1. Đề cương 11 - 3. Phương trình lượng giác thường gặp (2019-2020)

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶPDạng toán 1... Hướng dẫn: Chia hai vế cho cosx 0... Phương trình quy về phương trình bậc hai dạng nâng cao 41... Giải phương trình 4 2cos cos... Đề rè

§ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng toán 1 Phương trình bậc hai và bậc cao theo một hàm lượng giác

Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn:

2

a X b X  c t  sinX    1 t 1 2

a X b X  c t cosX    1 t 1 2

2

2

Nếu đặt t sin2X, cos2X hoặc t  sinX , cosX thì điều kiện là 0  t 1

Nhĩm 1 Phương trình bậc hai cơ bản

Đặt sin x  thì t t  [ 1;1]

Phương trình trở thành 2t2   t 1 0

1

t

  (nhận) hoặc 1

2

t   (nhận)

2

t   x   x  k 

 Với 1 sin 1

t    x  

sin sin

6

   

 

2

7

2 6











   



 



 7

 Nhận xét Cĩ thể trình bày nhanh như sau:

2

2 sin sin 1 0 1

sin 2 x x x x             

2 ; 2 ,

3 Giải: 2 cos2x5 cosx  2 0 4 Giải: cos2x3 cosx  2 0.

Đáp số: S  { /3k2 ,  k  }.

Đáp số: S { 2 , k  k  }.

5 Giải: 2 tan2x 2 3 tanx  3 0 6 Giải: tan2x  (1 3)tanx  3 0

ĐS: ; , 6 3 S   k  x  k  k              

Đáp số: ; , 3 4 S  k   k  k             

7 Giải: 3 cot2x (1 3)cotx  1 0 8 Giải: 3 cot2x (1 3)cotx  1 0

Đáp số: ; , 4 3 S  k x  k k                    

Đáp số: ; , 4 3 S  k  k k                    

Nhóm 2 Sử dụng công thức





Đáp số: 7 2 ; 2 6 6 S   k   k            

Đáp số: 2 ; 2 , 3 S k   k  k            

11 Giải: 2 cos2x 5 sinx  4 0 12 Giải 2 sin2x ( 34) cosx 2 32

Đáp số: 5 2 ; 2 , 6 6 S  k  k k                 

Đáp số: 2 , 6 S  k k                

13 Giải: 4 sin4x 12 cos2x 7 14 Giải: 3 sin2x 2 cos4x  2 0 PT 4(sin )2x 2 12(1sin )2x   7 0 Đặt sin x2 t thì t [0;1] và phương trình trở thành 4t2 12t   5 0

Đáp số: , 4 2 k S   k           

Đáp số: ; , 4 2 k S k    k           

Nhóm 3 Sử dụng công thức

2 2

2 cos 1 (1) cos 2

1 2 sin (2)

x x

x





PT 2(2 cos2x  1) 8 cosx   5 0

Đáp số: 2 , 3 S  k k                

PT  1 2 sin2x 5 sinx  2 0

Đáp số: 2 ; 2 , 6 6 S   k   k  k              17 Giải: cos2x 9 cosx  5 0 18 Giải: cos 4x 9 sin 2x  8 0

Đáp số: 2 2 , 3 S   k  k            

PT (1 2 sin 2 ) 2 x 9 sin 2x   8 0

Đáp số: , 4 S  k  k           

19 Giải: 5 cos 2 sin 7 0 2 x x    20 Giải: sin2x cos2x cosx  2 0 Phương trình 5 cos 2 2 sin 7 0 2 2 x x    

Đáp số: S {k4 ,  k  }.

Đáp số: S { 2 , k  k  }.

Nhóm 4 Vừa hạ bậc, vừa nhân đôi khi tồn tại cung góc gấp 4 lần nhau

 Hạ bậc:

2 2

1 cos 2 sin

2

1 cos2 cos

2

x x

x x







 Nhân đôi:

2 2 2

cos 2 2 cos 1

cos 4 2 cos 2 1

cos 6 2 cos 3 1 x x x x x x       21 Giải: cos 4x 12 sin2x  1 0 22 Giải: 1cos 4x 2 sin2x 0 Ta có: cos 4x 12 sin2x  1 0 2 1 cos 2 (2 cos 2 1) 12 1 0 2 x x       2 2 cos 2x 1 6(1 cos 2 ) 1x 0       2 2 cos 2x 6 cos2x 8 0    

Đáp số: S k , k  

Đáp số: S /2k ; /6k 

23 Giải: cos 4x 2 cos2x  1 0 24 Giải: 8 cos2xcos 4x 1

Đáp số: ; , 3 S k   k  k            

Đáp số: , 3 S   k  k            

25 Giải: 6 cos 32 x cos12x 7 26 Giải: 5(1cos )x  2 sin4x cos 4x

Phương trình  6 cos 32 x cos 4.3x 7



Đáp số: , 2 S  k  k           

PT 5(1cos )x  2 (sin )2x 2(cos )2x 2 

Đáp số: 2 2 , 3 S  k k                  

27 Giải: cos 2 3 cos 4 cos2 2 x x  x   28 Giải: cos 2 2 cos 2 sin2 2 x x  x   PT 2 1 cos (2 cos 1) 3 cos 4 2 x x x     

Đáp số: 2 2 , 3 S  k k                

Đáp số: 2 3 S   k  k             

Nhóm 5 Sử dụng công thức liên quan đến tan, cot đưa về phương trình bậc hai

2 2 2 2 1 1 tan x.cot x 1 tan x & cot x cot x tan x 1 1 1 tan x & 1 cot x cos x sin x         29 Giải: tanx cotx 2 30 Giải: 2 tanx 3 cotx  3 0 ĐK: sin 0 sin 2 0 cos 0 2 x k x x x             Ta có 1 tan cot 2 tan 2 tan x x x x      

Đáp số: , 4 S  k k                 

Đáp số: 1 ; arctan 4 2 S  k k                   

31 Giải: 5 tanx2 cotx  3 0 32 Giải: 3 tanx 6 cotx 2 3 3 0.

Đáp số: 2 ; arctan 4 5 S  k k                        

Đáp số: ; arctan( 2) 3 S  k  k            

33 Giải phương trình: 32 2

3 2 tan cos x   x 34 Giải phương trình: 42

tan 7 cos x  x 

2

x   x   k  k   Phương trình 3(1tan )2x  3 2 tan2x



Đáp số: S k , k  .

Đáp số: S   /4k ;arctan 3/4k  35 Giải phương trình: 32 3 cot 3 sin x  x  36 Giải phương trình: 2 1 cot 3 sin x  x 

Đáp số: ; , 2 6 S  k   k  k            

Đáp số: ; arccot(2) 4 S   k  k            

37 Giải: 4 2

1 tan

x

x

2 tan 3

cos

x

x

Điều kiện: cosx 0.Áp dụng công thức:

 thì phương trình trở thành:

2

9 13 cos x 4 cos x 0

Đáp số: S k2 ,  k  .

Đáp số: S k2 ,  k  

39 Giải: 1 2 2 5 tan 0 2 x cosx 2     40 Giải: 3 sin cos 1 cos x x x   

Đáp số: 2 , 3 S   k  k            

Hướng dẫn: Chia hai vế cho cosx 0 Điều kiện: cos 0 , 2 x   x   k  k  

Đáp số: ; , 3 S k   k  k           

Nhóm 6 Phương trình quy về phương trình bậc hai (dạng nâng cao)

41 4 cos (62 x 2)16 cos (12 3 )x 13 42 cos(2x150 ) 3 sin(15 x) 1  0

Ta có: 4 cos (62 x 2)16 cos (12 3 )x 13

2

4 cos 2.(3 x 1) 16 cos(3 x 1) 13

        



43 Giải: cos2 4 cos 4 3 x 6 x                           44 Giải: 5 5 cos 2 4 sin 9 3 6 x   x                         Nhận xét: 6 3 2 6 2 3             PT cos2 4 cos 4 3 x 2 3 x                            2 cos 4 sin 4 0 3 x 3 x                       

45 cos2x 3 sin2x  3 sinx  4 cos x 46 3 sin2x  3 sinxcos2xcosx  2.

Có cos 2x  3 sin 2x  3 sinx  4 cosx

3 sin 2x cos 2x 3 sinx cosx 4

Đặt 3 sin cos 2 sin

6



 

Vì sin [ 1;1] [ 2;2]

6

 

      

 

Khi đó t2 ( 3 sinx cos )x 2

2 3 sin2 cos2 3 sin 2

2 3 sin 2 (2 sin2 1) 2

2 2 3 sin 2 cos 2

Phương trình trở thành t2   t 6 0



47 2sin2x 3 sin2x 4 4.( 3sinxcos ).x 48 2sin2x 3 sin2x2 3 sinx2cosx 2

49 2 42 2

cos cos

x x

2

2

sin sin

x x

2

x   x   k  k   Đặt

2 2

     

2

cos cos cos

2

4

cos

x

    Khi đó phương

trình trở thành: 2(t2 4)9t  1 0

ĐS: S {k2 ;  2 /3 k2 ,  k  }

ĐS: S  { /6k2 ; 7 /6  k2 , k  } 51 2 12 2 cos 2 2 cos cos cos x x x x      52 2 2 2 4 9 cos 2 cos 1 cosx x x cos x                        

Đáp số: S { 2 , k  k  }

Đáp số: S  { 2 /3 k2 ,  k  }

53 Giải phương trình 4 2

cos cos 3

x

x

x

x

 

 

   

 

cos 2 cos 3

     

ĐS: 3 ; , 4 2 k S k   k                

PT 3 1 3 sin sin 3 10 2 2 10 2 x x                               

ĐS: 3 2 2 ; 2 , 5 5 S  k  k k                   

55 Giải: 2 3 4 2 cos 1 3 cos 5 5 x x    56 Giải phương trình: 8 2 2 cos cos 3 3 x x  

4 4 3 1 21 ; , cos 3 3 2 4 k k S                        

3 3 4 3 ; 2 , cos 4 2 3 4 k S     k               

57 3 cos 4x 8 cos6x 2 cos2x  3 0 58 43 sinx sin3x 3 cos2x cos 6x

59 2 cos2 1 tan tan cos 2 3 2 x x  x  x       60 2 3 tan 2 3 sin 1 tan tan 2 cos x x x x x              Ta có: sin sin 2 1 tan tan 1 2 cos cos 2 x x x x x x     cos cos sin sin cos 1 2 2 2 cos cos cos cos cos 2 2 x x x x x x x x x x    

Đề rèn luyện về nhà số 01

Giải các phương trình lượng giác sau:

Đề rèn luyện về nhà số 02

Giải các phương trình lượng giác sau:

Dạng toán 2 Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cos (pt cổ điển)

Điều kiện cĩ nghiệm của phương trình: a2 b2 c2, (kiểm tra trước khi giải)

Phương pháp giải:

 Chia 2 vế a2 b2  thì 0,

   ( )

 Giả sử: cos 2a 2 , sin 2b 2 ,  0;2  a b a b           thì: 2 2 2 2 ( ) sin cosx cos sinx c sin(x ) c : a b a b             dạng cơ bản Lưu ý Hai cơng thức sử dụng nhiều nhất là: sin cos cos sin sin( ) cos cos sin sin cos( ) a b a b a b a b a b a b                Các dạng cĩ cách giải tương tự: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos , ( 0) Chia : sin sin cos sin cos , ( ) PP a b nx a mx b mx a b a b a b nx a mx b mx c nx d nx a b c d                             Nhĩm 1 Dạng cơ bản asinX bcosX c 61 Giải: sinx 3 cosx   3 62 Giải: sinx  3 cosx 1 Điều kiện cĩ nghiệm: 2 2 12 ( 3)2 4 ( 3) :2 a b      đúng Chia 2 vế cho a2 b2  thì 2 phương trình 1 3 3 sin cos 2 x 2 x 2     3 sin cos cos sin 3 3 2 x  x      sin sin 3 3 x                     2 2 3 3 5 4 2 2 3 3 3 x k x k x k x k                                   Kết luận: 5 2 ; 2 , 3 S k  k k                  

63 Giải: 3 sinx cosx   1 64 Giải: 3 cosx sinx  2.

ĐS: 2 ; 2 , 3 S  k k k                   

ĐS: 5 2 ; 2 , 12 12 S  k  k k                 

65 Giải: 3 sin 2x cos 2x  2 66 Giải: 3 sin 3x cos 3x  2

ĐS: 7 ; , 24 24 S  k  k k                 

67 Giải: 3 sin sin 2.



 





Áp dụng công thức sin cos

2



 

  

phương trình đã cho trở thành:

ĐS: 2 , 6 S  k k                

Áp dụng công thức sin cos 2               và sin(  ) sin  thì phương trình trở thành

ĐS: ; , 3 S  k k k                

69 Giải: 3 sin sin 2 4 4 x   x                         70 Giải: 3 sin x 3 sin 6 x 2.                           Nhận xét: 4 4 2 4 2 4             PT 3 sin sin 2 4 2 4 x   x                         

ĐS: 2 ; 2 , 6 3 S  k   k  k             

ĐS: 2 , 3 S  k  k           

71 3 cos2 sin2 2 sin 2 2 2

6





 

  Chia 2 vế cho 2 thì phương trình trở thành

ĐS: 5 , 24 S   k  k           

ĐS: 2 2 ; 2 , 3 3 S  k   k  k            

73 sin 3 cosx x 3 cos2x  3cos3 sinx x 74 cos7 cos5x x 3 sin2x  1 sin7 sin5 x x (sin3 cosx x cos3 sin )x x 3 cos2x 3     sin 2x 3 cos 2x 3   

ĐS: ; , 3 2 S  k   k  k            

ĐS: ; , 3 S  k k k                 

Nhóm 2 Dạng (

2 2 2 2 2 2 a sin x b cos x a b sin( x ) , a b 0) a sin x b cos x a b cos( x )                 75 Giải: 3 sin cos 2 sin 12 x  x    76 Giải: sin 3 cos 2 sin 6 x  x  x        Chia 2 vế cho a2 b2 2 phương trình trở thành 3 1 sin cos sin 2 x 2 x 12    

ĐS: 3 2 ; 2 , 12 4 S  k  k k                    

ĐS: , 4 S  k  k           

77 Giải: sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2 x 78 Giải: cosx  3 sinx 2 cos 3 x

ĐS: 4 2 2 ; , 3 15 5 k S  k    k            

Phương trình 2 cos 3x cosx  3 sinx

ĐS: ; , 6 12 2 k S  k   k                

Nhóm 3 Dạng a sin( mx)b cos( mx) c sin(nx)d cos( nx)

a b c d 0

ĐS: 2 2 2 , 3 3 k x    k   x   k  

ĐS: 2 2 6 10 5 k x    k   x     

81 cos 3x sinx  3(cosx sin 3 ).x 82 sin 8x cos 6x  3(sin 6x cos 8 ).x PT cos 3x  3 sin 3x  3 cosx sinx

ĐS: , ( ) 12 8 2 k x   k   x     k  

k

Đề rèn luyện về nhà số 03

Câu 1 Giải các phương trình lượng giác sau:

2 , .6

x   k  k  

Đề rèn luyện về nhà số 04

Câu 1 Giải các phương trình lượng giác sau: