Bất đẳng thức xoay vòng phần 5 doc

Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 1.4 Bất đẳng thức xoay vòng phân thức Bài 1 Với a, b > 1, chứng minh rằng: 1 1 + a + 1 1 + b ≥ 2 1 + √ ab Chứng minh Bất đẳng thức tương với: (a + b) + 2 1 + (a + b) + ab ≥ 2 1 + √ ab ⇔ (a + b) + 2 + (a + b) √ ab + 2 √ ab ≥ 2 + 2(a + b) + 2ab ⇔ (a + b)( √ ab − 1) + 2 √ ab(1 − √ ab) ≥ 0 ⇔ ( √ ab − 1)( √ a − √ b) 2 ≥ 0 (Hiển nhiên vì √ ab > 1 ) Bài 2 Với 0 < a, b < 1, chứng minh rằng: 1 1 + a + 1 1 + b ≤ 2 1 + √ ab Chứng minh Bất đẳng thức tương đương với: (a + b) + 2 1 + (a + b) + ab ≤ 2 1 + √ ab ⇔ (a + b) + 2 + (a + b) √ ab + 2 √ ab ≤ 2 + 2(a + b) + 2ab ⇔ ( √ ab − 1)( √ a − √ b) 2 (Hiển nhiên đúng vì √ ab < 1 ) Bài 3 Với a, b > 1, chứng minh rằng: 1 (1 + a) n + 1 (1 + b) n ≥ 2 (1 + √ ab) n Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức: a n + b n 2 ≥ ( a + b 2 ) n GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 32 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 Ta thu được: 1 (1 + a) n + 1 (1 + b) n ≥ 2( 1 1+a + 1 1+b 2 ) n Áp dụng kết quả bài 1 ta thu được. 1 (1 + a) n + 1 (1 + b) n ≥ 2( 1 1 + √ ab ) n = 2 (1 + ab) n Bài 4 Với 0 < a, b < 1, chứng minh rằng: 1 n √ 1 + a + 1 n √ 1 + b ≤ 2 n  1 + √ ab Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức n √ a + n √ b 2 ≤ n  a + b 2 Với a, b > 0 Ta thu được 1 n √ 1 + a + 1 n √ 1 + b ≤ n  1 1+a + 1 1+b 2 Áp dụng kết quả ở ví dụ 2 ta thu được 1 n √ 1 + a + 1 n √ 1 + b ≤ 2 n  1 1 + √ ab = 2 n  1 + √ ab Bài 5 Với a, b > 1. chứng minh rằng a 1 + b + b 1 + a ≥ 2 √ ab 1 + √ ab Chứng minh Bất đẳng thức đã cho tương đương với a 1 + b + 1 + b 1 + a + 1 ≥ 2 √ ab 1 + √ ab + 2 GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 33 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 ⇔ (a + b + 1)( 1 1 + b + 1 1 + a ) ≥ (1 + 2 √ ab) 2 1 + √ ab Ta có a + b + 1 ≥ 1 + 2 √ ab 1 1 + b + 1 1 + a ≥ 2 1 + √ ab Nhân hai vế hai bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 6 Với a, b, c > 0, chứng minh rằng 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c ≥ 3 1 + 3 √ abc Chứng minh Bất đẳng thức đã cho tương đương với P = 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c + 1 1 + 3 √ abc ≥ 4 1 + 3 √ abc Ta có P ≥ 2 1 + √ ab + 2 1 +  c 3 √ abc ≥ 4 1 + 4  abc 3 √ abc = 4 1 + 3 √ abc Bài 7 Với a, b, c > 1, chứng minh rằng 2 + b + c 1 + a + 2 + c + a 1 + b + 1 + a + b 1 + c ≥ 6 Chứng minh Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2 + b + c 1 + a + 1 + 2 + c + a 1 + b + 1 + 1 + a + b 1 + c + 1 ≥ 9 ⇔ (3 + a + b + c)( 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c ) ≥ 9 GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 34 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 Ta có 3 + a + b + c ≥ 3(1 + 3 √ abc) 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c ≥ 3 1 + 3 √ abc Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 8 Với a, b, c > 1, chứng minh rằng 1 (1 + a) 3 + 1 (1 + b) 3 + 1 (1 + c) 3 ≥ 3 (1 + 3 √ abc) 3 Chứng minh Bất đẳng thức đã cho tương đương với P = 1 (1 + a) 3 + 1 (1 + b) 3 + 1 (1 + c) 3 + 1 (1 + 3 √ abc) 3 ≥ 4 (1 + 3 √ abc) 3 Áp dụng kết quả bài 3 ta có P ≥ 2 (1 + √ ab) 3 + 2 (1 +  c 3 √ abc) 3 ≥ 4 (1 + 4  abc 3 √ abc) 3 ≥ 4 (1 + 3 √ abc) 3 Bài 9 Với 0 < a, b, c < 1, chứng minh rằng 1 √ 1 + a + 1 √ 1 + b + 1 √ 1 + c ≤ 3  1 + 3 √ abc Chứng minh Bất đẳng thức đã cho tương đương với P = 1 √ 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c + 1  1 + 3 √ abc ≤ 4  1 + 3 √ abc GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 35 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 Áp dụng kết quả bài 4 ta thu được P ≤ 2  1 + √ ab + 2  1 +  c 3 √ abc ≤ 4  1 + 4  abc 3 √ abc = 4  1 + 3 √ abc Bài 10 Với a, b, c > 1, chứng minh rằng P = ( 2 + b + c 1 + a ) 2 + ( 2 + c + a 1 + b ) 2 + ( 2 + a + b 1 + c ) 2 ≥ 12 Ta có P ≥ ( 2+b+c 1+a + 2+c+a 1+b + 2+a+b 1+c 3 ) 2 ≥ 3( 6 3 ) 2 = 12 Áp dụng ví dụ 7 Bài 11 Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng a 5 b 2 + b 5 c 2 + c 5 a 2 ≥ a 3 + b 3 + c 3 Chứng minh Ta có a 5 b 2 + ab 2 ≥ 2a 3 b 5 c 2 + bc 2 ≥ 2b 3 c 5 a 2 + ca 2 ≥ 2c 3 a 3 + b 3 + c 3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 Cộng 4 bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 12 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 5 bc + b 5 ca + c 5 ab ≥ a 3 + b 3 + c 3 Chứng minh Ta có: GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 36 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 a 5 bc + abc ≥ 2a 3 b 5 ca + abc ≥ 2b 3 c 5 ab + abc ≥ 2c 3 a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3abc Cộng 4 bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 13 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 5 b 3 + b 5 c 3 + c 5 a 3 ≥ a 3 b + b 3 c + c 3 a Chứng minh Ta có: a 5 b 3 + ab ≥ 2 a 3 b Suy ra: a 5 b 5 + 2ab ≥ a 3 b + a 3 b + ab ≥ a 3 b + 2a 2 Tương tự: b 5 c 3 + 2bc ≥ b 3 c + 2b 2 c 5 a 3 + 2ca ≥ c 3 a + 2c 2 mà 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) Cộng 4 bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 14 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 3 a + 2b + b 3 b + 2c + c 3 c + 2a ≥ 1 3 (a 2 + b 2 + c 2 ) Chứng minh Ta có: 9a 3 a + 2b + a(a + 2b) ≥ 6a 2 9b 3 b + 2c + b(b + 2c) ≥ 6b 2 9c 3 c + 2a + c(c + 2a) ≥ 6c 2 mà 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) Cộng 4 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 37 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 Bài 15 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 3 (b + c) 2 + b 3 (c + a) 2 + c 3 (a + b) 2 ≥ 1 4 (a + b + c) Chứng minh Ta có: 8a 3 (b + c) 2 + (b + c) + (b + c) ≥ 6a 8b 3 (c + a) 2 + (c + a) + (c + a) ≥ 6b 8c 3 (a + b) 2 + (a + b) + (a + b) ≥ 6c Cộng 3 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 16 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 3 b(c + a) + b 3 c(a + b) + c 3 a(b + c) ≥ 1 2 (a + b + c) Chứng minh Ta có: 4a 3 b(c + a) + 2b + (c + a) ≥ 6a 4b 3 c(a + b) + 2c + (a + b) ≥ 6b 4c 3 a(b + c) + 2a + (b + c) ≥ 6c Cộng 3 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 17 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 4 bc 2 + b 4 ca 2 + c 4 ab 2 ≥ a + b + c Chứng minh Ta có: a 4 bc 2 + b + c + c ≥ 4a GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 38 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 b 4 ca 2 + c + a + a ≥ 4b c 4 ab 2 + a + b + b ≥ 4c Cộng 3 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 18 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 3 (a + b)(b + c) + b 3 (b + c)(c + a) + c 3 (c + a)(a + b) ≥ 1 4 (a + b + c) Chứng minh Ta có: 8a 3 (a + b)(b + c) + (a + b) + (b + c) ≥ 6a 8b 3 (b + c)(c + a) + (b + c) + (c + a) ≥ 6b 8c 3 (c + a)(a + b) + (c + a) + (a + b) ≥ 6c Cộng 3 bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 19 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 2 b 3 + b 2 c 3 + c 2 a 3 ≥ 9 a + b + c Chứng minh Ta có bất đẳng thức b 3 a 2 + c 3 b 2 + a 3 c 2 ≥ a + b + c Suy ra: a 2 b 3 + b 2 c 3 + c 2 a 3 = ( 1 b ) 3 ( 1 a ) 2 + ( 1 c ) 3 ( 1 b ) 2 + ( 1 a ) 3 ( 1 c ) 2 ≥ 1 a + 1 b + 1 c ≥ 9 a + b + c Bài 20 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 5 b 2 + b 5 c 2 + c 5 a 2 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 39 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48 Chứng minh Ta có: a 5 b 2 + b 5 c 2 + c 5 a 2 ≥ a 3 + b 3 + c 3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 40 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương www.VNMATH.com . Phạm Toán 48 1.4 Bất đẳng thức xoay vòng phân thức Bài 1 Với a, b > 1, chứng minh rằng: 1 1 + a + 1 1 + b ≥ 2 1 + √ ab Chứng minh Bất đẳng thức tương với: (a. ca 2 Cộng 4 bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 12 Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng a 5 bc + b 5 ca + c 5 ab ≥