Giáo trình Đại số và Số học Giáo sư Ngô Thúc Lanh, giúp sinh viên đại học bổ sung thêm kiến thức về đại số, số học và các kiến thức liên quan. Giáo trình này được rất nhiều bạn sinh viên khoa Toán nói chung và sư phạm nói riêng.
SÁCH Đ Ạ I HỌC s N G Ô ì HỨC PHẠM LANH Vả HOC TẬP li Đã hội đòìtq thấm âịnh sủa Bộ giảo giới thiệu làm sách dùng chung cho cấc trường đại học S!C phạm) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO D i dục Biên soạn : N G Ô THỨC L A N H BU* : NGUYỀN K I M THƯ tập huật : T R Ầ N T H U NGA Trình Mỹ Sưa in bid í CHƯƠNG C sở LOGIC TỐN Mở đ ầ u lập ì gìto t r ì n h Đại số số học, la d ã l m q u e n v ó i i r ộ t số khái niệm kỉ h i ệ u c ỉ a logic tốn Ĩ u r o n g ì tập l i trình b y m ộ t tảth có hệ thống hon khái n i ệ m co- Làn (ủa logic t o n , bao gồm đ i số m ê n h đẽ logic vi t hep, hình t h n h VÈO nửa sau Cua t h ế kỷ X I X cơng t r ì n h Bun (G.Boo le 1805 — 1864), B c m o o c g ă n g (A Eeroorgan l&'G — 1871) Poretsky (n c riopeuKni 1846 - í%7) F r c g (G f r e g e 1849 - 1925), Peano (G.Pearo 1858 — 1932) Cách t r ì n h bày đííy sơ lượt: phu cộp K ỏ nhằm giời t h i ệ u nhũng khái niệm bốn logic toán l m Ìíồa cho Sự suy luận nhũng kí h i ệ u logic t h ô n g dờng t f o n g n e giáo trình loến h é c đ i § I Đ Ạ I S Ổ MÌNH Đ Ì 1.1 Mệnh v p h é p t o n logic ỉ 1.1 Mệnh đề : K h ả i n i ệ m nờnh đ ề m ộ t khái n i ê m B|uyén thủy Ta có thề quan n i ệ m mệnh n h l u lít ơn ngữ thơng t h n g biêu thị n ộ i ý t r ọ n vẹn làà nói lên viẽt ra, ta co the k h ỉ n g định m ộ t Jẻẫth khích quan r ó rtđủng » (' tai » > hí ng ỉ an câu (•(Hai năm rổ mười).) m ệ n h đ ề m ộ t số nguyên » mệnh đ ề sai đủng, c â u (Kít l i Khơng phải m ọ i câu ngón ngCr t h ò n g t h n g ỉh\ l mệnh đ ề xét logic toán Các c â u h ỏ i , câu than, câu mệnli lệnh, đ ị n h nghĩa t o n học, nói chung CUI k h ô n g n h ú n p h n n h tỉnh đ ú n g , sai thực te khách quan, đ ề Ì k h n g phải l n h ữ n g mệnh đ ề logic t o n Trong logic loàn, k h i xét mệnh đ ề , ta k h ô n g quan t m đến cấu t r ú c ngữ p h p n h ỳ nghĩa n ộ i dung nở, m quan tà n đ ế n tính đ ú n g sai nỏ mà thói Giá trị cc đúng;!) hay ( t s a i » m ộ t mệnh đề gọi giá tri chăn li t i T m h đ ề đ ó Ta quy ưỏrc kí h i ệ u giá trị chân lí (-(đúng).) bồng sá Ì, gin trị ((sai » bồng số | Ị ' M ộ t mệnh đ ì m k h n g m } t phận thực n o n ỏ raện'i đề, gọi mệnh đề đơn giàn Ta k i h i ệ u ánh đồ đ n giản b n g c h ữ la tinh nhỏ (có t h ề v i sổ) a, b, c, p, q, r X, y, z Hi, bi, CI, p i , q , r i , Đày biến l ấ y g i ả trị Ì k h i ta thay c h ú n g bồng m ệ n h đ ề cụ thề, Vì ta gọi c h ú n g biên mệnh đầ t T mệnh đ i đơn g i ả n , n h cúc liên kết logic, gọi cúc phép toán logic ta l ậ p đ yc mênh 4ầ phức tạp Gác m i n h đề phức tạp có m ộ t hai giá t r ị «dúng» « s a i » Tính « đ ú n g » , « s a i » mệnh cfớ phức tạp p h ụ thuộc vào t i n h đ ú n g », re sai » d ĩ a m ệ n h đồ t h n h p h ầ n cẩu t o nên c h ú n g Một n h i ệ m vụ logic mệnh đồ l nghiên cứu phụ thu ọc đ ó í.1.2 Các phép a) Phép phả định kỉ h i ệ u " l a tốn logic í Cho m ê ọ li đ ề a Phả (hoặc ã ) v đọc «khơng định n ó , a», m ệ n h đề đ ú n g k h i a mệnh đề gai m ộ i mệnh đê sai a mệnh đe b) Phép hội: Cho bai n ệ n h cU- a b H ộ i cùa chúng kí hiệu a A b (Voặc a b ) \ đọc « ã b » m ộ t mệnh đ ú r g a \ b đêu đúng, -và mệnh đề sai C Í X t r n g ' l ọ p l i tuỵhi : Cho hai mệnh đ ề a b Tuyền h i ệ u a V b đọc Jà «a b i ) , sai k h i va k h i a b đểu tai, v la đ ề t r u n g họp ỉ i c) Phép c h ú n g , kỉ mệnh đe mệnh d) Phép kéo theo : Cho bai mệnh đì' a \ b a kẻo theo b, k i h i ệ u a =» b v đọc J h thế, m ộ t m ệ n h đe sai c H t r ò r g họp a đ ú n g ỉ) sai, n ọ t m ệ n h đề đ ú n g ỉroĩìg trường h ọ p l i ; e) phép tương đu ang t h o Yâi ir.ệnh đ ề a b a ítiơTK/ đương b, k í hiệu a -H> 1), xà đọc tìlur the, mệnh đi- đ ú n g k h i a b đ ú n g , sai, mệnh đề sai t r n g hợp l i Cốc phép toán logic đ ị n h nghĩa t r ê n đ c c mô tả m ộ t c c h đ ầ y ó ủ Lằng Lảng S P U , g ọ i l b ả n g chân lí c h ú n g a b I - a A b a V b a b ỉ 1 Ị 1 1 ; 0 0 1 Ọ 1 0 0 1 ã 1.2 Công thức dẹt số mệnh đ ề 1.2.1 Nhờ p-lép toán logic t r o ' t ó mệnh đề đ m g i ả n , ta có dựng dược m ; n ' i đồ m i , ngà\y phức tạp h n , cách tuực mộ ni-1 đề đ cho sổ hữu hạn tùy Ỷ n h t h i j p h ' p toán logiic Các mệnh d ề dựng đirọc theo cách ợ y , k? cúc mệnh ố p x u ợ t phút, ịiọi các; công thức đại số mệnh đĩ 1.2.2 Bề đ!n'ì nghĩa c'xch x-'tc khái niệ n n y , ta xu'it phát t m ộ t l ậ o hợp kí hiệu han fị(;.)i hi bảng chữ Bảng chừ cúi đ i số mệnh đ'ĩ ba Ì gơm ( i ) Ì lù kí hiệu mệnh đồ cỏ giá t r ị t n g ú n g tà sai, đ ú n g Ta gọi chúng chím lí lìằiVỊ ( i i ) Các chữ la t i n ' ! nhỏ a, b, c , p, q, r, X , V , 7,, , bị, C | , Pi, q i , T ị , kí h i ệ u cúc b i ể n mệnh đe ( i i i ) ì, A, V, =>, kí hiệu cúc pVỉp lồn v (,) dâu ngoặc 1.2.3 M ỗ i dãy h u hạn tùy Ý k í g ọ i l từ t r ê n bảng chữ cúi đ ỏ Ta chữ la tỉnh l ò n A , H, c, , t , ta xét lỏrp t gọi cơng ì hức nghĩa quy nạp n h sau : logic t r ê n đ i r ợ c k i hiệu t ù " Trong l p ttắlỉ địịnhi (i) Các hằng, b i ế n mệnh đè l nìiững cơng thán-'., ( l i ) Nếu A ( ô n g thức t h i ( " I A ) công thávc.( i ỉ i ) Nếu A B la cơng thức ( A V B),> (A A B) (A =»B) (A «4 B ) công thức ( i v ) Mọi l khác, khàng xác định theo tắc ( i ) , ( ị i ) ( i ỉ i ) , t h ì khơng phải cơng thức quw Ta ý r ằ n g cúc dợu ngoặc đính nghĩa t r ộ m Ì đ â y cần thiết đ ề r ằ n g công Ihửc đ ã cho đĩirọcc ĩ t h i ế t l ậ p nên l cơng thức xiíẩt phút n h nĩâo),, "Và đe ta cỏ thề khẳng định từ đ ã cho phái công thức hay không cỏ - Chẳng hạn, xét từ ((X Ả y) => ((x V y) V X ) ) Vì X, y, X lù cồng thức theo (i), (ỉi) (x V y), (x A y ) , í((x V y) V x) cơng thức theo (iii), nên theo l(iii) từ đ ã cho công thức Trái lại, từ (x A v) => =>• ((x V y) khơng phải cơng thức dược thiết ìlập khơng phải theo quy tắc (ỉ) (ii) (iii) Có thề đua sấ quy ước cho phép lu'Ọ"0 bỏ ỈSỐ dấu ngoặc, viết công thức Nhưng điều khơng tỉiật cằn thiết, nên ta khơng trình bày tỉ mĩ T a quy ước k'Ịỏng viết dấu ngoặc đ ó ei € ịo, lị ( í = Ì, ,n) đưọ-c cho tương ứng với cúc biển mọn li đề cỏ mặt 'vong còng thức A Giá trị cùa cỏny thức A dãy ỉà Ale, địnn nghĩa sau; giá (rị e, kí hiệu — Nếu A biên mệnh đồ Pi thi A lo == ei — Nếu A có dạng ì B, B cồng thức m B Ị e đ ã đ i r ọ c xác định Hù A — Nếu A có (B =» C) (B 16 ( BỊe = Ì ỉ Ì BỊe = mội dạng (B V C ) , (B AG), C), B c công thức, giá t r ị B t h ì giả t r ị A e định giá trị công thức hợp v i định nghĩa nêu trẽn c t r ê n e đ ã xác định xảo định việc Xi'cli  t r ê n dãy giá trị e phù p h é p toán V, A, =*, đi! Thí dụ : Tí nh giá trị cóng thức (a V b) =* ( ì A A (.) dãy giá trị e = -A ( x V ~1 x ) J.3A Phrp thè mội cơriỊỊ thức — ( ì i ả s A m ộ t c ô n g t h ứ c c ó chứa b i ế n m ệ n h đ è Pi V,'; H m ộ i c ô n g thức t ù v ý T r o n g c ò n g t h ứ c k, m ỗ i k b i x u ấ t h i ệ n b i ế n m ệ n h đ e Ị) ta thay p h ỏ i B L m n h v ậ y , ta n h ũ n đ i r ọ c m ộ t c ô n g thức m ó i c Ta n ó i r ằ n g c c ô n g t h ứ c n h ậ n đ ợ c t A n h ò ' phép h i ế n mỌnh đ è p bời c ô n g t h ứ c B K h i đ ó t a v i ế t G = S f A ( v Thỉ dụ Cho A cơ.ig thức p =*• (p V ỉ ) *à cố:g thức) q A r) =» s Công thức nhận l A nhờ \)hfiỊ) biêu mệnh đ ề p Lỏ i B s« A = ((q A r ) => s) => ((q A r) =* s)vq) 1.3.5 Mộ! số tinh chái a) Nêu Ả B hai còng thức lươn:/ đươnj chữa biến mệnh đê Ị) V I c CÒM) thức sfr A = lofjic cùn I lùi] ý, se B Thụt vậy, già e la dãy tùy ý giá irị (.'lia c X hií',1 mệnh đ ề cỏ mặt s i A Khi dó giá trị V V se A iron e giá trị củ i c e đ ê u (hv-/o xáo ui,;!! N ế u ta gựi e' dãy giũ i n biến nv;nh ú ' Iropji A đirự-c chựn tương ứng nlnr e, t r gi;'), trị bít',í mệnh d ề Ị) chựn c ị e, biến nhiên A Ị é' = — Sp A I e n g tự la có Bịe' = Sp i í / e Tíieo giá i! ũ ế A ị e = B ị é' Vì s£ A le = Sịr tì Ị e V i m ự i dãy g i ; trị cúc b i ế n mệnh d ề Do đ ó Sp Ả = s i B Tương tự ta c'u'mg minh đưc/c tính c'ltit b) Giả sử A cơng vá lì c hai cơng thức thức chứa biền mệnh đề Ị) tươnq đương lotjtc Khi A = Sp A c) Gia B sử A lờ mội công vông thức thức tùy ỳ chứa Liên Khi mệnh đ ề 1> 1= A |=S>A Thật vậy, g i ả sử e dãy bíỈL k i giá trị cốc biến mệnh l ề có mặt công thức A N ế u ta chựn dãy e' giả t r i b i ế n mệnh đ ề có m ặ t A giống n h ta đ ã l m p h é p cliứng m i n h t i n h chát a) la có A I e s= A I é* = lí) Ì 3A.5 -xứng Thi trình Tìm nqhiệm nguyên ì rình đỗi dụ í T i m cúc số n g u y ê n d n g Ihỏa mãn p h n g Đặt -Ị- Xi Xí = X > (Gi + 0, y s y + Ì = X1X t ơ? t ứ c + X Vì cùa phương — ơjơ = xy + Ì = 1) ( » — i + V i ta có dị T ƠI — = ƠI Ơ2 = X + y > 0, — + ƠI đ ó ƠỊ, + Ì 0 (ơỊ a -ị" Ì — = — Ì — 3ơ ì = > nén la cỏ , Ì) Vày ta phải t i m cúc số nguyên d n g X T Ị X + y == XV = cho ƠI ỉ - (aị — + 1) i X y l nghiệm p h n g t r ì n h býo hai Z - a \ y + -1 (a? - ƠI + 1) Biệt thức p h n g t r ì n h n y A = - -J (ai - l + 1) = - - Ị - Nó â m Ơ I =£= Váy ta p h ả i có ƠI K h i đ ó ta có :288 X = = X - f y = y — -2- = Ì (ó? - 4