 3 1 a 22 2 sincos sin a = 22 3 sincos3 cossin a Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC. Giải Gọi I là giao điểm của AC và BD Ta có BD AC (vì ABCD là hình vuông) (Ax, Cy) (ABCD) BD (AMNC) BI (AMNC) BI = 2 2 2 a BD = x n A D C m B M N Diện tích hình thang AMNC là S = 2 2)( 2 )( . anmCNAM AC ++ = VAMNC = )( . 62 2 2 2)( 3 1 3 1 2 nmBIS a a anm AMNC +== + *Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao trên đáy. Ta có một số nhận xét sau: -Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy. -Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên áy hoặc có các đờng cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn nội tiếp đáy 5 CHUYấN TH TCH -Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó. -Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờng cao của khối chóp sẽ song song hoc nm trờn với đờng thẳng đó. -Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên. *Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp. Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc . Tính VSABC Giải A S C B H a - Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) - Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. - Ta có: ABC = sin 2 1 ACAB mà BC 2 = 2AB 2 - 2AB 2 cos = 2AB 2 (1-cos ) = a 2 AB = 2 cos1 a SABC = 24cos1 sin 22 1 2 2 1 cossin 22 aa AB == HA = R = sin2sin2 aBC = Tan giác vuông có tan = AH SH SH = cos2sin2 tan aa = VSABC = cos24 cot cos2243 1 3 1 2 3 2 .cot a aa ABC SHS == Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đờng chéo = 60 o . các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45 o . Tính VSABCD 6 CHUYấN TH TCH Giải A B C O D -Hạ SO (ABCD) - Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. O là tâm đờng tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC BD - Đặt AC = BD =x. Ta có S hcnABCD = 2 1 AC.BD.sin60 o = 3. 2 4 3 2 3 2 2 1 == xx x=3 - (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45 o = SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông cân tại S SO = 1 2 1 = AC VSABCD = 3 3 3 1 1.3 = Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60 o , BSC = 90 o , CSA = 120 o . a) Chứng minh rằng ABC vuông b) Tính VSABC Giải a) H B A S C a = = o ASB SBSA 60 AB = a -Tam giác vuông SBC có BC 2 = SB 2 + SC 2 = 2a 2 7 CHUYấN TH TCH -SAC có AC 2 = a 2 + a 2 -2a 2 cos120 o = 2a 2 - 2a 2 (- 2 1 ) =3a 2 -ABC có AC 2 = AB 2 + BC 2 ABC vuông tại B b) Hạ SH (ABC) Vì SA = SB = SL HA = HB = HC H là trung điểm AC ABC vuông tại B Tam giác vuông SHB có SB = a SH 2 = SB 2 - BH 2 = 24 2 aa SH = BH = 2 3 2 a AC = (Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều SH = 22 aSA = ) VSABC = 12 2 6 1 2 1 3 1 3 1 23 .2 . aa ABC aaSHBCABSHS === Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90 o . SAC và SBD là các tam giác đều có cạnh = 3 . Tính thể tích khối chóp SABCD. Đáp số: VSABCD = 4 6 Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a, BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD Giải 2a 3a C D H K - Hạ SH (ABCD), H (ABCD) - Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H là tâm đờng tròn nội tiếp đáy - Gọi K là hình chiếu của H lên AD - Ta có HK = a AD = 2 - Tam giác vuông SHK có HK = a SK = 32 2 3 aa = (vì SAD đều) 8 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH ⇒SH = 23 22 aaa =− V× ⋄ABCD ngo¹i tiÕp nªn: AB + CD = AD + BC = 5a ⇒SABCD = 2 2 2.5 2 ).( 5a aa ADCDAB == + ⇒VSABCD = 3 5 2 3 1 3 1 23 2.5. a ABCD aaSHS == Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a, SB = a 3 , (SAB) ⊥ (ABCD). M, N lần lượt là trung ®iÓm AB, BC. TÝnh VSBMDN Gi¶i S A D C H B M N ∆SAB h¹ SH b AB (SAB) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN) S∆CDN = S∆MDA = 4 1 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 2 1 S⋄ABCD = 2 1 2a.2a = 2a 2 ∆SAB cã AB 2 = SA 2 + SB 2 = 4a 2 ⇒ SAB vu«ng t¹i S ⇒ 222222 3 4 3 11111 aaaSBSASH =+=+= ⇒ SH = 2 3a ⇒VSBMDN = 3 1 S⋄BMDN.SH = 2 3 2 3 2 3 1 3 .2 aa a = Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD = 2 1 AD. ∆SBD vu«ng t¹i S vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. SB = 8a, SD = 15a. TÝnh VSABCD Gi¶i 9 CHUYấN TH TCH S H 15a 8a A D C B -Trong SBD kẻ SH b BD Vì (SBD) b (ABCD) SH b (ABCD) -Tam giác vuông SBD có 222 111 SDSHSH += hay 222 225 1 64 11 aaSH += hay aaSH 17 120 289 14400 . == -Vì hình thang có AB = BC = CD = 2 1 AD DA = = 60 o , B = C = 120 o -SBD có BD 2 = SB 2 +SD 2 =289a 2 BD = 17a CBD có BD 2 =2BC 2 (1+ 2 1 ) = 3BC 2 = 289a 2 BC = a 3 17 SBCD = 12 3289 2 3 2 3 289 2 1 2 2 1 2 120sin a o aBC == SABCD = 3SBCD = 12 3289 2 a VSABCD = 3 1 SABCD.SH = 17 120 12 3289 3 1 . 2 a a = 170 3 a 3 Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng (ABCD). SAB có SA = a, ASB = 2 và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc . Tính thể tích khối chóp SABCD Giải 10 [...]... vuông tại C có (CC)2 = AC 2- AC2 = 9b 2- b2 = 8b2 CC = 2 2 b =AA SABC = 1 CA.CBsin6oo = 2 VABCABC = SABC.AA = Bài 3 6 3b 2 2 b3 Dạng 2: tỉ số thể tích A/ Phơng pháp: Giả sử mặt phẳng chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V1 và V2 Để tính k = V1 V2 ta có thể: -Tính trực tiếp V1, V2 bằng công thức k -Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối Thể tích V2 (hoặc V1) k Ta có... 2 2 ), C (-2 ; 0; 0), D(0; -1 ; 0), M (-1 ; 0; Do (ABM) (SCD) = MN AB // CD MN//CD 2 ) N là trung điểm SD N(0; - 1 ; 2 ) 2 1 SA = (2; 0; -2 2 ); SM = (-1 ; 0; - 2 ); SB = (0; 1; -2 2 ); SN = (0; - 2 ; [ SA , SM ] = (0; 4 2 ; 0) VSABM = 1 [ SA , SM ].SB = 2 3 2 6 VSAMN = 1 [ SA , SM ].SN = 32 6 VSABMN = VSABM + VSAMN = 2 Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB = a, AD = b , AA = c a)Tính thể tích ACBD... 1 VABCD = 12 3 x 2 x 1 3 x 2 + x 2 12 2 1 =8 Dấu = xảy ra x2 = 3-x3 x = 3 2 và thể tích lớn nhất là 1 8 Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất GIảI S A B H D C M Ta có BM SH (gt) BM SA (Vì SA ( ABCD) BM AH SABM... Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM bằng Hạ SH vuông góc với CM a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI Đáp số a)Vmax= a3 12 b)VSAKI = a 3 sin 2 24(1 + sin 2 ) Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành các khối... = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tan V1 V V1 V 2 ( = ( SB SB1. tan ) ) 2 = (cos sin ) 2 = 1 sin 2 SA cos = V1 V V1 (1 sin = VV(1+sin22) ) = 1sin22 1 sin Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đờng cao h Mặt phẳng qua AB (SDC) chia chóp làm hai phn Tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 4: Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh là a M là trung điểm CD, N là trung điểm AD Tính tỉ số thể tích. .. ;ab) 2 2 |[ BD , BM ] BA' | = 13 1 abc = abc 62 4 2) Về thể tích khối lăng tr Ta thờng áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính hoặc bổ sung thêm 25 CHUYấN TH TCH Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và AA = AB = AC Cạnh AA tạo với đáy một góc 60 o Tính thể tích lăng trụ ABCABC Giải B' C' A' B C O a A Gọi O là tâm ABC OA = OB = OC AA = AB... 2 27 V= 4 9 V V1 V2 = 4 5 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a M, N, E lần lợt là trung điểm của BC, CC, CA Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra Giải 31 CHUYấN TH TCH E A' C' A' B' N A C M I B Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI Gọi V1, V2 tơng ứng là thể tích phần trên và phần dới của thiết diện, ta có V1 = VNIBM... Ox, S O Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Dạng 3 Phơng pháp thể tích : Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thứC,khoảng cách từ 1 điểm tới một mặt phẳng dựa vào thể tích Bài 1: SABC có SA = 3a, SA (ABC), ABC có AB = BC = 2a, ABC =120o Tính D(A,(SBC)) Giải 32 CHUYấN TH TCH S 3a A C 2a B M SABC = 1 2 AB.BC.sin120o = 2 a 2 a 3 4 = a3 3... V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối Thể tích V2 (hoặc V1) k Ta có các kết quả sau: +Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đờng cao tơng ứng 27 CHUYấN TH TCH +Hai khối chóp có cùng độ dài đờng cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy SABC SA SB + VSA ' B 'C ' = SA' SB '.SC ' SC V C' A' C A B' B (chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện)) B Các bài... ABCDABCD có AB = a, AD = b , AA = c a)Tính thể tích ACBD b)Gọi M là trung điểm CCTính thể tích MABD giải 24 2 ) CHUYấN TH TCH A' B' D' C' c a M A B b x C D y a) Cách 1: Thể tích của khối hộp ABCDABCD là V = abc VCCDB = 1 1 1 1 1 CC '.S BCD = c ab = abc = 3 3 2 6 6 V Tơng tự ta có: VAABD = VBAB C = VDADC = VACDB = V - 4 1 6 V= 1 3 1 3 V= 1 6 V abc Cách 2: dùng phơng pháp toạ độ Chọn hệ toạ độ Axyz nh . Phần 1. Thể tích khối đa diện A. Lý thuyết 1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12) 2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện a) Thể tích. tiếp đáy - Gọi K là hình chiếu của H lên AD - Ta có HK = a AD = 2 - Tam giác vuông SHK có HK = a SK = 32 2 3 aa = (vì SAD đều) 8 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH ⇒SH