Chuyên đề 19 tích phân, phương pháp tính tích phân

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CHUYÊN ĐỀ 19 ĐT:0946798489 TÍCH PHÂN, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN MỤC LỤC Phần A CÂU HỎI Dạng Tích phân Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức Dạng Tích phân HÀM HỮU TỶ Dạng Giải tích phân phương pháp VI PHÂN 10 Dạng Giải tích phân phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ 11 Dạng 4.1 Hàm số tường minh 11 Dạng 4.1.1 Hàm số chứa thức 11 Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác 14 Dạng 4.13 Hàm số chứa hàm số mũ, logarit 16 Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức 17 Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 18 Dạng Tích phân TỪNG PHẦN 22 Dạng 5.1 Hàm số tường minh 22 Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 25 Dạng Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán 29 Dạng Tích phân số hàm số khác 31 Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 31 Dạng 7.2 Tích phân nhiều công thức 32 Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ 33 Dạng Một số tốn tích phân khác 34 Phần B LỜI GIẢI THAM KHẢO 38 Dạng Tích phân 38 Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải 38 Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức 40 Dạng Tích phân HÀM HỮU TỶ 43 Dạng Giải tích phân phương pháp VI PHÂN 46 Dạng Giải tích phân phương pháp ĐỔI BIẾN SỐ 48 Dạng 4.1 Hàm số tường minh 48 Dạng 4.1.1 Hàm số chứa thức 48 Dạng 4.1.2 Hàm số chứa hàm lượng giác 54 Dạng 4.1.3 Hàm số chứa hàm số mũ, logarit 57 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Dạng 4.1.4 Hàm số hữu tỷ, đa thức 59 Dạng 4.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 60 Dạng Tích phân TỪNG PHẦN 68 Dạng 5.1 Hàm số tường minh 68 Dạng 5.2 Hàm số không tường minh (hàm ẩn) 74 Dạng Kết hợp nhiều phương pháp để giải toán 88 Dạng Tích phân số hàm số khác 91 Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 91 Dạng 7.2 Tích phân nhiều cơng thức 95 Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ 95 Dạng Một số tốn tích phân khác 100 Phần A CÂU HỎI Dạng Tích phân Dạng 1.1 Áp dụng TÍNH CHẤT để giải Câu 1. 2 (Mã 103 - BGD - 2019) Biết  f  x  dx  và  g  x  dx  , khi đó   f  x   g  x   dx bằng A. B. 4 C. D. 8 Câu 2. (Mã 102 - BGD - 2019) Biết tích phân  f  x  dx  và  g  x  dx  4 Khi đó   f  x   g  x  dx bằng A. 7 Câu 3. B. C. 1 1 0 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Biết  f ( x)dx  và  g ( x)dx  4 , khi đó   f ( x)  g ( x)  dx bằng A. B. 6 C.  Câu 4. D. 1. D. 1 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Biết  f  x dx  2 và  g  x dx  , khi đó   f  x   g  x  dx bằng A. 1 B. 1. 0 C. 5 D. Câu 5. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho  f  x  dx  và  g  x  dx  , khi   f  x   g  x  dx bằng A. 8 Câu 6. B. 1 C. 3 D. 12 (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ? Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 b b b b b A.   f ( x )  g ( x ) dx   f ( x )dx +2  g ( x)dx a a a f ( x) B.  dx  g ( x) a  f ( x)dx a b  g ( x)dx a b b b b C.   f ( x ).g ( x ) dx   f ( x )dx  g ( x )dx a a D.  a a b  f ( x)dx =   f ( x)dx  a  Câu 7. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho  f  x  dx  ,  f  t  dt  4 Tính 2 A. I  Câu 8.  f  y  dy B. I  3 2 C. I  D. I  5 2 0 (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  f  x  dx  và  g  x  dx  , khi đó  f  x   g  x  dx bằng A. 16 B. 18  C. 24 D. 10 Câu 9. (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho  f ( x) dx  1 ;  f ( x) dx  Tính 0  f ( x) dx A. 1. B. 4. C. 6. D. 5. Câu 10. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho  f  x  dx  3 và  f  x  dx  Khi đó  f  x  dx bằng A. 12. B. 7. C. 1. D. 12 Câu 11. Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  1; 2 , f  1  8;f    1 Tích phân  f '  x dx 1 bằng A. B. C. 9 D. Câu 12. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên R và có  4 f ( x)dx  9;  f ( x)dx  Tính I   f ( x)dx A. I  B. I  36 C. I  D. I  13 Câu 13. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho  f  x  dx  3 f  x  dx  Tích phân 1  f  x  dx bằng A. B. C. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 14. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f  x  liên tục 4 trên  và  f  x  dx  10 ,  f  x  dx  Tích phân  f  x  dx bằng B. A. C. D. Câu 15. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nếu F   x   và 2x 1 F 1  thì giá trị của F   bằng B.  ln A. ln C. ln D.  ln Câu 16. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số f  x liên tục trên  thoả 12 mãn  f  x  dx  ,  f  x  dx  ,  f  x  dx  4 12 Tính I   f  x  dx A. I  17 B. I  D. I  C. I  11 Câu 17. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên 10 10 0;10 thỏa mãn  f  x  dx  ,  f  x  dx  Tính P   f  x  dx   f  x  dx 0 B. P  A. P  10 C. P  D. P  6 Câu 18. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1;3 thoả: 3   f  x   3g  x dx  10 ,  2 f  x   g  x dx  Tính   f  x   g  x dx 1 A. 7. B. 6. C. 8. D. 9. Câu 19. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 10 10 0;10 và  f  x  dx  ;  f  x  dx  Tính P   f  x  dx   f  x  dx 0 A. P  B. P  10 C. P  D. P  4 Câu 20. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện 3   f  x   3g  x dx=10 đồng thời   f  x   g  x dx=6 Tính   f  x   g  x dx 1 A. B. C. D. Câu 21. (THPT ĐƠNG SƠN THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho f , g là hai hàm liên tục trên 3 1;3 thỏa:   f  x   3g  x  dx  10 và   f  x   g  x  dx  Tính I    f  x   g  x  dx 1 A. 8. B. 7. Dạng 1.2 Áp dụng bảng công thức C. 9. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   2 Câu 22. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho  f  x  dx  Tính I    f  x   2sin x  dx  A. I  B. I    D. I    C. I  Câu 23. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho  f  x  dx  và 1  g  x  dx  1 Tính 1 I    x  f  x   g  x   dx 1 A. I  17 B. I  C. I  D. I  11 Câu 24. (THPT HÀM RỒNG THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hai tích phân  f  x  dx  2 2 và  g  x  dx  Tính I  A. 13   f  x   g  x   1 dx 2 B. 27 D. C. 11 2 Câu 25. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  f ( x ) dx  và  g ( x ) dx  1 , khi 1 1 đó   x  f ( x )  g ( x )  dx bằng 1 A. B. C. 17 D. 11 2 Câu 26. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  f  x  dx  ,  g  x  dx  1 thì 0   f  x   g  x   x  dx bằng: A. 12 B. C. D. 10 Câu 27. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho  f  x  dx  2 Tích phân   f  x   x  dx bằng A. 140 B. 130 C. 120 D. 133 Câu 28. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2  4 f  x   x  dx  Khi đó  f  x dx bằng: A. B. 3 C. Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   f  x   3x  dx Câu 29. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho  f  x  dx  tích phân bằng A. 1. B. C. D. 1 Câu 30. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích phân I   x  1 dx 1 B. I  A. I  D. I   C. I  Câu 31. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f  x  Biết f    và f '  x   2sin x  1, x   , khi đó   f  x  dx bằng A.   16  16 B. 2 4 16 C.   15 16 D.   16  16 16 Câu 32. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số f  x  Biết f  0  và f   x   2sin x  , x  R , khi  đó  f  x  dx bằng A. 2 2 B.   8  8 C.   8  D. 3  2  Câu 33. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số f ( x) Biết f (0)  và f ( x)  2cos2 x  3, x  , khi đó   f ( x)dx bằng? A.   8  8 B.   8  C.   6  8 D. 2 2 Câu 34. Tích phân   x  1 x  3 dx bằng A. 12 B. C. D.  Câu 35. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Giá trị của  sin xdx bằng A. 0. B. 1. C. -1. D.  Câu 36. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính tích phân I  (2 x  1)dx  A. I  B. I  C. I  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. I  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 b   Câu 37. Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân  3x  2ax  dx bằng A. b3  b2 a  b B. b3  b2 a  b C. b3  ba  b D. 3b2  2ab  Câu 38. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 1 Biết rằng hàm số f  x   mx  n thỏa mãn  f  x  dx  ,  f  x  dx  Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. m  n  B. m  n  4 C. m  n  D. m  n  2  Câu 39. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Giả sử I   sin 3xdx  a  b  a, b    Khi đó giá trị của a  b là A.  B.  C.  10 D. Câu 40. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số f  x  liên 2 tục trên  và   f  x   x  dx  10 Tính  f  x  dx A. C. 18 B.  D. 18 m Câu 41. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho   x  x  1dx  Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? A.  1;  B.  ;0  C.  0;  D.  3;1 Câu 42. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết rằng hàm số f  x   ax  bx  c thỏa mãn  f  x  dx   2 ,  f  x  dx  2 và A.  B.  Dạng Tích phân HÀM HỮU TỶ C. Câu 43. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)  1 A. ln 35 D. dx bằng 2x  B. ln C. ln D. ln dx bằng 3x  2 C. ln Câu 44. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018)  A. ln B. ln Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D. ln CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 45. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Tích phân  A. 15 B. 16 225 ĐT:0946798489 dx bằng x3 C. log D. ln  1   Câu 46. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho    dx  a ln  b ln với a, b là các số x  x    nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a  2b  B. a  b  C. a  2b  D. a  b  2 e 1  Câu 47. (THPT AN LÃO HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tính tích phân I     dx x x  1 1 A. I  B. I   C. I  D. I  e e e Câu 48. (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính tích phân I   21 A. I   100 B. I  ln C. I  log dx x2 4581 D. I  5000 dx bằng 3x  Câu 49. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019)  B. ln A. ln Câu 50. Tính tích phân I   A. I   ln C. ln D. ln C. I   ln D. I  ln x 1 dx x B. I  dx  a ln  b ln  c ln x  x     Câu 51. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Biết  Khi đó giá trị a  b  c bằng A. 3 B. D. C. 1. x2 dx  a  b ln c, với a , b, c  , c  Tính tổng S  a  b  c x A. S  B. S  C. S  D. S  Câu 52. Biết  Câu 53. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 3x  5x  I dx  a ln  b,  a, b    Khi đó giá trị của a  4b bằng x2 1 A. 50 B. 60 C. 59 D. 40 Câu 54. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Biết  các số nguyên. Tính m  n A. S  B. S  C. S  5 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 02) Biết x2  1 dx   n ln , với m, n là x 1 m D. S  1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 55. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân x  1  I  dx  a  ln b trong đó a , b là các số ngun. Tính giá trị của biểu thức a  b x 1 A. 1. B. C. 1 D. x2  x  b dx  a  ln Câu 56. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết  x 1 với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b A. S  B. S   C. S  D. S  10 x  10 a  Câu 57. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Cho   x   dx   ln với x 1 b b 1 a, b Tính P  a  b ? A. P  B. P  C. P  D. P  x3 dx  a ln  b ln  c ln x  3x  Câu 58. (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  , với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a  b  c bằng A. B. C. D. 1. Câu 59. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho  với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của A. 12 B. a 3b  c 5x  dx  a ln  b ln  c ln , x  3x  2 bằng C. 1 D. 64 x2  x  b dx  a  ln với a , b là các số nguyên. Tính S  a  2b Câu 60. Biết  x 1 A. S  B. S  2 C. S  D. S  10 Câu 61. Biết rằng  A. 14  a dx   a , b   , a  10  Khi đó a  b có giá trị bằng x  x 1 b B. 15 C. 13 D. 12 2 Câu 62. (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Biết  x2  5x  dx  a  b ln  c ln x2  x  ,  a, b, c    Giá trị của abc bằng A. 8 B. 10 D. 16 3x  x  Câu 63. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Giả sử rằng  dx  a ln  b Khi đó, x2 1 giá trị của a  2b là A. 30 B. 60 C. 50 D. 40 C. 12 Câu 64. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Biết  3sin x  cos x  2sin x  3cos x dx  11 b ln  b ln  c  b, c  Q  Tính ? c Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A. 22 B. 22 C. ĐT:0946798489 22 3 D. 22 13 Câu 65. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết x  x2  x  a a 1 x  x  dx  b  c ln với a , b , c là các số nguyên dương và b là phân số tối giản. Tính P  a  b  c A. 5 B. 4 C. 5. D. 0. Câu 66. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho x  15 x  11 0 x  x  dx  a  b ln  c ln với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T  a.c  b bằng 1 A. B. C. D. 2 Dạng Giải tích phân phương pháp VI PHÂN Câu 67. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   ln x x Tính: I  F  e   F 1 ? A. I  B. I  e D. I  e C. I  Câu 68. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018)  e3 x1dx bằng A.  e  e  C.  e  e  B. e3  e D. e  e Câu 69. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)  e3 x 1dx bằng 1 A.  e  e  B.  e5  e  C. e5  e D. e5  e Câu 70. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho  f ( x)dx  12 Tính I   f (3x)dx A. I  B. I  36 C. I  D. I  Câu 71. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho với m , p , A. 10 B. và là các phân số tối giản. Giá trị C. 22 bằng D. Câu 72. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân 1 I  dx có giá trị bằng x 1 A. ln  B.  ln C. ln D.  ln Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Vậy  f  x   dx  I  J    1 Dạng 7.2. Tích phân nhiều cơng thức Câu 239. Chọn A 1 1 1 1 Ta thấy,  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   xdx   a  x  x  dx    x2  x x3  1 a  a     1  a     1 6  0   Câu 240. Ta có lim f  x   lim  e x  m   m  , lim f  x   lim x  x  và f    m  x 0 x 0 x 0 x 0 Vì hàm số đã cho liên tục trên  nên liên tục tại x  Suy ra lim f  x   lim f  x   f   hay m    m  1 x 0 x 0 1 Khi đó  f  x dx =  x  x dx    e  1dx =   x d   x     e x  1dx x 1 = 1  x2   x2  0 1  ex  x   e   1 22 22 Vậy tổng a  b  3c  19 Câu 241. Chọn C Do hàm số liên tục trên  nên hàm số liên tục tại x   lim f  x   lim f  x   f     m   m  1 Suy ra a  , b  , c   x 0 x 0 1 1 1 Ta có  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  I1  I 0 1 1 I1   x  x dx   2   x  d   x   23   x  2  x2 16 2 3 1 1 I    e x  1 dx   e x  x   e  0 22 22   f  x  dx  I1  I  e    a  1; b  2; c   1 3 Vậy T  a  b  3c    22  19 Dạng 7.3 Tích phân hàm số chẵn, lẻ Câu 242. Chọn D Đặt x  t Khi đó   f  x  dx   f  t  d  t     f  t  dt   f   x  dx 3 3 Ta có: I   3 Hay I  3 0 3 3  f  x  d  x    f  x  d  x    f  x  d  x    f   x  d  x    f  x  d  x   3   f   x   f  x  d  x    3 0 0 3 2  2cos xd  x   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong  2(1  cos x) d  x  95 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 3 I 3  cos xd  x    ĐT:0946798489   cos x d  x    cos xd  x    cos xd  x  0  3 Vậy I  2sin x |02 2sin x |  f  x a Câu 243. Ta có  1 e a kx f  x dx   1 e kx a Xét tích phân f  x  1 e a dx   f  x  e kx dx dx kx a Đặt t   x  x  t  dt  dx  dt  dx Đổi cận: x  a  t  a x  t  0 Khi đó, 0 a f  x f  t  f t   a  ekx dx  a  ek  t   dt   0  e kt dt a kx ekt f  t  e f  x d x  dx kt  1 e  e kx 0 a  a kx a a a e kx  1 f  x  f  x e f  x f  x  d x  d x  d x  d x  Do đó,  0  ekx 0 f  x  dx 0  ekx 0  ekx  e kx a a Câu 244. Hàm số f  x  , f   x  liên tục trên  và thỏa mãn f  x   f   x   2   f  x   f   x   dx  x 2 2 dx 1 4 2 Đặt K  nên ta có: x 4 2   f  x   f   x   dx   f  x  dx   f   x  dx 2 2 2 Đặt  x  t  dx   dt ; f   x   f  t  , x  2  t  2; x   t  2 2 Do đó  f   x  dx  2 2  f  t   dt    f  t  dt   f  x  dx 2 2 2 2 2  K   f  x  dx   f   x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   2 2 2 2 2 dx    ; x  tan  ,     ;  , 4  2 2 2d  1  tan   d Ta có: dx  d  tan    cos  Đặt J  Với x x  2      Do đó J     ; Với x     1  tan   tan   4  2  d     d   2     3 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 96 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Từ 1 ,   và   , ta có K  J   f  x  dx  2 Mà theo giả thiết, I    ĐT:0946798489     f  x  dx  20 2   f  x  dx  m nên m  20  m  20 2 Chú ý: Có thể tính nhanh x 2 dx cơng thức: 4 x dx x  arctan  C a a a dx x  arctan  C Từ đó:  x 4 2 2 dx x 1         arctan   arctan1  arctan  1          x 4 2 2 2    2 Câu 245. Tính  f   x  dx 2 Đặt t   x  dt  dx Đổi cận x t 2 2   f   x  dx    2 2 2 2 2 2 2 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx 2 1 dx f  x  f x     f  x   f   x   dx   2  x 2 4 x 2 dx   f  x  dx   2  x 2 2 1 1      x dx  arctan     f  x  dx        2 2  x   2 10  4  20 Câu 246. I    4   sin x  x2  x dx     x sin xdx    x sin xdx  4    I1 I2 Ta nhận thấy  x sin x là hàm lẻ nên I1  u  x  du  dx  dv  sin xdx Choïn v   cos x   I   x cos x 4   Suy ra I     cos xdx        sin x 4      2   Vậy a  b  c  11    2 16 Câu 247. Xét tích phân  f   x  dx  2 Đặt  x  t  dx  dt Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 97 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Đổi cận: khi x  2 thì t  ; khi x  thì t  do đó  f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt 2 2   f  t  dt    f  x  dx  0 Do hàm số y  f  x  là hàm số lẻ nên f  2 x    f  x  2 Do đó  f  2 x  dx    f  x  dx   f  x  dx  4 1 Xét  f  x  dx 1 Đặt 2x  t  dx  dt 2 Đổi cận: khi x  thì t  ; khi x  thì t  do đó  f  x  dx  f  t  dt  4 2   f  t  dt  8   f  x  dx  8 2 4 Do I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    6 0 ln  f  x  dx Câu 248. Gọi I   ln Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: Với x   ln  t  ln ; Với x  ln  t   ln  ln Ta được I   ln ln  f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx ln  ln ln Khi đó ta có: 2I   ln ln ln  f  x  dx   f   x  dx    ln  ln ln  f  x   f   x   dx   ln dx e 1  ln  x ln dx Đặt u  e x  du  e x dx e 1  ln Đổi cận: Với x   ln  u  ; x  ln  u  ln ln ln 1 ex du Ta được  x dx   x x dx   e  u u  e e       ln  ln  ln Xét  x ln 2  1    du   ln u  ln u    ln u u 1  ln  1 Vậy ta có a  , b   a  b  2 1 Câu 249. Do  f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx 1 21 0    f  x  dx  2   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 98 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 f  x f  x f  x dx   x dx   x dx và y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên  x 1 1 1 2 2 2 Mặt khác   f   x   f  x  x   Xét I  f  x dx Đặt t   x  dx  dt x 1 3 2 t x f t  f  x f  t  d t = d t = 0 3t  0 3x  dx 0  3t x 2 2 3x  1 f  x  f  x f  x f  x  f  x f  x dx   x dx    x dx   x dx  dx   x dx   x x       0 2 2 f  x f  t  I x dx     t dt = 1 1 2 2  f  x  dx  Câu 250. Đặt t   x  dt  dx Đổi cận: x  2  t  , x   t  2 2 f t  2t 2x I   t dt   t f  t  dt   x f  x  dx 1 1 1 2 2 2 2 2 f  x 2x  2I   x dx   x f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10 1 1 2 2 2 2 2 Mặt khác do f  x  là hàm số chẵn nên f   x   f  x  Xét J   f  x  dx , đặt t   x  dt  dx 2 2  J   f  t  dt   f   x  dx   f  x  dx  10  I  20  I  10 - 0 3 Câu 251. Ta có I   3  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  0 Xét  3 3  f  x  dx Đặt t   x  dt  dx ; Đổi cận: x    t  ; x   t  Suy ra  3 3  f  x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f   x  dx 3 0 3 Theo giả thiết ta có: f  x   f   x    cos x    f  x   f   x   dx   3  3 3   cos xdx 3  f  x  dx   f   x  dx   3 sin x dx  3 3  f  x  dx   f  x  dx  2 sin x dx   sin x dx   f  x  dx   0  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 99 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 f  x dx Đặt x  t ; dx   dt ; x  1  t  ; x   t  1  2018x 1 Câu 252. Xét tích phân  1 1 f  x f  t  2018 x f  x  f t  2018t f  t  dx =  dt = = dt  dt 1  2018x dx 1  2018t 1  2018x 1  2018t 1 1 2018t 1 f  x 2018 x f  x  Vậy  dx +  dx =  f  x  dx =  2018x  2018 x 1 1 1 f  x dx =  x  2018 1 Dạng 8. Một số bài tốn tích phân khác Câu 253. Chọn A Từ hệ thức đề cho: f ( x)  x  f ( x) (1), suy ra f ( x )  với mọi x  [1; 2] Do đó f ( x ) là hàm Do đó  khơng giảm trên đoạn [1; 2] , ta có f ( x )  f ( 2)  với mọi x  [1; 2] f ( x ) Chia 2 vế hệ thức (1) cho  f ( x )    x, x  1; 2  f ( x) Lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1; 2] hệ thức vừa tìm được, ta được: 2 f ( x) 2 1 1 1  f ( x)2 dx  1 xdx  1  f ( x)2 df (x)   f ( x)   f (1)  f (2)  1 Do f (2)   nên suy ra f (1)   3 Chú ý: có thể tự kiểm tra các phép biến đổi tích phân trên đây là có nghĩa. Câu 254. Chọn D 2 f  x f  x Ta có: f   x   x  f  x     x3   dx   x d x f  x f  x 1   15 1 15       f 1       f   f 1  f  x   f 1  x    x  3 , f  x  1  f 1  x    x  32 f  x  1 1  Câu 255. Ta có:  2  f 1  x    x  3 f 1  x    Từ 1 và    f 1  x   x   1  x  1   f  x    x  1   f   x   2  I    x   dx   x  x   Câu 256. Ta có: e x  e12 x  12 x e  x    x  1 x  x  Suy ra: max e x , e12 x     x  x  e  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 100 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 Do đó I   max e x , e12 x dx   e12 x dx   e x dx   e12 x 0  ex 1 3   1   e  e  e  e  e  e 2  5    sin   x  cos   x   12  6  0  5     dx  0  5     dx cot   x  tan   x  cos   x  si n   x   12  6   12  6  Câu 257. 7        sin  si n   x  2sin  4 12 4  dx   1  12  dx             0 sin  si n   x  sin  si n   x    12 12 4  4     4  7   5   tan cos   x   x   12  12   dx   1  tan 7    1  0  12  5     0 cos   x  si n   x     12  6         5   cot   x   tan  12  x    dx        7    x  tan 12    2    5  ln sin  x  ln cos  x ln         6   12   Do đó a  3; b  3; c  Vậy a  b2  c  34 Câu 258. Chọn C Ta có: x f ( x) f '( x)  f ( x)  x  x f ( x) f '( x)  f ( x)  x 2  x f ( x) f '( x)  f ( x)  f ( x)  x    x f ( x)  ' dx  3 f ( x)dx   xdx 0   x f ( x)   3I    3I   I  2 f   x    x  1  f  x   , x    Câu 259.  f  x  f  x      x  1 , x           x  1 , x   f x     1     x  1dx   x  x  C  f  x   Vậy f  x x  x  C Do f    1  C  1 Vậy f  x    x  x 1 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 101 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 1 I   f  x dx    0 ĐT:0946798489 1 dx    dx x  x 1 1  x   2     tan t  3   3     dt   dt   tan t , t   ;  Suy ra I    Đặt x    3 2  2   1  tan t  6 Câu 260. lời giải Chọn A Ta có f  x  f '  x   18 x   x  x  f '  x    x  1 f  x  f  x lấy nguyên hàm 2 vế ta được:    x3  3x  x f  x   f  x   x2  f  x   x  x f  x   12 x     f  x   x   TH1: f  x   x không thoả mãn kết quả   x  1 e f  x dx  ae  b,  a, b    1 TH2: f  x   x    x  1 e f  x 3 dx    x  1 e x dx  e2  Suy ra a  ; b   4 4 Vậy a  b  Câu 261. Vì f  x   và x   0;1 ta có: 2  f  x   ex f  x   ex f ' x   f  x  f  x     x e x x  x x x  x2  f  x       x 5 e ' 2 2 ex e e e  dx    2 e   2 f  x  x x  x f  x 1 1 1 x xx f  f  f  5 2 5 5 x 2 x  x2 dx   2 1 dx=  d 4   4 x 1  x x 1 1 5 x x e 1  4  f    1 5 f    2 e  e 2 e   5,97 Câu 262. Chọn A Ta có M    f  x   xf  x   f  x  xf  x   x xf  x  dx         x Đặt a  x  f  x   f  x   f  x  , b   f  x  x   f  x  dx f  x  thì Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 102 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 ĐT:0946798489  a  b  a  b  x2 M     ab  a  b  dx     dx    dx    24 0   Câu 263. Ta có f  x  f   x   18 x   x  x  f   x    x  1 f  x  1    f  x  f   x   18 x dx    x  x  f   x    x  1 f  x  dx 1      f  x   x3  dx    x  x  f  x   dx 2  f  x   x   x  x  f  x   C , với C là hằng số. Mặt khác: theo giả thiết f    nên C   Khi đó f  x   x   x  x  f  x 1 , x    f  x  2x f  x   12 x   x  x  f  x    f  x   x   f  x   x      f  x   x Trường hợp 1: Với f  x   x , x   , ta có f     (loại). 1  Trường hợp 2: Với f  x   x, x   , ta có : 1 2x   x  1 e x  e f  x 2x x  e d x  x  e d x          dx  e  0 0 4  0  a    a  b  b    1 Câu 264. 109   f  x   f  x    x  dx   12    f  x     x      x  2    2   f  x     x   dx     x    2 dx   2  dx   109  12 109 12  x  109 Mà    x  dx     x  x  dx   x  x     12 1     2 2 2 Suy ra   f  x   3  x  dx   2  1  1 Vì  f  x     x    0, x    ;  nên f  x    x , x    ;   2  2 Vậy  2  1  f  x 3 x 1 x  2 dx   dx   dx    +  dx x 1 x 1 x 1 x   x  1 x  1  0 0 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 103 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  x 1     ln x   ln  ln  x 1    d u  dx u  x   n n 1   Câu 265. Xét I n   x 1  x  dx Đặt   1  x  n v  dv  x 1  x  dx  n  1  In   x 1  x  n 1 1  n 1 n 1 n 1 1  x  dx   x  dx      n  1  n  1 0  I n 1  n 1 1  x 1  x  dx    n  2 1  n 1 2 n 1  I n 1    1  x  dx   x 1  x  dx   n  2  0  I n 1 2n  I  I n 1    n  1 I n  I n 1     lim n 1   n  2 In 2n  n  I n Câu 266. Cách 1. Đặt t  a  x  dt  dx Đổi cận x   t  a; x  a  t  a a a f  x  dx dx dt dx dx     1 f  x a 1 f a  t  1 f a  x 1 1 f  x 0 f  x a Lúc đó I   a f  x  dx a dx   1dx  a  f  x   f  x  0 a Suy ra I  I  I   Do đó I  a  b  1; c   b  c  Câu 267. Ta có:   2       2 2sin x  d x   cos x  d x      0 0  0 1  sin x  d x 4         2   x  cos x   2  0 Do đó:   2          f x  2 f x sin x  d x  sin  x   d x   0       0   2  4             f  x   2 f  x  sin  x    sin  x    d x  4      2        f  x   sin  x    d x         Suy ra f  x   sin  x    , hay f  x   sin  x   4 4   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 104 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Bởi vậy:   2  2    f x d x  sin x  d x   cos x         0 0 4 0   Câu 268. Đặt t  a  x  dt  dx a a a 1 Thay vào ta được I   dx   dt   dx 1 f  x 1 f  a  t  1 f a  x 0   f a  x  f  x Suy ra    dx , do hàm số f ( x) liên tục và luôn dương trên đoạn  1  f  x   1  f  a  x     a  0; a  Suy ra f  a  x   f  x  , trên đoạn  0; a  a a Mà f ( x) f (a  x)   f  x   Vậy I   dx  2 Câu 269. Ta có: f  x   f 1  x    x 1 Đặt t   x  x   t , phương trình 1 trở thành f 1  t   f  t   t Thay t bởi x ta được phương trình f  x   f 1  x   x   2 f  x   f 1  x    x  f  x  x  1 x Từ 1 và   ta có hệ phương trình  3 f  x   f 1  x   x 1 1   f  x  dx   x   x dx   xdx    xdx 50 50 50     *Xét I   xdx Đặt u  x  u  x  dx  2udu Đổi cận: x   u  ; x   u  1 2u  I   u du   3 *Xét J    xdx Đặt v   x  v   x  dx  2vdv Đổi cận: x   v  ; x   v  1 2v  J  2  v dv   v dv   3 2 2 2   f  x  dx    5 15  x sin 2018 x d x 2018 2018 sin x  cos x Đặt x    t  d x   d t Khi x  thì t   Khi x   thì t  Câu 270. Xét tích phân I   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 105 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Ta có I      2018 sin ĐT:0946798489 2018   t  sin   t  d t    x  sin x d x 0 sin 2018 x  cos2018 x   t   cos2018   t  2018   sin 2018 x x sin 2018 x    2018 d x   2018 dx sin x  cos 2018 x sin x  cos 2018 x 0  sin 2018 x d x  I sin 2018 x  cos 2018 x  Suy ra I   sin 2018 x d x 0 sin 2018 x  cos 2018 x   Xét tích phân J    sin 2018 x d x sin 2018 x  cos 2018 x Đặt x  Khi x     u  d x   d u thì u  Khi x   thì t      sin 2018   u  cos 2018 x   Nên J    du   d x 2018  x  cos 2018 x   2018    sin sin 2018     u   cos   u  2  2  cos 2018 x Vì hàm số f  x   là hàm số chẵn nên: sin 2018 x  cos 2018 x      2018 cos x cos 2018 x d x  0 sin 2018 x  cos2018 x d x sin 2018 x  cos 2018 x Từ đó ta có:  2    sin 2018 x sin 2018 x  sin x  d x   2018 d x I   2018 d x    2018 2018 2018 2018  sin x  cos x x  cos x  sin x  cos x  sin        2 sin 2018 x cos 2018 x     2018 d x   2018 d x 2018 2018  sin x  cos x sin x  cos x     2018   x  cos x  2 d x  d x  0 sin 2018 x  cos 2018 x 0 Như vậy a  , b  Do đó P  2a  b  2.2     sin 2018 2018 Câu 271. Theo bài ra ta có hàm số f  x  đồng biến trên  0; 2  f  x   f     do đó f  x   x   0; 2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 106 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  f   x   f   x  f  x    f   x   Ta có     f  x    f  x  2 Theo đề bài  f  x    f  x  f   x    f   x     f   x   2    f  x  f  x    f  x     f  x       1  f  x   f  x f  x  xC   f  x f  x 2 dx    x  C  dx   0  x2 2 d  f  x      Cx  f  x  0   2C  ln e6  ln   2C  C    ln f  x   x2     2x    Do đó ln f  x  Câu 272. 1  f   x   f  x  f f  x f  x  x  5  ln f 1   f 1  e  x   f   x  f  x   f   x  f  x   f  x   f  x     f  x   1 x f   x  I  1  f  x   dx u  x du  dx   f  x  Đặt  dv  d x v   1 f  x 1  f  x     3 x dx 3 I    I1  f  x  0  f  x   f  3  f  3  Đặt t   x  dt   dx Đổi cận x   t  x  3 t  0 3 f  x  dx dt dx I1     1  f  t  f x     0 1 f  x f 0  I1    f  x  f  x dx   I1   2 Câu 273. - Đặt t  a  x  dx  dt ; đổi cận: x   t  a , x  a  t  Vậy I  1  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 107 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 f  x 1 1 dx   dx   dt   dx   dx 1  f ( x) 1 f a  t   f (a  x)  f ( x) 0 0 1 f  x a a a a a I  a a a f  x 1 f  x a dx   dx   dx   dx  x  a  f ( x)  f ( x)  f ( x) 0 0 a  2I   Vậy I  a   4   Câu 274. Ta có  f   x  sin xdx   sin xdf  x    f  x  sin x    f  x  d sin x 0 0        f   sin    f   sin  2.0    f  x  cos xdx 4  4   4    f     f  x  cos xdx  2  f  x  cos xdx 4 0  Do đó  f  x  cos xdx      14 1 4  Mặt khác:  cos xdx   1  cos x  dx   x  sin x   20 2 0 Bởi vậy:    4  f  x  dx   f  x  cos xdx   cos 2 xdx  0          f  x   f  x  cos x  cos 2 x  dx      f  x   cos x  dx   f  x   cos x Nên:   8 I  1 f  x  dx   cos xdx  sin x  4 0 Câu 275. - Đặt y  f  x  Khi đó từ giả thiết ta có : y 1 y 1     , f   f  x  1  y  , f    2  x    x  1  x 1   x  1 x2  x  y y 1  x      Suy ra f   1     f    f        2  x 1   x 1   x 1   x  1  x  1  x 1   1 Và f    f 1      x   x x2  y y 1 , f    1  x2 x  x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 108 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x y   f  x 1      x2  y  x   x  x2 f  f      2   x 1  x 1   x  1  x 1     x 1    x   x   x  x2  x  y x2  y - Từ 1 và   suy ra :   x  x  y  x  y  y  x hay f  x   x 2  x  1  x  1 Do đó: I   1 x d  x  1  ln  x  1  ln  0, 35 dx   dx   2 2 x 1 f  x 1 x 1 0 f  x Vậy I   0;1 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 109 ... (HSG BẮC NINH NĂM 201 8-2 019) Cho  Tính P  a  4b A. P  B. P  C. P  D. P 3 21000 Câu 172. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2 019) Tính tích phân I  ln x   x ... phân số hàm số khác Dạng 7.1 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Câu 228. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2 019) Cho a là số thực dương, tính tích phân a I  x dx theo a... (THTP LÊ Q ĐƠN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Tính tích phân I   A. I  B. I  C. I  π  20 D. I   Câu 110. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho tích phân sin x dx  a

Định dạng
Số trang	109
Dung lượng	1,26 MB