... cấp Sư Phạm Toán 48
1.2 Bấtđẳngthứcxoayvòng khác trong tam giác
Trong mục này ta chỉ đề cập đến cách xây dựng bấtđẳngthứcxoayvòng trong
∆ABC với 3 cặp biến quay vòng: A, B, C là 3 góc ... 1
Bất đẳngthứcxoay vòng
1.1 Bấtđẳngthức Schurs
1.1.1 Bấtđẳngthức Schurs và hệ quả
Bài 1 (Bất đẳngthức Schurs)
Với x, y, z là các số thực dương, λ là một số thựcbất kì, chứng minh rằng:
x
λ
(x ... 3 bấtđẳngthức trên ta thu được bấtđẳngthức cần chứng minh.
Bài 19
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
2
b
3
+
b
2
c
3
+
c
2
a
3
≥
9
a + b + c
Chứng minh
Ta có bấtđẳng thức
b
3
a
2
+
c
3
b
2
+
a
3
c
2
≥...
... Cương
www.VNMATH.com
Chương 1
Bất đẳngthứcxoay vòng
1.1 Bấtđẳngthức Schurs
1.1.1 Bấtđẳngthức Schurs và hệ quả
Bài 1 (Bất đẳngthức Schurs)
Với x, y, z là các số thực dương, λ là một số thựcbất kì, chứng ... nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48
1.4 Bấtđẳngthứcxoayvòng phân thức
Bài 1
Với a, b > 1, chứng minh rằng:
1
1 + a
+
1
1 + b
≥
2
1 +
√
ab
Chứng minh
Bất đẳngthức tương với:
(a + b) + 2
1 + (a ... 3 bấtđẳngthức trên ta thu được bấtđẳngthức cần chứng minh.
Bài 19
Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằng
a
2
b
3
+
b
2
c
3
+
c
2
a
3
≥
9
a + b + c
Chứng minh
Ta có bấtđẳng thức
b
3
a
2
+
c
3
b
2
+
a
3
c
2
≥...
...
3
2
3
2
3
2
11
7
11
7
11
7
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
176
VII- Bấtđẳngthức hoán vị các số vòng quanh
Bài 134. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1)
b
ca
a
bc
c
ab
ab
c
ca
b
bc
a
333
++++
; ... xảy ra đẳngthức a = b = c = d.
Bài 142. Cho a, b, c, d dơng thoả mÃn
2005dcba
=+++
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
b.a
dd
a.d
cc
d.c
bb
c.b
aa
F
3333
+++=
Giải. áp dụng bấtđẳngthức ... ra đẳng thức
171
Cộng từng vế của (1), , (4), ta đ ợc
+++
+++
3
2
3
2
3
2
3
2
3333
dcba.4
b.a
dd
a.d
cc
d.c
bb
c.b
aa
.4
hay
.dcbaF
3
2
3
2
3
2
3
2
+++
(*)
áp dụng bấtđẳng thức...
... về việc sử dụng bấtđẳngthức hàm lồi và định lí Roll trong
việc giải phương trình và chứng minh bấtđẳng thức. Từ đó chúng ta có thêm công cụ
hữu hiệu để giải các bài toán về bất phương trình ... 2008-2009
I. Sử dụng tính lồi lõm của hàm số để chứng minh bấtđẳngthức giả sử:
0M ≤
Ta thực hiện các bước sau
+ Bước 1: Biến đổi bấtđẳngthức về dạng:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
... 2 2
tan tan tan 1
2 2 2
A B C
+ + ≥
• Bài toán này cần sử dụng nhiều hàm lồi để chứng minh bấtđẳng thức.
Giải: Xét
( )
2
f x x=
Ta có:
( ) ( )
' ''
2 ; 2 0f x x f x x= = >...
... ñiều kiện
2 2 2
3a b c+ + =
.
Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2 2 2
2
ab bc ca
M
ab bc ca
+ +
=
+ +
.
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang
14
( )
2 2 2
1 2 1 2
2
1 ... Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang
33
301. Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho với các số thực
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
x x x y y y
, ta
luôn có b
ất ñẳng thức
2 2 ... b c
a b c a b c
+ + +
+ + + + ≥ + +
.
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang
12
( )
2 10a b c abc+ + − ≤
.
Vietnam, 2002
94. [ Vasile...
...
Đẳng thức cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi a
i
b
j
=a
j
b
i
với mọi i≠j. Để sử dụng
thật tốt bấtđẳngthức này các bạn phải có cái nhìn hai chiều với bấtđẳng
thức trên. Nói chung thì bấtđẳng ... bấtđẳngthứcdạng chính tắc.
Bây giờ ta đi vào xét các ví dụ để thấy được sức mạnh của bấtđẳngthức
cauchy-schwarz.
Cauchy-Schwarz inequality. 2
Ví dụ 1. Ta sẽ chứng minh bấtđẳngthức ... bấtđẳngthức
cauchy-schwarz
`
Đầu tiên xin được nhắc lại nội dung bấtđẳngthức Cauchy-Schwarz. Với hai
bộ số thựcbất kì a
1
, a
2
, …, a
n
và b
1
, b
2
, …, b
n
ta có bất...
... của x+y.
Áp dụng bấtđẳngthức BunhiaCopxkia ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy
74. Cho . Chứng minh:
22
Có: ; ; .
Cộng vế ba bấtđẳngthức ta có:
Dấu đẳngthức khi :
90. ... BĐT được:
19
Chuyên đề bấtdẳng thúc
1. Cho . Chứng minh rằng
( đúng theo Côsi).
Đẳng thức xảy ra đều.
2. Chứng minh với mọi ta có
( đẳngthức xảy ra )
Lại có
Đẳng thức xảy ra hoặc .
3. ... Chứng minh
Nhận xét:
Ta có
Dấu xảy ra
33. Cho . Chứng minh rằng:
Bất đẳngthức
Do nên ( luôn đúng do áp dụng bấtđẳngthức Côsi ) (đpcm).
34. Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm...
... các bấtđẳngthức giữa trung bình cộng và trung bình nhân đối với hai số không âm, đối với ba
số không âm, và của bốn số không âm ( chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào?)
-Bài đọc thêm về Bấtđẳngthức ... các dạng toán của bài.
-Bài tập 20 có thể làm theo Bấtđẳngthức Bunhiacốpxki với bốn số thực. Em hãy làm lại bài 20 với áp
dụng Bấtđẳngthức Bunhiacốpxki.
Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng
Tiết ... làm thao cách khác
là áp dụng :
Bất đẳngthức Bunhiacốpxki với
bốn số thực.
Với bốn số thực a, b, c, d ta có
(ab + cd)
2
≤ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
).
Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi
d
c
b
a
=
.
(...
... đổi - rút ra kết luận
* Đẳngthức xảy ra khi a = b
HĐ 4:
0,0 ≥≥ ba
( )
2
ba −
Khai triển rút ra kết luận
* Đẳngthức xảy ra khi nào?
Bất đẳngthức bên gọi là bấtđẳngthức Côsi
( )
ab
ba
abbaba
≥
+
⇔
≥−+=−
2
02
2
Định ... ta có bấtđẳng
thức khi nào?
HĐ 10:
b) Đối với 3 số không âm
3
3
0,0,0
abc
cba
cba
≥
++
≥≥≥
b) Đối với 3 số không âm
3
3
0,0,0
abc
cba
cba
≥
++
≥≥≥
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Đẳng thức xảy ... ĐẲNGTHỨC (TT)
Tiết : 43
10 - Nâng cao 3- BẤTĐẲNGTHỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
I- Mục tiêu: Qua bài học học sinh cần nắm được:
* Bấtđẳngthức giữa trung bình cộng và trung bình nhân...
... GTNN của tổng
hai số này ?
Hoạt động 6 . Hướng đẫn học sinh
nắm vững các bấtđẳngthức chứa
giá trị tuyệt đối. Bấtđẳngthức trung
bình cộng và trung bình nhân, đồng
thời biết áp dụng và giải ... thức trung bình cộng vã trung bình
nhân.
<H> Với a
≥
0 và
≥
0 chứng minh
rằng
ab
ba
≥
+
2
.
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
gọi là bấtđẳngthức Côsi.
Hoạt động 5.Vận ... xảy ra
⇔
x = 0.
* |x|
≥
x, dấu “=” xảy ra
⇔
x
≥
0.
* |x|
≥
0, dấu “=”
⇔
x
≤
0
* Bấtđẳngthức Cô Si:
Nếu a
≥
0 và
≥
0 thì
ab
ba
≥
+
2
.
Dấu “=” xảy ra
⇔
a = b.
x + y
≥
xy
⇔
...
... IV: BẤTĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§ 1. BẤTĐẲNG THỨC
Số tiết : 2
1.Mục tiêu:
a/Kiến thức :-Biết khái niệm và các tính chất của bấtđẳng thức
-Hiểu bấtđẳngthức cô-si
-Biết được một số bất ... là số đã cho
I/ Ôn tập bấtđẳng
thức
1.Khái niệm bất
đẳng thức: sgk tr74
2 .Bất đẳngthức
hệ quả và bấtđẳng
thức tương
đương:sgk tr74
3.Tính chất của
bất đẳng thức: sgk
tr75
Chú ý :sgk ... bấtđẳngthức chứa giá trị tuyệt đối
b/Kỹ năng: -Vận dụng được tính chất của bấtđẳngthức hoặc dùng phép biến đổi tương đương
để chứng minh một số bấtđẳngthức đơn giản
-Biết vận dụng bất đẳng...
... trường hợp dấu đẳngthức xảy ra, tôi viết chuyên đề
“Chọn điểm rơi trong giải toán bấtđẳngthức .
III. NỘI DUNG
1. Bổ túc kiến thức về bấtđẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bấtđẳng thức
Định nghĩa: ... – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học
thì bài toán bấtđẳngthức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất
đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn ... rơi trong bấtđẳngthức BCS.
Bài 1. Cho
, ,x y z
là ba số dương và
1x y z+ + ≤
, chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
Nhận xét: chúng ta có thể dùng bấtđẳngthức Cauchy...