Một số bất đẳng thức cho kỳ vọng và phương sai của đại lượng ngẫu nhiên xác định trên khoảng hữu hạn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ======== Đề tài: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN XÁC ĐỊNH TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN Giáo viên hướng dẫn: ThS Tôn Thất Tú Sinh viên thực : Huỳnh Ngọc Minh Lớp Đà Nẵng, tháng năm 2014 : 10CTT1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .4 Đại lượng ngẫu nhiên Hàm phân phối Một số hàm ĐLNN X 3.1 Hàm Bêta 3.2 Hàm gamma 3.3 Hàm Bêta Phân phối liên tục tuyệt đối Một số bất đẳng thức đồng thức .8 5.1 Bất đẳng thức Holder .8 5.2 Bất đẳng thức Cauchy- Buniakowsky-Schwarz .8 5.3 Bất đẳng thức Gruss 5.4 Bất đẳng thức Hermite- Hadamard Một số đặc trưng ĐLNN .8 6.1 Kỳ vọng toán học 6.2 Phương sai Chương 2: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN XÁC ĐỊNH TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN .11 Một số bổ đề 11 Một số bất đẳng thức cho kỳ vọng phương sai 15 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO .29 TRANG Lời khóa luận tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn Th.S Tơn Thất Tú tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực khóa luận để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin phép gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy khoa Tốn trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng dạy bảo tận tình cho suốt thời gian học tập khoa Nhân xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành khóa luận Cuối cùng, có đầu tư nghiêm túc, cố gắng nỗ lực hết sức, khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận lời góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để khóa luận hồn thiện Đà nẵng, ngày 19 tháng 05 năm 2014 Sinh viên thực Huỳnh Ngọc Minh TRANG Lí chọn đề tài Trong Tốn học, có nhiều tốn vơ phức tạp sử dụng cơng cụ khác vơ khó khăn để giải áp dụng bất đẳng thức thích hợp lời giải tốn tiếp cận dễ dàng Với ý nghĩa kỳ vọng đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình, cịn phương sai đại lượng đặc trưng cho độ khuếch tán xung quanh kỳ vọng Từ vấn đề tìm giới hạn trên, giới hạn kỳ vọng ước lượng mức độ khuếch tán phương sai điều cần thiết Với vấn đề cần quan tâm vậy, hướng dẫn Thầy Th.S Tôn Thất Tú, đề tài Một số bất đẳng thức cho kỳ vọng phương sai đại lượng ngẫu nhiên xác định khoảng hữu hạn chọn làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp tơi Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu bất đẳng thức cho kỳ vọng phương sai đại lượng ngẫu nhiên xác định khoảng hữu hạn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu số bất đẳng thức cho kỳ vọng phương sai đại lượng ngẫu nhiên xác định khoảng hữu hạn Ở dừng lại mức độ nghiên cứu chứng minh số bất đẳng thức cho kỳ vọng phương sai đại lượng ngẫu nhiên xác định khoảng hữu hạn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, chứng minh, tổng hợp Ý nghĩa khoa học thực tiễn Hệ thống hóa trình bày chứng minh chi tiết số bất đẳng thức cho kỳ vọng phương sai đại lượng ngẫu nhiên xác định khoảng hữu hạn nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho nghiên cứu bất đẳng thức môn lý thuyết xác suất Tóm tắt nội dung khóa luận Nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, bao gồm kiến thức liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối số bất đẳng thức TRANG Chương 2: Một số bất đẳng thức cho kỳ vọng phương sai đại lượng ngẫu nhiên xác định khoảng hữu hạn Đây nội dung khóa luận Trong chương trình bày số bất đẳng thức, số định lí, bổ đề hệ TRANG PHẦN NỘI DUNG Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đại lượng ngẫu nhiên 1.1 Định nghĩa Cho (, A, P ) không gian xác suất Ánh xạ X :    gọi đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) X hàm đo được, tức là: a  ,{   : X ( )  a} A Để đơn giản ta kí hiệu [X  B ]  {   : X ( )  B} 1.2 Tính chất (i) Nếu X, Y ĐLNN (, A, P ), a, b   aX  bY , X  Y , X / Y (Y  0), max{X,Y}, min{X, Y} ĐLNN (, A, P ) (ii) Nếu X ĐLNN (, A, P ) , g hàm đo  g(X) ĐLNN (, A, P ) 1.3 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập 1.3.1 Một vài định nghĩa (i) Hai ĐLNN X1 , X2 gọi độc lập với số thực a1 , a2 ta có: P([X1  a1 ]  [ X2  a2 ])  P( X1  a1 ).P( X2  a2 ) (ii) Nhóm n ĐLNN X1 , X2 , , X n gọi độc lập số thực a1 , a2 , , an ta có:  n  n P   [ X k  ak ]    P[Xk  ak ]  k 1  k 1 (iii) Dãy ĐLNN  X n , n  1 gọi độc lập đôi hai ĐLNN dãy độc lập (iv) Dãy ĐLNN  X n , n  1 gọi độc lập tập hữu hạn ĐLNN dãy độc lập 1.3.2 Tính chất Nếu  X1 , X2 , , X n  ĐLNN độc lập, g1 , g2 , , gn hàm Borel đo    gi ( Xi ), i  1, n độc lập Hàm phân phối 2.1 Định nghĩa TRANG Trong không gian xác suất (, A, P ) cho ĐLNN X Ta gọi hàm thực F ( x ) xác định hệ thức: F ( x )  FX ( x )  P[X  x ], x   hàm phân phối X Rõ ràng X ĐLNN [X  x ]  A nên hàm phân phối xác định với x   2.2 Tính chất Hàm phân phối F ( x ) X (, A, P ) có tính chất: (i) (ii)  F ( x )  1, x   Nếu x1  x2 F ( x1 )  F ( x2 ) (iii) lim F ( x )  1, lim F ( x )  (iv) F ( x )liên tục trái  x  x  Một số hàm ĐLNN X 3.1 Hàm Bêta 3.1.1 Định nghĩa Với p  0, q  tích phân sau Euler chứng minh hội tụ gọi hàm Bêta hay tích phân Euler loại 1 B( p, q)   t p1 (1  t )q1 dt 3.1.2 Tính chất hàm Bêta (i) (ii) (iii) (iv) B( p, q)  B(q, p) p 1 B( p  1, q) p  q 1 (n  1)!(m  1)! B( p, q)  với n, m  N (m  n  1)! B( p, q)   ( p).(q) B( p, q)  với ( p)   t p1e  t dt laø haøm gamma ( p  q ) 3.2 Hàm gamma 3.2.1 Định nghĩa Với p  ta có tích phân:  ( p)   x p1e x dx hội tụ, xác định hàm p, gọi hàm gamma hay tích phân Euler loại TRANG 3.2.2 Tính chất hàm gamma (i) (1)  (ii) ( p  1)  p( p) Với p  (iii) (n  1)  n! (iv) ( )   3.3 Hàm lồi Cho [a,b] khoảng chứa  hàm f : [a, b]   f gọi hàm lồi nếu: f ( x  (1   )y)   f ( x )  (1   ) f ( y ) với x , y  [a, b ] với  [0,1] Phân phối liên tục tuyệt đối 4.1 Định nghĩa ĐLNN X gọi có phân phối liên tục tuyệt đối (lttđ) hàm phân phối X lttđ  4.2 Hàm mật độ phân phối liên tục tuyệt đối 4.2.1 Định nghĩa ĐLNN X có phân phối lttđ tồn hàm f ( x )   cho: F( x)  x  f (u)du x    Khi ta gọi f ( x ) hàm mật độ X Cũng từ định nghĩa ta có: f (x)  dF ( x ) (h.k n) dx 4.2.2 Tính chất Nếu X ĐLNN có phân phối lttđ với hàm mật độ f ( x ) thì: (i)   f ( x )dx   (ii) x  , P[X  x ]  (iii) a, b  , a  b, P[a  X  b]   f ( x )dx  FX (b)  FX (a) b a 4.2.3 Một số phân phối lttđ thường gặp 4.2.3.1 Phân phối ĐLNN X gọi có phân phối [a, b] nếu: TRANG  neáu x  [a, b]  f ( x)  fX ( x)   b  a 0 neáu x  [a, b]  Khi hàm phân phối có dạng: 0 x  a  x a F( x )   f (u)du   neáu a  x  b x  b   x  b 1 x Kí hiệu: X~ U [a, b] 4.2.3.2 Phân phối mũ ĐLNN X gọi có phân phối mũ tham số  (  0) nếu:  x  e neáu x  f ( x )   0 neáu x   Khi hàm phân phối có dạng: x  1  e  neáu x  F( x)   0 neáu x  4.2.3.3 Phân phối gamma ĐLNN X gọi có phân phối gamma tham số  , p , kí hiệu X~ G( , p) nếu:   p p1  x x e neáu x   f ( x )   ( p ) 0 neáu x    , p số dương 4.2.3.4 Phân phối chuẩn ĐLNN X gọi có phân phối chuẩn N (a, ) : f (x)  2 a, số dương e  ( x  a )2 2 với x ∈  Kí hiệu: X~ N (a, ) Khi a  0,  ta có phân phối chuẩn tắc X~ N (0,1) với hàm mật độ là: TRANG f (x)  e 2  x2 với x ∈  Một số bất đẳng thức 5.1 Bất đẳng thức Holder Cho E tập khác rỗng ( E , F ,  ) không gian độ đo Giả sử f , g hàm số thực đo E Khi  E với p  0, q  0, f g d    p E f d p   g d  q q E 1   p q 5.2 Bất đẳng thức Cauchy- Buniakowsky-Schwarz Từ bất đẳng thức Holder với p  q  ta có bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy- Buniakowsky-Schwarz  E f g d    E f d   g d  2 E 5.3 Bất đẳng thức Gruss (xem [3]) Cho f hàm khả tích [a,b] m  f ( x )  M với x [a, b ] , m, M số thực Khi ta có bất đẳng thức Gruss b b  1  2 f ( x ) dx  f ( x ) dx    (M  m)   ba a (b  a)  a  5.4 Bất đẳng thức Hermite- Hadamard (xem [4]) Cho f hàm lồi [a,b],   f ( x )  t với  , t  [a, b], t   Khi ta có bất đẳng thức sau gọi bất đẳng thức Hermite- Hadamard   t  f      f (u)du t  t  Một số đặc trưng ĐLNN 6.1 Kỳ vọng toán học 6.1.1 Định nghĩa a) Kỳ vọng ĐLNN rời rạc TRANG f (t )  f ( )  (b  E ( X ))2  [b  a  E ( X )][b  E ( X )]  b b (t   )(F (t )  F ( ))d dt (b  a) a a b b  (b  E ( X ))  [b  E ( X )  a  E ( X )][b  E ( X )]  (t   )( F (t )  F ( ))d dt (b  a) a a b b  (b  E ( X ))  (b  E ( X ))  [b  E ( X )][a E ( X )]  (t   )( F (t )  F ( ))d dt  (b  a)   2 a a  [b  E ( X )][E ( X )  a]  b b (t   )(F (t )  F ( ))d dt (b  a) a a Bổ đề 1.4 hoàn toàn chứng minh Nhận xét Từ tính chất đơn điệu khơng giảm hàm phân phối F đoạn [a,b], ta có bất đẳng thức sau:   ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a]  (b  a)2 Chứng minh Từ phần chứng minh bổ đề (1.4) ta có: b b  ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a]  (t   )(F (t )  F ( ))d dt (b  a) a a Mà (t   )(F(t)  F( ))  với t,  [a, b] b b  (t   )(F(t)  F( ))d dt    ( X )  [b  E( X )][E( X )  a]  (b  a) a a Hơn nữa, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho b  E ( X ) vaø E ( X )  a [b  E ( X )][E ( X )  a]  1  b  E ( X )  E ( X )  a   (b  a)2 (ñpcm) 4 Một số bất đẳng thức cho kỳ vọng phương sai Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác xuất f : [a, b]  (0, ) hàm phân phối tích lũy F : [a, b]  [0,1] Sau số định lý hệ Định lý Với giả thiết trên, ta có: [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )  b  t F (t )dt  a b (b  E ( X )) | t | dt  ba a TRANG 15 (2.4) Chứng minh Trong [7], SS Dragomir chứng minh tinh tế bất đẳng thức Chebychev sau: T (h, g)  max{| T(h,| g |) |,| T((| h |,g) |,| T(| h |,| g |) |}  0, (2.5) Cho (h,g) đồng biến [a,b], tức là: (h(t )  h( ))(g(t )  g( ))  với t,   [a, b] Khi ta đặt b b b 1 T(h,g) :  h(t )g(t )dt  h(t )dt g(t )dt  ba a b  a a a Nếu ta định nghĩa h(t)  t, g(t)  F(t), t [a, b] suy ra: b b b 1 T (t, F )  tF (t )dt  tdt F (t )dt   ba a b  a a b  a a b (2.6) b b  E( X )  tF (t )dt  tdt  ba a (b  a)2 a Bây giờ, từ (2.6) Suy T (| t |, F )  b b b b  E( X ) | t | F (t )dt  | t | dt   ba a a (b  a)2 a T (t,| F |)  T (t, F ), T(| t |,| F |)  T(| t |,F) Từ bổ đề (1.4) Đặt A  VT  [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X ) b b  (t   )( F (t)  F ( ))d dt b  a a a Sử dụng bổ đề 1.3 b b b 1 1 tF ( t ) dt  tdt F ( t ) dt  b  a a b  a a b  a a 2(b  a)2 b b   (t   )(F(t)  F( ))d dt a a b b b   b b  E(X ) Suy ( t   )( F (t)  F (  )) d  dt  2( b  a ) tF ( t ) dt  tdt    b  a a a (b  a)2 a   b  a a  A  2(b  a)T (t, F ) Từ (2.5) ta coù T (t,F)  max{| T(t,F) |,| T((| t |,F) |}  T (| t |,F)  maø A  2(b  a)T (t, F TRANG 16 b b b  E( X )  A  2(b  a) T (| t |, F )  2(b  a) | t | F (t )dt  | t | dt  ba a (b  a)2 a b b b  E( X )   | t | F (t )dt  | t | dt  (b  a) a a Nhận xét 2: Nếu a  b  hay  a  b , a   b từ bất đẳng thức (2.4) ta thu bất đẳng thức Hệ 1.1: Với a  b  từ bất đẳng thức (2.4) viết lại ta thu bất đẳng thức b [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )    tF (t)dt  a ba (b  E ( X ))  Hệ 1.2: Với  a  b từ bất đẳng thức (2.4) viết lại ta thu bất đẳng thức b [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )   tF (t)dt  a ba (b  E ( X ))  Hệ 1.3: Với a   b từ bất đẳng thức (2.4) viết lại ta thu bất đẳng thức [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X ) b a2  b2   tF (t)dt   tF (t )dt  (b  E ( X ))  2(b  a) a Giả sử f : [a, b]  (0, ) hàm mật độ liên tục đại lượng ngẫu nhiên X, ta có định lý sau Định lý  [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )  (b  a)3 f  neáu f  L [a, b]  2  q (b  a) q f p 1 neáu f  L p [a, b], p  1,      (2q  1)(3q  1) p q  ( b  a )2   TRANG 17 (2.7) Chứng minh Sử dụng bổ đề (1.4), ta có:  [b  E ( X )][E ( X )  a ]   ( X )  (2.8) b b  b ( t   ) f ( u ) du  d dt    b  a a a a  Từ thuộc tính mơ đun, ta có  [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )  ba (2.9) b b  b a a (t   )  a f (u)du  d dt  b  a a a (t   )   b b  b   f (u)du  d dt : M a  Nếu f  L [a, b] , ta viết t  f (u)du  t   f  với t,   a, b  Vì b b M t  t  f b  a a a b b  d dt  b b (t   ) d dt ba   a a b b f b (t   )3 3 ( t   ) d  dt   a a a dt   a (t  b)  (t  a)  dt a (2.10) b b 1   (t  a)3  (b  t )3  dt  (t  a)4  (b  t )4   a 3a 12  Từ đó, suy ( b  a )4 4    (b  a)  (b  a)   12 f f ( b  a )4 M  ba   (b  a)3 Chứng minh cho phần thứ bất đẳng thức (2.7) Chúng ta áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có: t t q t  f (u)du   du  f p p 1 (u)du p  1,   q p Suy M 3 q 2 2.q f p (b a) 2.q2 (b a)  b  a (2q  1)(3q  1) (2q  1)(3q  1) f p TRANG 18 q Ngoaøi b b M t  t  b  a a a b b   t  1 a a q q f  d dt  f b b b  a a a  t  1 q d dt (2.11) 1 b t  1 1 q d dt     (t   ) d   (t   ) q d  dt  a t a 1 b 2 2  t b q q      (t   )  dt   (t   )  a t         a  2   q b 1 b 2 2  q q  (t  a)  (t  b) q  dt  (2q  1) a    q (2q  1) (t  a) b  a    3 q b  (t  b) a    (3  ) q 3 q 1  3 3  q q (b a)  (b a) q  3   2.q (b a) q    (2q  1)(3q  1) (2q  1)(3q  1) Vậy bất đẳng thức thứ (2.7) chứng minh Chứng minh bất đẳng thức cuối Ta có: b b M t  b  a a a b b   (t   )2   f (u)du  d dt  a  b  a a      dt  a b b    b  a  1 (t  a)3 b  (b  t )3 b  2   ( t  a )  ( b  t ) dt   a a 2.(b  a) a  6.(b  a)    ( b  a )2 (b  a)3  (b  a)3    6.(b  a)  b  b f (u)du   F '(u)du  F (u)  F (b)  F (a)  1 a  a  Định lý chứng minh hoàn toàn Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Buniakowsky- Schwarz, có bất đẳng thức sau: Định lý 3: Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F: [a,b]→ [0,1] TRANG 19 Ta có:  [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X ) (2.12) ( b  a )2   (b  a)2 F  (b  E ( X ))2     (b  a)3 Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Buniakowsky- Schwarz bảng tích phân bội Ta có: 1 b b 2  b b 2 2 ( t   )( F ( t )  F (  )) d  dt  ( t   ) d  dt ( F ( t )  F (  )) d  dt     a a    a a a a     Trong b b b b   (t   ) d dt  a a b b ( b  a )4 b b ( từ 2.10)   (F(t)  F( )) d dt     F a a (2.13)  (t )  F (t ).F ( )  F ( ) d dt a a b b b b a a a a  (b  a) F (t )dt  (b  a) F ( )d   F ( )d  F (t )dt Suy  b b   a a (F(t)  F( )) d dt  (b  a)a F (t)dt   a F (t)dt       2  (b  a) F   b  E ( X )     b b Từ (2.13) ta suy b b   (t   )(F(t)  F( )).d dt  a a ( b  a )4 (b  a)2 F  (b  E ( X ))2    ( b  a )2   (b  a)2 F  (b  E ( X ))2    Bất đẳng thức thứ (2.12) chứng minh Để chứng minh phần cuối (2.12), sử dụng bất đẳng thức Gruss sau: TRANG 20 (2.14) b b  1  2 g ( t ) dt  g ( t ) dt    (   )   ba a (b  a)  a  (2.15) Trong g  L2 [a, b]   g(t )   hầu chắn với t  [a, b] ,  ,  số Thay g(t )  F (t ) b  F (t )  a từ (2.15) ta b b  1  2 F ( t ) dt  F ( t ) dt    (b  a)   ba a (b  a)  a  Từ (2.14) ta suy b b (b  a)  2 a a (t   )(F(t)  F( )).d dt   (b  a)  2  (b  a)3 Định lý hoàn toàn chứng minh Nếu giả sử f hàm lồi [a,b] ta có kết sau Định lý 4: Giả sử f :[a,b]→ [0,∞] hàm mật độ lồi, ta có bất đẳng thức b b  t  (t   ) f    ba a a  Chứng minh   d dt  [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )  ( b  a )2    ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a] (2.16) Sử dụng bất đẳng thức Hermite- Hadamard   t  f      f (u)du t  t  f (t )  f ( ) Với t,  [a, b], t   có:  t   f (t )  f ( ) (t   ) f  t,  [a, b]   (t   )( F (t )  F ( ))    Lấy tích phân bội (2.17) [a, b]2 sử dụng bổ đề (1.4) ta b b  t  (t   )2 f    ba a a  b b  d  dt  (t   )( F (t )  F ( ))d dt    b  a  a a  [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X ) b b f (t )  f ( )  (t   )2 d dt   ba a a TRANG 21 (2.17) b b b b    f (t )  f ( )  2 ( t   ) d  dt  ( t   ) f ( t ) d  dt  ( t   ) d    f (t )dt   a a a a a  a     b b (2.18) b  (t   )3 b   (b  t )3  (t  a)3   f (t )dt       f (t )dt 3   a a  a  b ba (b  t )2  (b  t )(t  a)  (t  a)2  f (t )dt    a b b ba (b  a)2  3(b  t )(t  a) f (t )dt    a b (b  a)3   (b  a) (b  t )(t  a) f (t )dt a Sử dụng bổ đề (1.1), ta có b  (b  t)(t  a) f (t)dt  [b  E( X )][E( X ) - a]   (X ) a Từ (2.18) ta b b (b  a)3  f (t )  f ( )  ( t   ) d  dt   (b  a)  ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a]   a a   Suy b b  t  (t   )2 f    ba a a   ( b  a )2   ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a]  d dt   Định lý hoàn toàn chứng minh Nhận xét 3: Bất đẳng thức thứ (2.16) tương ứng với bất đẳng thức sau: [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )  (b  a)2 (2.19) Nhận xét 4: Với b  a  kết định lý tốt định lý 4.Với ba  ta có ngược lại.Nhưng ý định lý hàm f lồi định lý khơng cần Định lý 5: Cho X ĐLNN liên tục với hàm mật f : [a, b]   liên tục tuyệt đối [a,b] Khi ta có: TRANG 22 ( b  a )2 b b t   t   ( t   )    u    2(b  a) a a    ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a]  (2.20)   f '( u ) du  d dt    Chứng minh Sử dụng bổ đề (1.2) với g : [a, b]   hàm liên tục tuyệt đối b Ta có:  g(u)du  a b  g(a)  g(b) ab (b  a)    u   g '(u)du 2  a Sử dụng bổ đề 1.4 ta [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )  b b b  ( t   )   f (u)du d dt   ba a a a    f '( u ) du  d dt    b b b b b 1 t   f (t )  f ( )   (t   )  (t   )    u   d dt        ba a a ba a a   a Sử dụng phần chứng minh định lý ta có: (2.21) b b b  f (t )  f ( )  t   (t   )  (t   )    u    ba a a 2  a   f '( u ) du  d dt    b b ( b  a )2  f (t )  f ( )  ( t   ) d  dt    ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a]     ba a a   Từ (2.21) ta suy ( b  a )2 [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )    ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a] b b b  t    ( t   ) u  f '( u ) du   d dt     b  a a a  a  b b b ( b  a )2 t    ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a]   (t   )    u     2(b  a) a a a Định lý chứng minh hoàn toàn   f '( u ) du  d dt    Định lý 6: Cho X ĐLNN liên tục với hàm mật f : [a, b]   liên tục tuyệt đối [a,b] Khi ta có bất đẳng thức sau: TRANG 23 ( b  a )2 [b  E ( X )][E ( X )  a]   ( X )  (2.22)  f'   ( b  a )4  80  q2 f ' 3  p  (b  a) q  2.(3q  1)(4q  1)(q  1)  f'  (b  a)3  24 neáu f '  L [a, b] neáu f '  L p [a, b], p  1, 1  1 p q Chứng minh Sử dụng (2.20) ta có: ( b  a )2  ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a]  (2.23)  b b t  t  ( t   ) u     2(b  a) a a     f '(u)du d dt : N  Dễ dàng ta chứng minh bất đẳng thức sau: t  t    u    f '(u)du  f '    t 2  t  t    u  du  f '      u    t  t  f '  t     u           u  t       t t      t   t   du    u   t         t     t     f'      (t   )2  t,  [a, b]           f'  Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có: t  t    u    f '(u)du   t  p f '(u) du p t q  u  t  du q 1  t   q q     q q   t  t   t           f '    u   du      u   du   p      t            2   TRANG 24     du       f ' p   t        (q  1) q     f ' p   t        (q  1) q    f'  p q    q 1 q   t            2.(t   )q1  q    q 1   p 2(q  1) Ta lại có:        q    t     u      (q  1) f' u t  q 1 q t  1 q f' t      1 q                   q p (q  1) q  (t   )q1  q   q    t,  [a, b] t  t   t  u      f '(u)du  sup u   q 1 t q 1 t  t  f '(u) du f'1 Từ bất đẳng thức ta suy  f'   (t   )2 neáu f '  L [a, b]   1 t q t     t   1 neáu f '  L p [a, b], p  1,     u   f '(u)du   f ' p p q  q 2( q  1)   t  neáu f '  L1[a, b]  f'1  Sử dụng (2.24) , với f ' thuộc khơng gian Lebesgue ta có:  f' b b   ( t   ) d dt  8(b  a)   a a  b b f'  2 p N  a a (t   ) q d dt  4(q  1) q (b  a)  b b  f'  (t   ) d dt    4(b  a) a a TRANG 25 (2.24) (2.25) Ta lại có: t b b b   (t   )4 (t   )  t  3   a a t   d dt  a  a (t   ) d  t (t   ) d  dt  a  a  t  dt      (t  a)5 b (t  b)5 b  b 1 a a   (t  a)4  (t  b)4  dt      4a 5   b b b (2.26) (b  a)5 5    (b  a)  (b  a)   20  10 b b   t  a a 2 q t 1 1 b b t  2 2 3 3 q q q  d dt     (t   ) d   (t   ) d  dt   (t   )  (t   ) q   a a t  3 a  a q b 1 b 3 3  q q  (t  a)  (t  b) q  dt (3q  1) a   b  1 4 4 q (t  a)   (t  b) q  (3q  1)(4  )  a q q    t  b (2.27)    a b 4 1  4 4  q q (b  a) q q q   (b  a)  (b  a)    (3q  1)(4q  1) (3q  1)(4q  1)   t b t b b   (t   )3 (t   )3    2   a a (t   ) d dt  a  a (t   ) d  t (t   ) d  dt  a  a  t  dt      (t  a ) b (t  b ) b  b 1 a a   (t  a)3  (t  b)3  dt      3a 4   b b b ( b  a )4 4    (b  a)  (b  a)   12 Từ (2.25) (2.26), (2.27), (2.28) ta suy  ( X )  [b  E ( X )][E ( X )  a]  (b  a)2 N TRANG 26 (2.28)  f ' ( b  a )5 f ' ( b  a)4     80  80(b  a) 1 3  4 f'p q f ' p (b  a) q  q (b  a) q    1  4.(q  1) q (b  a) (3q  1)(4q  1) 2.(3q  1)(4q  1)(q  1) q   f' f ' (b  a)3 ( b  a ) 1    4( b  a ) 24  Định lý chứng minh hoàn toàn TRANG 27 KẾT LUẬN Có thể nói tốn học bất đẳng thức cơng cụ hữu ích giúp người giải tốn giải tốn mà cơng cụ khác khơng giải Và điều thể rõ mơn lý thuyết xác suất Nội dung khóa luận trình bày số bổ đề, định lý, hệ bất đẳng thức kỳ vọng phương sai giúp cho người học nghiên cứu xác suất giải số tốn phức tạp mơn lý thuyết xác suất cách dễ dàng Có số hướng phát triển khóa luận như: xây dựng bất đẳng thức kỳ vọng phương sai ĐLNN xác định tập rời rạc tập vơ hạn… Vì thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong bạn đọc q thầy đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện TRANG 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đinh Văn Gắng (2012) , Lí thuyết xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [2] Phạm Xuân Kiều (1998), Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục [3] Luận văn thạc sĩ toán học ( Huỳnh Đức Khánh), Một số bất đẳng thức Gruss không gian n chuẩn http://dethi.violet.vn/present/same/entry_id/9718156 [4] N.S Barnett, P.cerone and S.S Dragomir Further inequalities for the expectation and variance of a random variable defined on a finite intervar [5] N.S.Barnett and S.S.Dragomir, Some elementary inequalities for the expectation and variance of a random variable whose PDF is defined on a finite interval, Rgmia Re.Rep Coll., 2,7(1999), Article 12 [6] N S.Barnett, P.cerone, S.S.Dragomir and J.Roumeliotis, Some inequalities for the dispersion of a random variable whose PDF is defined on a finite interval, R gmia Re Rep Coll., 2, 7(1999), Article 6., [7] S.S.Dragomir, Some improvement of Chebeychev inequality for isotonic functionals, Atti.Se Mat Fasc Univ Modena, 41 (1993),473-481 TRANG 29 ... 11 Chương 2: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN XÁC ĐỊNH TRÊN KHOẢNG HỮU HẠN Một số bổ đề Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác xuất f :... thức chuẩn bị, bao gồm kiến thức liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối số bất đẳng thức TRANG Chương 2: Một số bất đẳng thức cho kỳ vọng phương sai đại lượng ngẫu nhiên xác định khoảng. .. Một số đặc trưng ĐLNN .8 6.1 Kỳ vọng toán học 6.2 Phương sai Chương 2: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN XÁC ĐỊNH TRÊN