Bất đẳng thức xoay vòng phần 6 doc

Chương 2 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng Quy ước trong bài viết Để thống nhất ký hiệu trong bài viết thì ta quy ước cách viết như sau: a 1 , ··· , a n ⇔ a 1 , a 2 , ··· , a i , ··· , a n ; i ∈ (1, n) a 1 a 2 + ··· + a 1 a n ⇔ a 1 a 2 + ··· + a 1 a i + ··· + a 1 a n ; i ∈ (1, n) a 1 a 2 + ··· + a n−1 a n ⇔ a 1 a 2 + ··· + a 1 a n + ··· + a i a i+1 + ··· + a i a n + ··· + a n−1 a n a 2 1 + ··· + a 2 n ⇔ a 2 1 + a 2 2 + ··· + a 2 i ··· + a 2 n ; (i ∈ 1, n) (a 2 1 + a 2 2 ) + ··· + (a 2 n−1 + a 2 n ) ⇔ (a 2 1 + a 2 2 ) + ··· + (a 2 1 + a 2 n ) + ··· + (a 2 i + a i+1 ) + ··· + (a 2 i + a 2 n ) + ··· + (a n−1 + a 2 n ) (a 1 + ··· + a n ) 2 ⇔ (a 1 + a 2 + ··· + a i + ··· + a n ) 2 ; (i ∈ 1, n) 2.1 Các trường hợp đơn giản 2.1.1 Trường hợp 3 số n = 3 Bài 1 Cho 3 số không âm a 1 , a 2 , a 3 và số thực α > 2. Chứng minh rằng: A = a 1 a 1 + αa 2 + a 2 a 2 + αa 3 + a 3 a 3 + αa 1 ≥ 3 1 + α Chứng minh. Ta có: A = a 1 a 1 + αa 2 + a 2 a 2 + αa 3 + a 3 a 3 + αa 1 41 www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 ⇔ A = a 2 1 a 2 1 + αa 1 a 2 + a 2 2 a 2 2 + αa 2 a 3 + a 2 3 a 2 3 + αa 1 a 3 ⇒ I[(a 2 1 + αa 1 a 2 ) + (a 2 2 + αa 2 a 3 ) + (a 2 3 + αa 1 a 3 )] ≥ (a 1 + a 2 + a 3 ) 2 (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki đối với 3 cặp số) ⇒ A ≥ (a 1 + a 2 + a 3 ) 2 a 2 1 + αa 1 a 2 + a 2 2 + αa 2 a 3 + a 2 3 + αa 1 a 3 ⇔ A ≥ (a 1 + a 2 + a 3 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 ) 2 + (α − 2)(a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 1 a 3 ) ⇔ A ≥ (a 1 + a 2 + a 3 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 ) 2 + (α − 2) 1 3 (a 1 + a 2 + a 3 ) 2 ⇔ A ≥ 1 1 + 1 3 (α − 2) = 3 3 + (α − 2) = 3 1 + α Dấu ” = ” xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 2.1.2 Trường hợp 4 số n = 4 Bài 2 Cho 4 số không âm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 và số thực α > 2. Chứng minh rằng: B = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(2a 1 + a 2 ) ≥ 4 1 + 3α Chứng minh. Ta có: B = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(2a 1 + a 2 ) ⇔ B = a 2 1 a 2 1 + α(2a 1 a 2 + a 1 a 3 ) + a 2 2 a 2 2 + α(2a 2 a 3 + a 2 a 4 ) + a 2 3 a 2 3 + α(2a 3 a 4 + a 3 a 1 ) + a 2 4 a 2 4 + α(2a 4 a 1 + a 4 a 2 ) ⇒ B{[a 2 1 + α(2a 1 a 2 + a 1 a 3 )] + [a 2 2 + α(2a 2 a 3 + a 2 a 4 )] +[a 2 3 + α(2a 3 a 4 + a 3 a 1 )] + [a 2 4 + α(2a 4 a 1 + a 4 a 2 )]} ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) 2 (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki đối với 4 cặp số) ⇒ B ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) 2 [a 2 1 + α(2a 1 a 2 + a 1 a 3 )] + ··· + [a 2 4 + α(2a 4 a 1 + a 4 a 2 )] ⇔ B ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) 2 + (2α − 2)(a 1 a 2 + ··· + a 3 a 4 ) ⇔ B ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) 2 + (2α − 2) 3 8 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) 2 ⇔ B ≥ 1 1 + 3 8 (2α − 2) = 8 8 + 3(2α − 2) = 8 2 + 6α = 4 1 + 3α GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 42 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 Dấu ” = ” xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 Bài 2.1 Cho a 4 = 0 ta được: B 1 = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 ) + a 2 a 2 + 2αa 3 + a 3 a 3 + αa 1 ≥ 4 1 + 3α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 2.1.3 Trường hợp 5 số n = 5 Bài toán tổng quát 5 số Cho 5 số không âm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 và số thực α > 2, . Chứng minh rằng: Bài 3 Cho 5 số không âm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 và số thực α > 2. Chứng minh rằng: C = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 + a 5 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + +a 5 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 1 + a 2 ) + a 5 a 5 + α(2a 1 + a 2 + a 3 ) ≥ 5 1 + 4α Chứng minh. Ta có: C = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 + a 5 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 5 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 1 + a 2 ) + a 5 a 5 + α(2a 1 + a 2 + a 3 ) ⇔ C = a 2 1 a 2 1 + α(2a 1 a 2 + a 1 a 3 + a 1 a 4 ) + a 2 2 a 2 2 + α(2a 2 a 3 + a 2 a 4 + a 2 a 5 ) + a 2 3 a 2 3 + α(2a 3 a 4 + a 3 a 5 + a 3 a 1 ) + a 2 4 a 2 4 + α(2a 4 a 5 + a 4 a 1 + a 4 a 2 ) + a 2 5 a 2 5 + α(2a 5 a 1 + a 5 a 2 + a 5 a 3 ) ⇒ C{[a 2 1 +α(2a 1 a 2 +a 1 a 3 +a 1 a 4 )]+[a 2 2 +(2a 2 a 3 +a 2 a 4 +a 2 a 5 )]+[a 2 3 +α(2a 3 a 4 +a 3 a 5 + a 3 a 1 )]+[a 2 4 +(2a 4 a 5 +a 4 a 1 +a 4 a 2 )]+[a 2 5 +α(2a 5 a 1 +a 5 a 2 +a 5 a 3 )]} ≥ (a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 ) 2 (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 5 cặp số) ⇒ C ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 [a 2 1 + α(2a 1 a 2 + a 1 a 3 + a 1 a 4 )] + ··· + [a 2 5 + α(2a 5 a 1 + a 5 a 2 + a 5 a 3 )] ⇔ C ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 + (2α − 2)(a 1 a 2 + ··· + a 4 a 5 ) ⇔ C ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 + (2α − 2) 2 5 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 ⇔ C ≥ 1 1 + 2 5 (2α − 2) = 5 5 + 2(2α − 2) = 5 1 + 4α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 Bài 3.1 GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 43 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 Cho a 5 = 0 ta được: C 1 = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(a 1 + a 2 ) ≥ 5 1 + 4α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 Bài 3.2 Cho a 5 = a 4 = 0 ta được: C 2 = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 ) + a − 2 a 2 + 2αa 3 + a 3 a 3 + αa 1 ≥ 5 1 + 4α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 Bài 4 Cho 5 số không âm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 và số thực α > 2. Chứng minh rằng: D = a 1 a 1 + α(a 2 + a 3 ) + a 2 a 2 + α(a 3 + a 4 ) + a 3 a 3 + α(a 4 + a 5 ) + a 4 a 4 + α(a 5 + a 1 ) + a 5 a 5 + α(a 1 + a 2 ) ≥ 5 1 + 2α Chứng minh. Ta có: C = a 1 a 1 + α(a 2 + a 3 ) + a 2 a 2 + α(a 3 + a 4 ) + a 3 a 3 + α(a 4 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(a 5 + a 1 ) + a 5 a 5 + α(a 1 + a 2 ) ⇔ C = a 2 1 a 2 1 + α(a 1 a 2 + a 1 a 3 ) + a 2 2 a 2 2 + α(a 2 a 3 + a 2 a 4 ) + a 2 3 a 2 3 + α(a 3 a 4 + a 3 a 5 ) + a 2 4 a 2 4 + α(a 4 a 5 + a 4 a 1 ) + a 2 5 a 2 5 + α(a 5 a 1 + a 5 a 2 ) ⇒ C{[a 2 1 + α(a 1 a 2 + a 1 a 3 )] + [a 2 2 + (a 2 a 3 + a 2 a 4 )] + [a 2 3 + α(a 3 a 4 + a 3 a 5 )] + [a 2 4 + (a 4 a 5 + a 4 a 1 )] + [a 2 5 + α(a 5 a 1 + a 5 a 2 )]} ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 5 cặp số) ⇒ C ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 [a 2 1 + α(a 1 a 2 + a 1 a 3 )] + ··· + [a 2 5 + α(a 5 a 1 + a 5 a 2 )] ⇔ C ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 + (α − 2)(a 1 a 2 + ··· + a 4 a 5 ) ⇔ C ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 + (α − 2) 2 5 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) 2 ⇔ C ≥ 1 1 + 2 5 (α − 2) = 5 5 + 2(α − 2) = 5 1 + 2α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = 0 Bài 4.1 GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 44 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 Cho a 5 = 0 ta được: D 1 = a 1 a 1 + α(a 2 + a 3 ) + a 2 a 2 + α(a 3 + a 4 ) + a 3 a 3 + αa 4 + a 4 a 4 + αa 1 ≥ 5 1 + 2α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 Bài 4.2 Cho a 5 = a 4 = 0 ta được: D 2 = a 1 a 1 + α(a 2 + a 3 ) + a 2 a 2 + αa 3 + 1 ≥ 5 1 + 2α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 2.1.4 Trường hợp 6 số n = 6 Bài 5 Cho 6 số không âm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 và số thực α > 2. Chứng minh rằng: E = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 5 + a 6 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 6 + a 1 + a 2 ) + a 5 a 5 + α(2a 6 + a 1 + a 2 + a 3 ) + a 6 a 6 + α(2a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) ≥ 6 1 + 5α Chứng minh. Ta có: E = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 5 + a 6 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 6 + a 1 + a 2 ) + a 5 a 5 + α(2a 6 + +a 1 + a 2 + a 3 ) + a 6 a 6 + α(2a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) ⇔ E = a 2 1 a 2 1 + α(2a 1 a 2 + a 1 a 3 + a 1 a 4 + a 1 a 5 ) + a 2 2 a 2 2 + α(2a 2 a 3 + a 2 a 4 + a 2 a 5 + a 2 a 6 ) + a 2 3 a 2 3 + α(2a 3 a 4 + a 3 a 5 + a 3 a 6 + a 3 a 1 ) + a 2 4 a 2 4 + α(2a 4 a 5 + a 4 a 6 + a 4 a 1 + a 4 a 2 ) + a 2 5 a 2 5 + α(2a 5 a 6 + a 5 a 1 + a 5 a 2 + a 5 a 3 ) + a 2 6 a 2 6 + α(2a 6 a 1 + a 6 a 2 + a 6 a 3 + a 6 a 4 ) ⇒ E{[a 2 1 + α(2a 1 a 2 + a 1 a 3 + a 1 a 4 + a 1 a 5 )] + [a 2 2 + (2a 2 a 3 + a 2 a 4 + a 2 a 5 + a 2 a 6 )] + [a 2 3 + α(2a 3 a 4 + a 3 a 5 + a 3 a 6 + a 3 a 1 )] + [a 2 4 + (2a 4 a 5 + a 4 a 6 + a 4 a 1 + a 4 a 2 )] + [a 2 5 + α(2a 5 a 6 + a 5 a 1 +a 5 a 2 +a 5 a 3 )]+[a 2 6 +α(2a 6 a 1 +a 6 a 2 +a 6 a 3 +a 6 a 4 )]} ≥ (a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 ) 2 (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 6 cặp số) ⇒ E ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) 2 (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 + a 2 5 + a 2 6 ) + 2α(a 1 a 2 + ··· + a 5 a 6 )] ⇔ E ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) 2 + (2α − 2)(a 1 a 2 + ··· + a 5 a 6 ) GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 45 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 ⇔ E ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) 2 (a 1 + ··· + a 6 ) 2 + (2α − 2) 5 12 (a 1 + ··· + a 6 ) 2 ⇔ E ≥ 1 1 + 5 12 (2α − 2) = 12 12 + 5(2α − 2) = 12 2 + 10α = 6 1 + 5α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 Bài 5.1 Cho a 6 = 0 ta được: E 1 = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 + a 5 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 5 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 1 ) + a 5 a 5 + α(a 1 + a 2 ) ≥ 6 1 + 5α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 Bài 5.2 Cho a 6 = a 5 = 0 ta được: E 2 = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 ) + a 3 a 3 + 2αa 4 + a 4 a 4 + αa 1 ≥ 6 1 + 5α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 Bài 5.3 Cho a 6 = a 5 = a 4 = 0 ta được: E 3 = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 ) + 1 ≥ 6 1 + 5α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 Bài 6 Cho 5 số không âm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 và số thực α > 2. Chứng minh rằng: F = a 1 a 1 + α(2a 2 + 2a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + 2a 4 + a 5 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + 2a 5 + a 6 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + 2a 6 + a 1 ) + a 5 a 5 + α(2a 6 + 2a 1 + a 2 ) + a 6 a 6 + α(2a 1 + 2a 2 + a 3 ) ≥ 6 1 + 5α Chứng minh. Ta có: F = a 1 a 1 + α(2a 2 + 2a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + 2a 4 + a 5 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + 2a 5 + a 6 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + 2a 6 + a 1 ) + a 5 a 5 + α(2a 6 + +2a 1 + a 2 ) + a 6 a 6 + α(2a 1 + 2a 2 + a 3 ) ⇔ F = a 2 1 a 2 1 + α(2a 1 a 2 + 2a 1 a 3 + a 1 a 4 ) + a 2 2 a 2 2 + α(2a 2 a 3 + 2a 2 a 4 + a 2 a 5 ) + a 2 3 a 2 3 + α(2a 3 a 4 + 2a 3 a 5 + a 3 a 6 ) + a 2 4 a 2 4 + α(2a 4 a 5 + 2a 4 a 6 + a 4 a 1 ) GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 46 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 + a 2 5 a 2 5 + α(2a 5 a 6 + 2a 5 a 1 + a 5 a 2 ) + a 2 6 a 2 6 + α(2a 6 a 1 + 2a 6 a 2 + a 6 a 3 ) ⇒ F {[a 2 1 + α(2a 1 a 2 + 2a 1 a 3 + a 1 a 4 )] + [a 2 2 + (2a 2 a 3 + 2a 2 a 4 + a 2 a 5 )] + [a 2 3 + α(2a 3 a 4 + 2a 3 a 5 + a 3 a 6 )] + [a 2 4 + (2a 4 a 5 + 2a 4 a 6 + a 4 a 1 )] + [a 2 5 + α(2a 5 a 6 + 2a 5 a 1 + a 5 a 2 )] + [a 2 6 + α(2a 6 a 1 + 2a 6 a 2 + a 6 a 3 )]} ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) 2 (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 6 cặp số) ⇒ F ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) 2 (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 + a 2 5 + a 2 6 ) + 2α(a 1 a 2 + ··· + a 5 a 6 )] ⇔ F ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) 2 + (2α − 2)(a 1 a 2 + ··· + a 5 a 6 ) ⇔ F ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) 2 (a 1 + ··· + a 6 ) 2 + (2α − 2) 5 12 (a 1 + ··· + a 6 ) 2 ⇔ F ≥ 1 1 + 5 12 (2α − 2) = 12 12 + 5(2α − 2) = 12 2 + 10α = 6 1 + 5α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 Bài 6.1 Cho a 6 = 0 ta được: F 1 = a 1 a 1 + α(2a 2 + 2a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + 2a 4 + a 5 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + 2a 5 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 1 ) + a 5 a 5 + α(2a 1 + a 2 ) ≥ 6 1 + 5α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 Bài 6.2 Cho a 6 = a 5 = 0 ta được: F 1 = a 1 a 1 + α(2a 2 + 2a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + 2a 4 ) + a 3 a 3 + 2αa 4 + a 4 a 4 + αa 1 ≥ 6 1 + 5α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 2.1.5 Trường hợp 7 số n = 7 Bài 7 Cho 7 số không âm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 và số thực α > 2. Chứng minh rằng: M = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 6 + a 7 + a 1 + a 2 ) + a 5 a 5 + α(2a 6 + a 7 + a 1 + a 2 + a 3 ) + a 6 a 6 + α(2a 7 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) + a 7 a 7 + α(2a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) ≥ 7 1 + 6α GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 47 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 Chứng minh. Ta có: M = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 6 + a 7 + a 1 + a 2 ) + a 5 a 5 + α(2a 6 + +a 7 + a 1 + a 2 + a 3 ) + a 6 a 6 + α(2a 7 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) + a 7 a 7 + α(2a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) ⇔ M = a 2 1 a 2 1 + α(2a 1 a 2 + a 1 a 3 ··· + a 1 a 6 ) + a 2 2 a 2 2 + α(2a 2 a 3 + a 2 a 4 ··· + a 2 a 7 ) + a 2 3 a 2 3 + α(2a 3 a 4 + a 3 a 5 + ··· + a 3 a 1 ) + a 2 4 a 2 4 + α(2a 4 a 5 + a 4 a 6 + ··· + a 4 a 2 ) + a 2 5 a 2 5 + α(2a 5 a 6 + a 5 a 7 + ··· + a 5 a 3 ) + a 2 6 a 2 6 + α(2a 6 a 7 + a 6 a 1 + ··· + a 6 a 4 ) ⇒ M{[a 2 1 + α(2a 1 a 2 + a 1 a 3 + ··· + a 1 a 6 )] + [a 2 2 + (2a 2 a 3 + a 2 a 4 + ··· + a 2 a 7 )] + [a 2 3 + α(2a 3 a 4 + a 3 a 5 + ··· + a 3 a 1 )] + [a 2 4 + (2a 4 a 5 + a 4 a 6 + ··· + a 4 a 2 )] + [a 2 5 + α(2a 5 a 6 + a 5 a 7 + ··· + a 5 a 3 )] + [a 2 6 + α(2a 6 a 7 + a 6 a 1 + ··· + a 6 a 4 )] + [a 2 7 + α(2a 7 a 1 + a 7 a 2 + ··· + a 7 a 4 )} ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 7 cặp số) ⇒ M ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 + a 2 5 + a 2 6 + a 2 7 ) + 2α(a 1 a 2 + ··· + a 6 a 7 )] ⇔ M ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 + (2α − 2)(a 1 a 2 + ··· + a 6 a 7 ) ⇔ M ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 (a 1 + ··· + a 7 ) 2 + (2α − 2) 3 7 (a 1 + ··· + a 7 ) 2 ⇔ M ≥ 1 1 + 3 7 (2α − 2) = 7 7 + 3(2α − 2) = 7 1 + 6α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 = a 7 Bài 7.1 Cho a 7 = 0 ta được: M 1 = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 5 + a 6 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 6 + a 1 + a 2 ) + a 5 a 5 + α(2a 6 + a 1 + a 2 + a 3 ) + a 6 a 6 + α(a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) ≥ 7 1 + 6α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 Bài 7.2 Cho a 7 = a 6 = 0 ta được: M 2 = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 + a 5 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 5 + a 1 ) GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 48 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 1 + a 2 ) + a 5 a 5 + α(a 1 + a 2 + a 3 ) ≥ 7 1 + 6α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 Bài 7.3 Cho a 7 = a 6 = a 5 = 0 ta được: M 3 = a 1 a 1 + α(2a 2 + a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + a 4 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + a 1 ) + a 4 a 4 + α(a 1 + a 2 ) ≥ 7 1 + 6α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 Bài 8 Cho 7 số không âm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 và số thực α > 2. Chứng minh rằng: L = a 1 a 1 + α(2a 2 + 2a 3 + a 4 + a 5 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + 2a 4 + a 5 + a 6 ) a 3 a 3 + α(2a 4 + 2a 5 + a 6 + a 7 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + 2a 6 + a 7 + a 1 ) a 5 a 5 + α(2a 6 + 2a 7 + a 1 + a 2 ) + a 6 a 6 + α(2a 7 + 2a 1 + a 2 + a 3 ) + a 7 a 7 + α(2a 1 + 2a 2 + a 3 + a 4 ) ≥ 7 1 + 6α Chứng minh. Ta có: L = a 1 a 1 + α(2a 2 + 2a 3 + a 4 + a 5 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + 2a 4 + a 5 + a 6 ) + a 3 a 3 + α(2a 4 + 2a 5 + a 6 + a 7 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + 2a 6 + a 7 + a 1 ) + a 5 a 5 + α(2a 6 + +2a 7 + a 1 + a 2 ) + a 6 a 6 + α(2a 7 + 2a 1 + a 2 + a 3 ) + a 7 a 7 + α(2a 1 + 2a 2 + a 3 + a 4 ) ⇔ L = a 2 1 a 2 1 + α(2a 1 a 2 + 2a 1 a 3 + a 1 a 4 ) + a 2 2 a 2 2 + α(2a 2 a 3 + 2a 2 a 4 + a 2 a 5 + a 2 a 6 ) + a 2 3 a 2 3 + α(2a 3 a 4 + 2a 3 a 5 + a 3 a 6 + a 3 a 7 ) + a 2 4 a 2 4 + α(2a 4 a 5 + 2a 4 a 6 + a 4 a 7 + a 4 a 1 ) + a 2 5 a 2 5 + α(2a 5 a 6 + 2a 5 a 7 + a 5 a 1 + a 5 a 2 ) + a 2 6 a 2 6 + α(2a 6 a 7 + 2a 6 a 1 + a 6 a 2 + a 6 a 3 ) + a 2 7 a 2 7 + α(2a 7 a 1 + 2a 7 a 2 + a 7 a 3 + a 7 a 4 ) ⇒ L{[a 2 1 + α(2a 1 a 2 + 2a 1 a 3 + a 1 a 4 + a 1 a 5 )] + [a 2 2 + (2a 2 a 3 + 2a 2 a 4 + a 2 a 5 + a 2 a 6 )] + [a 2 3 + α(2a 3 a 4 + 2a 3 a 5 + a 3 a 6 + a 3 a 7 )] + [a 2 4 + (2a 4 a 5 + 2a 4 a 6 + a 4 a 7 + a 4 a 1 )] + [a 2 5 + α(2a 5 a 6 + 2a 5 a 7 + a 5 a 1 + a 5 a 2 )] + [a 2 6 + α(2a 6 a 7 + 2a 6 a 1 + a 6 a 2 + a 6 a 3 )] + [a 2 7 + α(2a 7 a 1 + 2a 7 a 2 + a 7 a 3 + a 7 a 4 )]} ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 7 cặp số) GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 49 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 ⇒ L ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 + a 2 5 + a 2 6 + a 2 7 ) + 2α(a 1 a 2 + ··· + a 6 a 7 )] ⇔ L ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 + (2α − 2)(a 1 a 2 + ··· + a 6 a 7 ) ⇔ L ≥ (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) 2 (a 1 + ··· + a 7 ) 2 + (2α − 2) 3 7 (a 1 + ··· + a 7 ) 2 ⇔ L ≥ 1 1 + 3 7 (2α − 2) = 7 7 + 3(2α − 2) = 7 1 + 6α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 = a 7 Bài 8.1 Cho a 7 = 0 ta được: L 1 = a 1 a 1 + α(2a 2 + 2a 3 + a 4 + a 5 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + 2a 4 + a 5 + a 6 ) a 3 a 3 + α(2a 4 + 2a 5 + a 6 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + 2a 6 + a 1 ) a 5 a 5 + α(2a 6 + a 1 + a 2 ) + a 6 2a 1 + a 2 + a 3 ≥ 7 1 + 6α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 Bài 8.2 Cho a 7 = a 6 = 0 ta được: L 2 = a 1 a 1 + α(2a 2 + 2a 3 + a 4 + a 5 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + 2a 4 + a 5 ) a 3 a 3 + α(2a 4 + 2a 5 ) + a 4 a 4 + α(2a 5 + a 1 ) + a 5 a 5 + α(a 1 + a 2 ) ≥ 7 1 + 6α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 Bài 8.3 Cho a 7 = a 6 = a 5 = 0 ta được: L 3 = a 1 a 1 + α(2a 2 + 2a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(2a 3 + 2a 4 ) + a 3 a 3 + 2αa 4 + a 4 a 4 + αa 1 ≥ 7 1 + 6α Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = a 3 = a 4 Bài 9 Cho 7 số không âm a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 và số thực α > 2. Chứng minh rằng: O = a 1 a 1 + α(a 2 + a 3 + a 4 ) + a 2 a 2 + α(a 3 + a 4 + a 5 ) + a 3 a 3 + α(a 4 + a 5 + a 6 ) + a 4 a 4 + α(a 5 + a 6 + a 7 ) + a 5 a 5 + α(a 6 + a 7 + a 1 ) + a 6 a 6 + α(a 7 + a 1 + a 2 ) + a 7 a 7 + α(a 1 + a 2 + a 3 ) ≥ 7 1 + 3α Chứng minh. Ta có: GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 50 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com [...]... a3 a6 )] + [a2 + (a4 a5 + a4 a6 + a4 a7 )] 3 4 h + [a2 + α(a5 a6 + a5 a7 + a5 a1 )] + [a2 + α(a6 a7 + a6 a1 + a6 a2 )] 5 6 4 + [a2 + α(a7 a1 + a7 a2 + a7 a3 )]} ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 7 ⇔O Bài 9.1 2 o c ih ⇔O u ⇔O V ⇒O (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 7 cặp số) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ≥ 2 (a1 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + α(a1 a2 + · · · + a6 a7 )] 2 3 4 5 6 7 (a1... ) a3 a4 + + a3 + α(a4 + a5 + a6 ) a4 + α(a5 + a6 + a7 ) a5 a6 + + a5 + α(a6 + +a7 + a1 ) a6 + α(a7 + a1 + a2 ) a7 + a7 + α(a1 + a2 + a3 ) a2 a2 2 1 ⇔O= 2 + 2 a1 + α(a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 ) a2 + α(a2 a3 + a2 a4 + a2 a5 ) a2 a2 3 4 + 2 + 2 a3 + α(a3 a4 + a3 a5 + a3 a6 ) a4 + α(a4 a5 + a4 a6 + a4 a7 ) a2 a2 6 5 + 2 + 2 a5 + α(a5 a6 + a5 a7 + a5 a1 ) a6 + α(a6 a7 + a6 a1 + a6 a2 ) a2 7 + 2 a7 + α(a7 a1... a5 + a6 + a7 )2 ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a6 a7 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ≥ 3 (a1 + · · · + a7 )2 + (α − 2) 7 (a1 + · · · + a7 )2 7 1 7 = ≥ = 3 7 + 3(α − 2) 1 + 3α 1 + 7 (α − 2) Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 Cho a7 = 0 ta được: a1 a2 a3 O1 = + + a1 + α(a2 + a3 + a4 ) a2 + α(a3 + a4 + a5 ) a3 + α(a4 + a5 + a6 ) a4 a5 a6 7 + +... + + ≥ a4 + α(a5 + a6 ) a5 + α(a6 + a1 ) a6 + α(a1 + a2 ) 1 + 3α Bài 9.2 Cho a7 = a6 = 0 ta được: a1 a2 a3 O2 = + + a1 + α(a2 + a3 + a4 ) a2 + α(a3 + a4 + a5 ) a3 + α(a4 + a5 ) a4 a5 7 + + +≥ a4 + αa5 a5 + αa1 1 + 3α Bài 9.3 GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 51 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 V u ih o c 2 4 h v n Cho a7 = a6 = a5 = 0 ta được: . α(2a 5 a 6 + a 5 a 1 +a 5 a 2 +a 5 a 3 )]+[a 2 6 +α(2a 6 a 1 +a 6 a 2 +a 6 a 3 +a 6 a 4 )]} ≥ (a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 ) 2 (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki với 6 cặp số) ⇒ E ≥ (a 1 +. a 3 a 6 ) + a 2 4 a 2 4 + α(a 4 a 5 + a 4 a 6 + a 4 a 7 ) + a 2 5 a 2 5 + α(a 5 a 6 + a 5 a 7 + a 5 a 1 ) + a 2 6 a 2 6 + α(a 6 a 7 + a 6 a 1 + a 6 a 2 ) + a 2 7 a 2 7 +