Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 44 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
44
Dung lượng
526,46 KB
Nội dung
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC - LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58 ( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ ) Hà Nội, 9/2013 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com LỜI NÓI ĐẦU Sau hai ngày vất vả làm ngồi làm đống tập giải tích I K58 có buồn nhẹ người mệt lừ :-( Trong trình đánh máy khơng tránh khỏi sai sót lời giải chẳng =)) mong bạn góp ý để sửa cho :D ( nói thể thơi sai mặc xác lấy đâu time mà sửa với chả sủa :v) Trong số chưa làm :-( học lâu nên chẳng nhớ :D Hy vọng giúp cho bạn K58 học cải thiện, học lại mơn có điểm "F " =)) Chúc bạn học tốt ! Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Chương HÀM MỘT BIẾN SỐ 1.1-1.5 Dãy số, hàm số, giới hạn liên tục Tìm tập xác định hàm số a y = log (tan x) cos x = tan x ≥ log (tan x) ≥ cos x = x≥ ⇔ ⇔ tan x ≥ x= π + kπ π + kπ (k ∈ Z) 2x b y = arcsin 1+x x = −1 1+x=0 ⇔ ⇔ −1 − x ≤ 2x ≤ + x −1 ≤ 2x ≤ 1+x x = −1 3x ≥ −1 x≤1 ⇔ − 31 ≤ x ≤ √ c y = x sin πx x≥0 x≥0 x≥0 x≥0 ⇔ ⇔ ⇔ x∈ πx = kπ x=k sin πx = /Z c y = arccos (2 sin x) −1 ≤ sin x ≤ ⇔ − 12 ≤ sin x ≤ 12 − π6 + 2kπ ≤ x ≤ π6 + 2kπ ⇔ (k ∈ Z) 5π 7π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ Tìm miền giá trị hàm số a y = log (1 − cos x) ĐK: cos x < ⇔ π + 2kπ < x < 5π + 2kπ Mặt khác ta có − cos x ∈ (0, 3] ⇒ y ∈ (−∞, log 3] x b y = arcsin log 10 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com ĐK x>0 π π ⇒y∈ − , log x ≤ 2 10 Tìm f (x) biết a f x + x Đặt t = x + = x2 + x x2 (|t| ≥ 2) ⇒ t2 = x2 + b f x 1+x Đặt t = 1 + ⇒ t2 − = x2 + ⇒ f (x) = x2 − 2 x x = x2 x 1+x (t = 1) ⇒x= t t2 x2 ⇒ x2 = ⇒ f (x) = 1−t (1 − t)2 (1 − x)2 Tìm hàm ngược hàm số a y = 2x + D=R x= b y−3 ⇒ hàm ngược hàm y = 2x + y = x−3 1−x 1+x D = R \ {−1} y= 1−x 1−y ⇔ y + yx = − x ⇔ x = 1+x 1+y Suy hàm ngược hàm 1−x 1+x y = c y = 21 (ex + e−x ) , (x > 0) D = [0, +∞) 1−x 1+x Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Đặt t = ex (t > 0) y= t+ t ⇔ t2 − 2yt + = ∆ = y2 − t=y+ ⇒ t=y− ⇒ ex = y + y2 − y − 1, (loại) y2 − Suy hàm ngược y = ln x + x2 − Xét tính chẵn lẻ hàm số a f (x) = ax + a−x , (a > 0) f (x) = a−x + ax = −f (x) Suy hàm f (x) hàm chẵn √ b f (x) = ln x + + x2 f (−x) = ln −x + √ 2 +1+x √ + x2 = ln −x = − ln x + x+ 1+x2 √ + x2 = −f (x) Suy hàm f (x) hàm lẻ c f (x) = sin x + cos x f (−x) = sin(−x) + cos(−x) = − sin x + cos x = f (x) −f (x) suy f (x) không hàm chẵn không hàm lẻ Chứng minh hàm số f (x) xác định khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn với hàm số lẻ Chứng minh Giả sử f (x) = g(x) + h(x) (1) Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com g(x) hàm chẵn h(x) hàm lẻ Khi f (−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x) (2) (1) + (2) ta f (x) + f (−x) = 2g(x) ⇒ g(x) = f (x)+f (−x) (1) − (2) ta f (x) − f (−x) = 2h(x) ⇒ h(x) = f (x)−f (−x) Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau (nếu có) a f (x) = A cos λx + B sin λx Gọi T chu kỳ Với x ta có f (x + T ) = f (x) ⇔ A cos λ (x + T ) + B sin λ (x + T ) = A cos λx + B sin λx ⇔ A cos λx cos λT − A sin λx sin λT + B sin λx cos λT + B sin λT cos λx = A cos λx + B sin λx nên cos λT = ⇒ λT = 2kπ ⇒ T = 2π λ 2kπ λ chu kỳ nhỏ b f (x) = sin(x2 ) Ta có (k + 1) π − √ kπ = √ π √ (k+1)π+ kπ → k → +∞ Suy hàm f (x) không tuần hoàn c f (x) = sin x + 12 sin 2x + 13 sin 3x Ta có sin x tuần hoàn chu kỳ 2π sin 2x tuần hoàn chu kỳ π sin 3x tuần hoàn chu kỳ 2π Suy f (x) tuần hoàn chu kỳ BCNN 2π, π, 2π 2π Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com d f (x) = cos2 x Ta có f (x) = 1+cos 2x ⇒ f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π 1.6-1.7 Giới hạn hàm số Tìm giới hạn 100 −2x+1 a lim xx50 −2x+1 x→1 L 100 99 −2x+1 = −2 lim xx50 −2x+1 lim 100x 50x49 −2 = 98 49 48 = 24 x→1 n n n−1 (x−a) ,n ∈ N lim (x −a )−na (x−a) x→a n n n−1 (x−a) lim (x −a )−na (x−a) x→a n−2 n−1 L L n(n−1)an−2 −nan−1 = = lim nx 2(x−a) lim n(n−1)x = 2 x→a x→a x→1 b Tìm giới hạn √ √ x+ x+ x √ a lim x+1 x→+∞ √ √ √ x+ x+ x √ lim = lim √xx = x+1 x→+∞ x→+∞ √ b lim x3 + x2 − − x x→+∞ √ lim x3 + x2 − − x x→+∞ = lim √ x→+∞ x3 +x2 −1−x3 √ (x3 +x2 −1) +x x3 +x2 −1+x2 x2 = 3x x→+∞ √ √ m n 1+βx lim 1+αx− x x→0 √ √ m 1+αx− n 1+βx lim x x→0 √ √ m n 1+βx−1 1+αx−1 = lim − lim x x x→0 x→0 = lim c β α m√− n √ m n lim 1+αx x 1+βx−1 x→0 √ √ m 1+αx n 1+βx−1 lim x x→0 √ √ √ n 1+βx[ m 1+αx−1]+ n 1+βx−1 = lim x x→0 √ √ √ m n n 1+βx[ 1+αx−1] 1+βx−1 = lim + lim x x x→0 x→0 = d = α m + β n Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com 10 Tìm giới hạn a lim x→∞ sin x−sin a x−a L sin x−sin a = lim cos x x−a x→∞ x→∞ lim = cos a √ √ sin x + − sin x b lim x→+∞ Ta có √ √ sin x + − sin x √ = sin √ x+1− x √ cos √ x+1+ x √ √ < √ ≤ sin √x+1+ < x+1+ x x) ( √ √ Suy lim sin x + − sin x = √ x →0 x→+∞ √ c lim x→0 √ cos x− cos x sin2 x √ √ cos x− cos x sin2 x x→0 √ √ cos x−1 x−1 = lim sin2 x − lim cos sin x x→0 x→0 cos x−1 √ = lim sin2 x(cos√x−1 − lim sin2 x √cos x+ cos x+1 cos x+1) ( ) x→0 x→0 (−x2 /2) (−x2 /2) = lim x2 − lim x2 = − 12 x→0 x→0 x cos 2x cos 3x lim 1−cos 1−cos x x→0 lim d x cos 2x cos 3x lim 1−cos 1−cos x x→0 x cos 2x−cos x cos 2x cos 3x = lim 1−cos x+cos x−cos x cos 2x+cos 1−cos x x→0 2x) 2x(1−cos 3x) x + lim cos x(1−cos + lim cos x cos1−cos = lim 1−cos 1−cos x x x→0 x→0 x→0 1−cos x 2 4x 9x ( /) ( /) = − lim x2 − lim x2 = 14 / / x→0 x→0 11 Tìm giới hạn x2 −1 x2 +1 a lim x→∞ lim x→∞ lim x→∞ x−1 x+1 x2 −1 x2 +1 x−1 x+1 =1 ⇒ lim =1 x→∞ x2 −1 x2 +1 x−1 x+1 =1 Facebook: Badman √ cos x b lim+ x→0 lim hiep giapvan@ gmail com √ x→0+ lim √ x cos x = lim+ (cos x) = e ln(1+cos x + x→0 √ x→0 x−1) lim cos √ x−1 x =e =e =e c lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) x→0+ ln(cos x + x→0 lim lim x→0+ −x/2 x √ x) = e− x→∞ lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) x→∞ x x = lim cos ln(x+1)+ln sin ln(x+1)−ln 2 x→∞ ln(1+ x1 ) = lim cos ln x(x+1) sin 2 x→∞ Do cos ln x(x+1) bị chặn lim sin x→∞ ln(1+ x1 ) = nên lim (sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)) = √ √ d lim n2 ( n x − n+1 x) , x > x→∞ √ √ lim n2 ( n x − n+1 x) = lim n2 x1/(n+1) x1/(n +n) − x→∞ x→∞ 1/(n2 +n) x −1 = lim n2n+n x1/n+1 (n2 +n) = ln x / x→∞ Do lim n2n+n = x→∞ x→∞ lim x n+1 = x→∞ n2 +n) x /( −1 lim = ln x 1/(n2 +n) x→∞ 12 Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương khơng? √ α(x) = x + x β(x) = esin x − cos x Ta có √ √ α(x) = x + x ∼ x x → 0+ esin x − ∼ sin x ∼ x − cos x ∼ x2 x → 0+ ⇒ β(x) = esin x − + − cos x ∼ esin x − ∼ sin x ∼ x Suy α(x) β(x) không tương đương 1.8 Hàm số liên tục Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com 13 Tìm a để hàm số liên tục x = x 1−cos x = x2 a f (x) = a x = Hàm f (x) liên tục x = lim f (x) = a hay x→0 x lim 1−cos x x→0 = =a ax2 + bx + với x ≥ b g(x) = a cos x + b sin x với x < Ta có g(0) = a.02 + b.0 + = lim g(x) = lim− (a cos x + b sin x) = a x→0− x→0 lim+ g(x) = lim− ax2 + bx + = x→0 x→0 Hàm g(x) liên tục x = lim g(x) = lim− g(x) = g(0) ⇒ a = x→0+ x→0 14 Điểm x = điểm gián đoạn loain hàm số a y = 1−2cot gx • x → 0− ⇒ cot x → −∞ ⇒ 2cot x → ⇒ lim− 1−28cot x = x→0 • x → 0+ ⇒ cot x → +∞ ⇒ 2cot x → +∞ ⇒ lim− 1−28cot x = x→0 Vậy x = điểm gián đoạn loại I b y = sin x1 e x +1 Chọn xn = nπ → 0− Do sin xn = sin(nπ) = ⇒ lim− x→0 Chọn xn = −1 2nπ+ π2 sin x1 e x +1 → 0− Suy sin xn = sin xn = sin −2nπ − Suy không tồn lim− x→0 sin x1 e x +1 Vậy x = điểm gián đoạn loại II c y = eax −ebx , (a x =0 = b) 10 π = −1 ⇒ lim− x→0 sin x1 e x +1 = −1 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com tan x−x Ta có có bậc so với x tích phân tan x−x dx phân kỳ √ xdx esin x −1 b Ta có √ √ √ x x x ∼ ∼ ∼ √ ,x → sin x e − sin x x x √ suy vô lớn c x → bậc với √1 x tích phân √ x esin x −1 dx hội tụ √ √ xdx 1−x4 +∞ d Vì +∞ x esin x −1 ln(1+x)dx x ln(1+x) x > ln(1+x) dx x +∞ e e−x x2 x, x +∞ > e tích phân 1 x dx phân kỳ, suy tích phân phân kỳ dx 2 Xét y = e−x có y = −2xe−x , nên y < x > Do hàm y nghịch biến x > Suy e−x < x > hay +∞ hội tụ nên e x2 +∞ f −x2 e−x x2 < x2 +∞ Mặt khác 1 x2 dx dx hội tụ x2 dx x4 −x2 +1 +∞ f (x)dx hội tụ có suy f (x) → x → +∞ không? 12 Nếu +∞ sin x2 dx Xét ví dụ +∞ f (x)dx hội tụ f (x) không thiết phải dần đến Tích phân a +∞ sin(x2 )dx x → +∞ Chẳng hạn: Xét tích phân a Đặt x2 = t > ⇒ dx = dt √ , t ta có 30 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com +∞ +∞ sin(x2 )dx = a sin t dt t tích phân hội tụ, nhiên hàm f (x) = sin(x2 ) không dần x → +∞, hay f (x) = sin(x2 ) khơng có giới hạn x → +∞ +∞ f (x)dx 13 Cho hàm f (x) liên tục [a, b] lim f (x) = A = Hỏi x→+∞ có hội tụ khơng? 2.4 Ứng dụng tích phân 14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn a Đường parabol y = x2 + đường thẳng x − y + = x + − x2+4 S= dx = b Parabol bậc ba y = x3 đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0) √ 2x − x3 dx = (2x − x) dx + S= c Đường tròn x2 + y = 2x parabol y = x, (y ≤ x) S=2 =2 √ 4x − x2 − √ (2−x) 4x = 2π − √ 2x dx − x2 + 42 arcsin 2−x 2 − √ √ 23 x x 16 d Đường y = x2 − x4 15 Tính thể tích vật thể phần chung hai hình trụ x2 + y = a2 y + z = a2 , (a > 0) Đáp số: V = 16 3a Chương 31 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Hàm nhiều biến số Tìm miền xác định hàm số sau a z = √ x2 +y −1 Hàm z xác định x2 + y − > ⇒ x2 + y > (x2 + y − 1) (4 − x2 − y ) b z = Hàm số xác định x2 + y − ≤ x2 + y − ≥ − x2 − y ≤ − x2 − y ≥ x2 + y ≥ ⇒ x2 + y ≤ c z = arcsin y−1 x Hàm z xác định −1 ≤ y−1 x ≤1 ⇒ (x, y) ∈ R2 > 0, − x ≤ y ≤ + x ∪ (x, y) ∈ R2 < 0, − x ≥ y ≥ + x d z = √ x sin y Hàm z xác định x ln y ≥ ⇒ (x, y) ∈ R2 ≥ 0, y ≥ ∪ (x, y) ∈ R2 ≤ 0, < y ≤ Tìm giới hạn có hàm số sau a f (x, y) = x2 −y x2 +y , Đặt f (x, y) = (x → 0, y → 0) x2 −y x2 +y Lấy xn = yn = n → n → ∞ suy f (xn , yn ) = Lấy xn = 0, yn = n − n12 n2 + n12 n2 =0→0 → n → ∞ 32 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Khi f (xn , yn ) = − n12 n2 = −1 → −1 Vậy không tồn giới hạn f (x, y) x → 0, y → πx b f (x, y) = sin 2x+y , (x → ∞, y → ∞) 3.2 Đạo hàm vi phân Tính đạo hàm riêng hàm số sau x2 + y a z = ln x + zx = √ x2 +y zy = y x x2 + y + x2 + y b z = y sin xy zx = y cos xy zy = 2y sin xy − x cos xy x2 −y x2 +y c z = arctan zx = √y x x −y zy = √ −y x −y d xy , (x > 0) zx = y xy −1 zy = xy 3y ln x z e u = xy , (x, y, z > 0) ux = y z xy z −1 z z uy = xy zy z−1 ln x uz = xy y z ln y ln x f u = e x2 +y2 +z2 ux = −e x2 +y2 +z2 (x2 +y2x2 +z )2 uy = −e x2 +y2 +z2 (x2 +y2y2 +z )2 uz = −e x2 +y2 +z2 (x2 +y2z2 +z )2 Khảo sát liên tục tồn tại, liên tục đạo hàm riêng hàm số f (x, y) sau x arctan a f (x, y) = 0 y x x = x = 33 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com y x Hàm f (x, y) = x arctan liên tục x = Ta có |f (x, y)| ≤ x π Vì f (x, y) → f (0, y) x → Vậy f (x, y) liên tục x = 0, suy f (x, y) liên tục R2 Với x = đạo hàm riêng fx (x, y), fy (x, y) tồn liên tục fx (x, y) = arctan fy (x, y) = y x − 2x2 y x4 +y 2x3 y x4 +y Xét x = 0, y = (0,y) fx (0, y) = lim f (h,y)−f = lim arctan h h→0 fy (0, y) = h→0 (0,y) lim f (0,y+k)−f k k→0 y h = π = lim = k→0 Nếu y = (0,0) fx (0, 0) = lim f (h,0)−f = lim = h h→0 fy (0, y) = k→0 (0,0) lim f (0,k)−f k k→0 = lim = k→0 Vậy fy (x, y) liên tục R fx (x, y) liên tục R2 \ (0, 0) sin x x sin y−y (x, y) = (0, 0) x2 +y b f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0) Hàm f (x, y) = x sin y−y sin x x2 +y liên tục (x, y) = (0, 0) Ta có 3 x y− y3! +o(y ) −y x− x3! +o(x3 ) f (x, y) = xy (x2 −y ) = 3!(x2 +y2 ) + x2 +y xo(y )−yo(x3 ) x2 +y Do (x, y) → (0, 0) f (x, y) → = f (0, 0) Vậy f (x, y) liên tục R2 Với (x, y) = (0, 0) đạo hàm riêng fx (x, y), fy (x, y) tồn liên tục fx (x, y) = fx (x, y) = (y2 −x2 ) sin y−y(x2 +y2 ) cos x+2xy sin x (x2 +y ) 2 (y −x ) sin x−y(x2 +y2 ) cos y+2xy sin y (x2 +y ) 34 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Xét (0, 0) (0,0) = lim = fx (0, 0) = lim f (h,0)−f h h→0 h→0 fy (0, 0) = (0,0) lim f (0,k)−f k h→0 lim Và không tồn giới hạn (x,y)→(0,0) = lim = fx (x, y), h→0 lim (x,y)→(0,0) fy (x, y) Vậy fx (x, y), fy (x, y) liên tục R2 \ (0, 0) Giả sử z = yf (x2 − y ), f hàm số khả vi Chứng minh hàm số z hệ thức sau thỏa mãn x zx + y1 zy = z y2 zx = y.2xf (x2 − y ) zy = f (x2 − y ) − 2y fy (x2 − y ) ⇒ x1 zx + y1 zy = 2yf (x2 − y ) + yf (x2 −y ) y2 = = f (x2 −y ) y z y2 Tìm dạo hàm hàm số hợp sau a z = eu −2v x2 + y , u = cos x, v = Ta có zx = zu ux + zv vx = eu −2v = −ecos 2 2u (− sin x) + eu x−2(x2 +y ) −2v (−4v) √ (2 cos x sin x + 4x) zy = zu uy + zv vy = eu −2v 2 2u.0 + eu −2v (−4v) √ 2 = −ecos x−2(x +y ) 4y b z = ln u2 + v , u = xy, v = y x2 +y x y 35 x x2 +y − 2yf (x2 − y ) Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com 2u u2 +v , zu = 2v u2 +v zv = ux = y, vx = y1 , uy = x, vy = − yx2 zx = 2xy y x2 y + xy2 + zx = 2xy x x2 y + xy2 + xy x2 y + xy2 y xy x2 y + xy2 x = −x y2 2(y −1) y(y +1) = c z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3 zx = √ 1−(x−y) zy = − √ 1−(x−y) xt = 3, yt = 12t2 ⇒ zt = √ 1−(3t−4t3 ) −√ 12t2 1−(3t−4t ) Tìm vi phân tồn phần hàm số a z = sin(x2 + y ) dz = cos x2 + y d x2 + y = cos x2 + y (2xdx + 2ydy) b ln tan xy dz = y y (xdy − ydx) d = d = y y y y tan x cos2 x x sin x cos x x x2 sin 2y x c arctan x+y x−y dz = 1+( x+y x−y ) d x+y x−y = d u = xy (x−y) 2(xdy−ydx) 2(x2 +y ) (x−y)2 = xdy−ydx x2 +y z ux = y zxy ⇒ dz = xy z z−1 2 , uy = xy z ln x.2yz, uz = xy z ln x.y y2 z x dx + 2yz ln xdy + y ln xdz Tính gần a A = (1, 02)2 + (0, 05)2 Xét f (x, y) = x2 + y Ta có A = f (1 + ∆x, + ∆y) 36 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com ∆x = 0, 02, ∆y = 0, 05 fx (x, y) = √ 3 2x , (x2 +y ) fy (x, y) = √ 3 2y (x2 +y ) Do f (1+∆x, 0+∆y) ≈ f (0, 1)+fx (1, 0)∆x+fy (1, 0)∆y = 1+ 0, 02 = 1, 013 √ √ b B = ln 1, 03 + 0, 98 − √ √ Xét f (x, y) = ln x + y − Ta có √ √ ln 1, 03 + 0, 98 − = f (1 + ∆x, + ∆y) ∆x = 0, 03, ∆y = 0, 02 fx (x, y) = √ √ √ 3 x2 ( x+ y−1) fy (x, y) = √ 4 √ √ y ( x+ y−1) Do f (1 + ∆x, + ∆y) ≈ f (1, 1) + fx (1, 1)∆x + fy (1, 1)∆y =0+ 0,03 − 0,02 = 0, 005 Tìm đạo hàm hàm số ẩn xác định phương trình sau a x3 y − y x = a4 , (a > 0), tính y F (x, y) = x3 y − y x − a4 = Fx = 3x2 y − y , Fy = x3 − 3xy y (3x2 −y ) ⇒ y = − FFxy = x(3y2 −x2 ) b x + y + z = e2 , tính zx , zy F = ez − x − y − z = Fx = −1, Fy = −1, Fz = ez − ⇒ zx = zy = ez −1 37 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com y c arctan x+y a = a , (a > 0) F = arctan x+y a − Fx = 1 a 1+( x+y a ) Fy = a (x+y) +a2 ⇒y = y a = − a =0 a (x+y) +a2 (x+y) = − (x+y) +a2 a a2 (x+y) d x3 + y + z − 3xyz = 0, tính zx , zy F = x3 + y + z − 3xyz = Fx = 3x2 − 3yz, Fy = 3y − 3xz, Fz = 3z − 3xy ⇒ zx = 10 Cho u = x+z y+z , yz−x2 z −xy , zy = xz−y z −xy tính ux , uy biết z hàm số ẩn x, y xác định phương trình zex = xex + yey Ta có ux = uy = (y+z)(1+zx )−(x+z)zx (y+z) (y+z)zy −(x+z)(1+zy ) (y+z) = = y−x 2z (y+z) x y−x 2z (y+z) y + y+z − x+z (y+z) Mặt khác lấy đạo hàm theo x vế ta ex (x + 1) (ze + e ) zx = xe + e ⇒ zx = z e (z + 1) z z x x tương tự zy = ey (x + 1) ez (z + 1) Suy ux = uy = y−x ex (x+1) (y+z) ez (z+1) y−x ey (x+1) (y+z) ez (z+1) + y+z − x+z (y+z) 11 Tìm đạo hàm hàm số ẩn y(x), z(x) xác định hệ x+y+z =0 x2 + y + z = 38 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Lấy đạo hàm theo x vế phương trình ta y + z = −1 y = x−z z−y ⇒ yy + zz = −x z = y−x z−y 12 Phương trình z + x2 = y − z , xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh x2 zx + y1 zy = z Chứng minh Ta có x F = z2 + y2 − z2 = − Fx = − x22 Fy = − √ y y −z Fz = 2z + √ z y −z 2 x2 ⇒ zx = 2z+ √ √ z y −z ⇒ x2 zx + y1 zy = , zy = y y −z 2z+ √ 2z y −z z 13 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau a z = (x2 + y )3 zx = 13 32 x + 2 y 2x =x zy = y x2 + y zx2 = x2 + y + √ x2 x +y x2 + y 2 x +y zxy = √ xy x +y 2 2x +y =√ 2 x +2y zy2 = √ 2 x +y b z = x ln(x + y) 39 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com zx = 2x ln (x + y) + zy = x2 x+y x2 x+y zx2 = 2x ln (x + y) + zxy = 2x x+y − 2x x+y + x2 +2xy (x+y) x2 (x+y) x zy2 = − (x+y) y c z = arctan x zx = −y x2 +y zy = x x2 +y zx2 = zxy = zy2 = 2xy (x2 +y ) y −x2 (x2 +y ) −2xy (x2 +y ) 14 Lấy vi phân cấp hai hàm số sau a z = xy − x2 y z = xy − x2 y zx = y − 2xy zy = 2xy − x2 zx2 = −2y zxy = 2y − 2x zy2 = 2x ⇒ d2 z = −2yd2 x + (2y − 2x) dxdy + 2xd2 y b z = 2(x21+y2 ) 40 Facebook: Badman zx = zy = hiep giapvan@ gmail com −x (x2 +y ) −y 2 (x +y ) (x2 +y2 ) −2.2x(x2 +y2 ) zx2 = zxy = zy2 = ⇒ d2 z (x2 +y ) = x2 +y −4x (x2 +y ) 2xy (x2 +y ) = (x22xy (x2 +y ) +y ) x2 +y −4y (x2 +y ) 2 −4x = x(x+y d x + (x22xy dxdy +y )3 +y ) + x2 +y −4y d y (x2 +y ) 15 Tìm cực trị hàm số sau a z = x2 + xy + y + x − y + Tìm điểm tới hạn zx = 2x + y + = ⇒ M (−1, 1) z = x + 2y − = y Tính zx = 2x + y + = ⇒ M (−1, 1) z = x + 2y − = y A = zx2 = 2, B = zxy = 1, C = zy2 = ⇒ B − AC = −3 < Suy M điểm cực trị A > điểm cực tiểu zmin = z(−1, 1) = b z= x + y − xey zx = − ey = ⇒ M (1, 0) z = − xey = y A = zx2 = 0, B = zxy = −ey , C = zy2 = −xey ⇒ B(M )2 − A(M )C(M ) = > Suy khơng có cực trị c z = x2 + y − e−(x +y ) Điểm tới hạn nghiệm hệ 41 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com 2x + 2xe−(x2 +y2 ) = 2y + 2ye−(x2 +y2 ) = Suy M (0, 0) 2 2 A = + 2e−(x +y ) − 4x2 e−(x +y ) B = −4xye−(x C = + 2e−(x +y ) +y ) − 4y e−(x +y ) Tại M (0, 0) B − AC = −4 < M (0, 0) điểm cực trị A(M ) = > suy M (0, 0) điểm cực tiểu zmin = −1 d.z = 2x4 + y − x2 − 2y zx = 8x3 − 2x = z = 4y − 4y = y ⇒ M0 (0, 0), M1 (0, 1), M2 (0, −1), M3 ( 21 , 0), M4 ( 12 , 1) M5 ( 21 , −1), M6 (− 12 , 0), M7 (− 12 , 1), M8 (− 12 , −1) A = zx2 = 24x2 , B = zxy = 0, C = zy2 = 12y − Tại M0 có B − AC = −8 < A(M0 ) = −2 < suy M0 điểm cực đại zmax = z(M0 ) = Tại điểm M1 , M2 ta có B − AC = 2.8 = 16 > Vậy điểm cực trị Tại M3 , M6 có B − AC = 4.4 = 16 > suy điểm cực trị Tại M4 , M5 , M7 , M8 có B − AC = −4.8 = −32 < 0, điểm cực trị có A = > suy điểm cực tiểu zmin = z(M4 ) = z(M5 ) = z( M7 ) = z( M8 ) = − 89 16 Tìm cự trị có điều kiện a z = x + y với điều kiện x2 + y2 = a2 Hàm Lagrange 42 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com L (x, y, λ) = x + y1 + λ x2 + y2 − a2 ,a > Tìm điểm tới hạn L = − x12 − x L y = − y12 − x2 + y2 2λ x3 2λ y3 a2 = =0 √ √ x = y = −2λ M1 − 2a, − 2a , λ = √a2 ⇔ =0 ⇔ √ √ λ = ± √a M 2a, 2a , λ = − √a2 2 Xác định điểm cực trị L xx = x3 + 6λ x4 , L xy = 0, L yy = ϕ = − , ϕ = − ⇒ dϕ = −2 x y x3 y3 ⇒ d2 L = x3 + 3λ x4 + y3 + 3λ y4 y6 x6 y3 6λ y4 + x3 dx + y dy √a 2a3 − 3√ 4a3 3λ x4 dx2 + y3 + 3λ y4 dy = ⇔ dy = − xy dx : d2 L = − 2a31√2 + 4a33√2 dx2 = dx2 = √ √ Tại M2 2a, 2a , λ = − √a2 : 1√ + dx2 √ √ Tại M1 − 2a, − 2a , λ = d2 L = x3 ⇒ d2 L = dx√2 a3 > ⇒ M1 cực tiểu √ dx2 = dx2 = − adx < ⇒ M2 điểm cực đại b z = xy với điều kiện x + y = Do x + y = ⇒ y = − x Bài toán đưa tìm cực trị hàm biến z = z(x) = x − x2 , x ∈ R Từ dễ tính zmax = đạt 1 2, 17 Tính giá trị lớn bé hàm số a z = x2 y(4 − x − y) hình tam giác giới hạn đường thẳng x = 0, y = 6, x + y = Điểm tới hạn nghiệm hệ xy (8 − 3x − 2y) = x2 (4 − x − 2y) = ⇒ (0, y); (0, 4); (2, 1) Các điểm (0, y), (0, 4) nằm biên (2, 1) năm miền D Vậy ta so sánh giá trị (2, 1) giá trị z biên Ta có z(2, 1) = 4, z(0, y) = 0, z(x, 0) = 43 Facebook: Badman hiep giapvan@ gmail com Trên x + y = có z = 2x3 − 12x2 x ∈ [0, 6] z đạt giá trị max x = 0, x = -64 x = Vậy zmax = x = (2, 1) zmin = −64 x = (4, 2) b z = sin x + sin y + sin(x + y) hình chữ nhật giới hạn đường thẳng x = 0, x = π2 , y = 0, y = π Điểm tới hạn nghiệm hệ cos x + cos (x + y) = ⇒ cos x = cos y cos y + cos (x + y) = x, y ∈ [0, π2 ] nên x = y suy x = y = π3 Ta cần so sánh giá trị z M ( π3 , π3 ) nằm miền D với giá trị biên √ 3 z(M ) = Trên x = 0, z = sin y, ≤ y ≤ π đạt y = max y = π2 Trên x = π có √ π π π + y = + sin y + ,0 ≤ y ≤ √ √ √ z đạt max + y = π4 đạt + 22 = z = + sin y + sin y = 0, π2 Vì x, y đối xứng trông công thức z nên y = y = max x = 0, x = π2 Tóm lại zmax = √ 3 ( π3 , π3 ) zmin = (0, 0) 44 π z đạt ... x1 √ x→∞ 1 1 x12 ex = + 1 x2 x + 2x2 =1 x2 + o1 2x2 + o2 x2 cos x1 = − 12 x12 + o3 ⇒ e x −cos x1 √ 1 1 x12 = x2 1+ x1 + 2x12 +o1 ( x12 ) 1+ 12 x12 −o3 ( x12 ) ⇒ lim e x −cos x1 x→∞ 1 ... = 13 (k) x 1 x (n−k) Facebook: Badman = = (10 0) 1+ x 1 x y (10 0) = = hiep giapvan@ gmail com 1 1−x = (1 + x) (10 0) + 10 0 1 1−x (99) (1+ x )19 9!! 10 0 .19 7!! + 299 (1 x) 10 0 √ 99 √ 210 0 (1 x) 1 x... 1 x 1 x (19 9 (1+ x) +10 0.2 (1 x)) .19 9 .19 7!! 10 0 √ 210 0 (1 x) 1 x (399−x )19 7!! 10 0 √ 210 0 (1 x) 1 x 2x (10 ) c y = x e , tính y (10 ) y (10 ) = x2 e2x = x2 e2x (10 ) + 20x e2x (9) + 90 e2x (8) = 210 x2