Giải bài tập Giải tích 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC - LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58 ( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ ) Hà Nội, 9/2013 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com LỜI NÓI ĐẦU Sau hai ngày vất vả làm ngồi làm đống tập giải tích I K58 có buồn nhẹ người mệt lừ :-( Trong trình đánh máy khơng tránh khỏi sai sót lời giải chẳng =)) mong bạn góp ý để sửa cho :D ( nói thể thơi sai mặc xác lấy đâu time mà sửa với chả sủa :v) Trong số chưa làm :-( học lâu nên chẳng nhớ :D Hy vọng giúp cho bạn K58 học cải thiện, học lại mơn có điểm "F " =)) Chúc bạn học tốt ! Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Chương HÀM MỘT BIẾN SỐ 1.1-1.5 Dãy số, hàm số, giới hạn liên tục Tìm tập xác định hàm số a y = log (tan x)   cos x =    tan x ≥     log (tan x) ≥    cos x = x≥ ⇔ ⇔  tan x ≥ x= π + kπ π + kπ (k ∈ Z) 2x b y = arcsin 1+x         x = −1  1+x=0 ⇔ ⇔   −1 − x ≤ 2x ≤ + x  −1 ≤ 2x ≤   1+x  x = −1   3x ≥ −1 x≤1 ⇔ − 31 ≤ x ≤ √ c y = x sin πx     x≥0 x≥0 x≥0 x≥0 ⇔ ⇔ ⇔ x∈  πx = kπ x=k  sin πx = /Z c y = arccos (2 sin x) −1 ≤ sin x ≤ ⇔ − 12 ≤ sin x ≤ 12  − π6 + 2kπ ≤ x ≤ π6 + 2kπ  ⇔ (k ∈ Z) 5π 7π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ Tìm miền giá trị hàm số a y = log (1 − cos x) ĐK: cos x < ⇔ π + 2kπ < x < 5π + 2kπ Mặt khác ta có − cos x ∈ (0, 3] ⇒ y ∈ (−∞, log 3] x b y = arcsin log 10 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com ĐK  x>0 π π ⇒y∈ − ,  log x ≤ 2 10 Tìm f (x) biết a f x + x Đặt t = x + = x2 + x x2 (|t| ≥ 2) ⇒ t2 = x2 + b f x 1+x Đặt t = 1 + ⇒ t2 − = x2 + ⇒ f (x) = x2 − 2 x x = x2 x 1+x (t = 1) ⇒x= t t2 x2 ⇒ x2 = ⇒ f (x) = 1−t (1 − t)2 (1 − x)2 Tìm hàm ngược hàm số a y = 2x + D=R x= b y−3 ⇒ hàm ngược hàm y = 2x + y = x−3 1−x 1+x D = R \ {−1} y= 1−x 1−y ⇔ y + yx = − x ⇔ x = 1+x 1+y Suy hàm ngược hàm 1−x 1+x y = c y = 21 (ex + e−x ) , (x > 0) D = [0, +∞) 1−x 1+x Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Đặt t = ex (t > 0) y= t+ t ⇔ t2 − 2yt + = ∆ = y2 −  t=y+ ⇒ t=y− ⇒ ex = y + y2 − y − 1, (loại) y2 − Suy hàm ngược y = ln x + x2 − Xét tính chẵn lẻ hàm số a f (x) = ax + a−x , (a > 0) f (x) = a−x + ax = −f (x) Suy hàm f (x) hàm chẵn √ b f (x) = ln x + + x2 f (−x) = ln −x + √ 2 +1+x √ + x2 = ln −x = − ln x + x+ 1+x2 √ + x2 = −f (x) Suy hàm f (x) hàm lẻ c f (x) = sin x + cos x f (−x) = sin(−x) + cos(−x) = − sin x + cos x = f (x) −f (x) suy f (x) không hàm chẵn không hàm lẻ Chứng minh hàm số f (x) xác định khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn với hàm số lẻ Chứng minh Giả sử f (x) = g(x) + h(x) (1) Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com g(x) hàm chẵn h(x) hàm lẻ Khi f (−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x) (2) (1) + (2) ta f (x) + f (−x) = 2g(x) ⇒ g(x) = f (x)+f (−x) (1) − (2) ta f (x) − f (−x) = 2h(x) ⇒ h(x) = f (x)−f (−x) Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau (nếu có) a f (x) = A cos λx + B sin λx Gọi T chu kỳ Với x ta có f (x + T ) = f (x) ⇔ A cos λ (x + T ) + B sin λ (x + T ) = A cos λx + B sin λx ⇔ A cos λx cos λT − A sin λx sin λT + B sin λx cos λT + B sin λT cos λx = A cos λx + B sin λx nên cos λT = ⇒ λT = 2kπ ⇒ T = 2π λ 2kπ λ chu kỳ nhỏ b f (x) = sin(x2 ) Ta có (k + 1) π − √ kπ = √ π √ (k+1)π+ kπ → k → +∞ Suy hàm f (x) không tuần hoàn c f (x) = sin x + 12 sin 2x + 13 sin 3x Ta có sin x tuần hoàn chu kỳ 2π sin 2x tuần hoàn chu kỳ π sin 3x tuần hoàn chu kỳ 2π Suy f (x) tuần hoàn chu kỳ BCNN 2π, π, 2π 2π Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com d f (x) = cos2 x Ta có f (x) = 1+cos 2x ⇒ f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π 1.6-1.7 Giới hạn hàm số Tìm giới hạn 100 −2x+1 a lim xx50 −2x+1 x→1 L 100 99 −2x+1 = −2 lim xx50 −2x+1 lim 100x 50x49 −2 = 98 49 48 = 24 x→1 n n n−1 (x−a) ,n ∈ N lim (x −a )−na (x−a) x→a n n n−1 (x−a) lim (x −a )−na (x−a) x→a n−2 n−1 L L n(n−1)an−2 −nan−1 = = lim nx 2(x−a) lim n(n−1)x = 2 x→a x→a x→1 b Tìm giới hạn √ √ x+ x+ x √ a lim x+1 x→+∞ √ √ √ x+ x+ x √ lim = lim √xx = x+1 x→+∞ x→+∞ √ b lim x3 + x2 − − x x→+∞ √ lim x3 + x2 − − x x→+∞ = lim √ x→+∞ x3 +x2 −1−x3 √ (x3 +x2 −1) +x x3 +x2 −1+x2 x2 = 3x x→+∞ √ √ m n 1+βx lim 1+αx− x x→0 √ √ m 1+αx− n 1+βx lim x x→0 √ √ m n 1+βx−1 1+αx−1 = lim − lim x x x→0 x→0 = lim c β α m√− n √ m n lim 1+αx x 1+βx−1 x→0 √ √ m 1+αx n 1+βx−1 lim x x→0 √ √ √ n 1+βx[ m 1+αx−1]+ n 1+βx−1 = lim x x→0 √ √ √ m n n 1+βx[ 1+αx−1] 1+βx−1 = lim + lim x x x→0 x→0 = d = α m + β n Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com 10 Tìm giới hạn a lim x→∞ sin x−sin a x−a L sin x−sin a = lim cos x x−a x→∞ x→∞ lim = cos a √ √ sin x + − sin x b lim x→+∞ Ta có √ √ sin x + − sin x √ = sin √ x+1− x √ cos √ x+1+ x √ √ < √ ≤ sin √x+1+ < x+1+ x x) ( √ √ Suy lim sin x + − sin x = √ x →0 x→+∞ √ c lim x→0 √ cos x− cos x sin2 x √ √ cos x− cos x sin2 x x→0 √ √ cos x−1 x−1 = lim sin2 x − lim cos sin x x→0 x→0 cos x−1 √ = lim sin2 x(cos√x−1 − lim sin2 x √cos x+ cos x+1 cos x+1) ( ) x→0 x→0 (−x2 /2) (−x2 /2) = lim x2 − lim x2 = − 12 x→0 x→0 x cos 2x cos 3x lim 1−cos 1−cos x x→0 lim d x cos 2x cos 3x lim 1−cos 1−cos x x→0 x cos 2x−cos x cos 2x cos 3x = lim 1−cos x+cos x−cos x cos 2x+cos 1−cos x x→0 2x) 2x(1−cos 3x) x + lim cos x(1−cos + lim cos x cos1−cos = lim 1−cos 1−cos x x x→0 x→0 x→0 1−cos x 2 4x 9x ( /) ( /) = − lim x2 − lim x2 = 14 / / x→0 x→0 11 Tìm giới hạn x2 −1 x2 +1 a lim x→∞    lim x→∞   lim x→∞ x−1 x+1 x2 −1 x2 +1 x−1 x+1 =1 ⇒ lim =1 x→∞ x2 −1 x2 +1 x−1 x+1 =1 Facebook: Badman √ cos x b lim+ x→0 lim hiep giapvan@ gmail com √ x→0+ lim √ x cos x = lim+ (cos x) = e ln(1+cos x + x→0 √ x→0 x−1) lim cos √ x−1 x =e =e =e c lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) x→0+ ln(cos x + x→0 lim lim x→0+ −x/2 x √ x) = e− x→∞ lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) x→∞ x x = lim cos ln(x+1)+ln sin ln(x+1)−ln 2 x→∞ ln(1+ x1 ) = lim cos ln x(x+1) sin 2 x→∞ Do cos ln x(x+1) bị chặn lim sin x→∞ ln(1+ x1 ) = nên lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) = √ √ d lim n2 ( n x − n+1 x) , x > x→∞ √ √ lim n2 ( n x − n+1 x) = lim n2 x1/(n+1) x1/(n +n) − x→∞ x→∞ 1/(n2 +n) x −1 = lim n2n+n x1/n+1 (n2 +n) = ln x / x→∞ Do lim n2n+n = x→∞ x→∞ lim x n+1 = x→∞ n2 +n) x /( −1 lim = ln x 1/(n2 +n) x→∞ 12 Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương khơng? √ α(x) = x + x β(x) = esin x − cos x Ta có √ √ α(x) = x + x ∼ x x → 0+   esin x − ∼ sin x ∼ x  − cos x ∼ x2 x → 0+ ⇒ β(x) = esin x − + − cos x ∼ esin x − ∼ sin x ∼ x Suy α(x) β(x) không tương đương 1.8 Hàm số liên tục Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com 13 Tìm a  để hàm số liên tục x = x  1−cos x = x2 a f (x) = a x = Hàm f (x) liên tục x = lim f (x) = a hay x→0 x lim 1−cos x x→0  = =a  ax2 + bx + với x ≥ b g(x) =  a cos x + b sin x với x < Ta có g(0) = a.02 + b.0 + = lim g(x) = lim− (a cos x + b sin x) = a x→0− x→0 lim+ g(x) = lim− ax2 + bx + = x→0 x→0 Hàm g(x) liên tục x = lim g(x) = lim− g(x) = g(0) ⇒ a = x→0+ x→0 14 Điểm x = điểm gián đoạn loain hàm số a y = 1−2cot gx • x → 0− ⇒ cot x → −∞ ⇒ 2cot x → ⇒ lim− 1−28cot x = x→0 • x → 0+ ⇒ cot x → +∞ ⇒ 2cot x → +∞ ⇒ lim− 1−28cot x = x→0 Vậy x = điểm gián đoạn loại I b y = sin x1 e x +1 Chọn xn = nπ → 0− Do sin xn = sin(nπ) = ⇒ lim− x→0 Chọn xn = −1 2nπ+ π2 sin x1 e x +1 → 0− Suy sin xn = sin xn = sin −2nπ − Suy không tồn lim− x→0 sin x1 e x +1 Vậy x = điểm gián đoạn loại II c y = eax −ebx , (a x =0 = b) 10 π = −1 ⇒ lim− x→0 sin x1 e x +1 = −1 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com tan x−x Ta có có bậc so với x tích phân tan x−x dx phân kỳ √ xdx esin x −1 b Ta có √ √ √ x x x ∼ ∼ ∼ √ ,x → sin x e − sin x x x √ suy vô lớn c x → bậc với √1 x tích phân √ x esin x −1 dx hội tụ √ √ xdx 1−x4 +∞ d Vì +∞ x esin x −1 ln(1+x)dx x ln(1+x) x > ln(1+x) dx x +∞ e e−x x2 x, x +∞ > e tích phân 1 x dx phân kỳ, suy tích phân phân kỳ dx 2 Xét y = e−x có y = −2xe−x , nên y < x > Do hàm y nghịch biến x > Suy e−x < x > hay +∞ hội tụ nên e x2 +∞ f −x2 e−x x2 < x2 +∞ Mặt khác 1 x2 dx dx hội tụ x2 dx x4 −x2 +1 +∞ f (x)dx hội tụ có suy f (x) → x → +∞ không? 12 Nếu +∞ sin x2 dx Xét ví dụ +∞ f (x)dx hội tụ f (x) không thiết phải dần đến Tích phân a +∞ sin(x2 )dx x → +∞ Chẳng hạn: Xét tích phân a Đặt x2 = t > ⇒ dx = dt √ , t ta có 30 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com +∞ +∞ sin(x2 )dx = a sin t dt t tích phân hội tụ, nhiên hàm f (x) = sin(x2 ) không dần x → +∞, hay f (x) = sin(x2 ) khơng có giới hạn x → +∞ +∞ f (x)dx 13 Cho hàm f (x) liên tục [a, b] lim f (x) = A = Hỏi x→+∞ có hội tụ khơng? 2.4 Ứng dụng tích phân 14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn a Đường parabol y = x2 + đường thẳng x − y + = x + − x2+4 S= dx = b Parabol bậc ba y = x3 đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0) √ 2x − x3 dx = (2x − x) dx + S= c Đường tròn x2 + y = 2x parabol y = x, (y ≤ x) S=2 =2 √ 4x − x2 − √ (2−x) 4x = 2π − √ 2x dx − x2 + 42 arcsin 2−x 2 − √ √ 23 x x 16 d Đường y = x2 − x4 15 Tính thể tích vật thể phần chung hai hình trụ x2 + y = a2 y + z = a2 , (a > 0) Đáp số: V = 16 3a Chương 31 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Hàm nhiều biến số Tìm miền xác định hàm số sau a z = √ x2 +y −1 Hàm z xác định x2 + y − > ⇒ x2 + y > (x2 + y − 1) (4 − x2 − y ) b z = Hàm  số xác định   x2 + y − ≤  x2 + y − ≥  − x2 − y ≤  − x2 − y ≥   x2 + y ≥ ⇒  x2 + y ≤ c z = arcsin y−1 x Hàm z xác định −1 ≤ y−1 x ≤1 ⇒ (x, y) ∈ R2 > 0, − x ≤ y ≤ + x ∪ (x, y) ∈ R2 < 0, − x ≥ y ≥ + x d z = √ x sin y Hàm z xác định x ln y ≥ ⇒ (x, y) ∈ R2 ≥ 0, y ≥ ∪ (x, y) ∈ R2 ≤ 0, < y ≤ Tìm giới hạn có hàm số sau a f (x, y) = x2 −y x2 +y , Đặt f (x, y) = (x → 0, y → 0) x2 −y x2 +y Lấy xn = yn = n → n → ∞ suy f (xn , yn ) = Lấy xn = 0, yn = n − n12 n2 + n12 n2 =0→0 → n → ∞ 32 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Khi f (xn , yn ) = − n12 n2 = −1 → −1 Vậy không tồn giới hạn f (x, y) x → 0, y → πx b f (x, y) = sin 2x+y , (x → ∞, y → ∞) 3.2 Đạo hàm vi phân Tính đạo hàm riêng hàm số sau x2 + y a z = ln x + zx = √ x2 +y zy = y x x2 + y + x2 + y b z = y sin xy zx = y cos xy zy = 2y sin xy − x cos xy x2 −y x2 +y c z = arctan zx = √y x x −y zy = √ −y x −y d xy , (x > 0) zx = y xy −1 zy = xy 3y ln x z e u = xy , (x, y, z > 0) ux = y z xy z −1 z z uy = xy zy z−1 ln x uz = xy y z ln y ln x f u = e x2 +y2 +z2 ux = −e x2 +y2 +z2 (x2 +y2x2 +z )2 uy = −e x2 +y2 +z2 (x2 +y2y2 +z )2 uz = −e x2 +y2 +z2 (x2 +y2z2 +z )2 Khảo sát liên tục tồn tại, liên tục đạo hàm riêng hàm số f (x,  y) sau  x arctan a f (x, y) = 0 y x x = x = 33 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com y x Hàm f (x, y) = x arctan liên tục x = Ta có |f (x, y)| ≤ x π Vì f (x, y) → f (0, y) x → Vậy f (x, y) liên tục x = 0, suy f (x, y) liên tục R2 Với x = đạo hàm riêng fx (x, y), fy (x, y) tồn liên tục fx (x, y) = arctan fy (x, y) = y x − 2x2 y x4 +y 2x3 y x4 +y Xét x = 0, y = (0,y) fx (0, y) = lim f (h,y)−f = lim arctan h h→0 fy (0, y) = h→0 (0,y) lim f (0,y+k)−f k k→0 y h = π = lim = k→0 Nếu y = (0,0) fx (0, 0) = lim f (h,0)−f = lim = h h→0 fy (0, y) = k→0 (0,0) lim f (0,k)−f k k→0 = lim = k→0 Vậy fy (x, y) liên tục R fx (x, y) liên tục R2 \ (0, 0) sin x  x sin y−y (x, y) = (0, 0) x2 +y b f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0) Hàm f (x, y) = x sin y−y sin x x2 +y liên tục (x, y) = (0, 0) Ta có 3 x y− y3! +o(y ) −y x− x3! +o(x3 ) f (x, y) = xy (x2 −y ) = 3!(x2 +y2 ) + x2 +y xo(y )−yo(x3 ) x2 +y Do (x, y) → (0, 0) f (x, y) → = f (0, 0) Vậy f (x, y) liên tục R2 Với (x, y) = (0, 0) đạo hàm riêng fx (x, y), fy (x, y) tồn liên tục fx (x, y) = fx (x, y) = (y2 −x2 ) sin y−y(x2 +y2 ) cos x+2xy sin x (x2 +y ) 2 (y −x ) sin x−y(x2 +y2 ) cos y+2xy sin y (x2 +y ) 34 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Xét (0, 0) (0,0) = lim = fx (0, 0) = lim f (h,0)−f h h→0 h→0 fy (0, 0) = (0,0) lim f (0,k)−f k h→0 lim Và không tồn giới hạn (x,y)→(0,0) = lim = fx (x, y), h→0 lim (x,y)→(0,0) fy (x, y) Vậy fx (x, y), fy (x, y) liên tục R2 \ (0, 0) Giả sử z = yf (x2 − y ), f hàm số khả vi Chứng minh hàm số z hệ thức sau thỏa mãn x zx + y1 zy = z y2 zx = y.2xf (x2 − y ) zy = f (x2 − y ) − 2y fy (x2 − y ) ⇒ x1 zx + y1 zy = 2yf (x2 − y ) + yf (x2 −y ) y2 = = f (x2 −y ) y z y2 Tìm dạo hàm hàm số hợp sau a z = eu −2v x2 + y , u = cos x, v = Ta có zx = zu ux + zv vx = eu −2v = −ecos 2 2u (− sin x) + eu x−2(x2 +y ) −2v (−4v) √ (2 cos x sin x + 4x) zy = zu uy + zv vy = eu −2v 2 2u.0 + eu −2v (−4v) √ 2 = −ecos x−2(x +y ) 4y b z = ln u2 + v , u = xy, v = y x2 +y x y 35 x x2 +y − 2yf (x2 − y ) Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com 2u u2 +v , zu = 2v u2 +v zv = ux = y, vx = y1 , uy = x, vy = − yx2 zx = 2xy y x2 y + xy2 + zx = 2xy x x2 y + xy2 + xy x2 y + xy2 y xy x2 y + xy2 x = −x y2 2(y −1) y(y +1) = c z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3 zx = √ 1−(x−y) zy = − √ 1−(x−y) xt = 3, yt = 12t2 ⇒ zt = √ 1−(3t−4t3 ) −√ 12t2 1−(3t−4t ) Tìm vi phân tồn phần hàm số a z = sin(x2 + y ) dz = cos x2 + y d x2 + y = cos x2 + y (2xdx + 2ydy) b ln tan xy dz = y y (xdy − ydx) d = d = y y y y tan x cos2 x x sin x cos x x x2 sin 2y x c arctan x+y x−y dz = 1+( x+y x−y ) d x+y x−y = d u = xy (x−y) 2(xdy−ydx) 2(x2 +y ) (x−y)2 = xdy−ydx x2 +y z ux = y zxy ⇒ dz = xy z z−1 2 , uy = xy z ln x.2yz, uz = xy z ln x.y y2 z x dx + 2yz ln xdy + y ln xdz Tính gần a A = (1, 02)2 + (0, 05)2 Xét f (x, y) = x2 + y Ta có A = f (1 + ∆x, + ∆y) 36 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com ∆x = 0, 02, ∆y = 0, 05 fx (x, y) = √ 3 2x , (x2 +y ) fy (x, y) = √ 3 2y (x2 +y ) Do f (1+∆x, 0+∆y) ≈ f (0, 1)+fx (1, 0)∆x+fy (1, 0)∆y = 1+ 0, 02 = 1, 013 √ √ b B = ln 1, 03 + 0, 98 − √ √ Xét f (x, y) = ln x + y − Ta có √ √ ln 1, 03 + 0, 98 − = f (1 + ∆x, + ∆y) ∆x = 0, 03, ∆y = 0, 02 fx (x, y) = √ √ √ 3 x2 ( x+ y−1) fy (x, y) = √ 4 √ √ y ( x+ y−1) Do f (1 + ∆x, + ∆y) ≈ f (1, 1) + fx (1, 1)∆x + fy (1, 1)∆y =0+ 0,03 − 0,02 = 0, 005 Tìm đạo hàm hàm số ẩn xác định phương trình sau a x3 y − y x = a4 , (a > 0), tính y F (x, y) = x3 y − y x − a4 = Fx = 3x2 y − y , Fy = x3 − 3xy y (3x2 −y ) ⇒ y = − FFxy = x(3y2 −x2 ) b x + y + z = e2 , tính zx , zy F = ez − x − y − z = Fx = −1, Fy = −1, Fz = ez − ⇒ zx = zy = ez −1 37 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com y c arctan x+y a = a , (a > 0) F = arctan x+y a − Fx = 1 a 1+( x+y a ) Fy = a (x+y) +a2 ⇒y = y a = − a =0 a (x+y) +a2 (x+y) = − (x+y) +a2 a a2 (x+y) d x3 + y + z − 3xyz = 0, tính zx , zy F = x3 + y + z − 3xyz = Fx = 3x2 − 3yz, Fy = 3y − 3xz, Fz = 3z − 3xy ⇒ zx = 10 Cho u = x+z y+z , yz−x2 z −xy , zy = xz−y z −xy tính ux , uy biết z hàm số ẩn x, y xác định phương trình zex = xex + yey Ta có ux = uy = (y+z)(1+zx )−(x+z)zx (y+z) (y+z)zy −(x+z)(1+zy ) (y+z) = = y−x 2z (y+z) x y−x 2z (y+z) y + y+z − x+z (y+z) Mặt khác lấy đạo hàm theo x vế ta ex (x + 1) (ze + e ) zx = xe + e ⇒ zx = z e (z + 1) z z x x tương tự zy = ey (x + 1) ez (z + 1) Suy ux = uy = y−x ex (x+1) (y+z) ez (z+1) y−x ey (x+1) (y+z) ez (z+1) + y+z − x+z (y+z) 11 Tìm đạo hàm hàm  số ẩn y(x), z(x) xác định hệ  x+y+z =0  x2 + y + z = 38 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Lấy đạo hàm theo x vế phương trình ta    y + z = −1  y = x−z z−y ⇒  yy + zz = −x  z = y−x z−y 12 Phương trình z + x2 = y − z , xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh x2 zx + y1 zy = z Chứng minh Ta có x F = z2 + y2 − z2 = − Fx = − x22 Fy = − √ y y −z Fz = 2z + √ z y −z 2 x2 ⇒ zx = 2z+ √ √ z y −z ⇒ x2 zx + y1 zy = , zy = y y −z 2z+ √ 2z y −z z 13 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau a z = (x2 + y )3 zx = 13 32 x + 2 y 2x =x zy = y x2 + y zx2 = x2 + y + √ x2 x +y x2 + y 2 x +y zxy = √ xy x +y 2 2x +y =√ 2 x +2y zy2 = √ 2 x +y b z = x ln(x + y) 39 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com zx = 2x ln (x + y) + zy = x2 x+y x2 x+y zx2 = 2x ln (x + y) + zxy = 2x x+y − 2x x+y + x2 +2xy (x+y) x2 (x+y) x zy2 = − (x+y) y c z = arctan x zx = −y x2 +y zy = x x2 +y zx2 = zxy = zy2 = 2xy (x2 +y ) y −x2 (x2 +y ) −2xy (x2 +y ) 14 Lấy vi phân cấp hai hàm số sau a z = xy − x2 y z = xy − x2 y zx = y − 2xy zy = 2xy − x2 zx2 = −2y zxy = 2y − 2x zy2 = 2x ⇒ d2 z = −2yd2 x + (2y − 2x) dxdy + 2xd2 y b z = 2(x21+y2 ) 40 Facebook: Badman zx = zy = hiep giapvan@ gmail com −x (x2 +y ) −y 2 (x +y ) (x2 +y2 ) −2.2x(x2 +y2 ) zx2 = zxy = zy2 = ⇒ d2 z (x2 +y ) = x2 +y −4x (x2 +y ) 2xy (x2 +y ) = (x22xy (x2 +y ) +y ) x2 +y −4y (x2 +y ) 2 −4x = x(x+y d x + (x22xy dxdy +y )3 +y ) + x2 +y −4y d y (x2 +y ) 15 Tìm cực trị hàm số sau a z = x2 + xy + y + x − y + Tìm điểm tới hạn   zx = 2x + y + = ⇒ M (−1, 1)  z = x + 2y − = y Tính   zx = 2x + y + = ⇒ M (−1, 1)  z = x + 2y − = y A = zx2 = 2, B = zxy = 1, C = zy2 = ⇒ B − AC = −3 < Suy M điểm cực trị A > điểm cực tiểu zmin = z(−1, 1) = b z= x + y − xey  zx = − ey = ⇒ M (1, 0)  z = − xey = y A = zx2 = 0, B = zxy = −ey , C = zy2 = −xey ⇒ B(M )2 − A(M )C(M ) = > Suy khơng có cực trị c z = x2 + y − e−(x +y ) Điểm tới hạn nghiệm hệ 41 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com   2x + 2xe−(x2 +y2 ) =  2y + 2ye−(x2 +y2 ) = Suy M (0, 0) 2 2 A = + 2e−(x +y ) − 4x2 e−(x +y ) B = −4xye−(x C = + 2e−(x +y ) +y ) − 4y e−(x +y ) Tại M (0, 0) B − AC = −4 < M (0, 0) điểm cực trị A(M ) = > suy M (0, 0) điểm cực tiểu zmin = −1 d.z = 2x4 + y − x2 − 2y  zx = 8x3 − 2x =  z = 4y − 4y = y ⇒ M0 (0, 0), M1 (0, 1), M2 (0, −1), M3 ( 21 , 0), M4 ( 12 , 1) M5 ( 21 , −1), M6 (− 12 , 0), M7 (− 12 , 1), M8 (− 12 , −1) A = zx2 = 24x2 , B = zxy = 0, C = zy2 = 12y − Tại M0 có B − AC = −8 < A(M0 ) = −2 < suy M0 điểm cực đại zmax = z(M0 ) = Tại điểm M1 , M2 ta có B − AC = 2.8 = 16 > Vậy điểm cực trị Tại M3 , M6 có B − AC = 4.4 = 16 > suy điểm cực trị Tại M4 , M5 , M7 , M8 có B − AC = −4.8 = −32 < 0, điểm cực trị có A = > suy điểm cực tiểu zmin = z(M4 ) = z(M5 ) = z( M7 ) = z( M8 ) = − 89 16 Tìm cự trị có điều kiện a z = x + y với điều kiện x2 + y2 = a2 Hàm Lagrange 42 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com L (x, y, λ) = x + y1 + λ x2 + y2 − a2 ,a > Tìm điểm tới hạn   L = − x12 −    x L y = − y12 −     x2 + y2 2λ x3 2λ y3 a2 = =0   √ √  x = y = −2λ M1 − 2a, − 2a , λ = √a2 ⇔ =0 ⇔ √ √  λ = ± √a M 2a, 2a , λ = − √a2 2 Xác định điểm cực trị   L xx = x3 + 6λ x4 , L xy = 0, L yy =  ϕ = − , ϕ = − ⇒ dϕ = −2 x y x3 y3 ⇒ d2 L = x3 + 3λ x4 + y3 + 3λ y4 y6 x6 y3 6λ y4 + x3 dx + y dy √a 2a3 − 3√ 4a3 3λ x4 dx2 + y3 + 3λ y4 dy = ⇔ dy = − xy dx : d2 L = − 2a31√2 + 4a33√2 dx2 = dx2 = √ √ Tại M2 2a, 2a , λ = − √a2 : 1√ + dx2 √ √ Tại M1 − 2a, − 2a , λ = d2 L = x3 ⇒ d2 L = dx√2 a3 > ⇒ M1 cực tiểu √ dx2 = dx2 = − adx < ⇒ M2 điểm cực đại b z = xy với điều kiện x + y = Do x + y = ⇒ y = − x Bài toán đưa tìm cực trị hàm biến z = z(x) = x − x2 , x ∈ R Từ dễ tính zmax = đạt 1 2, 17 Tính giá trị lớn bé hàm số a z = x2 y(4 − x − y) hình tam giác giới hạn đường thẳng x = 0, y = 6, x + y = Điểm tới hạn nghiệm hệ   xy (8 − 3x − 2y) =  x2 (4 − x − 2y) = ⇒ (0, y); (0, 4); (2, 1) Các điểm (0, y), (0, 4) nằm biên (2, 1) năm miền D Vậy ta so sánh giá trị (2, 1) giá trị z biên Ta có z(2, 1) = 4, z(0, y) = 0, z(x, 0) = 43 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Trên x + y = có z = 2x3 − 12x2 x ∈ [0, 6] z đạt giá trị max x = 0, x = -64 x = Vậy zmax = x = (2, 1) zmin = −64 x = (4, 2) b z = sin x + sin y + sin(x + y) hình chữ nhật giới hạn đường thẳng x = 0, x = π2 , y = 0, y = π Điểm tới hạn nghiệm hệ   cos x + cos (x + y) = ⇒ cos x = cos y  cos y + cos (x + y) = x, y ∈ [0, π2 ] nên x = y suy x = y = π3 Ta cần so sánh giá trị z M ( π3 , π3 ) nằm miền D với giá trị biên √ 3 z(M ) = Trên x = 0, z = sin y, ≤ y ≤ π đạt y = max y = π2 Trên x = π có √ π π π + y = + sin y + ,0 ≤ y ≤ √ √ √ z đạt max + y = π4 đạt + 22 = z = + sin y + sin y = 0, π2 Vì x, y đối xứng trông công thức z nên y = y = max x = 0, x = π2 Tóm lại zmax = √ 3 ( π3 , π3 ) zmin = (0, 0) 44 π z đạt ... x1 √ x→∞ 1 1 x12 ex = + 1 x2 x + 2x2 =1 x2 + o1 2x2 + o2 x2 cos x1 = − 12 x12 + o3 ⇒ e x −cos x1 √ 1 1 x12 = x2 1+ x1 + 2x12 +o1 ( x12 ) 1+ 12 x12 −o3 ( x12 ) ⇒ lim e x −cos x1 x→∞ 1 ... = 13 (k) x 1 x (n−k) Facebook: Badman = = (10 0) 1+ x 1 x y (10 0) = = hiep giapvan@ gmail com 1 1−x = (1 + x) (10 0) + 10 0 1 1−x (99) (1+ x )19 9!! 10 0 .19 7!! + 299 (1 x) 10 0 √ 99 √ 210 0 (1 x) 1 x... 1 x 1 x (19 9 (1+ x) +10 0.2 (1 x)) .19 9 .19 7!! 10 0 √ 210 0 (1 x) 1 x (399−x )19 7!! 10 0 √ 210 0 (1 x) 1 x 2x (10 ) c y = x e , tính y (10 ) y (10 ) = x2 e2x = x2 e2x (10 ) + 20x e2x (9) + 90 e2x (8) = 210 x2