CHUYEN DE THE TICH (CO LOI GIAI)

CHUY£N §Ị THĨ TÝCH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN : Thể tích của mỗi khối đa diện là một số dương có tính chất sau : a. Hai khối đa diện bằng nhau thì thể tích bằng nhau . b. Nếu một khối đa diện được phân 1 Đònh nghóa chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó . c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1 . 2 Thể tích của kh ối h 3 đáy ĐL : V = abc với a,b,c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. ĐL : V = a vớ ộp chữ nhật 3 Thể tích của khối chóp i a là cạnh của hình lập phương 1 ĐL : V .S .h với h là chiều 3 = đáy cao ĐL : V 4 Thể tích S .h của khối lă với h là ch ng trụ iều cao= B. VÍ DỤ Vấn đề 1 : THỂ TÍCH KHỐI HỘP 1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 2 , chiều dài bằng 3 và chiều cao bằng 4 . Giải Ta có : V = 2.3.4 = 24 2 2 2 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều dài bằng 3 và đường chéo của hình hộp hợp với mặt đáy một góc 30 . Giải ABC vuông tại B nên AC AB∆ = + o g · · 2 (ABCD) (ABCD) BC 1 3 4 AC 2 Ta có : C'C (ABCD) C = hc C' AC = hc AC' (AC';(ABCD)) C'AC 30 1 2 Vì C'AC vuông tại C nên C'C = AC.tan30 2. 3 3 2 Ta có : V = AB.BC.C'C = 1. 3. = 2 3 = + = ⇒ = ⊥ ⇒ ⇒ ⇒ = = ∆ = = o o g 3 Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật làm thành một cấp số nhân có công bội là 2 . Thể tích bằng 64 . Tìm các kích thước đó . Giải Gọi kích thước nhỏ nhất là x với x 3 3 3 > 0 thì ba kích thước của hình hộp chữ nhật là x , 2x , 4x . Vì : V = x.2x.4x = 8x . Theo đề : V= 64 8x 64 x 8 x 2 (nhận) Vậy : Ba kích thước cần tìm là 2,4,8 . ⇔ = ⇔ = ⇔ = Gi¸o Viªn §Ỉng Th¸i S¬n –Su tÇm- 1 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH 2 4 Tính thể tích của khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 . Giải Gọi a là cạnh của hình lập phương ta có diện tích của một mặt của hình lập phương là a Theo đề : Tổ 2 2 3 3 ng diện tích các mặt bằng 24 hay S = 6a 24 a 4 a 2 Vậy thể tích của hình lập phương là V = a = 2 8 = ⇔ = ⇔ = = 5 Các đường chéo của các mặt bên của một hình hộp chữ nhật bằng 5, 10, 13 . Tính thể tích hình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 hộp đó . Giải Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' có AC = 5,AB' 10,AD' 13 . Đặt :AB a,AD b,AA' c ta có : a b AC 5 a 1 b c AD' 13 b 2 c 3 c a AB' 10 Vậy thể tích của kh = = = = =  + = =  =    + = = ⇔ ⇔ =     = + = =    ối hộp chữ nhật là V= abc = 1.2.3 = 6 6 Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 98cm. Khi đó tính độ dài cạnh của hình lập phương . Giải Gọi a (với a > 0) là cạnh của hình lập 3 3 3 3 2 phương . Khi đó thể tích của hình lập phương là V = a . Thể tích của hình lập phương khi cạnh tăng thêm 2cm là V' = (a+2) a 3 (nhận) Theo đề : V' V = 98 (a+2) a 98 a 2a 15 0 a 5 = − ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = − (loại) Vậy cạnh của hình lập phương đã cho là a = 3cm    7 Đáy của hình hộp đứng là hình thoi cạnh a , góc nhọn 60 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp . Tính thể tích của hình hộp . Giải ABCD là hình thoi cạnh o g · a và BAD 60 ABD là tam giác đều cạnh a BD a a 3 AC 2AO 2. a 3 2 Theo đề : Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp nên AC = B'D = a 3 B'BD vuông tại B nên = ⇒ ∆  =  ⇒  = = =   ∆ o g g 2 2 2 2 2 2 3 ABCD ABD BB' B'D BD 3a a a 2 a 3 a 6 Vậy V= S .BB' 2.S .BB' 2. .a 2 4 2 = − = − = = = = Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 2 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH 8 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 . Tính thể tích của hình hộp. Giải Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' . Kẻ A'K AB và A'H (ABCD) suy ra A'H BD ⊥ ⊥ ⊥ o · · (1) Vì BD AC,BD A'C' nên BD (AA'C'C) (2) Từ (1),(2) suy ra H AC . 1 A'KA vuông tại K có A'AK 60 nên AK = a 2 a 3 AKH vuông tại K có AKH 30 nên AH = 3 a 6 A'H . 3 ABD là tam giác ⊥ ⊥ ⊥ ∈ ∆ = ∆ = ⇒ = ∆ o o g g g 2 ABD a 3 đều cạnh a nên S 4 = 2 3 ABCD ABD a 3 a 6 a 2 Vậy V = S .A'H 2S 'A'H 2. . 4 3 2 = = = 9 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45 , cạnh bên của hình hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 .Tính thể tích của khối h o o · · ABCD ộp . Giải Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' với BAD 45 . Kẻ A'H (ABCD) tại H thì A'AH 45 2 Ta có : S AB.AD.sin45 6.6. 18 2 2 10 2 A'HA vuông cân tại H nên A'H = 5 2 2 Vậy thể tích hình = ⊥ = = = = ∆ = o o o 2 ABCD hộp là V = S .A'H 18 2.5 2 180(cm )= = 10 Với một tấm bìa hình vuông , người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm , rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp . Nếu dung tích của cái ho 3 äp đó là 4800cm , hãy tính độ dài cạnh của tấm bìa . Giải Gọi x là cạnh của tấm bìa ( x > 24) Khi gấp lại ta được một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông có cạnh x 24 − 2 2 2 và chiều cao h = 12 Khi đó thể tích hình hộp là V = (x 24) .12 x 44 (nhận) Theo đề : V = 4800 (x 24) .12 4800 (x 24) 400 x 24 20 x 4 (loại vì x > 24) Vậy cạnh tấm bìa có độ dài 44 −  = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔  =  cm · ABD 11 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 , AB' hợp với đáy (ABCD) một góc . Tính thể tích của hình hộp . Giải ABD là tam giác đều cạnh a nên S = α ∆ o g 2 2 2 ABCD ABD 2 3 ABCD a 3 4 a 3 a 3 S 2.S 2. 4 2 ABB' vuông tại B nên BB' = AB.tan atan a 3 3 Vậy thể tích của hình hộp là V = S .BB' .atan a tan 2 2 = ⇒ = = = ∆ α = α = α = α g Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 3 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH Vấn đề 2 : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 1 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh bằng a . Giải Gọi khối tứ diện đều đã cho là ABCD . Khi đó ta coi đó chính là khối chóp A.BCD . Kẻ AH (BCD) tại H thì là tâm của tam ⊥ 2 2 2 2 2 2 ABCD A.BCD giác đều BCD ( tâm của đường tròn ngoại tiếp ) 2 2 a 3 a 3 Gọi M là trung điểm BC . Ta cóù : AH = AM . 3 3 2 3 AHD vuông tại H nên : a 3 3a a 6 AH = AD AH a ( ) a 3 9 3 Vậy : V V = = ∆ − = − = − = = = 2 3 BCD 1 1 a 3 a 6 a 2 .S .AH . . 3 3 4 3 12 = = Tứ diện có thể coi là một khối chóp theo 4 cách khác nhau . Chú ý Lấy 1 đỉnh là : m chu( ẩn ) 3 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2 và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp . Giải Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là o · · · (ABC) (ABC) S.ABC nên SA = SB = SC . Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC . Gọi M là trung điểm BC . Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH 60 SHA vuông tại H có SAH 60 nên A ⊥ ⇒ ⇒ = = ∆ = o o 2 ABC ABC 1 H = SA.cos60 2. 1 , 2 2 3 3 SH = AH.tan60 3 . Mặt khác : AH = AM AM .AH 3 2 2 2.AM 2 3 Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . 3 2 3 3 AB . 3 3 3 S 4 4 1 Vậy thể tích của khối chóp là V = .S . 3 = = = ⇒ = = ∆ = = ⇒ = = o o 1 3 3 3 SH . . 3 3 4 4 = = Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 4 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH 4 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 5 và các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 . Tính thể tích của khối chóp . Giải Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là o (ABCD) (ABCD) S.ABC nên SA = SB = SC . Kẻ SH (ABCD) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC . Gọi N là trung điểm AB . Khi đó : CH AB hay NH AB (1) Vì H = hc S NH = hc NS nên theo đlí ba đư ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ · · 2 2 2 2 2 ờng vuông ta có SN AB (2) Từ (1),(2) ((SAB);(ABCD)) SNH 45 SNH vuông tại H , ta có : SH = NH.tan45 NH SHC vuông tại H , ta có : SC = SH HC 5 NH (2NH) NH 1 Do đó : SH = NH = 1 . Vì A ⊥ ⇒ = = ∆ = ∆ + ⇔ = + ⇔ = ∆ o o 2 2 ABC ABC BC đều có đường cao CH nên CH = 3NH = 3 . AB. 3 2CH 6 Mà CH = AB 2 3 2 3 3 AB . 3 (2 3) . 3 S 3 3 4 4 1 1 Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .3 3.1 3 3 3 ⇒ = = = ⇒ = = = = = 5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) . Mặt bên (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp . Giải Gọi M là trung điểm BC , vì ⊥ α ∆ · · đl3đ (ABC) ABC đều nên AM BC (1) Do AM = hc SM,AM BC SM BC (2) Mặt khác : (SBC) (ABC) = BC (3) Từ (1),(2),(3) ((SBC);(ABC)) = SMA ⊥ ⊥ ⊥ → ⊥ ∩ ⇒ = α a 3 SAM vuông tại A nên SA = AH.tan = .tan 2 ∆ α α 2 3 ABC 1 1 a 3 a 3 a Vậy thể tích hình chóp là V= .S .SA . . .tan tan 3 3 4 2 8 = α = α 6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp . Giải Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S. α · · · (ABC) (ABCD) ABC nên SA = SB = SC . Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC . Gọi M là trung điểm BC . Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH SHA vuông tại H có SAH nên AH = S ⊥ ⇒ ⇒ = = α ∆ = α 2 2 2 ABC A.cos a.cos . SH = AH.tan acos .tan asin . 2 3 3 Mặt khác : AH = AM AM .AH acos 3 2 2 2.AM 2 3 Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . acos 3acos 2 3 3 ( 3acos ) . 3 3 3a cos S 4 4 Vậy thể tích α = α α = α α = α ⇒ = = α ∆ = α = α α α ⇒ = = 2 2 3 2 ABC 1 1 3 3a cos 3 của khối chóp là V = .S .SH . .asin a cos sin 3 3 4 4 α = α = α α Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 5 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH a 3 7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và 2 mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60 a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) . b o ) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) . c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC Giải a) Dựng SH (ABC) a 3 Ta có : SA = SB = SC = HA = HB = HC 2 H là tâm của đường tròn ngoại ⊥ ⇒ ⇒ · · · · 2 2 2 2 2 2 (ABC) (ABC) tiếp ABC Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC . a 3 a 3a a 2 Do SH SB HB ( ) ( ) SH 2 2 4 2 b) Do SH (ABC) H hc S AH hc AS (SA;(ABC)) SAH 60 SH SAH vuông tại H nên tanSAH 2 SAH AH ∆ ∆ = − = − = ⇒ = ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ∆ = = ⇒ o acrtan 2= c) Gọi M là trung điểm AB · · (ABC) (ABC) đlí 3 đ 2 Do SH (ABC) H hc S MH hc MS mà HM AB (1) vì HM // AC MS AB (2) Từ (1),(2) (SA;(ABC)) SAH 60 a 2 1 a 6 a 6 SHM vuông tại H , ta có : MH = SH.tan60 . AC 2MH , 2 6 3 3 MB HB MH ⊥ ⊥ ⇒ = ⇒ = ⊥ → ⊥ ⇒ = = ∆ = = ⇒ = = = − o o 2 2 2 a a 6 a 3 a 3 ( ) ( ) AB 2MB 2 6 6 3 = − = ⇒ = = 2 2 3 ABC ABC 1 1 a 3 a 6 a 2 1 1 a 2 a 2 a S .AB.AC . . V .S .SH . . 2 2 3 3 6 3 2 6 2 12 ⇒ = = = ⇒ = = = Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 6 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH 8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC . a) Tính thể tích khối chóp ∆ 2 3 S.ABC ABC S.ABC . b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C') . c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' . HD 1 1 a a a) Ta có : V .S .SA .a. 3 3 2 6 b) Ta có : BC AB BC (SAB) BC AB' (1) BC SA SAB c = = =  ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  ∆ S.AB'C' AB'C' ân tại A nên SB AB' (2) Từ (1),(2) suy ra AB' (SBC) AB' SC . Mặt khác : AC' SC nên SC (AB'C') c) Ta có 1 1 V .SC'.S .SC'.AB'.B'C' 3 6 SAB vuông cân tại A, ta có : SB = a 2,AB' ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ = = ∆ =g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 a 2 SB' SB 2 2 SAC vuông cân tại A, ta có : SC = SA AC SA AB BC 3a SC a 3 SA a a 3 SA SC'.SC SC' SC 3 a 3 a 2 B'C' SB' 6 a 6 2 B'C' BC SC 6 6 a 3 1 a 3 a 2 a 6 a Vậy V = . . . 6 3 2 6 36 = = ∆ + = + + = ⇒ = = ⇒ = = = = = = ⇒ = = g 9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11 . Giải Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và H là tâm của mặt đáy ABCD . Ta có : SH (AB⊥ 2 2 2 ABCD 1 CD) tại H và AH = AC 2 2 Vì SHD vuông tại H nên SH = SD HD 11 2 3 1 1 Vậy V = .S .SH .2 .3 4 3 3 = ∆ − = − = = = 10 Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của hình chóp đó . SCD 2 2 Giải Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt đáy ABCD và M là trung điểm của CD. Cạnh đáy : a = 4 2 1 Mặt bên : S 2 .CD.SM 2 SM 2 2 Chiều cao : SH = SM HM 2 1 1 = = ⇔ = ⇔ = − = − = g g g ABCD 1 1 4 Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .4.1 3 3 3 = = Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 7 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và đường chéo AC = 2 . Biết SA (ABCD) và cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . G ⊥ o · · (ABCD) (ABCD) 2 2 ABCD ABCD iải Vì SA (ABCD) A = hc S AC = hc SC (SC;(ABCD)) SCA 30 3 2 3 SAC vuông tại A nên SA = AC.tan30 2. 2 3 AC S AB ( ) 2 2 1 1 2 3 4 3 V = .S .SA .2. 3 3 3 9 ⊥ ⇒ ⇒ ⇒ = = ∆ = = ⇒ = = = = = o o g g 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a . a) Tính diện tích SBD theo a . b) Chứng minh rằng : BD SC . c) Tính góc tạo ∆ ⊥ bởi SC và mặt phẳng (SBD) . d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD . BCD 2 2 2 2 2 BCD Giải a) Ta có : SA (ABCD) . Gọi H là tâm của hình vuông ABCD . 1 Nối S và H thì SH BD (Đlí 3 đ ) nên S .BD.SH 2 a 2 a 6 1 a 6 a 3 ASH vuông tại A : SH SA AH a ( ) = S .a 2. 2 2 2 2 2 ⊥ ⊥ ⊥ = ∆ = + = + ⇒ = = g g · · (SBD) BD AC ( hai đường chéo hình vuông) b) Ta có : BD (SAC) mà SC (SAC) nên BD SC BD SA ( vì SA (ABCD)) c) Kẻ CK SH thì CK BD ( do BD (SAC)) CK (SBD) K= hc C (SC;(SBD)) = CSH Áp dụng đlí  ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ ⊥  ⊥ ⊥  ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⇒ · · · 2 2 2 3 2 ABCD hàm số cosin trong SCH ta được : 2 2 2 2 HC SH SC 2SH.SC.cosHSC cosHSC HSC acr cos . 3 3 1 1 a d) V = .S .SA .a .a 3 3 3 ∆ = + − ⇒ = ⇒ = = = 12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a . a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a . b) Tính cosin của góc nhò diện (SBA,SAD) . 2 2 2 tp ABCD SAB 3 2 2 2 2 2 ABCD HD a 3 a) S S 4.S a 4. (1 3)a . 4 1 a 2 a 2 1 a 2 a 2 V = .S .SH , ta có : SH = SA HA a ( ) V= .a . = 3 2 2 3 2 6 = + = + = + − = − = ⇒ g g · b) Gọi M là trung điểm của SA , ta có : BM SA và DM SA = BMD là góc phẳng của nhò diện (SAB,SAD) . ⊥ ⊥ ⇒ α · · · 2 2 2 2 2 2 2 Áp dụng đlí hàm số cosin trong BMD ta được : 3a 3a 3a 1 BD MB MD 2MB.MD.cosBMD 2a 2. .cosBMD cosBMD 4 4 4 3 ∆ = + − ⇒ = + − ⇒ = − Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 8 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH 13 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều . HD Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và α · · · · 3 2 ABCD mặt đáy là hình vuông ABCD có tâm H . Kẻ đường cao SH , ta có SAH SBH SBH SBH a 2 Xét SAH vuông tại H nên SH = AH .tan tan 2 1 1 a 2 a 2 Vậy V = .S .SH .a . tan tan 3 3 2 6 = = = = α ∆ α = α = α = α 14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều . α · 2 3 ABCD HD Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH a SH HM.tan tan 2 1 1 a 1 V .S .SH .a . tan a tan 3 3 2 6 = α = α = α = = α = α · 15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và SAB . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và . HD Gọi H là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm AB = α α đlí 3 đ (ABCD) (ABCD) 2 2 2 2 2 2 2 . Khi đó : SH (ABCD) và HM AB . Vì H = hc S HM= hc SM SM AB a a SMA vuông tại M nên SH SM HM ( tan ) 2 4 a a (tan 1) SH ta 4 2 ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ → ⊥ ∆ = − = α − = = α − ⇒ = 2 3 2 2 2 ABCD 2 n 1 1 1 a a Vậy V= .S .SH .a . tan 1 tan 1 3 3 2 6 Với điều kiện tan 1 0 4 2 α − = α − = α − π π α − > ⇔ < α < 16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng .α · 2 2 2 2 2 2 2 2 2 HD Gọi BSH = . Áp dụng đl cosin vào SBD và SBC : BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB .sin sin 1 cos BC 2SB (1 cos ) cos cos β ∆ ∆  = − β ⇔ = β ⇒ β = − α  = − α ⇔ α = β   g 2 2 2 2 2 2 2 ABCD 2 1 cos 1 cos S BC 2HB 2a tan 2a . 2a . cos cos − β − α = = = β = = α β g Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 9 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH 2 2 2 2 2 3 ABCD 4a sin 2 S = cos 4a sin sin 1 1 4a 2 2 V = .S .SH . .a . 3 3 cos 3 cos α ⇒ α α α = = α α g 17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a . Giải Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình vuông BCDE có cạnh bằng a . Vì mặt BCDE chia khối tám mặ 3 2 ABCDEF ABCDE BCDE t đều thành hai phần bằng nhau nên : 1 1 a 2 a 2 V = 2.V 2. .S .AO 2. .a . 3 3 2 3 = = = 18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của các mặt hình lập phương . Giải . Khối lập phương có cạnh bằng a . Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD a 2 có AF = a , BD = a . Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng 2 Thật vậy : AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh : ∆ 2 2 2 2 3 2 ABCDEF A.BCDE BCDE a a a 2 AB = OA OB ( ) ( ) 2 2 2 Vì mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên : 1 1 a 2 a a V = 2.V 2. .S .AO 2. .( ) . 3 3 2 2 6 ( xem hình bài 17 ) + = + = = = = 19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đều . Giải . Khối tám mặt đều được tạ a o thành có các cạnh bằng nhau và bằng 2 Thật vậy : Gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC . Khi đó : PQ vuông góc với AB, CD . Tam giác APQ vuông tại P . Ta có : PQ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ABCDEF a 3 a a 2 AQ AP ( ) ( ) 2 2 2 a PRQ vuông tại R và PQ = RP RQ 2RP PQ 2 a a a 2 RP cạnh RP = đường cao AO = . 4 2 4 Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên : V = 2 − = − = ∆ + ⇔ = = ⇒ = ⇒ ⇒ 3 2 A.BCDE BCDE 1 1 a a 2 a 2 .V 2. .S .AO 2. .( ) . 3 3 2 4 24 = = = · a 5 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD. 2 a) Tính thể tích của khối chóp . = o tp b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) . c) Tính S của hình chóp . Giải a) Gọi O = AC BD ⊥ ∩ Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 10 - [...]... sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước Giải Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE = kCE Hạ AM , AN lần lượt vuông góc với mp(BDE) tại M và N 1 VA.BDE 3 AM.SBDE AM AE Khi đó : = = = =k VC.BDE 1 CN CE CN.SBDE 3 5 (Bài 24-P29 SGK) Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC Mặt phẳng (P) đi qua AM , song song với BD chia khối chóp thành hai... lăng trụ xiên ABC.A′B′C′có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A lên mp (ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích của khối lăng trụ này Giải Theo đề : A'I ⊥ (ABC) ⇒ A'I là đường cao của khối lăng trụ nên V = A'I.SABC a 3 2 Vì I = hc(ABC)A ' ⇒ AI = hc(ABC)AA ' · · ⇒ (AA ';(ABC)) = A ' AI = 60o ∆ABC đều có đường cao AI = a 3 3a · ∆A ' IA vuông... đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C' V SA SB SC Chứng minh rằng : = V ' SA ' SB' SC' Giải Gọi H , H' theo thứ tự là hình chiế u vuông góc của A,A' lên mặt phẳng (SBC) Ta có : S,H,H' thẳng hàng , vì chúng cùng nằm trên hình chiếu vuông góc của tia SA lên mặt phẳn g (SBC) 1 AH.SABC V SA SB SC 3 Khi đó... tại B , AC = 13cm SABC = 30cm 2 , AA ' = 20cm Gọi x,y là hai cạnh góc vuông của ∆ABC Điều kiện : 0 < x,y < 13 Gi¸o Viªn : §Ỉng Th¸i S¬n-Su tÇm- 11 - CHUY£N §Ị THĨ TÝCH  x2 + y2 = 132 = 169 2    Theo đề :  1 ⇔ (x + y) − 2xy = 169 xy = 60   xy = 30 2  (x + y)2 = 169 + 2xy = 289 ⇒ x + y = 17 → Vậy : Sxq = CVi đáy × cạnh bên = (17+13) × 20 = 600cm 2 Stp = Sxq + 2.Sđáy = 600 + 2.30 = 660cm... hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Giải Gọi O là tâm hình bình hành ABCD và G là giao của SO với AM SG 2 thì G là trọng tâm của ∆SAC Vậy : = SO 3 Vì mp(P) song song với BD nên nó cắt mp(SBD) theo giao tuyến B'D' đi qua G và B'D'//BD ( với B' ∈ SB,D' ∈ SD) SB' SD' SG 2 Suy ra : = = = SB SD SO 3 Mp(P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần : khối chóp S.AB'MD' và khối đa diện ABCDB'MD' V V SA... Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy 30 2 2 · b) Sxq = 2(1 + 3) c) SCA = arctan 3 10 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, SA=AB= a a) Tính diện tích ∆SBD theo a b) Chứng minh rằng : BD ⊥ SC · c) Tính (SC,(SBD)) Đáp số : a) V = d) Tính thể tích hình chóp a2 3 2 2 a3 · c) HSC = arccos d) VS.ABCD = 2 3 3 11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có chiều cao . bằng a . Giải Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình vuông BCDE có cạnh bằng a . Vì mặt BCDE chia khối tám mặ 3 2 ABCDEF ABCDE BCDE t đều thành hai phần bằng nhau nên : 1 1 a. một số k > 0 cho trước . Giải Lấy điểm E trên cạnh AC s BDE A.BDE C.BDE BDE ao cho AE = kCE . Hạ AM , AN lần lượt vuông góc với mp(BDE) tại M và N. 1 .AM.S V AM AE 3 Khi đó : k 1 V CN CE .CN.S 3 =. vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh : ∆ 2 2 2 2 3 2 ABCDEF A.BCDE BCDE a a a 2 AB = OA OB ( ) ( ) 2 2 2 Vì mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên : 1 1 a 2 a