cac bai toan xe so sanh phan so

SO SÁNH PHÂN SỐĐể so sánh 2 phân số , tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số , ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí .Tính chất bắc cầu của thứ tự thường

SO SÁNH PHÂN SỐ

Để so sánh 2 phân số , tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số , ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí .Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng (

&

thì

b >d d > n b > n ), trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng.Sau

đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp so sánh phân số

PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH

I/CÁCH 1:

Ví dụ : So sánh 11& 17

−

− ?

Ta viết : 11 33& 17 17 34

Vì− >− ⇒− >

−

Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương

II/CÁCH 2:

Ví dụ 1 : 2 2 5 4;

5> 4vì− < −

7 5

7 >5vì >

Ví dụ 2: So sánh 2&5

5 7?

Ta có : 2 10&5 10

Vì < ⇒ <

Ví dụ 3: So sánh 3& 6

?

Ta có : 3 3 6 & 6 6

Vì > ⇒ − > −

Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương

III/CÁCH 3:

Ví dụ 1: 5 7 5.8 7.6

6<8vì <

Ví dụ 2: 4 4 4.8 4.5

5 8 vì

− < − − < −

Ví dụ 3: So sánh 3 & 4 ?

− − Ta viết

&

− − ; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên

4 > 5

Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương

vì chẳng hạn 3 4

−

<

− do 3.5 < -4.(-4) là sai

Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử :tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn

Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn

(Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương ) +Nếu a.d>b.c thì a c

b >d + Nếu a.d<b.c thì a c

b <d ; + Nếu a.d=b.c thì a c

b =d

IV/CÁCH 4:

1) Dùng số 1 làm trung gian:

a) Nếu a 1&1 c a c

b > > ⇒ >d b d

b) Nếu a M 1;c N 1

b− = d − = mà M > N thì a c

b > d

• M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho

• Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

c) Nếu a M 1;c N 1

b+ = d + = mà M > N thì a c

b <d

• M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đó.

• Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

 Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 19&2005?

18 2004

Ta có : 19 1 1&2005 1 1

18 18− = 2004 2004− = ; 1 1 19 2005

18 2004 18 2004

Vì > ⇒ >

Bài tập 2: So sánh 72&98?

73 99

Ta có : 72 1 1&98 1 1

Vì > ⇒ <

Bài tập 3 : So sánh 7&19?

9 17 Ta có 7 1 19 7 19

9 < <17⇒ <9 17

2) Dùng 1 phân số làm trung gian :(Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu

của phân số thứ hai)

Ví dụ : Để so sánh 18&15

31 37ta xét phân số trung gian 18

37

Vì 18 18&18 15 18 15

31 37> 37 >37⇒31 37>

*Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ).

*Tính bắc cầu : a c &c m thì a m

b > d d > n b > n

 Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh 72&58?

73 99 -Xét phân số trung gian là 72

99, ta thấy 72 72&72 58 72 58

73>99 99 >99⇒ 73 99>

-Hoặc xét số trung gian là 58

73, ta thấy 72 58&58 58 72 58

73>73 73 99> ⇒73 >99

n N

Dùng số hoặc phân số làm trung gian

Dùng phân số trung gian là

2

n

n+

n N

Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau:

a) 12&13?

49 47 e) 456&123?

461 128 b) 64&73?

85 81 f) 2003.2004 1&2004.2005 1?

2003.2004 2004.2005

c) 19&17?

31 35 g) 149&449?

157 457 d) 67&73?

77 83 h) 1999.2000 & 2000.2001 ?

1999.2000 1+ 2000.2001 1+

(Hướng dẫn : Từ câu a→c :Xét phân số trung gian.

Từ câu d→h :Xét phần bù đến đơn vị )

3) Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.

Ví dụ : So sánh 12&19?

47 77

Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là1

4

Ta có : 12 12 1&19 19 1 12 19

47> 48=4 77 <76= ⇒4 47> 77

 Bài tập áp dụng :

Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :

) & ; ) & ; ) & ; ) &

) & ; ) & ; ) &

V/ CÁCH 5:

Bài tập 1: So sánh 101211 1& 101011 1?

Ta có : 101112 1 1

A= − <

− (vì tử < mẫu) ⇒

Vậy A < B

Bài tập 2: So sánh 2004 2005& 2004 2005?

+

Dùng tính chất sau với m≠0 :

+

< ⇒ <

+ *a 1 a a m

+

= ⇒ =

+

+

> ⇒ >

+ *a c a c

+

= =

+

Ta có :

2005 2005 2006

2006 2005 2006



> + 



Cộng theo vế ta có kết quả M > N

Bài tập 3:So sánh 37&3737

39 3939? Giải: 37 3700 3700 37 3737

39 3900 3900 39 3939

+

+

= =

+ )

VI/CÁCH 6:

Bài tập 1:Sắp xếp các phân số 134 55 77 116; ; ;

43 21 19 37 theo thứ tự tăng dần

Giải: đổi ra hỗn số :3 5 ; 213; 4 1 ;3 5

Ta thấy: 213 3 5 3 5 4 1

21< 43< 37< 19 nên 55 134 116 77

21< 43 < 37 <19.

Bài tập 2: So sánh 1088 2& 108 8 ?

10 1 10< 3⇒ <A B

Bài tập 3: Sắp xếp các phân số 47 17 27 37; ; ;

223 98 148 183 theo thứ tự tăng dần

Giải: Xét các phân số nghịch đảo: 223 98 148 183; ; ;

47 17 27 37 , đổi ra hỗn số là : 435;513;513; 435

Ta thấy: 513 513 435 435

98 148 183 223

vì

< < < < ⇒ >

Bài tập 4: So sánh các phân số : 3535.232323; 3535; 2323

Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số ⇒A<B<C

2

Hướng dẫn giải:-Rút gọn 5 1 1& 138 1 1

M = = + N = = + ⇒M >N

( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 )

Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số 63 158 43 58; ; ;

31 51 21 41theo thứ tự giảm dần

PHẦN II: CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP

Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh : +Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn

+Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo

Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:

) & ; ) & ) & ) & ) &

(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý :10 100 100

41 410= >413

d)Chú ý: 53 530

57 =570 Xét phần bù đến đơn vị

e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là: 1 1010 1010

26=26260 >26261)

Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số để so sánh các

phân số sau:

244.395 151 423134.846267 423133

244 395.243 423133.846267 423134

Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac

+Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395

+Viết 423134.846267=(423133+1).846267=…

+Kết quả A=B=1

) 53.71 18; 54.107 53; 135.269 133?

71.52 53 53.107 54 134.269 135

(Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1)

Bài tập 3: So sánh 3 33.103 3 & 3774

2 5.10 7000 5217

+ Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn 33& 3774 :111 34

Từ đó kết luận dễ dàng : A < B

Bài tập 5:So sánh 1919.171717& 18

Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M>N

⇒Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;…

Bài tập 6: So sánh 17&1717?

19 1919 Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng a c a c

+

= =

+ ; chú ý :

17 1700

19 1900= +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101…

Bài tập 7: Cho a,m,n ∈N* Hãy so sánh : A 10 10m n &B 11m 9n ?

Giải: A 10m 9n 1n &B 10m 9n 1m

Muốn so sánh A & B ,ta so sánh 1n

a & 1m

a bằng cách xét các trường hợp sau:

a) Với a=1 thì am = an ⇒A=B

b) Với a≠0:

• Nếu m= n thì am = an ⇒A=B

• Nếu m< n thì am < an ⇒ 1m 1n

a > a ⇒A < B

• Nếu m > n thì am > an ⇒ 1m 1n

a < a ⇒A >B

Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: 31 32 33 60& 1.3.5.7 59

31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30)

(1.3.5 59).(2.4.6 60)

1.3.5 59 2.4.6 60

P

Q

Vậy P = Q

Bài tập 9: So sánh 7.9 14.27 21.36 & 37 ?

21.27 42.81 63.108 333

Giải: Rút gọn 7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) & 37 : 37 1

21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333: 37 9

Vậy M = N

Bài tập 10: Sắp xếp các phân số 21 62; & 93

49 97 140 theo thứ tự tăng dần ? Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh

Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết: 1 1

< < < ? Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 2 3 4 9

< < < ⇒2 < 3x < 4y < 9

Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2

Bài tập 12: So sánh

Giải: Aùp dụng công thức: &( ) .

n n

n

m m n n

 ÷

 

= ÷  ÷  ÷> = = = ÷  ÷= = > ⇒ >

= ÷  ÷= = = ÷  ÷= =

Chọn 15

125

2 làm phân số trung gian ,so sánh 15

125

2 > 15

125

3 ⇒ C > D

Bài tập 13: Cho 1 3 5 99 & 2 4 6 100

a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: 1

10

M <

Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số

a)Và 1 2 3; 4 5; 6; 99 100

2< 3 4<5 6< 7 100 101< nên M < N b) Tích M.N 1

101

= c)Vì M.N 1

101

= mà M < N nên ta suy ra được : M.M < 1

101< 1 100 tức là M.M < 1

10 1

10 ⇒ M < 1

10

Bài tập 14: Cho tổng : 1 1 1

5< <S 5 Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên

⇒ 1 1 1 1 1 1 1 1 1

hay 10 10 10

30 40 50

S < + + từc là: 47 48

60 60

S< < Vậy 4

5

S< (1)

40 50 60

S > + + tức là : 37 36

60 60

S > > Vậy 3

5

S > (2).

Từ (1) và (2) suy ra :đpcm

……….……….