Chuyên đề khối đa diện

CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI TỐT NGHIỆP – ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Đỗ Văn Thọ (01683297530) (Biên Soạn) Hội An - 2012 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ * Các công thức tính diện tích tam giác  Diện tích tam giác ABC 1 abc S  a.ha  ab sin C   pr  p  p  a  p  b  p  c  2 4R abc p  Diện tích tam giác vng A: S  AB AC a2  Diện tích tam giác cạnh a: S   Diện tích hình vng cạnh a: S  a  Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b: S  a.b  Diện tích hình thoi: S  (chéo dài * chéo ngắn)  Diện tích hình thang: S  (đáy lớn + đáy nhỏ)* chiều cao  Diện tích hình bình hành: S  đáy * chiều cao  Diện tích hình trịn: S   R * Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ABC vuông A, ta có: A b c a B H  Định lý Pitago: BC  AB  AC  AB  BH BC ; AC  CH BC  AB AC  BC AH 1    AH AB AC  BC  AM (trong AM đường trung tuyến) * Thể tích khối đa diện: C CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530  Thể tích khối lăng trụ:     V  B.h (trong B diện tích đáy; h chiều cao lăng trụ) Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c (trong a, b, c độ dài cạnh) Thể tích khối lập phương cạnh a V  a3 Thể tích khối chóp: V  B.h (trong B diện tích đáy; h chiều cao khối chóp) Tỉ số tứ diện: Cho khối tứ diện S.ABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc cạnh SA, SB, SC S A' C' B' C A B VS ABC SA SB SC  VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '  Thể tích khối chóp cụt: V  h B  B ' BB ' (trong B, B’ diện tích hai đáy; h chiều cao) * Một số tính chất cần nhớ:  Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy  Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác   CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530     Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Hình lập phương hình hộp có tất mặt hình vng Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên  Hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c đường chéo có độ dài d  a  b2  c2  Hình lập phương có cạnh a đường chéo d  a  Đường chéo hình vng cạnh a d  a a  Đường cao tam giác cạnh a h  BÀI TẬP I Thể tích khối chóp * Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Thơng đường ta sử dụng chiều cao khối chóp cạnh bên vng góc với đáy Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SB  SC  BC  AC  a Hai mặt bên  ABC   SAC  vng góc với  SBC  Tính thể tích hình chóp a3 ĐS: 12 Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B với AC  a Biết SA   ABC  SB hợp với đáy góc 600 a Chứng minh mặt bên tam giác vng b Tính thể tích khối chóp a3 ĐS: 24 Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Biết  SA   ABC   SBC  ,  ABC    600 Tính thể tích khối chóp   a ĐS: Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a  SA   ABCD  ,  SCD  ,  ABCD    600   a Tính thể tích khối chóp CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  a3 a ĐS: a) V  b) Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B với  AB  BC  a Biết SA   ABC   SB,  SAB    300 Tính thể tích khối chóp   a3 ĐS: Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  SA  h Biết ABC   SBC  ,  ABC    300 Tính thể tích khối chóp   h ĐS: Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông A SB   ABC  Biết   SB  a  SC ,  SAB    300  SAC  ,  ABC    600 Chứng minh     2 2 SC  SB  AB  AC Tính thể tích khối chóp a3 ĐS: 27 Bài 8: Cho tứ diện ABCD có AD   ABC  , biết AC  AD  4cm ; AB  3cm ; BC  5cm a Tính thể tích ABCD b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) 12 ĐS: a) V  8cm3 b) d  34 Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A với BC  2a , góc   BAC  1200 Biết SA   ABC   SBc  ,  ABC    450 Tính thể tích khối chóp   a ĐS: Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng Biết  SA   ABCD  ; SC  a  SC ,  ABCD    600 Tính thể tích khối chóp   a ĐS: 48 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 11: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết  SA   ABCD  ,  SC ,  ABCD    450 AB  3a; BC  4a Tính thể tích khối   chóp ĐS: V  20a3 Bài 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc   600 ; A SA   ABC  , biết khoảng cách từ A đến SC  a Tính thể tích khối chóp a3 ĐS: V  Bài 13: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B  Biết AB  BC  a; AD  2a ; SA   ABCD   SCD  ,  ABCD    600 Tính thể   tích khối chóp a3 ĐS: * Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Thơng thường mặt bên vng góc với đáy ta vẽ đường thẳng qua đỉnh vng góc với đáy đường cao khối chóp Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) a Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB b Tính thể tích khối chóp S.ABCD a3 ĐS: V  Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, BCD tam giác vuông cân D,  ABC    BCD      600 Tính thể tích tứ diện AD,  BCD    ABCD a3 ĐS: V  Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC  a ,  SAC    ABC  , mặt bên lại tạo với đáy góc 450 a Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 ĐS: V  12 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S  nằm mặt phẳng vng góc với (ABC), góc  SA,  ABC    300   a Chứng minh chân đường cao khối chóp trung điểm BC b Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 ĐS: 24 Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng cân A với AB  AC  a , biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC), mặt  phẳng  SAC  ,  ABC   450 Tính thể tích khối chóp S.ABC   ĐS: a 12  Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có BAC  900 ,   30 , SBC tam giác ABC cạnh a  SAB    ABC  Tính thể tích khối chóp S.ABC a2 ĐS: 24 Bài 8: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với nhau, biết AD  a Tính thể tích tứ diện a3 ĐS: V  36 Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên (SAB) tam giác có đường cao SH  h , nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) a Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB b Tính thể tích khối chóp S.ABCD 4h ĐS: Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật có AB  2a; BC  4a ,  SAB    ABCD  , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy (ABCD) góc 300 Tính thể tích hình chóp S.ABCD 8a 3 ĐS: Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi với AC  a, BD  2a tam giác SAD vuông cân S, nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 ĐS: V  a 12 Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AD  CD  a; AB  2a , biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD a3 ĐS: V  * Dạng 3: Khối chóp Chân đường cao khối chóp thơng thường tâm đa giác đáy Bài 1: Cho khối chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS: V  a 11 12 Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD có tất cạnh có độ dài a a Chứng minh S.ABCD hình chóp b Tính thể tích khối chóp S.ABCD a3 ĐS: V  Bài 3: Cho khối chóp tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm CD a Tính thể tích khối tứ diện ABCD b Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) Suy thể tích hình chóp MABC a3 ĐS: a) 12 a b) MH  ; a3 V 24 Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích hình chóp ĐS: V  3a 16 Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 450 a Tính độ dài chiều cao SH hình chóp S.ABC b Tính thể tích hình chóp S.ABC a ĐS: a) SH  a3 b) V  Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích hình chóp S.ABC CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI ĐS: a GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 3 24 Bài 7: Cho hình chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 300 Tính thể tích hình chóp h3 ĐS: V  Bài 8: Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh 600 Tính thể tích hình chóp h3 ĐS: V  Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a   600 ASB a Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp b Tính thể tích hình chóp a2 ĐS: a) S  a3 b) V  Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao h, góc đỉnh mặt bên 600 Tính thể tích hình chóp ĐS: V  2h 3 Bài 11: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với mặt đáy góc 450 khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt bên a Tính thể tích hình chóp 8a 3 ĐS: V  Bài 12: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 600 Tính thể tích hình chóp a3 ĐS: V  12 Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh Chứng minh S.ABCD hình chóp tứ giác Tính cạnh hình chóp thể 9a tích V  ĐS: AB  3a * Dạng 4: Khối chóp phương pháp tỷ số thể tích Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC  a , SA   ABC  , SA  a a Tính thể tích khối chóp S.ABC CHUN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 b Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng   qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN a3 ĐS: a) 2a b) 27 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân A AB  a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD  a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a Tính thể tích khối tứ diện ABCD b Chứng minh CE   ABD  c Tính thể tích khối tứ diện CDEF a3 ĐS: a) a3 c) 36 Bài 3: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng   qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng ĐS: VS ABMN  VABMN ABCD Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a Hãy xác định mặt phẳng (AEMF) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD c Tính thể tích khối chóp S.AEMF ĐS: b) a3 6 c) a3 18 Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA  a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Chứng minh SC   AB ' D ' c Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ a3 ĐS: a) 2a c) Bài 6: Cho tứ diện ABCD Gọi B’ D’ trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB’C’D’ khối tứ diện ABCD ĐS: k  10 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt   A ' BC  ,  ABC    300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối   lăng trụ ĐS: Bài 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a mặt phẳng   BDC ' ,  ABCD    600 Tính thể tích khối hộp chữ nhật   a3 ĐS: V  Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA '  2a , mặt phẳng   A ' BC  ,  ABCD    600     300 Tính thể tích khối hộp A ' C ,  ABCD      chữ nhật 16a3 ĐS: V  Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA '  a , biết      300  A ' BC  ,  ABCD    600 Tính thể tích hình hộp A ' C ,  ABCD      chữ nhật 2a ĐS: Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh bên a, biết mặt (ABC’D’) hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V  3a Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân  B AC  2a , biết  A ' BC  ,  ABC    450 Tính thể tích lăng trụ   ĐS: V  a Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân A với   AB  AC  a BAC  1200 , biết  A ' BC  ,  ABC    450 Tính thể tích   lăng trụ a3 ĐS: V  14 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông  B BB '  AB  h , biết  B ' AC  ,  ABC    600 Tính thể tích lăng trụ   h3 ĐS: Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC đều, biết cạnh bên AA '  a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:  a  A ' BC  ,  ABC    600   b     450 A ' B,  ABC    c Chiều cao kẻ từ A’ tam giác A’BC độ dài cạnh đáy lăng trụ a3 3 ĐS: a) a b) c) a 3 Bài 11: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên AA '  2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau:  a  ACD ' ,  ABCD    450   b     600 BD ',  ABCD    c d  D,  ACD '    a 16a ĐS: a) 16a b) 12a c) Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:  a  BDC ' ,  ABCD    600   b Tam giác BDC’ tam giác c     450 AC ',  ABCD    a3 ĐS: a) b) a c) a 2 Bài 13: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn   600 Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: A  a  BDC ' ,  ABCD    600   3 15 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 a c     450 AC ',  ABCD    3a 3a 3a ĐS: a) b) c) Bài 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có BD '  5a; BD  3a Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây: a AB  a b     300 BD ',  AA ' D ' D     c  ABD ' ,  ABCD    300   ĐS: a) 8a b) 5a 11 c) 16a3 * Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Bài 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ 3a 3 ĐS: Bài 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A’ xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy (ABC) góc 600 a Chứng minh BB’C’C hình chữ nhật b Tính thể tích lăng trụ a3 ĐS: Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB  3; AD  Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên ĐS: Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 13, 14, 15 biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 450 Tính thể tích lăng trụ ĐS: a Bài 5: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy (ABC) góc 300 Tính thể tích lăng trụ b d  C ,  BDC '    16 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 ĐS: 336 Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB  a; AD  b; AA '  c  BAD  300 biết     600 Tính thể tích lăng trụ AA ',  ABC    Bài 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a 2a điểm A’ cách A, B, C biết AA '  Tính thể tích lăng trụ a3 ĐS: Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, đỉnh A’ có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC   BB ' C ' C  ,  ABC    600   a Chứng minh BB’C’C hình chữ nhật b Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ 3a 3 ĐS: V  Bài 9: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác với tâm O cạnh b, CC '  a hợp với đáy ABC góc 600 C’ có hình chiếu ABC trùng với O a Chứng minh AA’B’B hình chữ nhật Tính diện tích AA’B’B b B Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ a2 3a 3 ĐS: a S  b V  BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài 1: ( tốt nghiệp thpt phân ban – năm 2006 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài : ( tốt nghiệp thpt phân ban – năm 2007 ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA  AB  BC  a Tính thể tích khối chóp S.ABC 17 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 3: ( tốt nghiệp thpt phân ban – năm 2008 – lần ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC 1) Chứng minh SA vng góc với BC 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Bài : ( tốt nghiệp thpt phân ban – năm 2008 – lần ) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ABC Biết AB  a, BC  a 3; SA  3a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 2) Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Bài 5: ( tốt nghiệp thpt – năm 2009 ) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a , cạnh bên SA  vng góc với mặt phẳng đáy Biết BAC  1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài : ( đạii học khối A – năm 2009 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB  AD  2a; CD  a ; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài : ( Đại Học Khối B – Năm 2009 ) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A / B/ C / có BB '  a ; góc đường thẳng BB/  mặt phẳng (ABC) 600 ; tam giác ABC vuông C BAC  600 Hình chiếu vng góc điểm B/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A/ABC theo a Bài : ( Đại Học Khối D – Năm 2009 ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A / B/ C / có đáy ABC tam giác vuông B, AB  a; AA '  2a ' A ' C  3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A/C/, I giao điểm AM A/C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách tứ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Bài : ( Cao Đẳng Khối A – Năm 2009 ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB  a; SA  a Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Bài 10 : ( Đạii Học Khối A – Năm 2008 ) Cho lăng trụ ABC.A / B/ C / có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB  a; AC  a hình chiếu vng góc đỉnh A/ mặt phẳng 18 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A/.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA/ , B/C/ Bài 11 : ( Đại Học Khối B – Năm 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA  a; SB  a mặt phẳng (SAB ) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài 12 : ( Đại Học Khối D – Năm 2008 ) Cho lăng trụ đứng ABC.A / B/ C/ có đáy ABC tam giác vng, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A / B/ C / khoảng cách hai đường thẳng AM, B/C Bài 13 : ( Cao Đẳng Khối A – Năm 2008 )   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD  ABC  900 , AB  BC  a; AD  2a , SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M , N trung điểm SA , SD.Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Bài 14 : ( Đại Học Khối A – Năm 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài 15 : ( Đại Học Khối B – Năm 2007 ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài 16 : ( Đại Học Khối D – Năm 2007 )   Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ABC  BAD  900 , AB  BC  a; AD  2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 17: ( Đại Học Khối A – Năm 2006 ) Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O/, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A Trên đường tròn tâm O/ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO/AB Bài 18: (Đại Học Khối B – Năm 2006 ) 19 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  a 2, SA  a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 19 : ( Đại Học Khối D – Năm 2006 ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC).Gọi M,N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC.Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 20: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi DH đường cao tứ diện ABCD O trung điểm DH a Tính thể tích tứ diện ABCD b Chứng minh OA, OB, OC đơi vng góc với a3 ĐS: V  12 Bài 21: (Dự bị - Khối D - 2006) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, SH đường cao khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b 2a 3b ĐS: VS ABCD  ; a  4b 2 a  16b Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD có SA  x , tất cạnh lại a Chứng a3 minh BD   SAC  tìm x để thể tích khối chóp S.ABCD ĐS: x  a  x  a Bài 23 (Cao đẳng – Khối A, B, D - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy, SA  SB , góc SC đáy 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a a3 ĐS: V  Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,  SAB    ABCD  SCD cạnh a, góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD)  Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a  Tìm  để thể tích lớn 20 CHUN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 ĐS:   45 Bài 25: (Khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA  a, SB  a mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN cosin góc hai đường thẳng SM, DN a3 ĐS: V  ; cos  SM , DN   Bài 26: Cho hình vng ABCD cạnh a Qua trung điểm I cạnh AB dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABCD) Trên d lấy điểm S mà a Tính khoảnh cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD) SI  a ĐS: d  C ,  SAD    Bài 27: (Dự bị - Khối A - 2007) Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC tam giác cạnh a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính d  B,  SAC   3a a3 ĐS: a) V  b) d  B,  SAC    16 13 Bài 28: (Khối B - 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, góc cạnh bên đáy   00    900  Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo  thể tích hình chóp S.ABCD theo a  a tan  ĐS: VS ABCD  Bài 29 (Dự bị - Khối B – 2003) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc   00    900  Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) a tan  ĐS: V  24 d  A,  SBC    a sin  21 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , SA vng góc với đáy, SC tạo với mặt đáy góc 450 tạo với (SAB) góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD a3 ĐS: V  Bài 31: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có d  A,  SBC    2a Gọi  góc mặt bên mặt đáy Tìm  để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ ĐS:   arctan Bài 32 (Dự bị - Khối A - 2002) Cho tứ diện ABCD có AB  a, AC  b, AD  c ba góc A 600 Tính thể tích tứ diện ABCD abc ĐS: VABCD  12 Bài 33: (Khối D - 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA  2a, SA   ABC  Gọi M, N hình chiếu vng góc A lêm đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM 9a ĐS: VA.BCNM  50 Bài 34: Cho tứ diện ABCD có canjh AB, BC,CD đơi vng góc với AB  BC  CD  a Gọi C’, D’ tương ứng hình chiếu vng góc B AC, AD Tính thể tích tứ diện ABC’D’ a3 ĐS: VABC ' D '  36 Bài 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  2a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi B’, D’ tương ứng hình chiếu vng góc A SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’ 16a ĐS: VS AB ' C ' D '  45 Bài 36: (Dự bị - Khối A - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  2a , SA vng góc với đáy , SB tạo với đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M mà a Mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM AM  22 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI ĐS: VS BCNM  10a GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 37: (ĐH Thủy Sản - 2001) Cho tứ diện SPQR có ba góc phẳng đỉnh S vuông SP  a, SQ  b, SR  c Gọi A, B, C trung điểm cạnh PQ, QR, RP a Chứng minh mặt hình chóp S.ABC tam giác b Tính thể tích tứ diện SABC abc ĐS: VS ABC  24 Bài 38: (Cao đẳng – Khối A, B, D - 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh AB  a, SA  a Gọi M, N, P trung điểm SA, SB, CD Chứng minh MN  SP tính thể tích tứ diện AMNP theo a a3 ĐS: VAMNP  48 Bài 39: (Khối A - 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, AD H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với đáy SH  a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM, SC theo a 2a 5a 3 ĐS: VS CDNM  d  DM , SC   24 19 Bài 40: (Khối B - 2010) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB  a , góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC 7a 3a 3 ĐS: VABC A ' B ' C '  R 12 Bài 41 (Dự bị - Khối D - 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB  AC  a, AA '  a Gọi P, Q trung điểm AA’ BC’ Chứng minh PQ đường vng góc chung AA’ BC’ Tính thể tích hình chóp PA’BC’ a3 ĐS: VPA ' BC '  12 23 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 42: (Dự bị - Khối D - 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA’ Chứng minh MB  B ' C tính khoảng cách hai đường thẳng BM, B’C a 30 ĐS: d  BM , B ' C   10 Bài 43: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ABC vng cân với cạnh huyền AB  a , mặt phẳng (A’AB) vng góc với đáy, AA '  , góc  A ' AB nhọn góc mặt phẳng (A’AC) với đáy 60 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: VABC A ' B ' C '  Bài 44: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC hình chóp tam giác đều, AB  a , a độ dài đoạn vng góc chung AA’ BC Tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C a3 ĐS: VA ' BB ' C ' C  18 Bài 45: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB  a, AD  b, AA '  c ba góc A 600 Hãy tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ abc ĐS: VABCD A ' B ' C ' D '  Bài 46: (Khối B - 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB '  a , góc đường thẳng BB’  mặt phẳng (ABC) 600 , tam giác ABC vuông C BAC  600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a 9a ĐS: VA ' ABC  208 Bài 47: (Khối A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB  a, AC  a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’ 24 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 a cos  AA ', B ' C '  Bài 48: Cho tam giac vng cân ABC có cạnh huyền AB  2a Trên đường thẳng d qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S cho (SBC) tạo với (ABC) góc 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ĐS: S  10 a Bài 49: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA  a , góc mặt bên mặt đáy 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 4a 5 a ĐS: a) VS ABCD  b) S  15 Bài 50: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC tạo với (ABC) góc 600 , tam giác ABC cân với AB  AC  a 3; BC  2a a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC a3 a ĐS: a) VS ABC  b) R  2 * Một số tập khác Bài 1: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác tâm O hình chiếu C’ đáy (ABC) trùng với O Cho khoảng cách từ O đến CC’ a số đo nhị diện cạnh CC’ 1200 a Chứng minh mặt bên ABB’A’ hình chữ nhật b Tính thể tích lăng trụ c Tính góc mặt bên BCC’B’ mặt đáy ABC Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt bên hình thoi cạnh a Ba cạnh xuất phát từ đỉnh A tạo với góc nhọn  a Chứng minh hình chiếu H A’ (ABCD) nằm đường chéo AC b Tính thể tích hình hộp c Tính góc đường chéo CA’ mặt đáy hình hộp Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đoạn nối tâm hai mặt bên kề a a Tính thể tích hình lập phương b Lấy điểm M BC Mặt phẳng MB’D cắt A’D’ N Chứng minh MN  C ' D ĐS: VA ' ABC  25 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 c Tính góc hai mặt phẳng (A’BD) với mặt phẳng (ABCD) Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo a a Dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng AC DC’ b Gọi G trọng tâm tam giác A’C’D’ Mặt phẳng (GCA) cắt hình lập phương theo hình gì? Tính diện tích hình c Điểm M di động BC Tìm quỹ tích hình chiếu A’ lên DM Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi N điểm BC a Tính góc đoạn vng góc chung hai đường thẳng AN BC’ b Điểm M di động AA’ Xác định giá trị nhỏ diện tích thiết diện mặt phẳng (MBD’) hình lập phương Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SH  a góc đáy mặt bên  a Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp theo a  b Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD c Điểm M di động SC Tìm quỹ tích hình chiếu S xuống mặt phẳng MAB Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a góc hai cạnh bên kề  a Tính thể tích hình chóp b Tính diện tích xung quanh hình nón nội tiếp hình chóp c Tính diện tích thiết diện hình chóp mặt phẳng qua AB vng góc với SC Bài 8: Đáy hình chóp tam giác vuông có cạnh huyền a góc nhọn 600 Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy, mặt lại hợp với đáy góc  a) Tính thể tích hình chóp b) Một mặt phẳng qua cạnh đáy cắt cạnh bên đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với Tìm tỉ số thể tích hai phần hình chóp mặt phẳng tạo Bài 9: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC cân A có trung tuyến AD = a hai mặt bên SAB SAC vuông góc với đáy Cạnh bên SB hợp với đáy góc  hợp với mặt phẳng SAD góc  a) Tính thể tích hình chóp b) Tính khoảng cách tư ø A đến mặt (SBC) 26 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 10: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABCvuông A góc C = 600 , bán kính đư ờng tròn nội tiếp a Ba mặt bên hình chóp hợp với đáy góc  a) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp b) Tính diện tích thiết diện qua cạnh bên SA đư ờng cao hình chóp Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thoi có góc nhọn A =  Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với đáy, hai mặt bên lại hợp với đáy góc  Cho SA = a a) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp b) Tính góc SB mặt phẳng (SAC) Bài 12: Cho hình chóp tư ù giác SABCD có cạnh đáy a Mặt phẳng qua AB trung điểm M SC hợp với đáy góc  a) Tính thể tích hình chóp b) Gọi I J điểm giư õa AB BC Mặt phẳng qua IJ vuông góc với đáy chia hình chóp thành hai phần Tính thể tích hai phần Bài 13: Cho hình lập phư ơng ABCD.A’B’C’D’ Gọi O giao điểm đư ờng chéo ABCD Biết OA’ = a a) Tính thể tích hình chóp A’.ABD, tư ø suy khoảng cách tư ø đỉnh A đến mặt phẳng A’BD b) Chư ùng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng A’BD Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh đáy 2a, cạnh bên AA' = a Gọi D, E trung điểm AB A'B' a Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C' b Tính khoảng cách đường thẳng AB mặt phẳng (CEB') Bài 15: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AC = b, góc C = 600 Đường chéo BC’của mặt bên BB’C’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 300 a Tính độ dài đoạn AC’ b Tính thể tích khối lăng trụ Bài 16: Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy, góc   600 , BC  a; SA  a Gọi M trung điểm cạnh SB ACB Chứng minh mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC 27 CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN LUYỆN THI GV ĐỖ VĂN THỌ - 01683297530 Bài 17: Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác ABC vng A , góc ABC = 600 , BC = a, SB vng góc với mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) góc 450 Gọi E, F hình chiếu B SA, SC a Tính thể tích hình chóp S.ABC b Chứng minh A, B, C, E, F thuộc mặt cầu, xác định tâm bán kính mặt cầu Bài 18: Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng   song song với AD BC cắt cạnh AB, AC, CD, DB tương ứng điểm M, N, P, Q a Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b Xác định vị trí diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn Bài 19: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SD = a a Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABCD theo a b Tính cosin góc nhị diện (SAB,SAD) Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Lấy M, N lần SM SN lượt SB, SD cho:  BM DN SP a Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC P Tính tỷ số CP b Tính thể tích hình chóp S.AMNP theo thể tích V hình chóp S.ABCD (Tài liệu có sưu tầm từ số tư liệu khác) 28