RÈN LUYỆN KĨ NĂNG BIẾN ĐỔICĂN BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9 Trần Nam Trung – GV.. THCS Trung Kiên Ở lớp 7 học sinh đã được làm quen với căn bậc hai, lên lớp 9 các em được học tiếp căn bậc 2
Trang 1RÈN LUYỆN KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI
CĂN BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9
(Trần Nam Trung – GV THCS Trung Kiên)
Ở lớp 7 học sinh đã được làm quen
với căn bậc hai, lên lớp 9 các em được học
tiếp căn bậc 2 và các phép biến đổi căn bậc
2 trong quá trình dạy học chúng tôi thấy
các em còn lúng túng, chưa biết vận dụng
một cách linh hoạt các phép biến đổi căn
bậc hai
Ở bài viết này, tôi muốn trao đổi
cùng đồng nghiệp và các em học sinh kĩ
năng biến đổi căn bậc hai thường gặp thông
qua các bài tập Hy vọng qua bài viết này
các thầy cô giáo giúp các em học sinh đỡ
lúng túng khi gặp các bài toán liên quan
đến biến đổi căn bậc hai
Bài 1 Chứng minh:
a) 3 12 4 2 3
b) 4 2 3 3 1
Giải
Đối với câu a) dễ dàng chứng minh:
3 12 3 2 2 3 1 1 4 2 3
Từ đó gợi ý cho ta làm câu b)
1 3 1 3
3 1 3 3 1 3
3 1 3 2 3 3 3 2
4
2
Bài 2 Tính
a) 11 2 30 b) 5 2 6 6 4 2
c) 20 2 96 d) 2009 2 2008
Giải
6
5
6 5 6
6 5 2 5 30
2
b)
2 3 2 2
2
3
2 2 2 3 2
2 2
3
4 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 6
6
2
5
2 2
c)
8 12 12
8
12 8 12
12 8 2 8 96
2
d)
2008 1 2008 1
1 2008 2 2008 2008
2
2009
2
Nhận xét: Xét các biểu thức trong dấu căn
của các bài tập trên ta thấy số trong căn viết thành tích của hai số nguyên thì tổng hai số nguyên đó bằng số hạng nằm ngoài căn Cụ thể như sau:
4333.11 113065.65 5622.33
6822.44 209888.1212 2009200820082008.11 Như vậy tất cả các bài toán trên đều có dạng chung Ta có bài toán tổng quát sau: Tính a 2 b với a =x+y ; b= x.y (x,y>0)
Giải.
y x
y x y
x y x b a
với x>0, y>0
Với bài toán tổng quát trên, ta dễ dàng giải quyết tốt các bài toán khó hơn
Bài 3.Tính
1992 1991 2 3983
12 2 7 6 2 5 2 2 3
A
Giải sử dụng cách biến đổi ở trên ta có
1 2 2 2
2 3 6 2
5
3 4 12 2
………
1991 1992
1992 1991 2
vậy
1 1992
1991 1992
3 4 2 3 1 2
A
Bài 4.Tính
a) 2 2 2 4
a ( với a>0) b) 2x 2 2x 4 (x 2)
Giải
a)
2 2
2 2 2 4
2 2
2 2
a a
a a
a a
a a
a a
Do a>2
b)
2 2 2 2 2 4
2 2 2
2
x x
x x
x x
Do x 2
Bài 5 Giải phương trình
Trang 21 1 6 8 1
4
3
x
Giải
Đièu kiện x 1
* 1 3 1 2
1
1 3 1 2
1
1 9 3 1 2 1 4
2 1 2
1
1 1 6 8 1
4
3
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
Nếu
10 9
1 3
1 0
3
1
5 4
1 2
1 0
2
1
10 9
1 3
1 0
3
1
5 4
1 2
1 0
2
1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Tóm lại
*Với x 10 thì phương trình (*) có dạng
) / ( 10 9
1 3
1
1 5 1 2 1 3 1 2
1
m t x x
x
x x
x
*Với 1 x 5 thì phương trình (*) có dạng
) / ( 5 4
1 2
1
1 1 2 5 1 1 3
1
2
m t x x
x
x x
x
*Với 5 x 10 thì phương trình (*) có dạng
1 1 3
2
1
số nghiệm thoả mãn 5<x<10
Vậy phương trình có nghiệm 5 x 10
Trên đây ta đã sử dụng bài toán tổng quát
x y x y xy
y x
b
để giải một số bài toán đơn giản
*) Ta xét tiếp trường hợp tính: a b
Ở đây ta thấy không có hệ số 2 trước b
như bài toán tổng quát xét ở trên
Với dạng căn thức này ta có công thức sau:
2 2
2
a a
b
với a>0, b> 0, a2>b
Đây là công thức tiện lợi cho việc biến đổi
một số biểu thức chứa căn bậc hai Nhưng
thông thường học sinh phải chứng minh
công thức trên rồi mới sử dụng, cách chứng
minh như sau:
Đặt x a b a b x 0 x x2
Bình phương hai vế ta được:
2
2
2 4
2 2
2
2 2
b a a x
b a a b a a x
Suy ra:
2
2
a a b
a b
Tương tự, ta có:
2
2
a a b
a b
Cộng (1) và (2) suy ra công thức phải chứng minh
Trong thực tế khi giảng dạy tôi thấy học sinh thường lúng túng khi chứng minh
và áp dụng công thức trên Do đó tôi thường hướng dẫn học sinh làm như sau:
Tìm cách làm xuất hiện số 2 trước
b để đưa về dạng bài toán tổng quát bằng cách: Nhân biểu thức trong căn
a b với 2 rồi chia cho 2, hoặc đưa thừa
số ra ngoài dấu căn ( tuỳ thuộc vào từng
bài toán cụ thể).
Sau đây ta xét một số ví dụ:
Trang 3Ví dụ 1 Tính
a) 3 5 3 5 2 b)
2 30
15 8
c) 5 13 48
Giải
a)Ta có:
0 2 2
1 5 2
1
5
2 2
1 5 2
1 5
2 2
5 2 6 2
5 2
6
2 5 3 5
3
2 2
b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức với 2
1 1 15 2
1 15 2
15 2
15 2 16 2
30
15
c) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
1 3 3
2
4
12 4 1
12
5
12 2 13 5 48
13
5
2
Ví dụ 2 Tính
a) 4 7 4 7
b) 6 11 6 11 2
c) 10 6 4 15
Giải
a) Cách 1:
2
2 2
1 7 1
7
2
7 2 8 2
7 2 8 7 4
7
4
Cách 2: Đặt A= 4 7 4 7
Nhận xét: Ta có
0 0
7 4 7 4 7
4
7
4 A
Bình phương hai vế:
2 2
7 16 2
8
7 4 7 4 2 8 7
4 7
4
2
2 2 2
A A
A A
b) Ta có:
2
2 2 2
1 11 1 11
2 2
11 2 12 2
11 2 12 2 11 6 11 6
2
3 5 3 5 2
2
15 2 8 3 5 2 15 4 6 10
Ví dụ 3 Tính giá trị của biểu thức
2
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
M
Giải
Ta có:
6
1 3
1 3 3
2 2
) 1 3 ( 2
3 3 2
) 1 3 (
2
1 3 2 2
) 1 3 (
2
1 3 2
2
1 3 3
2 2
3 2
2
1 3 2
1 3 2
3 2 4 3 2
2
1 3 2
1 3 2
3 2 4 3 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
T
3 2 2
3
6
3 2 6
1 3 6
1
M
T.N.T