Chuyên đề khối đa diện

OMEGA LÊ ĐÌNH HÙNG - NGUYỄN VĂN VINH HÌNH HỌC 12 CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN TP HỒ CHÍ MINH A- KIẾN THỨC BỔ TRỢ CHO CHUYÊN ĐỀ I) HÌNH HỌC PHẲNG a) Các hệ thức tam giác Đối với tam giác vuông Đối với tam giác thường - Nhóm cơng thức tính cạnh: -Định lý cos: BC  AB  AC AB2  BH BC AC2  CH.CB -Nhóm cơng thức tính đường cao: 1   2 AH AB AC2 AH  CH BH AH BC  AB AC BC2  AB2  AC2  AB AC cos A AC2  BC2  AB2  BC AB cos B AB2  AC2  BC2  AC.BC cos C -Định lý sin: AC BC AB    2R sin B sin A sin C (R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC ) 2 b) Các tính chất đường trung tuyến tam giác: - Độ dài đường trung tuyến: AB  AC2 BC2 AM   2 BC  BA AC2 BN   2 CA  CB AB CL2   (Bình phương đường trung tuyến nửa tổng bình phương cạnh kề trừ cho phần tư bình phương cạnh cịn lại) - Trọng tâm tam giác: Là giao điểm đường trung tuyến Độ dài từ đỉnh tam giác tới trọng tâm 2/3 độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh AG  AM ; BG  BN ; CG  CL 3 * Lưu ý: - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vng có độ dài nửa cạnh huyền; trung điểm cạnh huyền tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác - Đoạn thẳng nối trung điểm cạnh tam giác đường trung bình tam giác (Khi đề cho trung điểm cạnh ta cần để ý tới việc vận dụng tính chất đường trung bình) c) Các cơng thức tính diện tích tam giác - SABC  1 AH BC  BK AC  CQ AB 2 1 1 AB AC sin A  CA.CB.sin C  BA BC.sin B 2 AB AC BC  (R bán kính đường tròn ngoại tiếp  ) 4R  p.r - SABC  - SABC - SABC AB  AC  BC (1 nửa chu vi tam giác) r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Trong đó: p  - SABC  p.( p  AB).( p  AC).( p  BC) (Công thức Heron) * Lưu ý: - Đối với tam giác vuông, diện tích tam giác ½ tích cạnh góc vng - Đối với tam giác cạnh a, chiều cao h: a2 a ;h  - Hệ thức cạnh chiều cao tương ứng: Trong tam giác, tích đường cao với cạnh tương ứng AH BC  BK AC  CQ AB d) Định lí Talet S ABC có MN BC, ta có: AM AN  MB NC AM AN MN   AB AC BC * Lưu ý: Đường trung bình trườnghợp đặc biệt định lí Talet e) Diện tích loại tứ giác: - Diện tích hình vng có cạnh a: Bằng bình phương cạnh S  a2 - Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b: Bằng dài nhân rộng S  a.b - Diện tích hình thang: Bằng nửa tổng đáy nhân với chiều cao ( AB  CD) AH S - Diện tích hình thoi: Bằng ½ tích đường chéo S AC BD - Diện tích hình bình hành: Bằng đáy nhân chiều cao S  AH.CD * Lưu ý: - Đường chéo hình vng cạnh a a - Diện tích đường trịn bán kính R: S   R2 - Chu vi đường trịn bán kính R: C  2 R II) HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 1) QUAN HỆ SONG SONG a) Đường thẳng song song với mặt phẳng: + Định nghĩa: Đường thẳng mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung + Các phương pháp chứng minh: Phương pháp Phương pháp Phương pháp (Phương pháp chính) Nếu đường thẳng a không nằm Nếu mặt phẳng ( ) Nếu đường thẳng a mặt mặt phẳng ( ) , song (  ) song song nhau, đường phẳng ( ) vng góc với song với đường thẳng b nằm thẳng a thuộc mặt phẳng đường thẳng mặt phẳng mặt phẳng ( ) a song ( ) song song với mặt khác a song song với mắt phẳng ( ) song với ( ) phẳng (  ) a  ( )  a b  a ( ) b  ( )  a  ( )  a ( )  ( )  (  ) a  (  )  a ( )  ( )  (  ) * Lưu ý: Ta dùng mối quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng để chứng minh đường thẳng song song -Định lí 1: Gọi b giao tuyến mặt phẳng ( ) (  ) , đường thẳng a nằm mặt phẳng ( ) song song với (  ) a song song với b - Định lí 2: Nếu mặt phẳng ( ) (  ) giao b song song với đường thẳng a (a không nằm mặt phẳng ( ) (  ) ) a song song với b b) Hai mặt phẳng song song + Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung + Các phương pháp chứng minh: Phương pháp Phương pháp (Phương pháp chính) Nếu mặt phẳng ( ) song song với đường Nếu mặt phẳng ( ) (  ) vng góc thẳng cắt chứa mặt phẳng (  ) với đường thẳng song song với mặt phẳng khác ( ) song song với (  ) ( ) song song với (  ) ( ) a  Với a, b  ( ) ( ) b  ( ) (  ) a  b  O  ( )  a  ( ) (  )  (  )  a * Lưu ý: - Nếu đường thẳng a nằm mặt phẳng (α), mà (α) song song với () a song song với () - Nếu mặt phẳng ( ) (  ) song song mặt phẳng (Q) cắt mặt ( ) (  ) với giao tuyến a b song song với 2) QUAN HỆ VNG GĨC a) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: + Định nghĩa: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường phẳng chứa mặt phẳng + Các phương pháp chứng minh: Phương pháp Phương pháp Phương pháp (Phương pháp chính) Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b c cắt nằm mặt phẳng ( ) a vng góc với ( ) a  b, c  b, c  ( )  a  ( ) b  c  O  Nếu mặt phẳng ( ) (  ) vuông góc b, đường thẳng a nằm ( ) vng góc với b vng góc với (  ) Nếu mặt phẳng ( ) (  ) vng góc với mặt phẳng (Q) giao tuyến a ( ) (  ) vng góc với (Q) ( )  (  )  b  a  ( )  a  b ( )  (Q)   a  (Q) (  )  (Q) ( )  (  )  a  * Lưu ý: Ta cịn dùng tính chất bắt cầu để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Dưới trường hợp thường gặp: - Nếu đường thẳng a vng góc với b, mà b song song với ( ) a vng góc với ( ) -Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) , mà ( ) vng góc với (  ) a vng góc với (  ) b) Hai đường thẳng vng góc + Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 + Các phương pháp chứng minh:Ngoài phương pháp hình học phẳng, khơng gian gian ta thường dử dụng phương pháp sau: - Phương pháp (phương pháp chính): Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng b a vng góc với b - Phương pháp 2: Sử dụng định lí đường vng góc: Trong khơng gian cho đường thẳng a nằm trongmặt phẳng ( ) đường thẳng b khơng vng góc với ( ) Gọi b’ hình chiếu b lên ( ) , a vng góc với b’ a vng góc với b c) Hai mặt phẳng vng góc: + Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc góc chúng 900 + Các phương pháp chứng minh: Phương pháp Phương pháp (Phương pháp chính) Nếu a vng góc với ( ) mặt phẳng (  ) bất Nếu a vng góc với ( ) mặt phẳng (  ) qua a vng góc với ( ) kì song song với a vng góc với ( ) a  ( )  (  )  ( )  (  ) a a  ( )  (  )  ( )  a  (  ) 3) KHOẢNG CÁCH Khoảng cách đối tượng (điểm, đoạn, đường mặt phẳng) độ dàinhỏ nối đối tượng a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng: + Định nghĩa: Là độ dài đoạn thẳng nối điểm với hình chiếu điểm lên đường thẳng mặt phẳng xét + Các phương pháp tìm khoảng cách: Xét tốn tìm khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) Phương pháp + Bước 1: Xác định mặt phẳng (  ) qua M vng góc với ( ) + Bước 2: Trong mặt phẳng (  ) , ta dựng đoạn thẳng vng góc từ M tới ( ) MH + Bước 3: Sử dụng hình học phẳng (thông thường ta ghép đoạn MH vào  vuông) để xác định độ dài MH Phương pháp + Bước 1: Xác định mặt phẳng (  ) không qua M vng góc với ( ) + Bước 2: Xác định đoạn thẳng song song, qua M cắt (  ) tai N Khi đó, khoảng cách từ M tới ( ) khoảng cách từ N tới ( ) + Bước 3: Trong mặt phẳng (  ) , ta dựng đoạn vng góc từ N tới ( ) NH tính NH d( M,( ))  MH d( M,( ))  d( N ,( ))  NH *Lưu ý: - Ở phương pháp 2, không xác định mặt phẳng (  ) vng góc với mặt phẳng ( ) tìm đường thẳng a vng góc với ( ) sau thực bước tương tự - Đối với tốn tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta làm hoàn toàn tương tự b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) khoảng cách điểm M thuộc a tới mặt phẳng ( ) c) Khoảng cách mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) khoảng cách điểm M thuộc ( ) tới mặt phẳng ( ) d) Khoảng cách đường thẳng chéo song song + Khi đường thẳng a song song với b: Khoảng cách từ đường thẳng a tới b khoảng cách từ điểm M thuộc a tới b + Khi đường thẳng a b chéo nhau: Khoảng cách từ đường thẳng a tới b độ dài vng góc chung MH a b Tuy nhiên, ta thường vận dụng cách sau để xác định khoảng cách đường thẳng chéo nhau: + Bước 1: Xác định mặt phẳng ( ) qua b song song a + Bước 2: Khoảng cách từ a tới ( ) khoảng cách từ điểm M thuộc a tới ( ) (là MH hình vẽ) 4) GĨC a) Góc đường thẳng chéo Góc đường thẳng a b góc đường thẳng a’ b’ sau tinh tiến (trượt) a b tới điểm M Góc đường thẳng khơng gian ln lấy góc nhọn tạo a’ b’ * Lưu ý: Góc a b cịn xác định thơng qua cơng thức: (độ lớn tích vơ hướng chia cho tích độ dài) a.b cos(a, b)= a b b) Góc đường thẳng mặt phẳng: Phương pháp xác định góc a mặt phẳng ( ) + Bước 1: Từ điểm M đường thẳng a, xác định đoạn thẳng MH vng góc với mặt phẳng ( ) + Bước 2: Suy AH hình chiếu AM lên ( ) , từ ta có góc a ( ) MAH c) Góc mặt phẳng Phương pháp xác định góc mặt phẳng ( ) (  ) - Bước 1: Xác định giao tuyến c ( ) (  ) - Bước 2: Xác định a nằm ( ) b nằm (  ) cho a b vng góc với c M - Bước 3: Góc ( ) (  ) góc đường thẳng a b *Lưu ý: Khi hình chóp SABC có SA  (ABC) (ABC) gọi hình chiếu (SBC) lên mặt đáy Gọi  góc tạo (SBC) (ABC), ta có: Diện tích  ABC: SABC  SSBC cos  (*) ( *là cơng thức tính diện tích hình chiếu) A 900 B 600 C 300 D 450 Câu 29: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , tam giác SABcân S mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc mặt phẳng (SAC) vàmặt phẳng (ABCD) bằNg 600 Gọi H trung điểm cạnh AB tính cosin góc hai đường thẳngCH SD 33 12 A B C D Đáp án khác 12 12 a 10 Câu 30: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA' = , AC = a , BC = a, ACB  1350 Hình chiếu vng góc C' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M AB Tính góc tạo đườngthẳng C'M với mặt phẳng (ACC' A') A   300 B   600 C   450 D   900 a 10 Câu 31: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, AB = 2a, AC = a, AA’= , BAC  1200 Hình chiếu vng góccủa C’ lên mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính số đo góc hai mp(ABC) (ACC’A’) A   300 B   600 C   450 D   900 Câu 32: Cho tứ diện ABCD có AD=AC= a , BC=BD=a; Khoảng cách từ B đến mặt phẳng a (ACD)bằng Tính góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD), biết thể tích khối tứ diện a 15 27 A 600 B 1200 C 450 D Cả A,B,C sai Câu 33: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cânAB =AC = a, BAC  1200 , BB' =a, I trung điểm CC’ Tính cosin góc (ABC) (AB’I’)? 3 A B C D 10 2 Câu 34: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình thang vng A B, SA vng góc với mặtphẳng (ABCD), AB = BC =a, AD = 2a;   SC;  ABCD    450 góc mặt phẳng (SAD) và(SCD) bằng:  6 A 600 B 300 C arccos  D 450    Câu 35: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a; Tính theo a khoảng cách A’B vàB’D Gọi M, N, P trung điểm BB’, CD, A’D’ Góc MP C’N là: A 300 B 600 C 900 D 450 Câu 36: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy tam giác cạnh 2a, có SA vng góc với a3 (ABC).Để thể tích khối chóp SABC góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) A 600 B 300 C 450 D Đáp án khác ĐÁP ÁN 1D 2C 3A 4A 5C 6B 7A 8B 9C 10C 11A 12B 13A 14A 15C 16D 17B 18A 19A 20B 21C 22A 23C 24B 25C 26A 27C 28C 29A 30B 31C 32C 33D 34A 35C 36D 66  CÁC BÀI TẬP VỀ HÌNH LĂNG TRỤ + Dạng 1: Các tốn lăng trụ đứng Phương pháp: Nắm vững kiến thức sau: - Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy, cạnh bên đường cao lăng trụ - Các mặt bên hình chữ nhật vng góc với đáy - Khi đáy tam giác lăng trụ gọi lăng trụ tam giác - Khi đáy hình vng lăng trụ gọi làlăng trụ tứ giác - Cơng thức tính thể tích: Bằng diện tích đáy nhân cao V  Sđ ¸ y h * Lưu ý: - Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật - Hình lập phương hình lăng trụ đứng tất mặt hình vng VÍ DỤ: (ví dụ chứa lăng trụ tam giác, tứ giác, lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều, hình hộp chữ nhật, hình thơi…cạnh, khoảng cách góc) Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân A, biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA’B’B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Hướng dẫn: - Độ dài cạnh AB: Xét AA'B  A, ta có: AB  A'B2  A'A2  (5a)2  (3a)2  4a - Diện tích đáy ABC: Vì ABC  cân tai A nên ta có: 1 SABC  AB.AC  4a.4a  8a2 2 - Thể tích lăng trụ ABC A’B’C’: VABC A’B’C’  SABC AA'  8a2 3a  24a3 67 Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC)  a AA’ hợp với mặt phẳng (A’BC) góc 30 Tính thể tích lăng trụ Hướng dẫn: Gọi M trung điểm BC, H hình chiếu A lên A’M - Xác định khoảng cách từ A tới mặt (A’BC): BC  AA'(AA'  ABC)  BC  (AA'M) Ta có:  BC  AM(ABC ®Ịu) Vì AH  (AA’M)  BC  AH (1) Mà AH  A’M (2) nên từ (1) (2)  AH  (A’BC)  AH  d(A,(A'BC))  a - Xác định góc AA’ (A’BC): Vì AH  (A’BC)  A’H hình chiếu AA’ lên (A’BC) - Độ dài cạnh AB:  (AA',(A'BC))  (AA',A'H)  AA'H  30 Vì ABC nên ta có: - Đường cao lăng trụ ABC A’B’C’: 2AM AM  AB  AB   a Xét AA'H  H, ta có: 3 AH a - Diện tích đáy ABC: AA'    2a  sin AA'H sin 30 3 4  2 S  AB  a  a ABC   - Độ dài cạnh AM: 4 3  Xét AA'M  A (AA’  (ABC)), ta có: - Thể tích lăng trụ ABC A’B’C’ AM  AA' tan 30  2a 3  a 3 VABC A’B’C’  SABC AA'  3 a 2a  a 9 Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng BD’=a Tính thể tích lăng trụ biết BD’ hợp với đáy góc 60 Hướng dẫn: - Xác định góc BD’ (ABCD): Vì DD’  (ABCD)  BD hình chiếu BD’ lên ABCD  (BD',(ABCD))  (BD',BD)  DBD'  60 - Đường cao lăng trụ ABCD A’B’C’D’ độ dài BD: Xét DBD'  D (DD’  (ABCD)), ta có: a BD  BD'cos DBD '  a cos60  a - Độ dài cạnh AB đáy ABCD: DD'  BD'sin DBD '  a sin 60  Ta có: BD  AB  AB  BD  a 68 - Diện tích đáy ABCD:   SABCD  AB   a  a     - Thể tích lăng trụ ABCD A’B’C’D’: 3 VABCD A’B’C’D’  SABCD DD'  a2 a a 16 Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A= 60 Tính thể tích lăng trụ biết mặt (BDC’) hợp với đáy ABCD góc 60 Hướng dẫn: Gọi O  BD  AC - Xác định góc (BDC’) (ABCD): Ta có: BD  OC(1)( ABCD l¯ h×nh thoi)  BD  (COC')  BD  CC '(CC '  (ABCD)) Vì OC '  (COC ')  BD  OC'(2) Ta lại có: (BDC')  (ABCD)  BD (3) Từ (1),(2) (3) ta suy ra: ((ABCD),(BDC '))  (C'O,CO)  COC'  60 - Độ dài cạnh AC: Xét AOB  O, ta có: AO  AB.cosOAB  AB.cos DAB  a cos30  a 2 a  3a - Độ dài đường cao CC’ lăng trụ: Xét COC'  C, ta có:  AC  2AO  CC'  OC tan COC'  AO tan COC'  3 a tan 60  a 2 - Độ dài cạnh BD:  Ta có ABD cân A có BAD  60  ABD  BD  a - Diện tích đáy ABCD: 1 AC.BD  3a.a  a 2 - Thể tích lăng trụ ABCD A’B’C’D’: SABCD  VABCD A’B’C’D’  SABCD CC'  3 3 a a a 2 69 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho(H) lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy tam giác tam giác vng cân B, AC= a biết góc A’B đáy 600 Thể tích (H) bằng: 3a 3a 3a A 3a3 B C D Câu 2: Cho(H) lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy tam giác vuông cân B, AC= a biết góc giữa(A’BC) đáy 600 Thể tích (H) bằng: 3a 3a 3a A 6a3 B C D a Câu 3: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC vng cân B có AB = Biết A’C = a A’Chợp với mặt bên (AA’B’B) góc 30 Tính thể tích lăng trụ 2a 6a 2a 27 a A B C D 12 4 Câu 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC= a, biết (A’BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ 6a 2a A B C 6a3 D 6a3 Câu 5: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’có đáy ABC tam giác vuông B AB = 2a, BC = a, A A’= 2a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ A 3a 3 B 3a 3 C 3a3 Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’có đáy ABC tam giác cạnh vàmặt đáy 450 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ a3 a3 a3 A B C 24 48 72 D 3a3 a Góc mặt (A’BC) D Đáp án khác Câu 7: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’có đáy ABC tam giác cạnh a Góc cạnh C’Bvàmặt đáy 300 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ a3 a3 a3 a3 A B C D 27 54 Câu 8: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy tam giác vng A, AC=a,  ACB =600 Đườngchéo BC’ mặt bên (BCC’B’) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăngtrụ theo a 6a 6a 6a 3 A 6a B C D 3 Câu 9: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’có đáy ABC tam giác vng B AB = a , BC = 3a Góc cạnh AB mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ 3a A 3a3 B 3a3 C D 3a3 Câu 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy tam giác vuông cân B, AC = a , biết góc giữa(A’BC) đáy 600 Thể tích khối lăng trụ bằng: 70 a3 D Đáp án khác 2a Câu 11: Cho ABCA’B’C’ đáy tam giác cạnh Góc (AB’C’) đáy 450 VLT a3 A B 3a3 C 6a3 D 3a3 Câu 12: Cho lăng trụ XYZ X’Y’Z’ đáy tam giác XY = a, XX’ = a VLT = ? A 27 a B 9a C 6a 2a A 6a B C D 3a3 Câu 13: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a, mặt bênACC’A’ hình vng Gọi M, N, P trung điểm AC, CC’, A’B’ H hình chiếu củaA lên BC Tính thể tích khối chóp A’ HMN 3a 3 5a 9a A B C D Đáp án khác 32 33 32 Câu 14: Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ tíchbằng V M, N trung điểm BB’ CC’ Thể tích khốiABCMN bằng: V V 2V V B C D 3 Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D’ với đáy ABCD hình vng BD’ = 2a AB = a; Tính VLT A 2a Câu 16: Cho lăng trụ đứng XYZT X’Y’Z’T’ Cạnh bên XX’ = 2a khoảng cách d(T;(XZT’))= a; Tínhthể tích lăng trụ 16a A B 2a3 C 3a3 D Đáp án khác Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D’ Đáy hình chữ nhật ABCD có AB = a BC =2AB,góc BCB’ 300 Tính VLT A 2a3 A 4a 3 3a3 C 3a3 D B a3 C a3 D B a3 Câu 18: Cho lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D Đáy ABCD hình chữ nhật có CD = a S = a2 Gócgiữa B’D (ABCD) 450 Tính VLT a3 2a 3 7a3 B C D a3 Câu 19: Cho lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D’ đáy ABCD hình thoi cạnh a Gọi O giao điểm haiđường chéo, OC’ tạo với mp (A’B’C’D’) góc 600 CC’ = 2a Tính thể tích khối lăng trụ a3 8a a A B C D Đáp án khác 3 Câu 20: Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’, có đáy hình thoi cạnh a BAD  600 Gọi M, N trung điểm CD B’C biết MN vng góc với BD’ Tínhthể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’ A 71 a3 a3 a3 3a B C D 4 Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD  600 , AC’ = 2a GọiO = AC  BD , E =A 'C  OC ' Tính thể tích lăng trụ ABCDA’B’C’D’ là: a3 a3 3a A a3 3 B C D 4 Câu 22: Hình lăng trụ là: A Lăng trụ đứng có đáy đa giác B Lăng trụ có đáy tam giác cạnh bên C Lăng trụ có đáy tam giác cạnh bên vng góc với đáy D Lăng trụ có tất cạnh Câu 23: Cho (H) khối lăng trụ đứng tam giác có tất cạnh a Thể tích (H) bằng: a3 a3 a3 a3 A B C D Câu 24: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’, cạnh đáy a; Gọi M, N, I trung điểmcủa AA’, AB, BC; góc hai mặt phẳng (C’AI) (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chópNAC’I a3 a3 a3 A 32a3 B C D 32 32 Câu 25: Cho lăng trụ ABCDA’B’C’D’ ABCD hình vng cạnh BD’ = a; Góc BD’ và(AA’D’D) 300 Tính thể tích lăng trụ a3 a3 A B a C a3 D Câu 26: Cho ABCDA’B’C’D’ lăng trụ Đáy hình vng ABCD, góc mp (ACD’) mp(ABCD) 450 Tính thể tích lăng trụ, biết AA’ = 2a a3 4a 3 a3 A 16a3 B C D Câu 27: Cho lăng trụ ABCDA’B’C’D’ Đáy ABCD hình vng tâm O có OA’ = a OA’ hợp với(ABCD) góc 600 VLT = ? A a3 4a 3 B 2a3 C a3 D Câu 28: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC tam giác cạnh a; BC’ hợp với mp (ABB’A’) góc 300 Tính VLT A a3 2a a3 B C a3 D Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy tam giác cạnh 2a; BC’ hợp với đáy góc 300 Tính thểtích a3 A 2a3 B C a3 3a D Câu 30: Cho khối lăng trụ ABCDA’B’C’D’ tích 36cm3.Gọi M điểm thuộc mặt phẳng ABCD Thể tích khốichóp MA’B’C’D’ là: A 18cm3 B 12cm3 A 72 C 24cm3 D 16cm3 Câu 31: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' Biết góc (A'BC)và (ABC)là 300 , tam giác A'BC có diện tích Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' A 3 B C D Câu 32: Hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c đường chéo d có độ dài là: A d  a  b2  c B d  a  2b2  c2 C d  2a  b2  c D d  3a  3b2  2c Câu 33: Cho ABCDA’B’C’D’ hình hộp chữ nhật, chiều dài 2a, chiều rộng a, chiều cao a Tính V 3a A 2a3 B a C 2a3 D Câu 34: Cho ABCDA’B’C’D’ hình hộp chữ nhật, chiều dài a , chiều rộng a, AD’ hợp đáy góc 300 Tính V a3 A a3 B a C D a3 15 Câu 35: Cho biết thể tích hình hộp chữ nhật V, đáy hình vng cạnh a; Khi diện tíchtồn phần hình hộp V 2V 4V A B C D Đáp án khác a a a Câu 36: Hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy hình thoi với diện tích S Hai đường chéoACC’A’ BDD’B’có diện tích S1 , S2 Khi thể tích hình hộp ? A 2S1S2 S3 B S1 S2 S3 C 3S1S2 S3 D S1S2 S3 3 Câu 37: Đường chéo hình hộp chữ nhật d , góc đường chéo hình hộp mặt đáycủa  , góc nhọn hai đường chéo mặt đáy  Thể tích khối hộp bằng: 1 A d cos  sin  sin  B d cos  cos  sin  2 C d sin  cos  sin  D d cos  sin  sin  Câu 38: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy hình thoi hai mặt chéo ACC’A’, BDD’B’ đềuvng góc với mặt phẳng đáy Hai mặt có diện tích 100 cm2 , 105 cm2 cắt theomột đoạn thẳng có độ dài 10 cm Khi thẻ tích hình hộp cho A 225 5cm3 B 425cm3 C 235 5cm3 D 525cm3 Câu 39: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB= , AD= Hai mặt bên(ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnhbên A B C.9 D Đáp án khác Câu 40: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', mệnh đề sau, mệnh đề Tỉ số thể tích củacủa khối tứ diện ACB'D' khối hộp ABCD.A'B'C'D' ? 1 1 A B C D Câu 41: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên 73 gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát khơng đáng kể ) A 1180 viên, 8820 lít B 1180 viên, 8800 lít C 1182 viên, 8820 lít D 1180 viên, 8280 lít Câu 42: Cho ABCDA’B’C’D’ hình lập phương cạnh a; Tính V a3 a3 A a B C 3 D 3a Câu 43: Cho ABCDA’B’C’D’ hình lập phương AC = Tính V A 120 B 125 C 110 D 225 Câu 44: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có D’B = a Tính thể tích khối lập phương a3 A a3 15 B C a 2a D Câu 45: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ I trung điểm BB’ Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập phương thành phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng: A B C D 17 14 Câu 46: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Mặt phẳng BDC’chia khối lập phương thành phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng: A B C D ĐÁP ÁN: 1B 2C 3A 4B 5D 6C 7B 8A 9B 10B 11A 12C 13C 14B 15A 16A 17A 18A 19C 20B 21C 22A 23C 24B 25A 26A 27A 28A 29A 30B 31C 32A 33C 34A 35C 36D 37A 38D 39A 40C 41A 42A 43B 44C 45B 46B + Dạng 2: Hình lăng trụ xiên VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Điểm H hình chiếu vng góc A’ xuống mặt (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ Hướng dẫn: Gọi M hình chiếu H lên AC - Xác định góc (ACC’A’) (ABC): AC  A'H(A'H  (ABC))  AC  (A'MH) Ta có:  AC  MH (1) Mà A’M  (A’MH)  AC  A'M(2) Ta lại có: (ACC'A')  (ABC)  AC (3) 74 Từ (1),(2) (3) ta suy ra: ((ACC'A'),(ABC))  (A'M,MH)  A'MH  45 - Độ dài cạnh MH: Xét AMH  M, ta có: AB MH  AH sin MHA  sin 60  a - Đường cao A’H lăng trụ: Xét A'HM  H (A’H  (ABC)) có A'MH  45  A'HM  cân H  MH=A’H= a - Diện tích đáy ABC: 3 SABC  AB2  a 4 - Thể tích lăng trụ ABC A’B’C’: 3 VABC A’B’C’  SABC A'H  a a  a3 4 16 * Lưu ý: Muốn xác định mặt phẳng vng góc với a có b vng góc với a, ta cần dựng đoạn vng góc c từ b tới a Khi mặt phẳng qua b c vng góc với a Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên ABC A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A’ xuống (ABC) tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tính thể tích lăng trụ biết AA’ hợp với đáy góc 60 Hướng dẫn: Gọi M,H trung điểm AC BC; O giao điểm BM AH Vì ABC nên O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC - Xác định góc AA’ (ABC): Ta có A’O  (ABC)  AO hình chiếu AA’ (ABC)  (AA',(ABC))  (AA',AO)  A'AO  60 - Độ dài cạnh AH: Vì ABC  AH đường cao 3  AH  AC  a 2 - Độ dài cạnh AO: Vì O trọng tâm ABC 2 3  AO  AH  a a 3 - Đường cao A’O lăng trụ: Xét A'OA  O (A’O  (ABC)), ta có: A'O  AO tan A'AO  a tan 60  a - Diện tích đáy ABC: 3 SABC  AB2  a 4 75 - Thể tích lăng trụ ABC A’B’C’: 3 VABC A’B’C’  SABC A'O  a a  a 4 Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có AB=a,AD=b,AA’=c ; BAD  30 biết cạnh bên AA’ hợp với đáy ABCD góc 60 Tính thể tích lăng trụ Hướng dẫn: Gọi M, H hình chiếu D A’ lên AB (ABCD) - Độ dài đường cao A’H lăng trụ: Xét A'AH  H (A’H  (ABCD)), ta có: A'H  AA'sin A'AH  c sin 60  c - Đường cao MD hình bình hành ABCD: Xét AMD  M, ta có: MD  AD sin DAM  b sin 30  b - Diện tích đáy ABCD: SABCD  MD.AB  ab - Thể tích lăng trụ ABCD A’B’C’D’: 3 VABCD A’B’C’D’  SABCD A'H  ab c abc 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’ đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên a hợpvới đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ 3a 3 A B a3 C 2a3 D a3 8 Câu 2: Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’ có đáy tam giác cạnh a; Hình chiếu AA’ xuống ABCtrùng với trung điểm H BC Góc AA’ (ABC) 600 VLT = ? 3a 3 2a a3 B C 2a3 D Câu 3: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh 2a; Hình chiếu củaA' xuống (ABC) tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ 3a 3 a3 2a A 2a3 B C D A 76 Câu 4: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, đỉnh A' có hình chiếu (ABC)nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bên (BB'C'C) hợp với đáy ABC góc 600 Tínhthể tích lăng trụ 3a 3 2a a3 2a 3 A B C D Câu 5: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a; Hình chiếu vng góc củaA’ xuống (ABC) trung điểm AB Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối lăngtrụ 3 3a a3 2a 3 a A B C D 16 3 16 Câu 6: Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1, đáy hình chữ nhật, AB = a, AD= a Hình chiếu vnggóc A1 mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc (ADD1A1) (ABCD)bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho 3a a3 a3 A 3a3 B C D 2 Câu 7: cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng tai B; AB = a, ACB  300 ; M làtrung điểm cạnh AC, góc cạnh bên mặt đáy lăng trụ 600 Hình chiếu vng góc củađỉnh A’ lên mp(ABC) trung điểm H BM Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ 3a a3 3a 3 A 3a B C D 4 Câu 8: Cho lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vng A, AB = 2, BC = Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng ( ABC) trùng với trung điểm AC Góc giữahai mặt phẳng  BCC1B1  ABC 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho a3 3a 3 a3 C D Câu 9: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA'B'C', đáy ABC tam giác vuông cân B; AB = a; Hìnhchiếu vng góc điểm A' lên mp(ABC) điểm H thuộc cạnh AC cho HC = 2HA Mặt bên(ABB'A') hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA'B'C' A 3a3 B A 3a3 B a3 3 C a3 D a3 a 10 , BAC  1200 Hình chiếu vng góccủa C’ lên mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ a3 a3 a3 A 3a3 B C D 4 Câu 11: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A ABC  300 Biết M trung điểm AB, tam giác MA’C cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ a3 a3 a3 a3 A B C D 7 Câu 12: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B; AB = a; Hìnhchiếu vng góc điểm A' lên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AC cho HC Câu 10: Cho lăng trụ ABCA’B’C’, AB = 2a, AC = a, AA’= 77 = 2HA Mặtbên (ABB'A') hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụABCA'B'C' a3 a3 a3 4a A B C D Câu 13: Cho hình lăng trụ ABCDA' B 'C' D' có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên AA' = a,hình chiếu vng góc A' mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I AB Gọi K trungđiểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A' IKD a3 a3 a3 a3 A B C D 16 15 16 Câu 14: Cho lăng trụ ABCA'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB =a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC.Gọi V thể tích khối chóp A' ABC M cosin góc hai đường thẳng AA', B'C' tính theo a;Khi V M kết a3 3a3 ,M  ,M  A V  B V  3 a 39 a ,M  C V  D V  , M  12 16 Câu 15 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất cạnh 2a , đáy ABCD hình vng Hình chiếu vng góc đỉnh A ' mặt phẳng đáy trùng với tâm đáy Tính theo a thể tích V khối hộp cho 8a 3 B V  C V  8a D V  4a3 Câu 16 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh bên AA '  a , hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng  ABCD  trùng với trung điểm H AB Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 3 A V  B V  C V  a D V  Câu 17 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng cân B AC  2a Hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng  ABC  trung điểm H cạnh 4a A V  AB A ' A  a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 A V  a3 B V  C V  D V  2a3 Câu 18 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết A ' O  a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  12 4 Câu 19 Cho hình lăng trụ S ABCD có đáy tam giác cạnh 2a A ' A  a Hình chiếu vng góc điểm A ' mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm G tam giác ABC Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 2a a3 A V  B V  C V  D V  2a 78 Câu 20 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A , AB  AC  a Biết A ' A  A ' B  A ' C  a a3 A V  a3 a3 a3 B V  C V  D V  4 12 Câu 21 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AB  1, AC  ; cạnh bên AA '  Hình chiếu vng góc A ' mặt đáy  ABC  trùng với chân đường cao hạ từ B tam giác ABC Tính thể tích V khối lăng trụ cho 21 D V  4 Câu 22 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC biết thể tích khối chóp A.BCBC 2a 5a 3 3 A V  6a B V  C V  4a D V  3a Câu 23 Cho hình hộp ABCD ABCD tích 12cm Tính thể tích V khối tứ diện ABCD 3 3 A V  2cm B V  3cm C V  4cm D V  5cm Câu 24 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O AB  a , AD  a ; A ' O vng góc với đáy  ABCD  Cạnh bên AA ' hợp với mặt đáy  ABCD  A V  21 B V  21 12 C V  góc 45 Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  a3 Câu 25 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh có độ dài Hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H BC Góc tạo cạnh bên AA ' với mặt đáy 450 Tính thể tích khối trụ ABC A ' B ' C ' 6 A V  B V  C V  D V  24 Câu 26 Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , cạnh AC  2 Biết AC tạo với mặt phẳng  ABC  góc 600 AC  Tính thể tích V khối đa diện ABCBC 16 16 A V  B V  C V  D V  3 3 Câu 27 Tính thể tích V khối lăng trụ biết đáy có diện tích S  10cm2 , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60 độ dài cạnh bên 10cm 3 A V  100cm B V  50 3cm3 C V  50cm D V  100 3cm3 Câu 28 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tâm O ABC  1200 Góc cạnh bên AA ' mặt đáy 600 Đỉnh A ' cách điểm A, B, D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho A V  3a B V  a3 C V  a3 79 D V  a3 Câu 29 Cho hình hộp ABCD.ABC D có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc ABC  600 Biết AO   ABCD  cạnh bên hợp với đáy góc 60 Tính thể tích V khối đa diện OABCD a3 A V  a3 B V  12 a3 C V  3a D V  ĐÁP ÁN: 1A 2A 3A 4A 5A 6B 7C 8A 9C 10B 11B 12C 13A 14C 15D 16B 17C 18A 19D 20C 21A 22D 23C 24D 25A 26D 27B 28C 29C 80 ... 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU a) Khối đa diện lồi Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện xác định (H) gọi đa diện lồi Ví dụ số đa diện. .. đề sai? A Khối lập phương khối đa diện lồi B Khối chóp khối đa diện lồi C Khối lăng trụ khối đa diện lồi D Ghép hai khối đa diện lồi khối đa diện lồi Câu 13: Khối lập phương khối đa diện thuộc... khối đa diện đa giác + Các khối đa diện đều: Chỉ có loại khối đa diện đều: 3;3 ,4;3 ,3;4 ,5;3 3;5 Các khối đa diện Bảng tóm tắt thông số khối đa diện cạnh a: Khối tứ Khối lập Khối bát Khối