Chuyên đề thể tích ôn thi đại học

CHUYấN TH TCH Phần 1. Thể tích khối đa diện A. Lý thuyết 1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12) 2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện a) Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật b) Thể tích của khối chóp V= 3 1 S đáy . h ; h: Chiều cao của khối chóp c) Thể tích của khối lăng trụ V= S đáy . h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ B. Các dạng bài tập Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện *Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể: +áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích +Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính đợc +Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích. *Các bài tập 1)Về thể tích của khối chóp +Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng công thức :V= 3 1 S đáy . h Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau: a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60 o b) AB = a, SA = l c) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng giải: http://kinhhoa.violet.vn V ngc Vinh 1 CHUYấN TH TCH a) Gọi O là tâm ABC đều SO (ABC) S ABC = 2 1 a 2 3a = 4 3 2 a ABC có SA = SB; ABC = 60 o SA = AB = SB = a C S A B O a SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có: SO 2 = SA 2 - OA 2 = a 2 - ( 3 2 a 2 3 ) 2 = 2 2 2 3 2 3 a a a = SO = a 3 2 Vậy VSABC = SABC . SO = 3 1 . 4 3 2 a . a 3 2 . 3 2 2 a l b) Tơng tự câu a đáp số: VSABC = 3 1 . 4 3 2 a . 3 2 2 a l c) Gọi O là tâm ABC Gọi A là trung điểm BC Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO = Tam giác vuông SOA có: SO 2 = l 2 - OA 2 = l 2 - 9 4 AA 2 Tam giác vuông SOA có: sin'.sin 3 1 ' 3 1 AASO AA SO == (2) Từ (1) (2) ta có: 2 9 4 2 9 1 sin'.sin' lAAAA =+ O B A' A C a AA 2 (sin 2 + 4) = 9l 2 4sin 3 2 ' + = l AA http://kinhhoa.violet.vn V ngc Vinh 2 CHUYấN TH TCH SABC = )4(sin2 33 4sin3 3 4sin 3 2 1 2 1 2 2 22 '. + ++ == l ll BCAA 4sin sin. 4sin 3 3 1 22 sin ++ == ll SO VSABC = 3 1 SABC . SO = 4sin).4(sin sin 3 3 22 2 . ++ l Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VAABC theo a? Giải. -Gọi H là trung điểm BC AH (ABC) (gt) -Ta có SABC = 3. 2 2 1 2 1 aACAB = -Vì AH (ABC) AH AH Tam giác vuông AHA có: AH 2 = AA 2 - AH 2 = (2a) 2 - 4 1 .(a 2 + 3a 2 ) hay AH 2 = 4a 2 - a 2 = 3a 2 AH = a 3 B C H 2a a a 3 C' A' VAABC = 3 1 SABC .AH = 2 2 2 1 3 1 2 3.3. a aa = Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có AB = BC =a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC a) tính VSABC b) Chứng minh rằng AB (ABC). Tính VSABC Giải http://kinhhoa.violet.vn V ngc Vinh 3 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH a) S∆ABC = 2 2 1 2 1 . aBCBA = ; SA =a ⇒ VSABC = 3 1 S∆ABC .SA = 6 1 a 3 a C A a a B' C' B b) ∆SAB cã AB = SA = a ⇒∆SAB c©n t¹i A ⇒ AB’ ⊥ SB B’S = B’B BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ BC⊥ SA ⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’) AC’ ⊥ SC C¸ch 1 2 2 2 1 2 1 2' a aSBAB === V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC = aACSA 3 22 =+ 3 2 ' a SC SA SC == B’C’ 2 = SB’ 2 - SC’ 2 = 66 '' 2 aa CB =⇒ ⇒S∆AB’C’ = 3462 2 1 2 1 2 '''. aaa CBAB == ⇒V∆AB’C’ = 363243 1 32 aaa = C¸ch 2 3 ' ' 1 1 2 3 3 a SB SC SB SC a = = = 3 ' ' 3 3 ' ' ' 1 1 1 ' ' ' 6 6 6 36 3 SAB C SABC a V SA SB SC a SA B C V SA SB SC a V a = = = ⇒ = = http://kinhhoa.violet.vn Vũ ngọc Vinh 4 CHUYấN TH TCH Bài 4 Hình chóp SABC có SA (ABC), ABC cân tại A, D là trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = ; (SB, (SAD)) = . Tính VSABC. Giải Dễ thấy (SB, (ABC)) = = SBA (SB, (SAD)) = = BSD ABC cân AD BC DB = DC SAB có cos = SB AB (1) BC AD BC SA (vì SA (ABC) BC (SAD) BC SD a B A C D S Tam giác vuông SB có sin = SB BD (2) Từ (1) (2) sinsincos 22 aAB BDAB == sin cos 22 2 2 aAB AB = AB 2 (sin 2 cos 2 ) = -a 2 cos 2 AB = cos 2 sincos 1 22 a SSAB =BD.AD = 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos cos cos sin cos sin . . Sin a a AD AB = = SA = AB. tan = 22 sincos sin a VSABC = 3 1 SA.SABC = 22 sincos sin 3 1 a 22 2 sincos sin a = 22 3 sincos3 cossin a Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC. Giải http://kinhhoa.violet.vn V ngc Vinh 5 CHUYấN TH TCH Gọi I là giao điểm của AC và BD Ta có BD AC (vì ABCD là hình vuông) (Ax, Cy) (ABCD) BD (AMNC) BI (AMNC) BI = 2 2 2 a BD = x n A D C m B M N Diện tích hình thang AMNC là S = 2 2)( 2 )( . anmCNAM AC ++ = VAMNC = )( 62 2 2 2)( 3 1 3 1 2 nmBIS a a anm AMNC +== + *Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao trên đáy. Ta có một số nhận xét sau: -Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy. -Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên áy hoặc có các đờng cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó. -Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờng cao của khối chóp sẽ song song hoc nm trờn với đờng thẳng đó. -Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên. *Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp. Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc . Tính VSABC Giải http://kinhhoa.violet.vn V ngc Vinh 6 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH A S C B H a - Gäi H lµ h×nh chiÕu cña S lªn (ABC) - V× c¸c c¹nh bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y ⇒ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC. - Ta cã: ∆ABC = α sin 2 1 ACAB mµ BC 2 = 2AB 2 - 2AB 2 cos α = 2AB 2 (1-cos α) = a 2 ⇒ AB = 2 cos1 α − a ⇒ S∆ABC = 24cos1 sin 22 1 2 2 1 cossin 22 α α α α aa AB == − HA = R = αα sin2sin2 aBC = Tan gi¸c vu«ng cã tan α = AH SH ⇒ SH = αα α cos2sin2 tan aa = ⇒VSABC = αα α α cos24 cot cos2243 1 3 1 2 3 2 .cot a aa ABC SHS == ∆ Bµi 7: SABC cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vµ SABCD = 3 vµ gãc gi÷a 2 ®êng chÐo = 60 o . c¸c c¹nh bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y 1 gãc 45 o . TÝnh VSABCD Gi¶i A B C O D -H¹ SO ⊥ (ABCD) http://kinhhoa.violet.vn Vũ ngọc Vinh 7 CHUYấN TH TCH - Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. O là tâm đờng tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC BD - Đặt AC = BD =x. Ta có S hcnABCD = 2 1 AC.BD.sin60 o = 3. 2 4 3 2 3 2 2 1 == xx x=3 - (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45 o = SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông cân tại S SO = 1 2 1 =AC VSABCD = 3 3 3 1 1.3 = Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60 o , BSC = 90 o , CSA = 120 o . a) Chứng minh rằng ABC vuông b) Tính VSABC Giải a) H B A S C a = = o ASB SBSA 60 AB = a -Tam giác vuông SBC có BC 2 = SB 2 + SC 2 = 2a 2 -SAC có AC 2 = a 2 + a 2 -2a 2 cos120 o = 2a 2 - 2a 2 (- 2 1 ) =3a 2 -ABC có AC 2 = AB 2 + BC 2 ABC vuông tại B b) Hạ SH (ABC) Vì SA = SB = SL HA = HB = HC H là trung điểm AC ABC vuông tại B Tam giác vuông SHB có SB = a SH 2 = SB 2 - BH 2 = 24 2 aa SH = BH = 2 3 2 a AC = (Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều SH = 22 aSA = ) http://kinhhoa.violet.vn V ngc Vinh 8 CHUYấN TH TCH VSABC = 12 2 6 1 2 1 3 1 3 1 23 .2 aa ABC aaSHBCABSHS === Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90 o . SAC và SBD là các tam giác đều có cạnh = 3 . Tính thể tích khối chóp SABCD. Đáp số: VSABCD = 4 6 Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a, BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD Giải 2a 3a C D H K - Hạ SH (ABCD), H (ABCD) - Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H là tâm đờng tròn nội tiếp đáy - Gọi K là hình chiếu của H lên AD - Ta có HK = a AD = 2 - Tam giác vuông SHK có HK = a SK = 32 2 3 aa = (vì SAD đều) SH = 23 22 aaa = Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a SABCD = 2 2 2.5 2 ).( 5a aa ADCDAB == + VSABCD = 3 5 2 3 1 3 1 23 2.5. a ABCD aaSHS == Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , (SAB) (ABCD). M, N ln lt l trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN http://kinhhoa.violet.vn V ngc Vinh 9 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Gi¶i S A D C H B M N ∆SAB h¹ SH b AB (SAB) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN) S∆CDN = S∆MDA = 4 1 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 2 1 S⋄ABCD = 2 1 2a.2a = 2a 2 ∆SAB cã AB 2 = SA 2 + SB 2 = 4a 2 ⇒ SAB vu«ng t¹i S ⇒ 222222 3 4 3 11111 aaaSBSASH =+=+= ⇒ SH = 2 3a ⇒VSBMDN = 3 1 S⋄BMDN.SH = 2 3 2 3 2 3 1 3 .2 aa a = Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD = 2 1 AD. ∆SBD vu«ng t¹i S vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. SB = 8a, SD = 15a. TÝnh VSABCD Gi¶i S H 15a 8a A D C B -Trong ∆SBD kÎ SH b BD V× (SBD) b (ABCD) http://kinhhoa.violet.vn Vũ ngọc Vinh 10 [...]... a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI Đáp số a)Vmax= a3 12 b)VSAKI = a 3 sin 2 24(1 + sin 2 ) Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành các khối nhỏ hoặc bổ sung thêm Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c Tính thể tích ABCD Giải H P B R... 4 c) 1 VABCD = 12 3 x 2 x 1 3 x 2 + x 2 12 2 =1 8 Dấu = xảy ra x2 = 3-x3 x = 3 2 và thể tích lớn nhất là 1 8 Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất GIảI S A B H D C M Ta có BM SH (gt) BM SA (Vì SA ( ABCD) BM... vuông tại C có (CC)2 = AC2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2 CC = 2 2 b =AA SABC = 1 CA.CBsin6oo = 2 3b 2 2 VABCABC = SABC.AA = 6 b3 Bài 3 http://kinhhoa.violet.vn 27 V ngc Vinh CHUYấN TH TCH Dạng 2: tỉ số thể tích A/ Phơng pháp: Giả sử mặt phẳng chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V1 và V2 Để tính k = V1 V2 ta có thể: -Tính trực tiếp V1, V2 bằng công thức k -Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể. .. -Tính trực tiếp V1, V2 bằng công thức k -Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối Thể tích V2 (hoặc V1) k Ta có các kết quả sau: +Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đờng cao tơng ứng +Hai khối chóp có cùng độ dài đờng cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy V + V SABC SA ' B 'C ' = SA SB SC SA '.SB '.SC ' C' A' C A B' B (chỉ đúng cho... = (a;0; c) bc ac ; ;ab) 2 2 1 13 1 abc = abc |[ BD , BM ] BA' | = 6 62 4 2) Về thể tích khối lăng tr Ta thờng áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính hoặc bổ sung thêm Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và AA = AB = AC Cạnh AA tạo với đáy một góc 60 o Tính thể tích lăng trụ ABCABC Giải B' C' A' B C O a A http://kinhhoa.violet.vn 26 V ngc... 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đờng cao h Mặt phẳng qua AB (SDC) chia chóp làm hai phn Tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 4: Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh là a M là trung điểm CD, N là trung điểm AD Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB) chia hình lập phơng Giải D M C Q P A B C' D' E B' A' Gợi ý: Gọi V1, V2 tơng ứng là thể tích các phần trên và phần dới thi t diện ta có: V1 = VBECF -... Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a M, N, E lần lợt là trung điểm của BC, CC, CA Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra Giải http://kinhhoa.violet.vn 32 V ngc Vinh CHUYấN TH TCH E A' C' A' B' N A C M I B Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thi t diện là ngũ giác MNEFI Gọi V1, V2 tơng ứng là thể tích phần trên và phần dới của thi t diện, ta có V1 = VNIBM... sánh từng phần tơng ứng ta có V1 = V2 V1 V2 =1 Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a {O} = AC BD, ox (ABCD) Lấy S Ox, S O Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Dạng 3 Phơng pháp thể tích : Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thứC,khoảng cách từ 1 điểm tới một mặt phẳng dựa vào thể tích Bài 1: SABC có SA = 3a, SA (ABC), ABC có AB = BC = 2a, ABC... vuông AOA có OA = OA tan 600 = a Vì ABC đều cạnh a nên SABC = 3a 2 a3 3 VABCABC = SABC.AO = 4 4 Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60o (BC,(AACC)) = 30o Tính thể tích của khối lăng trụ Giải A' C' B' b' b A C B Dễ thấy AB (ACCA) nên (BC, (ACC A)) = ACB = 300 ABC vuông tại A có C =600, AC=b nên BC=2b và AB= 3 b vì AB (ACCA) nên AB b AC ABC vuông... SA , SM ].SB = 2 3 2 1 6 [ SA , SM ].SN = 32 VSABMN = VSABM + VSAMN = 2 Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB = a, AD = b , AA = c a)Tính thể tích ACBD b)Gọi M là trung điểm CCTính thể tích MABD giải VSAMN = A' B' D' C' c a M A B b x C D y a) Cách 1: Thể tích của khối hộp ABCDABCD là V = abc 1 3 1 1 3 2 1 6 1 6 VCCDB = CC '.S BCD = c ab = abc = V Tơng tự ta có: VAABD = VBAB C = VDADC = VACDB =