ĐỂ THI VÀO 10 Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x 16 x 32 ( với x �R ) Chứng minh x nghiệm phương trình cho Câu (2,5 điểm) �2 x( x 1)( y 1) xy 6 ( với x �R, y �R ) �2 y ( y 1)( x 1) yx Giải hệ phương trình � Câu 3.(1,5 điểm) Cho tam giác MNP có cạnh cm Lấy n điểm thuộc cạnh phía tam giác MNP cho khoảng cách giửa hai điểm tuỳ ý lớn cm ( với n số nguyên dương) Tìm n lớn thoả mãn điều kiện cho Câu (1 điểm) Chứng minh 10 số nguyên dương liên tiếp khơng tồn hai số có ước chung lớn Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D,E,F tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn (I) Gọi M giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC, biết AD cắt đường tròn (I) điểm N (N không trùng với D), giọi K giao điểm AI EF 1) Chứng minh điểm I, D, N, K thuộc đường tròn 2) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (I) HẾT - GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2012 – 2013 Mơn: Tốn chun Câu 1: Phương trình cho : x 16 x 32 ( với x �R ) ( x 8)2 32 (1) Với x x => x 2 Thế x vào vế phải (1) ta có: ( x 8) 32 (8 2 8) 32 4(2 3) 12(2 3) 32 = 24 12 32 ( vế phải vế trái) Vậy x nghiệm phương trình cho ( đpcm) �2 x( x 1)( y 1) xy 6 �(1) � �2 x( x 1)( y 1) 6 xy � � � (2) �2 y ( y 1)( x 1) yx � �2 y ( y 1)( x 1) xy Câu 2: Hệ pt cho � Thay x = 0, y = hệ không thoả Thay x = -1 y = -1 vào, hệ không thoả => ( x; y ) �(0;0); xy �0; x �0; y �0 � xy �0 x 6 xy (*) - Chia vế hai phương trình cho : => y xy � xy ( x y ) 6( x y ) Thay x = y, hệ pt có vế phải nhau, vế trái khác (không thoả) => x y �0 ) (**) 6( x y ) => xy x y - Cộng vế (1) (2) hệ ta pt: 2(x+y)(x+1)(y+1) + 2xy = (3) 6( x y ) 6( x y ) ) 0 x y x y �x y �x y 6( x y 1) ) ( x y )( x y 1)(1 ) � ( x y )( x y x y x y � 1 0 � � x y (x + y) ( x + y + xy + 1) + xy = ( x y )( x y - Với x + y = x = - y Thế vào hệ => -2y2 = (y = v x = 0) không thoả (*) - Với x + y +1 =0 x = -y - vào phương trình (1) hệ ta : y � y 2 � y y y � ( y 2)(2 y y 3) � 2 y y 0(vn) � Với y = - => x = 1.Thế vào hệ thoả, có nghiệm 1: (x; y) = (1; - 2) - Với x y � x y � x y Thế x = y -6 vào pt (2) hệ : � y 1 y 4y � (2) y y 16 y (2 y 1)( y y 6) � �2 y2 - 4y - = 2y +1 = �y 10 � � �y2 10 y3 = (4) � x1 4 10 � � Từ ba giá trị y ta tìm ba giá trị x tương ứng: �x2 4 10 � 13 � x3 � Thế giá trị (x; y) tìm vào hệ (thoả) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x;y): (1; -2), ( 4 10; 10), (4 10; 10), ( 13 ; ) 2 Câu (Cách 1) Tam giác có cạnh cm diện tích cm2 , tam giác có cạnh cm diện tích 3 cm2 Nếu tam giác có cạnh > 1cm diện tích > cm2 4 Gọi t số tam giác có cạnh > 1cm chứa tam giác có cạnh cm: �t p ( với t số nguyên dương) => tmax = Theo nguyên lý Drichen có t tam giác có cạnh > 1cm chứa tối đa điểm thoả mãn khoảng cách hai điểm > cm Vậy số điểm thoả yêu cầu toán : �n �4 Vậy nmax = (Cách 2): Giải theo kiến thức hình học Nếu ta chọn điểm đỉnh tam giác cạnh cm vẽ đường tròn đường kính cm, đường tròn tiếp xúc với trung điểm cạnh tam giác => Các điểm khác tam giác cách đỉnh > 1cm nằm phần diện tích lại tam giác (ngồi phần diện tích bị ba hinh tròn che phủ), giới hạn cung tròn bán kinh cm Vì dây cung đường trung bình tam giác có độ dài cm => khoảng cách giửa hai điểm nằm phần diện tích lại tam giác ln �1 cm => phần diện tích lấy điểm mà khoảng cách đến đỉnh tam giác > cm Vậy số điểm lớn thoả mãn khoảng cách hai điểm > 1cm : nmax = + = điểm Câu Gọi a b hai số 10 số nguyên dương liên tiếp với a > b ( a; b nguyên a b dương) � Gọi n ước chung a b, : a = n.x b = n.y ( n, x, y số nguyên dương) � n.x n y Vì a > b => x > y => x y �1 �� n x y 9 n n n Vậy 10 số nguyên dương liên tiếp khơng tồn hai số có ước chung lớn Câu A E N K F I M B D C 1)Nối N F, D F - Xét ANF AFD có: �AFN = �ADF ( AF tt) �FAD chung => ANF∽ AN AF � AF2 AN AD (1) AF AD - Xét AFI có: AF IF ( AF tiếp tuyến, FI bán kính) FK AI ( AF AE tt chung AI nối tâm) => AFI vng F có FK đường cao) => AK.AI = AF2 (2) - Xét ANK AID có: + �IAD chung AN AI + Từ (1) (2) => AN.AD = AK.AI => AK AD => ANK∽ AID (c.g.c) => �NKA = �IDN (3) AFD (g.g) => - Từ (3) => tứ giác DIKN nội tiếp đt (vì có góc đối góc kề bù góc đối) => điểm I,D,N,K thuộc đường tròn (đpcm) 2) Ta có ID DM ( DM tiếp tuyến, DI bán kính) IK KM ( câu 1) => tứ giác DIKM nội tiếp đường tròn đường kính MI Vì điểm D, I, K, N thuộc đường tròn ( câu 1) => hai đường tròn ngoại tiếp DIK => hai đường tròn trùng => N nằm đường tròn đường kính MI => �INM = 900 Vì IN bán kính đường tròn (I), MN IN => MN tiếp tuyến đường tròn (I) tiếp điểm N (đpcm) -HẾT ...GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2012 – 2013 Mơn: Tốn chun Câu 1: Phương trình cho : x 16... 4y - = 2y +1 = �y 10 � � �y2 10 y3 = (4) � x1 4 10 � � Từ ba giá trị y ta tìm ba giá trị x tương ứng: �x2 4 10 � 13 � x3 � Thế giá trị (x; y) tìm vào hệ (thoả) Vậy hệ... trị (x; y) tìm vào hệ (thoả) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x;y): (1; -2), ( 4 10; 10) , (4 10; 10) , ( 13 ; ) 2 Câu (Cách 1) Tam giác có cạnh cm diện tích cm2 , tam giác có cạnh