Về bất đẳng thức xoay vòng và vận dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ NHẤT NINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC XOAY VÒNG VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ NHẤT NINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC XOAY VÒNG VÀ VẬN DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Về bất đẳng thức xoay vòng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Bất đẳng thức AM–GM 1.1.2 Bt ng thc Hăolder, Jensen 1.2 Về bất đẳng thức Schur 1.2.1 Bất đẳng thức Schur rời rạc 1.2.2 Bất đẳng thức Schur hàm số Chương Một số kết liên quan vận dụng 2.1 Một số bất đẳng thức liên hệ ba số dương 2.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan tới yếu tố lượng giác 2.2.1 Một số kết mở rộng 2.2.2 Một số toán bất đẳng thức vận dụng 2.3 Bất đẳng thức Shapiro số kết liên quan 2.3.1 Một số toán bất đẳng thức Diananda Daykin 2.3.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan 3 5 10 15 15 23 28 34 37 39 40 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 ii Bảng ký hiệu x Tập hợp số tự nhiên khác không Tập hợp số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, Tập hợp số thực Tập hợp số thực dương := x + y + z yz :=xy + yz + zx (y − z)2 := (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 x2 (y + z) := x2 (y + z) + y2 (z + x) + z2 (x + y) yz| sin nA|r := yz| sin nA|r + zx| sin nB|r + xy| sin nC|r N N0 R R+ cyc cyc cyc cyc cyc a|b a ước b A Π sin nA 2n + Π cos A Π cos nA A Π cos x 2n + tan A := cos x A2 cosy B2 cosz C2 Π cos x := sin nA sin nB sin nC 2n+1 2n+1 := cos 2n+1 A cos B cos C := Π cos nAΠ cos nBΠ cos nC := cos x A2 cosy B2 cosz C2 2n+1 2n+1 := tan 2n+1 A + tan B + tan C cyc cotan nA := cotan nA + cotan nB + cotan nC cyc Π + k cos2 nA := (1 + k cos2 nA)(1 + k cos2 nB)(1 + k cos2 nC) Mở đầu Trong tất mơn học, biết Tốn học môn giúp rèn luyện tư duy, logic phát triển trí tuệ cách tồn diện Tốn q trình tích lũy qua nhiều năm học tập, đặc biệt trình nghiên cứu khoa học cơng thức, phương trình hay bất đẳng thức thật mẻ thú vị Lớp bất đẳng thức dạng tốn phổ biến chương trình phổ thông Hàng năm, kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, đề tài bất đẳng thức thường chọn lựa Và nay, có nhiều tài liệu tiếng việt bất đẳng thức, nhiên, tài liệu khai thác lịch sử bất đẳng thức không nhiều, chủ yếu khai thác sâu chuyên đề cụ thể toán bất đẳng thức Với khuôn khổ luận văn thạc sĩ Tốn học, chun ngành Phương pháp Tốn sơ cấp, tơi chọn lựa đề tài bất đẳng thức xoay vòng với đối tượng biểu thức nhiều biến đối xứng Mặc dù toán riêng lẻ biều thức nhiều biến đối xứng nhiều tác giả khai thác cải tiến bất đẳng thức tương ứng Vì nhiều lý chúng tơi chọn đề tài luận văn “Bất đẳng thức xoay vòng vận dụng” Luận văn xoay quanh chủ đề bất đẳng thức xoay vòng, với kết kinh điển bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Shapiro, Nội dung luận văn không sâu vào tổng hợp tập lời giải lớp bất đẳng thức xoay vòng, mà sâu phân tích lịch sử phát triển dạng bất đẳng thức Kết luận văn trình bày lại nội dung chương XVI (“Cyclic Inequalites”) tài liệu [13], tài liệu trích dẫn tương ứng sách tài liệu tham khảo cuối luận văn Cụ thể luận văn trình bày vấn đề sau: Chương Trình bày dạng bất đẳng thức Schur, từ dạng rời rạc đến dạng liên tục (đối với lớp hàm dương lồi đơn điệu) Chương Trình bày số dạng bất đẳng thức xoay vòng bản, chẳng hạn lớp toán cho ba số dương, dạng bất đẳng thức xoay vòng có yếu tố lượng giác, dạng kiểu tam giác, bất đẳng thức Shapiro, số mở rộng, tốn vận dụng, tổng qt hóa số toàn sách kinh điển bất đẳng thức hình học “Geometric Inequalities” xem tài liệu [4] Trong trình học tập nghiên cứu tai trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ thầy tồn thể anh chị em tập thể lớp Cao học Toán K11B Bài luận văn lời tri ân tới tất truyền thụ cho em nhiều kiến thức tinh thần quý báu suốt thời gian em học viên trường Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Xuân Quý quan tâm ân cần, bảo, khích lệ góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua! Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2019 Học viên Bùi Thị Nhất Ninh Chương Về bất đẳng thức xoay vòng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục trình bày số bất đẳng thức liên quan đến luận văn, số hệ bất đẳng thức mà có sử dụng khơng trình bày, mà hệ hiển nhiên Các hệ bất đẳng thức trình bày mục bất đẳng thức liên quan xem tài liệu [3] GS Nguyễn Văn Mậu 1.1.1 Bất đẳng thức AM–GM Bất đẳng thức AM–GM hay gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân viết tắt AM-GM số tài liệu viết AG, có nội dung sau: Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1 , a2 , , an số khơng âm Khi a1 + a2 + · · · + an √n a1 a2 an n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · an Bất đẳng thức viết lại, 1 a1 + a2 + · · · + an n n n 1 a1n a2n · · · ann Từ ý tưởng này, người ta chứng minh kết tổng quát là: Với αi số khơng âm, có tổng 1, số dương (i = 1, 2, , n), ta có bất đẳng thức α1 a1 + α2 a2 + · · · αn an aα1 aα2 aαn n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức AM-GM suy rộng (hay gọi bất đẳng thức trung bình có trọng số hay bất đẳng thức trung bình lũy thừa có trng s) 1.1.2 Bt ng thc Hăolder, Jensen Trc tiờn, v bt ng thc Hăolder tn ti nhiu phiờn bản, nhiên chúng tơi trình bày dạng đại số giải tích bản, mà chúng phù hợp với chương trình phổ thơng Kết c gi l bt ng thc Hăolder nh lý 1.1.2 (Bt ng thc Hăolder) Cho a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) 1 hai n số thực dương p > 1, + = Khi ta có bất đẳng thức sau p q n bi i=1    n  1p    a p   n (1.1) i i i=1  q1  bq  i=1 Dấu xảy aip = kbqi với i ∈ {1, 2, , , n} Bất đẳng thức (1.1) với p = q = gọi bất đẳng thức CauchySchwartz hay gọi Buniacosky-Cauchy-Schwartz Kết bất đẳng thức Hăolder dng gii tớch, chỳng tụi ch trỡnh by kết mà không chứng minh Định lý 1.1.3 (Bất ng thc Hăolder dng gii tớch) Gi s (p, q) cặp số mũ 1 liên hợp, tức thỏa mãn điều kiện p, q > với + = 1, f g hai hàm số p q liên tục đoạn [a, b], b a q b | f (x)| p dx | f (x)g(x)| dx a p b |g(x)|q dx a (1.2) Dấu “=” xảy tồn hai số thực A B không đồng thời không cho A | f (x)| p = B |g(x)|q ∀x ∈ [a, b] Tiếp theo bất đẳng thức Jensen: Hàm số lồi hay gọi tắt hàm lồi khái niệm quan trọng toán học Các kết bất đẳng thức lớp hàm lồi đa dạng giải tích tốn học, để liên hệ tới nội dung luận văn, chúng tồi trình bày kết kinh điển lớp bất đẳng thức này, bất đẳng thức Jensen Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử hàm số f : (a, b) → R lồi khoảng (a, b) Khi với x1 , , xn ∈ (a, b) ta có bất đẳng thức sau f( x1 + · · · + xn ) n f (x1 ) + · · · + f (xn ) n Dấu xảy x1 = x2 = · · · = xn 1.2 Về bất đẳng thức Schur Các kết bất đẳng thức Schur nghiên cứu sử dụng nhiều khía cạnh Tốn học Trong khn khổ luận văn Thạc sĩ Tốn học, chun ngành phương pháp Tốn sơ cấp, tơi trình bày hai trường hợp riêng bất đẳng thức mà đối tượng giáo viên học sinh phổ thông vận dụng 1.2.1 Bất đẳng thức Schur rời rạc Trường hợp mà J Wolstenholme trích dẫn sách “A Book of Mathemtical problems (1867)” toán sau: Nếu a, b, c số dương đơi khác ta có bất đẳng thức, a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) > a3 (a − b)(a − c) + b3 (b − c)(b − a) + c3 (c − a)(c − b) > Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schur) Nếu x, y, z số dương λ số thực tùy ý, ta có bất đẳng thức sau xλ (x − y)(x − z) + yλ (y − z)(y − x) + zλ (z − x)(z − y) (1.3) Dấu đẳng thức xảy x = y = z Chứng minh Đặt Γ = xλ (x − y)(x − z) + yλ (y − z)(y − x) + zλ (z − x)(z − y) Nếu hai ba số x, y, z hiển nhiên bất đẳng thức Thật vậy, chẳng hạn y = z, Γ = xλ (x − y)2 Khơng giảm tính tổng qt, giả sử x > y > z Vì λ số thực tùy ý, nên ta xét hai trường hợp; λ > λ < 0: Nếu λ Γ = (x − y) xλ (x − z) − yλ (y − z) + zλ (x − z)(y − z) > (x − y) xλ − yλ (y − z) + zλ (x − z)(y − z) > Nếu λ < Γ = xλ (x − y)(x − z) + (y − z) −yλ (x − y) + zλ (x − z) > xλ (x − y)(x − z) + (y − z) −yλ + zλ (x − z) > Vậy bất đẳng thức (1.3) chứng minh Bất đẳng thức (1.3) gọi bất đẳng thức Schur Đã có nhiều mở rộng bất đẳng thức Schur Kết xem mở rộng sơ cấp loại bất đẳng thức U C Guha (1962) sau Định lý 1.2.2 Nếu a, b, c, u, v, w số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau 1 ap + cp 1 u p+1 + w p+1 bp, (1.4) v p+1 , (1.5) đó, p > 0, ubc − vca + wab (1.6) Nếu −1 < p < bất đẳng thức (1.5) (1.6) đổi chiều; p < −1 bất đẳng thức (1.4) (1.5) đổi chiều Trong trường hợp, 36 Bài toán 2.2.22 Nếu n ∈ N0 , p ∈ N, p số lẻ, A, B, C ∈ R, A + B + C = pπ, λ ∈ 2n + 2n + B tan C + u 0, , ta có bất đẳng thức R, u, v, w ∈ R, tan 2 cyc 2n + 2n + B tan C+u tan 2 λ u)λ , 31−λ (1 + cyc với < λ < 1, bất đẳng thức ngược lại λ < λ > Đây bất đẳng thức suy rộng bất đẳng thức 2.37 (xem [4] trang 28) Bài toán 2.2.23 Nếu n, p ∈ N, A, B, C ∈ R, A + B + C = pπ ta có bất đẳng thức √ | cotan nA| > cyc Đây bất đẳng thức suy rộng bất đẳng thức 2.28 tài liệu [4] trang 26 Áp dụng bất đẳng thức bất đẳng thức trung bình lũy thừa ta thu kết tổng quát hơn: | cotan nA|r 31−r/2 (r 1) cyc Đặc biệt với r = ta thu bất đẳng thức 2.39 r ∈ N ta thu bất đẳng thức 2.65 tài liệu [4] trang 29 trang 35 Bài toán 2.2.24 Nếu n ∈ N0 , p ∈ N, p số lẻ, A, B, C ∈ R, A + B + C = pπ ta có bất đẳng thức tan cyc 2n + A √ Đây bất đẳng thức suy rộng bất đẳng thức 2.33 tài liệu [4] trang 27 Ta có kết tổng quát hơn: tan cyc 2n + r A 31−r/2 (r 1) Nếu chọn r = ta thu toán 2.35 2.36 ứng với r = tài liệu [4] trang 27 28 37 Bài toán 2.2.25 Nếu n ∈ N0 , p ∈ N, p số lẻ, A, B, C ∈ R, A + B + C = pπ ta có bất đẳng thức cotan2 cyc 2n + A cotan cyc 2n + A cotan(2n + 1)A cyc Với n = p = 1, A, B, C > ta thu toán 2.49 (với r = 1) 2.50 (với r = 2) (xem [4] trang 31) 2.3 Bất đẳng thức Shapiro số kết liên quan Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết bất đẳng thức thường gọi giả thiết Shapiro, giả thiết thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học Ta xét tổng xoay vòng sau n fn (x1 , x2 , , xn ) = r=1 xr xr+1 + xr+2 x s+n = x s x s+1 + x s+2 > với s Ta có f1 (x1 ) = 1/2 f2 (x1 , x2 ) = Bất đẳng thức H S Shapiro fn (x1 , x2 , , xn ) n Bất đẳng thức với n = 3, 4, không với n = 20 Năm 1903 A M Nesbitt đề xuât chứng minh bất đẳng thức f3 (x1 , x2 , x3 ) , (2.41) Dưới trình bày ba cách chứng minh bất đẳng thức này: (a) Bất đẳng thức (2.41) tương đương với x1 + x2 x3 + x1 x2 + x3 x1 + x2 x3 + x1 x2 + x3 + + + + + x2 + x3 x2 + x3 x3 + x1 x3 + x1 x1 + x2 x1 + x2 từ ta áp dụng bất đẳng thức AG ta có điều phải chứng minh 6, 38 (b) Bất đẳng thức (2.41) tương đương với (x1 + x2 + x3 ) 1 + + x2 + x3 x3 + x1 x1 + x2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có điều phải chứng minh (c) Ta viết lại hàm f3 (x1 , x2 , x3 ) sau x32 x12 x22 f3 (x1 , x2 , x3 ) = + + x1 (x2 + x3 ) x2 (x3 + x1 ) x3 (x1 + x2 ) Áp dụng hệ trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwartz (hay gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình điều hòa) ta có f3 (x1 , x2 , x3 ) (x1 + x2 + x3 )2 , x1 (x2 + x3 ) + x2 (x3 + x1 ) + x3 (x1 + x2 ) ta có f3 (x1 , x2 , x3 ) 3/2 3 (x1 + x2 + x3 )2 − x1 (x2 + x3 ) − x2 (x3 + x1 ) − x3 (x1 + x2 ) 2 hay 1 x1 − x2 − x3 2 Ta có điều phải chứng minh + (x2 − x3 )2 Năm 2009, Nguyễn Minh Tuấn Lê Quý Thường xét toán x1 x2 xn−1 xn P(, p, q) := + + ··· + + px2 + qx3 px3 + qx4 pxn + qx1 px1 + qx2 n p+q Với p, q số không âm, không đồng thời không Đây kết mở rộng bât đẳng thức xoay vòng Shapiro Kết báo dừng lại chứng minh cho trường bốn biến năm biến Dễ dàng thấy bất đẳng thức với n = Thật vậy, sử dung bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có P(3, p, q) p+q Định lý 2.3.1 (Định lý 2.1, [25]) Bất đẳng thức P(4, p, q) p+q p q, không p < q 39 2.3.1 Một số toán bất đẳng thức Diananda Daykin Tiếp theo, ta trình bày bất đẳng thức kiểu Shapiro (còn gọi bất đẳng thức Diananda, Mordell Daykin.) P H Diananda (1959, xem [6]) xét hai bất đẳng thức sau n i=1     xi xi+1 + · · · + xi+m 2  xi  n i=1 n , m (2.42) n n m xi (xi+1 + · · · + xi+m ), (2.43) i=1 xn+k = xk xi (i = 1, , n) khẳng định sau (i) Bất đẳng thức (2.42) r sin π n r sin(2m + 1) π n r = 1, , n (2.44) (ii) Bất đẳng thức (2.42) n | m + 2m 2m + 2m + (2.45) (iii) Nếu bất đẳng thức (2.44) bất đẳng thức (2.43) (iv) Nếu bất đẳng thức (2.45) bất đẳng thức (2.43) Bất đẳng thức (2.42) mở rộng bất đẳng thức Shapiro Ta thấy chứng minh thứ hai bất đẳng thức (2.41) mở rộng cho chứng minh bất đẳng thức (2.42) với trường hợp n = m + 1, bất đẳng thức (2.42) chứng minh tương tự cách chứng minh thứ ba bất đẳng thức (2.41) Điều kiện (2.45) mở rộng, tức bất đẳng thức (2.42) n | m + n = hoặc 12, n|m + n = 12 (2.46) Năm 1971 D E Daykin đưa giả thiết: với t ∈ R, n φ(t) = k=1 2xk xk+1 + xk+2 t n (xi+n = xi > 0) Và báo [9], ông chứng minh (2.47) 40 (i) φ hàm lồi với vọi t; (ii) φ(t) n t 2, (iii) φ(t) nhận giá trị gần n/2 n số chẵn, x2 = x4 = · · · = xn = 1, x1 = x3 = · · · = xn−1 t > đủ bé Năm 1973 P H Diananda (xem [8]) chứng minh giả thiết Daykin ông chứng minh khẳng định sau: Định lý 2.3.2 Cho hàm số Φm xác định sau n φm (t) = φm (t; x1 , , xn ) = k=1 t mxk , xk+1 + · · · + xk+m với t số thực xn+k = xk > với k Khi ta có khẳng định sau (i) φm (t) hàm lồi theo t, (ii) φm (t) n t 0, (iii) inf φm (t; x1 , , xn ) = [(n + m − 1)/m] 2.3.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan Tiếp theo, chúng tơi trình bày số bất đẳng thức liên quan Kết liên quan tới bất đẳng thức trên, đưa bới Caragea C Scheianu M năm 1977 (xem [5]): Bài toán 2.3.3 Chứng minh n n xi j=1 với x1 x2 ··· xn > i=1 i j i j+1 x j − x j+1 x j + x j+1 (xn+1 = x1 ) (2.48) 41 n Chứng minh Đặt vế trái bất đẳng thức (2.48) S , đặt N = xi Vì i=1 n (xi − xi+1 ) = nên ta có i=1      n S = j=1 n      N x j − x j+1 = x j + x j+1 j=1 =N i=1 i j    x j − x j+1 xi  + x j − x j+1  x j + x j+1 xn−1 − xn xn − x1 x1 − x2 x2 − x3 + + ··· + + = NS n x1 + x2 x2 + x3 xn−1 + xn xn + x1 Ta chứng minh S n quy nạp Thật vậy, với n = Giả sử bất đẳng thức với n = k Khi ta có xk − x1 xk − xk+1 xk+1 − x1 + + xk + x1 xk + xk+1 xk+1 + x1 (x1 − xk ) (x1 − xk+1 ) (xk − xk+1 ) = Sk + (x1 + xk ) (x1 + xk+1 ) (xk + xk+1 ) S k+1 = S k − Vì x1 xk > 0, x1 phải chứng minh xk+1 > xk xk+1 , ta thu S k+1 Vậy ta có điều Các kết Marghescu, Gh đưa năm 1978 (xem [14]): Bài toán 2.3.4 Nếu x1 n x2 · · · xn , xn+1 = x1 ta có bất đẳng thức xi1/(xi +xi+1 ) i=1 n 1/(xi +xi+1 ) xi+1 (2.49) i=1 Năm 1984 báo [10], E K Godunova V I Levin chứng minh kết sau: Bài toán 2.3.5 Cho n i=1 xi = s, xi > 0, si = s − xi , i = 1, , n Khi ta có n i=1 si xi n 1/2 ≥ (n − 1) i=1 xi si 1/2 (2.50) Năm 1987 báo [12], Levin Godunova chứng minh kết sau: 42 Bài toán 2.3.6 Cho Xn = {x1 , x2 , , xn |x1 x2 · · · xn > 0, xi xn , i = 1, 2, , n − 2, xn+1 = xi } Khi ta có bất đẳng thức   n   x − x k k+1   = √ n − 2√  max x=(x1 ,x2 , ,xn )∈Xn x + x k k+1 128 + 125 k=1 xi+1 + (2.51) Năm 1991 ba báo liên tiếp tạp chí Crux Math, W Janous chứng minh toán sau: Bài toán 2.3.7 (1) [W Janous, 1991 ] Cho x, y, z ∈ R Khi ta có bất đẳng thức x x + (x + y)(x + z) cyc dấu xảy x = y = z (2) [W Janous, 1991 ] Nếu x, y, z ∈ R ta có bất đẳng thức cyc y2 − x2 z+x dấu xảy x = y = z (3) [W Janous, 1991 ] Janous chứng minh tổng quát kết Marghescu, Gh (1978) xem [14]: Cho f làm hàm lõm [a, b], a > Cho số tự nhiên n x1 · · · xn Khi ta có bất đẳng thức f (x1 ) f (xn ) + ··· + xn + x1 xn−1 + xn f (x1 ) f (xn ) + ··· + x1 + x2 xn + x1 Nếu f (x) = x ta ta thu bất đẳng thức T.Ando sau: n j=1 xj (n − k)x j + x j+1 + · · · + x j+k nn (2.52) k n − 1, xn+ j = x j > j Hơn nữa, Janous chứng minh trường hợp tổng quát sau cyc yλ − x λ z+x dấu xảy x = y = z 0, λ 43 Kết A Kovakec đưa năm 1984 (xem [11]): Bài toán 2.3.8 Bất đẳng thức sau √    − 2  √ n  √  xi + − √ 2 i n 2 n √ n x1 i=1 √ i=1 xi xi + xi+1 (2.53) (xn+1 = x1 ) với (x1 , x2 , , xn ) ∈ (0, ∞)n Nếu r(x1 , x2 , , xn ) ∈ √ [1, + 13]n với r > ta có bất đẳng thức √ n √ n x1 √ i=1 i=1 x1 x1 + xi+1 (xn+1 = x1 ) Bài toán 2.3.9 (W Janous) Cho x, y, z < số thực thỏa mãn x+y+z = α > Khi ta có bất đẳng thức cyc y2 + yz + z2 α 4α + , · 3α α (2.54) Bài toán 2.3.10 (D.S Mitrinovic, University of Belgrade J.E Pecaric, University of Zagreb đề xuất) Với xk > 0, n ta có x12 (a) sup cyc x12 + x2 x3 = n − 1; (b) Tổng quát sup cyc x1r+s x1r+s + x2r x3s n−1 với số tự nhiên r s Lời giải: Ta chứng minh ý (b) Vế trái bất đẳng thức viết lại cyc với x1r+s = x1r+s + x2r x3s cyc x2r x3s u1 = r+s , · · · x1 , + u1 44 n ui = Ta xét tới toán tổng quát sau: Với n > Ta có i=1 u1 , , un số dương thỏa mãn u1 un = Chứng minh 1 + ··· + ∈ (1, n − 1) + u1 + un Sn = Ta chứng minh quy nạp Thật với n = 3, ta chứng minh 1 + + → u1 u2 u3 + u1 + u2 + u3 Giả sử S k < k − với k > với u1 uk giả sử u1 u2 · · · Khi u1 uk uk+1 u1 uk 1 Khơng giảm tính tổng quát, ta un < k − + = k + uk+1 S k+1 = S k + Một cách tương tự, ta chứng minh S n > Tổng quát, ta có toán sau: Bài toán 2.3.11 Với số dương , bi · · · zi thỏa mãn n n = i=1 n bi = · · · = i=1 zi = i=1 Ta có bất đẳng thức sau n 0< i=1 0) đẳng thức cyc cyc 4(i − 1)2 − a1 − a2 a1 2(n − i + 1) − = a1 (a1 + a2 ) = cyc a1 (a1 + a2 ) 8(i − 1) 4(n − i + 1) − cyc cyc , (a1 + a2 (a1 + a2 )2 , nên ta cần chứng minh cyc 8(i − 1)2 4(n − i + 1) − cyc (a1 + a2 )2 2n(i − 1) n−i+1 )2 46 tức (a1 + a2 )2 (n − i + 1)2 n cyc Đây hệ bất đẳng thức Jensen với hàm f (t) = t2 , (a1 + a2 ) = 2(n − i + 1) cyc Năm 2016, nhóm tác giả László Horváth, Khuram Ali Khan* Josip Peˇcari´c chứng minh kết sau bất đẳng thức xoay vòng dạng rời rạc dạng tích phân bát đẳng thức Jensen (xem tài liệu [15]) Kết thu sau: Định lý 2.3.13 Giả sử pi số khơng âm, có tổng λi số khơng âm, có tổng Hàm số f : [a, b] → R hàm lồi Khi đó, ta có bất đẳng thức sau: n f( n k−1 λ j+1 pi+ j f pi xi ) i=1 i=1 j=1 với i + j i + j − n i + j > n k−1 j=1 λ j+1 pi+ j xi+ j k−1 j=1 λ j+1 pi+ j n pi f (xi ), i=1 47 Kết luận Luận văn xoay quanh chủ đề bất đẳng thức xoay vòng, với kết kinh điển bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Shapiro, Nội dung luận văn không sâu vào tổng hợp tập lời giải lớp bất đẳng thức xoay vòng, mà sâu phân tích lịch sử phát triển dạng bất đẳng thức Kết luận văn trình bày lại nội dung chương XVI tài liệu [13], tài liệu trích dẫn tương ứng sách tài liệu tham khảo cuối luận văn Cụ thể luận văn trình bày vấn đề sau: • Trình bày dạng bất đẳng thức Schur, từ dạng rời rạc đến dạng liên tục (đối với lớp hàm dương lồi đơn điệu) • Trình bày số dạng bất đẳng thức xoay vòng bản, chẳng hạn lớp toán cho ba số dương, dạng bất đẳng thức xoay vòng có yếu tố lượng giác, dạng gần tam giác, bất đẳng thức Shapiro, số mở rộng, toán vận dụng, tổng qt hóa số tốn sách kinh điển bất đẳng thức hình học “Geometric Inequalities” xem tài liệu [4] 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kim Hùng (2009), Sáng tạo Bất đẳng thức, NXB Hà Nội [2] Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hùng Nguyễn Ngọc Thắng (2010), Các giảng Bất đẳng thức Cô si, NXB ĐH Quốc gia HN [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Bất đẳng thức – Định lý áp dụng, NXB Giáo dục Tiếng Anh [4] Bottema, 0., R Z Djordjevic, R R Janic, D S Mitrinovic and P M Vasic, Geometric Inequalities, Groningen [5] Caragea, C and M Scheianu (1977), Problema 16187, Gaz Mat (Bucharest) 82 (1977), pp.137-138 [6] Diananda P H (1959), “Extensions of an Inequality of H S Shapiro”, The American Mathematical Monthly, 66(6), pp 489–491 [7] Diananda P H (1961), “On a Conjecture of L J Mordell Regarding an Inequality Involving Quadratic Forms”, Journal of the London Mathematical Society, s1-36(1), pp.185–192 [8] Diananda P H (1973), “Some cyclic and other inequalitie” III, Proc Cambridge Philos Soc 73, pp.69-71 49 [9] Daykin D E (1971), “Inequalitie for certain cyclic sum”, Proc Edinburgh Math Soc., (2)17, pp.257-262 [10] Godunova E K and V I Levin (1984), “Generalization of inequalities for monotonic and cyclic sequences” (Russian), Vyc Matematika and Matemat Fizika Mez Sb Nauc Trudov Mosk Gos Ped Inst., Moskva, pp.130-134 [11] Kovacec A (1984), “Two contribution to inequalities”, General Inequalities (Ed W Walter), Oberwolfach, pp.37-45 [12] Levin V I and E K Godunova (1987), “On a homogeneo’IU inequality” (Russian), Vyc Matematika and Matemat Fizika Mez Sb Nauc Trudov Mosk Gos Ped Inst., Moskva, pp.136-137 [13] Mitrinovi´c D S., Peˇcari´c J.E and Fink A.M., (1993), Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [14] Marghescu Gh (1978), ”Problem 17021”, Gaz Mat (Bucharest), 83, 20 [15] Laszlo H., Khuram A K and Josip P (2016), “Cyclic refinements of the discrete and integral form of Jensen’s inequality with applications”, International mathematical journal of analysis and its applications, https://doi.org/10.1515/anly-2015-0022 [16] Mnich W (1975), “Problem 920”, Matematyka, 28, pp.207-208 [17] Mnich W (1977), “Problema 16119”, Gaz Mat (Bucharest), 82, pp.93-94 [18] Popa E (1977), “Asupra problemei 16119”, Gaz Mat (Bucharest), 82, pp.346-349 [19] Ovidiu Bagdasar (2008),“The extension of a cyclic inequality to the symmetric form”, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 9(1), pp.1–10 [20] Rankin R A (1961), “A Cyclic Inequality”, pp 139–147 50 [21] Steele M J (2004), An in troduction to the art of Mathematical Inequalities: The Cauchy – Swcharz Master Class, Cambridge [22] Troesch B A (1989), “The Validity of Shapiro’s Cyclic Inequality”, Mathematics of Computation, 53(188), pp.657–664 [23] Vasile Cirtoaje (2006), Algebraic inequalities: Old and New Methods, Gil Publishing House [24] Vasile Cirtoaje (2009), “On the cyclic homogeneous polynomial inequalities of degree four”, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 10(3), pp 1–10 [25] Tuan N M., Thuong L Q (2009), “On an Extension of Shapiro’s Cyclic Inequality”, Journal of Inequalities and Applications, , Article ID 491576, pages, doi:10.1155/2009/491576 ... luận văn Bất đẳng thức xoay vòng vận dụng Luận văn xoay quanh chủ đề bất đẳng thức xoay vòng, với kết kinh điển bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Shapiro, Nội dung luận văn không sâu vào tổng... Do bất đẳng thức liên quan tới hàm xoay vòng Dưới đây, trình bày số kết bất đẳng thức xoay vòng Ta biết, phương pháp để thu bất đẳng thức sử dụng đẳng thức Các kết đưa M S Klamkin (1971) Bất đẳng. .. thức tốt theo nghĩa yếu khơng có bất đẳng thức tập bất đẳng thức tốt Một bất đẳng thức tốt theo nghĩa mạnh bất đẳng thức tốt bất đẳng thức khác tập hợp bất đẳng thức n = Klamkin (1971): Kết hệ