Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc – nguyễn tài chung

1 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 MỤC LỤC CHƯƠNG Vectơ không gian Quan hệ vng góc Vectơ khơng gian Sự đồng phẳng vectơ 3 A Tóm tắt lí thuyết B Một số dạng tốn C Bài tập ôn luyện 16 D Bài tập trắc nghiệm 25 Hai đường thẳng vng góc 32 A Tóm tắt lí thuyết 32 B Một số dạng tốn 32 C Bài tập ôn luyện 39 D Bài tập trắc nghiệm 45 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 56 A Tóm tắt lí thuyết 56 B Phương pháp giải tốn 58 C Bài tập ơn luyện 72 D Bài tập trắc nghiệm 82 Hai mặt phẳng vng góc MỤC LỤC 93 A Tóm tắt lí thuyết 93 B Một số dạng tốn 95 C Bài tập ơn-luyện 105 D Bài tập trắc nghiệm 118 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Khoảng cách 133 A Tóm tắt lí thuyết 133 B Một số dạng tốn 134 C Bài tập ôn luyện 144 D Bài tập trắc nghiệm 153 Ôn tập chương 166 A Bộ đề số 166 B Bộ đề số 176 C Bộ đề số 188 D Bộ đề số 197 E Bộ đề số 206 F Bài tập tự luận ôn tập chương 217 MỤC LỤC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC BÀI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Vectơ khơng gian # » #» # » Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta có AB + BC = AC # » # » # » Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC hình bình hành OA + OC = OB Quy tắc phân tích vectơ thành hiệu hai vectơ gốc: # » # » # » AB = OB − OA, với điểm O I trung điểm đoạn thẳng AB # » # » # » #» # » OA + OB #» I A + IB = ⇔ OI = , với điểm O (i) G trọng tâm tam giác ABC # » # » # » # » # » # » # » OA + OB + OC #» , với điểm O GA + GB + GC = ⇔ OG = (ii) Lưu ý Khi gặp tổng hai vectơ gốc tổng ba vectơ gốc ta thường sử dụng (i ), (ii ) #» Quy tắc hình hộp (để cộng ba vectơ khác khơng đồng phẳng): Cho hình hộp ABCD.A B C D Khi đó: # » # » # » # » AC = AA + AB + AD #» #» #» #» #» #» a phương b ( b = ) ⇔ ∃k ∈ R : a = k b Sự đồng phẳng vectơ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Định nghĩa Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Định lí (Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng) #» #» #» Cho ba vectơ #» a , b , #» c , #» a b không phương Điều kiện cần đủ để #» a , b , #» c đồng #» #» #» phẳng có số m, n cho c = m a + n b Hơn nữa, số m, n # » # » # » Chú ý Ba vectơ OA, OB, OC đồng phẳng bốn điểm O, A, B, C đồng phẳng, tức ba đường thẳng OA, OB, OC nằm mặt phẳng Định lí (Biểu thị vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng) #» #» Nếu #» a , b , #» c ba vectơ khơng đồng phẳng với vectơ d , tồn số m, n, p cho #» #» d = m #» a + n b + p #» c Hơn số m, n, p CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 B MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ Biểu thị vectơ theo vectơ không đồng phẳng Phương pháp Dựa vào quy tắc, tính chất hệ thức vectơ thường dùng # » # » # » # » # » # » Bài Cho hình hộp ABCD.A B C D Hãy biểu diễn vectơ AC , BD , CA , DB , BC , A D #» # » # » # » theo vectơ AB = #» a , AD = b , AA = #» c Lời giải Ta có # » #» # » # » # » AC = AB + BB + B C = #» a + #» c + b # » #» # » # » # » BD = BA + AD + DD = − #» a + b + #» c # » #» #» # » # » # » #» CA = CD + DA + AA = − a − b + c # » #» # » #» # » DB = DC + CB + BB = #» a − b + #» c # » #» #» #» # » BC = BC + CC = b + c # » # » # » #» A D = A D + D D = b − #» c Bài Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD O trung điểm đoạn thẳng AG Chứng minh rằng: # » # » # » # » #» a) 3OA + OB + OC + OD = # » # » # » # » # » b) MA + MB + MC + MD = MO ( M điểm khơng gian) Lời giải # » # » # » # » a) Vì G trọng tâm tam giác BCD nên 3OG = OB + OC + OD Vì O trung điểm đoạn # » # » #» thẳng AG nên OA + OG = Do # » # » # » # » # » # » #» 3OA + OB + OC + OD = 3(OA + OG ) = b) Theo quy tắc ba điểm ta có # » # » # » # » MA + MB + MC + MD # » # » # » # » # » # » # » # » =3( MO + OA) + MO + OB + MO + OC + MO + OD # » # » # » # » # » # » =6 MO + 3OA + OB + OC + OD = MO Lưu ý Có thể giải câu b) sau: Do G trọng tâm ∆BCD nên # » # » # » # » MB + MC + MD = MG Do # » # » # » # » # » # » # » # » # » MA + MB + MC + MD = MA + MG = MA + MG = MO Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm AB G trọng tâm tam giác BCD Đặt #» # » #» #» #» # » # » # » AB = b , AC = #» c , AD = d Phân tích MG theo b , #» c, d Lời giải CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Ta có # » # » # » # » MG = ( MB + MC + MD ) # » # » # » # » 1# » AB + ( MA + AC ) + ( MA + AD ) = 1 #» #» #» #» #» b− b+ c − b+d = 2 #» #» c + d = − b + #» 3 Bài Cho hình chóp S.ABCD a) Chứng minh ABCD hình bình hành #» # » # » #» SB + SD = SA + SC Điều ngược lại không? b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình hành # » #» #» # » #» SA + SB + SC + SD = 4SO Lời giải a) Ta có tương đương: #» # » # » #» #» # » #» # » SB + SD = SA + SC ⇔ SB − SA = SC − SD # » # » ⇔ AB = DC ⇔ ABCD hình bình hành (do ABCD tứ giác rồi) #» # » # » #» Vậy ABCD hình bình hành SB + SD = SA + SC Chiều ngược lại b) Giả sử ABCD hình bình hành Khi đó: # » #» #» # » SA + SB + SC + SD #» # » #» # » #» # » #» # » =SO + OA + SO + OB + SO + OC + SO + OD #» # » # » # » # » #» =4SO + (OA + OC ) + (OB + OD ) = 4SO # » #» #» # » #» Giả sử SA + SB + SC + SD = 4SO Gọi I, J theo thứ tự trung điểm AC, BD Khi đó: # » #» #» # » SA + SB + SC + SD #» # » # » # » # » #» #» #» =4SO + (OA + OC ) + (OB + OD ) = 4SO + 2(OI + 2OJ ) #» #» #» Bởi vậy: OI + OJ = Suy O trung điểm I J Suy I ∈ BD J ∈ AC Do I ≡ J ≡ O Vậy hai đường chéo AC BD có chung trung điểm Suy ABCD hình bình hành # » # » # » # » Cách khác Ta có OC = kOA, OD = mOB Do đó: # » #» #» # » #» SA + SB + SC + SD = 4SO #» # » #» # » #» # » #» # » #» ⇔(SO + OA) + (SO + OB) + (SO + OC ) + (SO + OD ) = 4SO # » # » # » # » # » # » # » # » #» #» ⇔OA + OB + OC + OD = ⇔ OA + OB + kOA + mOB = # » # » #» ⇔ (1 + k) OA + (1 + m) OB = # » # » 1+k = ⇔ OA OB không phương 1+m = CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 ⇔ k = −1 ⇔ m = −1 # » # » OC = −OA # » # » ⇔ OD = −OB O trung điểm AC O trung điểm BD ⇔ ABCD hình bình hành Ta có điều phải chứng minh Bài Cho hình hộp ABCD.A B C D tâm O Chứng minh: # » # » # » # » # » # » # » # » #» a) OA + OB + OC + OD + OA + OB + OC + OD = b) Gọi D1 , D2 , D3 điểm đối xứng điểm D qua A, B , C # » # » # » # » #» Chứng tỏ BD1 + BD2 + BD3 + BD = Lời giải a) Do O trung điểm ba đoạn thẳng AC , A C, BD , B D nên ta có: # » # » #» # » # » #» OA + OC = , OB + OD = , # » # » #» # » # » #» OC + OA = , OD + OB = Cộng lại ta điều phải chứng minh b) Đặt: # » #» # » # » AA = #» a , AB = b , AD = #» c Khi đó: # » # » # » # » # » # » # » # » BD1 + BD2 + BD3 + BD = BD1 + BD + BD2 + BD3 Mà #» # » # » # » BD1 + BD = BA = −2 b , # » # » #» # » BD2 = BB + B D2 = #» a + (− #» c + b ), #» #» # » # » BD = BC + CD = #» c − #» a+b 3 nên ta có: #» #» #» # » # » # » # » #» BD1 + BD + BD2 + BD3 = −2 b + #» a + (− #» c + b ) + #» c − #» a + b = Dạng Xác định vị trí điểm thỏa điều kiện vectơ, chứng minh điểm trùng nhau, điểm thẳng hàng Phương pháp Thường đưa hệ thức quen thuộc liên quan đến điểm trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác Lưu ý rằng: # » #» ∗ AB = ⇔ A ≡ B # » # » ∗ Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB AC phương ∗ Khi gặp tổng hai vectơ gốc ta thường dùng: # » # » # » MA + MB = MI với I trung điểm AB CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 ∗ Khi gặp tổng ba vectơ gốc ta thường dùng: # » # » # » # » MA + MB + MC = MG với G trọng tâm tam giác ABC Bài Cho tứ diện ABCD # » # » # » # » #» a) Xác định điểm O thỏa mãn OA + OB + OC + OD = (Điểm O thỏa điều kiện gọi trọng tâm tứ diện ABCD ) #» #» #» # » b) Xác định điểm P để | PA + PB + PC + PD | có giá trị nhỏ (1) Lời giải a) Gọi M N trung điểm AB CD Gọi I trung điểm MN Ta có: # » # » # » # » # » # » # » # » OA + OB + OC + OD = 2OM + 2ON = 2(OM + ON ) Vậy điểm O thỏa mãn (1) khi: # » # » #» #» #» OM + ON = ⇔ 2OI = ⇔ O ≡ I Do O trung điểm MN b) Gọi O trọng tâm tứ diện ABCD Ta có: #» #» #» # » PA + PB + PC + PD # » # » # » # » # » # » # » # » = PO + OA + PO + OB + PO + OC + PO + OD # » # » # » # » # » # » =4 PO + OA + OB + OC + OD = PO #» #» #» # » Do điều kiện cần đủ để | PA + PB + PC + PD | đạt giá trị nhỏ là: # » #» PO = ⇔ P ≡ O # » # » Bài Cho tứ diện ABCD, M N hai điểm thuộc AB CD cho MA = −2 MB, # » #» # » #» # » #» ND = −2 NC Các điểm I, J, K thuộc AD, MN, BC cho I A = k ID, J M = k JN, # » #» KB = k KC (k = 1) # » # » #» #» # » # » a) Biểu diễn I J theo AM, DN; biểu diễn JK theo MB, NC b) Chứng minh điểm I, J, K thẳng hàng Lời giải a) Ta có: #» # » # » #» I J = I A + AM + MJ #» #» # » #» I J = ID + DN + N J #» #» # » #» k I J = k ID + k DN + k N J #» #» # » # » k I J = I A + k DN + MJ # » #» # » (1 − k) I J = AM − k DN Suy ra: k # » # » #» AM − DN IJ = 1−k 1−k #» Chứng minh tương tự ta có: JK = # » k # » MB − NC 1−k 1−k CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 # » # » # » 2k # » # » # » #» b) Do MA = −2 MB, ND = −2 NC nên I J = MB − NC − k − k #» #» Như I J = JK, suy ba điểm I, J, K thẳng hàng Dạng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Chứng minh bốn điểm nằm mặt phẳng, đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp #» Từ định nghĩa suy ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng chúng nằm ba mặt phẳng đôi song song trùng # » # » # » Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ⇔ ba vectơ AB, AC, AD đồng phẳng #» #» Từ định lí suy #» c = m #» a + n b ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng Để chứng minh AB thẳng CD # » # » CD ta chứng minh AB = kCD điểm A không nằm đường # » # » # » Để chứng minh MN ( ABC ) ta chứng minh ba vectơ MN, AB, AC đồng phẳng M (hoặc N) không thuộc ( ABC ) Bài Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cạnh BC lấy điểm N cho # » # » # » # » # » # » # » AM = MD, NB = −3 NC Chứng minh ba vectơ AB, DC, MN đồng phẳng Lời giải # » # » # » # » Ta có MN = MA + AB + BN Theo giả thiết ta có: # » # » # » # » MA = −3 MD, BN = NC Vậy: # » # » # » # » MN = −3 MD + AB + NC # » # » # » # » = AB − MC + CD + NC # » # » # » # » = AB + DC + NC + CM # » # » # » = AB + DC + N M # » # » # » # » 1# » 3# » Suy MN = AB + DC ⇔ MN = AB + DC 4 # » # » # » Do ba vectơ AB, DC, MN đồng phẳng # » # » Lưu ý Ta có cách làm ngắn gọn sau: Trên cạnh AC lấy điểm K cho AK = 3KC Khi đó: # » # » # » 3# » 1# » MN = MK + KN = DC + AB 4 # » # » # » Suy AB, DC, MN đồng phẳng # » # » # » Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C Hãy chứng tỏ ba vectơ AC , BA , CB không # » đồng phẳng biểu thị vectơ AA theo ba vectơ Lời giải CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 # » # » # » Đặt AA = #» x , AB = #» y , AC = #» z Ta biểu diễn vectơ # » # » # » #» #» #» AC , BA , CB theo x , y , z Ta có: # » AC = #» x + #» z (1) # » #» #» BA = x − y (2) # » #» #» #» CB = x + y − z (3) # » # » # » Giả sử phản chứng ba vectơ AC , BA , CB đồng # » # » phẳng Khi BA CB khơng phương nên tồn số α, β cho: # » # » # » AC = α BA + βCB ⇔ #» x + #» z = α ( #» x − #» y ) + β ( #» x + #» y − #» z) #» ⇔ (α + β − 1) #» x + (−α + β) #» y + (− β − 1) #» z = Do #» x , #» y , #» z không đồng phẳng nên từ (4) ta phải có:   α+β−1 = −α + β =  − β − = (4) (5) # » # » # » Dễ thấy hệ (5) vô nghiệm Vậy ba vectơ AC , BA , CB khơng đồng phẳng Từ (1), (2), (3) ta có: # » # » # » # » # » # » # » # » AC + BA + CB AC + BA + CB = #» x = AA ⇒ AA = Lưu ý Khi gặp hình lăng trụ tam giác, ta thường chọn ba vectơ có chung điểm đầu khơng đồng phẳng (trong lời giải tập #» x , #» y , #» z ) làm sở biểu diễn vectơ liên quan theo ba vectơ Bài 10 Cho tứ diện ABCD, gọi I, J trung điểm AB, CD Xét P điểm thuộc PA NB AC, N điểm thuộc BD cho = Chứng minh rằng: ND PC # » # » #» a) I J = AC + BD b) Bốn điểm I, J, P, N thuộc mặt phẳng Lời giải # » # » #» # » # » # » #» # » a) Ta có: AC = AI + I J + JC, BD = BI + I J + JD Do đó: # » # » # » #» #» # » #» AC + BD = AI + BI + I J + JC + JD #» = I J # » # » # » # » b) Giả sử AC = k AP, BD = h BN Khi đó: AC AP + PC PC PC k= = = 1+ = 1− AP AP AP PA BD BN + ND ND ND h= = = 1+ = 1− BN BN BN NB PA NB Từ giả thiết = từ (1), (2) suy h = k ND PC Theo câu a) ta có: (1) (2) k # » # » k # » #» #» # » #» # » # » IJ = AC + BD = AP + BN = AI + IP + BI + I N 2 # » #» k k #» # » #» # » = AI + BI + IP + I N = IP + I N 2 CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC 10 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 k #» # » #» #» # » # » Từ I J = IP + I N , suy ba vectơ I J, IP, I N đồng phẳng, suy bốn điểm I, J, P, N đồng phẳng Bài 11 Cho hình hộp ABCD.A B C D Giả sử điểm M thuộc AC, điểm N thuộc DC # » # » # » # » AM = x AC, DN = y DC # » # » #» # » # » #» a) Biễu diễn vectơ BD , MN theo BA = #» a , BC = b , BB = #» c b) Tìm x y cho MN BD , tính tỉ số MN BD Lời giải #» # » # » #» a) Ta có BA = #» a , BC = b , BB = #» c Khi theo quy tắc hình hộp ta có: # » #» BD = #» a + b + #» c # » # » # » Ta có MN = BN − BM # » # » Từ DN = y DC ta có # » # » # » # » BN − BD = y BC − BD , suy #» #» #» # » BN − #» a + b = y b + #» c − #» a−b #» # » BN = (1 − y) #» a + b + y #» c # » # » #» # » # » # » Từ AM = x AC suy BM − BA = x BC − BA Vậy #» #» # » # » BM − #» a = x b − #» a ⇒ BM = (1 − x ) #» a +xb Do #» #» # » # » # » MN = BN − BM = (1 − y) #» a + b + y #» c − (1 − x ) #» a −xb #» = ( x − y) #» a + (1 − x ) b + y #» c b) Điều kiện để MN # » # » BD MN = k BD hay #» #» k #» a + b + #» c = ( x − y) #» a + (1 − x ) b + y #» c #» Do #» a , b , #» c không phương nên từ (*) suy   k = x−y k = − x ⇔ ( x; y; k ) =  k=y (*) 1 ; ; 3 # » 2# » # » 1# » Vậy M N xác định AM = AC, DN = DC Lúc 3 MN # » 1# » MN = BD ⇒ = |k| = BD Bài 12 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C Gọi G G trọng tâm tam # » giác ABC A B C Gọi I giao điểm hai đường thẳng AB A B Đặt AA = #» a, #» # » # » #» AB = b , AC = c #» #» # » a) Hãy tính vectơ GI, CG theo #» a , b , #» c b) Chứng minh đường thẳng GI CG song song với CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC ... Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC BÀI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Vectơ không gian # » #»... Hãy chứng tỏ ba vectơ AC , BA , CB không # » đồng phẳng biểu thị vectơ AA theo ba vectơ Lời giải CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679... 90◦ Câu 19 (HK2 T11, Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An 2018) CHƯƠNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC D 30◦ 200 | Biên soạn: Thầy Nguyễn Tài Chung; ĐT 0968774679 Cho hình chóp S.ABCD có đáy