Kĩ năng biến đổi căn thức bậc hai

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI CĂN BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9 (Trần Nam Trung – GV. THCS Trung Kiên) Ở lớp 7 học sinh đã được làm quen với căn bậc hai, lên lớp 9 các em được học tiếp căn bậc 2 và các phép biến đổi căn bậc 2. trong quá trình dạy học chúng tôi thấy các em còn lúng túng, chưa biết vận dụng một cách linh hoạt các phép biến đổi căn bậc hai. Ở bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng đồng nghiệp và các em học sinh kĩ năng biến đổi căn bậc hai thường gặp thông qua các bài tập. Hy vọng qua bài viết này các thầy cô giáo giúp các em học sinh đỡ lúng túng khi gặp các bài toán liên quan đến biến đổi căn bậc hai. Bài 1. Chứng minh: a) ( ) 32413 2 −=− b) 13324 −=−− Giải Đối với câu a) dễ dàng chứng minh: ( ) ( ) 32411.3.2313 22 −=+−=− Từ đó gợi ý cho ta làm câu b) ( ) 1313 313313 313233324 2 −=−−= −−=−−= −+−=−− Bài 2. Tính a) 30211 + b) 246625 −−− c) 96220 − d) 200822009 − Giải a) ( ) 65 6566.52530211 2 += +=++=+ b) ( ) ( ) 232223 22232223 42.22222.323246625 22 −=+−−= −−−=−−−= +−−+−=−−− c) ( ) 812128 1281212.82896220 2 −=−= −=+−=− d) ( ) 1200812008 1200822008200822009 2 −=−= +−=− Nhận xét: Xét các biểu thức trong dấu căn của các bài tập trên ta thấy số trong căn viết thành tích của hai số nguyên thì tổng hai số nguyên đó bằng số hạng nằm ngoài căn. Cụ thể như sau: 134 1.33 += = 5611 6.530 += = 325 3.26 += = 426 4.28 += = 12820 12.898 += = 120082009 1.20082008 += = Như vậy tất cả các bài toán trên đều có dạng chung. Ta có bài toán tổng quát sau: Tính ba 2 ± với a =x+y ; b= x.y (x,y>0) Giải. ( ) yx yxyxyxba ±= ±=±+=± 2 .22 với x>0, y>0. Với bài toán tổng quát trên, ta dễ dàng giải quyết tốt các bài toán khó hơn. Bài 3.Tính 1992.199123983 1227625223 − ++−+−++= A Giải. sử dụng cách biến đổi ở trên ta có 12223 −=+ 23625 −=− 341227 −=− ………………………. 199119921992.199123983 −=− vậy 11992 19911992 342312 −= −+−+−+−= A Bài 4.Tính a) 422 2 −+ aa ( với a>0) b) 4222 −+ xx ( 2 ≥ x ) Giải a) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2222 22222422 2 2 −++=−++= =−+−+++=−+ aaaa aaaaaa Do a>2. b) ( ) ( ) ( ) 2222 222224222 2 +−=+− =+−+−=−+ xx xxxx Do 2 ≥ x Bài 5. Giải phương trình 1168143 =−−++−−+ xxxx Giải Đièu kiện 1 ≥ x . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *13121 13121 193.12142.121 1168143 22 =−−+−−⇔ =−−+−−⇔ =+−−−++−−−⇔ =−−++−−+ xx xx xxxx xxxx Nếu 109131031 54121021 109131031 54121021 <⇔<−⇔<−⇔<−− <⇔<−⇔<−⇔<−− ≥⇔≥−⇔≥−⇔≥−− ≥⇔≥−⇔≥−⇔≥−− xxxx xxxx xxxx xxxx Tóm lại *Với 10 ≥ x thì phương trình (*) có dạng )/(109131 151213121 mtxxx xxx =⇔=−⇔=−⇔ =−−⇔=−−+−− *Với 51 ≤≤ x thì phương trình (*) có dạng )/(54121 112511312 mtxxx xxx =⇔=−⇔=−⇔ =−−⇔=−−+−− *Với 105 << x thì phương trình (*) có dạng 11321 =−−+−− xx Phương trình có vô số nghiệm thoả mãn 5<x<10 Vậy phương trình có nghiệm 105 ≤≤ x Trên đây ta đã sử dụng bài toán tổng quát ( ) yxyxxyyxba +=+=±+=± 2 22 để giải một số bài toán đơn giản. *) Ta xét tiếp trường hợp tính: ba ± Ở đây ta thấy không có hệ số 2 trước b như bài toán tổng quát xét ở trên. Với dạng căn thức này ta có công thức sau: 22 22 baabaa ba −− ± −+ =± với a>0, b> 0, a 2 >b. Đây là công thức tiện lợi cho việc biến đổi một số biểu thức chứa căn bậc hai. Nhưng thông thường học sinh phải chứng minh công thức trên rồi mới sử dụng, cách chứng minh như sau: Đặt 2 0 xxxbabax =⇒>⇒−++= Bình phương hai vế ta được: 2 .2 2 422 2 2 22 baa x baa baax −+ =⇒         −+ =−+= Suy ra: 2 .2 2 baa baba −+ =−++ (1) Tương tự, ta có: 2 .2 2 baa baba −− =−−+ (2) Cộng (1) và (2) suy ra công thức phải chứng minh. Trong thực tế khi giảng dạy tôi thấy học sinh thường lúng túng khi chứng minh và áp dụng công thức trên. Do đó tôi thường hướng dẫn học sinh làm như sau: Tìm cách làm xuất hiện số 2 trước b để đưa về dạng bài toán tổng quát bằng cách: Nhân biểu thức trong căn ( ) ba ± với 2 rồi chia cho 2, hoặc đưa thừa số ra ngoài dấu căn ( tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể). Sau đây ta xét một số ví dụ: Ví dụ 1. Tính a) 25353 −−−+ b) 230 158 − − c) 48135 +− Giải a)Ta có: ( ) ( ) 02 2 15 2 15 2 2 15 2 15 2 2 526 2 526 25353 22 =− − − + = − − − + = − − − + = −−−+ b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức với 2 ( ) ( ) 2 1 1152 115 2152 15216 230 158 2 = − − = − − = − − c) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ( ) 13324 1241125 12213548135 2 −=−= −=+−= +−=+− Ví dụ 2. Tính a) 7474 +−− b) 2116116 −−−+ c) ( ) 154.610 +− Giải a) Cách 1: ( ) 2 2 2 2 1717 . 2 728 2 728 7474 −= − = +−− == + − − =+−− Cách 2: Đặt A= 7474 +−− Nhận xét: Ta có 0074747474 <⇒<+−−⇔+<− A Bình phương hai vế: ( )( ) 2271628 7474287474 2 2 2 2 −=⇒=−−=⇔ +−−=⇔       +−−= AA AA b) Ta có: ( ) 0222 2 2 2 2 111111 2 2 11212 2 11212 2116116 =−=−=− −−+ = − − − + =−−−+ c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 23535 2 35 352 2 1528 352154.610 =+−= + −= + −=+− Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức 2 322 32 322 32         −− − + ++ + = M Giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 6 13 133 2 . 2 )13( 2 33 2 )13( 2 13 2 2 )13( 2 13 2 2 13 322 32 2 13 2 13 2 324 32 2 13 2 13 2 324 32 2 22 2 2 2 2 2 2 + = + + = + + = + + + = =         + +         + = ++ + ⇒         − = − = − =−         + = + = + =+ T ương tự: 6 13 322 32 − = −− − Vậy 2 6 32 6 13 6 13 22 =         =         − + + = M T.N.T . hoạt các phép biến đổi căn bậc hai. Ở bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng đồng nghiệp và các em học sinh kĩ năng biến đổi căn bậc hai thường gặp thông. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI CĂN BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9 (Trần Nam Trung – GV. THCS Trung Kiên) Ở lớp 7 học sinh đã được làm quen với căn bậc hai, lên