NBV ôn THI THPTQG2021 chuyên đề 25 nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx  C   k dx  kx  C     x dx  ln x  C  x  x n 1 C n 1 (ax  b)n 1 C a n 1     ax  b dx  a ln ax  b  C   (ax  b)  sin x dx   cos x  C   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C   cosx dx  sin x  C   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C   sin   dx   cot(ax  b)  C a sin (ax  b )     dx  tan(ax  b)  C cos (ax  b) a   e dx  e  e  x  a dx   x   a dx  x n dx  1 dx   x C x dx   cot x  C dx  tan x  C cos2 x x x C ax C ln a (ax  b)n dx  1 1 dx    C a ax  b 1 2 ax b dx  eax b  C a a x  C  ln a ♦ Nhận xét Khi thay x (ax  b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm  a Một số nguyên tắc tính PP  Tích đa thức lũy thừa    khai triễn PP  Tích hàm mũ   khai triển theo cơng thức mũ 1 1  Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a 2 2 PP  Chứa tích thức x    chuyển lũy thừa Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K A F '( x)   f ( x), x  K C F '( x)  f ( x), x  K Câu B f '( x)  F ( x), x  K D f '( x)   F ( x), x  K (Mã 101 - 2020 Lần 1)  x dx A 2x  C B x C C x3  C D 3x  C Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x A 4x  C B 3x  C (Mã 103 - 2020 Lần 1)  x dx A Câu Câu D C x5  C D 5x5  C C x  C D 6x  C C 5x5  C D 20x3  C B 4x3  C (Mã 104 - 2020 Lần 1)  x dx A 5x  C B x C (Mã 101- 2020 Lần 2)  5x dx A Câu x C x C C x  C x C B x5  C (Mã 102 - 2020 Lần 2)  6x dx A 6x  C B x6  C (Mã 103 - 2020 Lần 2)  x dx A 3x3  C B 6x  C C x C D 30x  C Câu Câu C x C B x C C 12x  C Câu 12 B x  x  C C x  x  C x  x C (Mã 104 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f  x   x  D x  x  C A x  C D x  x  C Câu 15 C 2x2  C D x  x  C B  sin x  x  C C sin x  x  C D  sin x  C A  sin xdx  2 cos x  C B  sin xdx  cos x  C C  sin xdx  sin x  C D  sin xdx  sin x  C (Mã 101 2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x3  x x  x C B x   C C x  x  C D x  x  C (Mã 103 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f  x   x  A x  x  C Câu 17 B x2  6x  C (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   sin x A Câu 16 C x  x  C (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm hàm số f  x   cos x  x A sin x  x  C Câu 14 B 2x  C (Mã 102 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f  x   x  A x  C Câu 13 D x  C (Mã 103 2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A Câu 11 D x  C (Mã 104 - 2020 Lần 2)  x 3dx A 4x  C Câu 10 B x  x  C C x  C D 2x  C (Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f  x  dx   x  1 x   C f  x  dx   x   C A  B  f  x  dx   x  1 x   C x   C C  D  f  x  dx  2 Câu 18 (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  x A C Câu 19 Câu 20  f  x  dx  x3  C x B  f  x  dx  x3  C x D dx A  x   ln x   C C  x    ln x   C x3  C x dx (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos x sin x C sin x D  cos xdx   C B  cos xdx  (Mã 104 2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x3  x A x  x C B x  x  C C x  x  C D x  x  C (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  x x D x C e  x C x 1 (Mã 101 - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x)  x  A e x   C Câu 23  f  x  dx  5x  dx B   ln x   C 5x  dx D   ln x   C 5x  C  cos xdx  sin x  C Câu 22 x3  C x (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   A  cos xdx  sin x  C Câu 21  f  x  dx  B ex  x2  C C e x  A x  C B x2  5x  C C x  x  C Câu 24 (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x A  x dx  7x C ln D 2x  C B  x dx  x 1  C x 1 C D  x dx  x ln  C x 1 (Mã 102 2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x  x C  x dx  Câu 25 Câu 26 Câu 27 x  x C D x  x  C (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  3x  A x3   C B x5  x2  C A x  C B C x3  xC x 7  16  C B  x 7 32  16  C 15  x  x   dx ? C  x  7  C 16 (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm ngun hàm A D x  x  C C x  C 16 D x 7 32  16  C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 28 (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm hàm số f (x)  e x hàm số sau đây? A 3e x  C Câu 29 x2  sin x  C C x e C D 3e3 x  C x cos x  C 2 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số y  e2 x 1 A 2e x 1  C Câu 31 3x e C (THPT Cẩm Giàng 2019) Tính   x  sin x dx A Câu 30 B x2  cos x  C B C x  B e2 x 1  C C cos x C 2 x 1 e C D D x e C (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   1 ln x   C D lg  x  3  C ln 2 Câu 32 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số y  x  3x  x x x x A B    C, C    3x   C , C   ln x x x x x x C D   ln x  C , C     ln x  C , C   ln 3 ln Câu 33 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x  sin 3x A ln x   C C D  cos3 x  C (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  sin x A 3cos3x C Câu 34 B ln x   C 2x  B 3cos3x C C cos3 x  C A x  cos x  C B x  cos x  C C x  cos x  C D x  cos x  C Câu 35 (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức sau sai? 1 A  ln x dx   C B  dx  tan x  C x cos x D  e x dx  e x  C C  sin x dx   cos x  C Câu 36 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu A f  x   x  Câu 37 x3  Cx 3  x  C hàm số f  x  B f  x   12 x  x  C x3 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? C f  x   12 x  x D f  x   x  A  cos xdx  sin x  C B e  x dx  x e1 C e 1 e x 1 C x 1 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm hàm số y  x C Câu 38  f  x  dx  x  x dx  ln x  C A  x dx  ln 2.2 x  C B  x dx  x  C D  e x dx  x C  dx  2x 2x  C D  x dx  C ln x 1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 39 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  sin x A  f  x dx  3x2  cos x  C B  f  x dx  3x  cos x  C 3x  cos x  C C  f  x dx  D  f  x dx   cos x  C Câu 40 (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x )  x  s inx Câu 41 Câu 42 x2 x2 D  cos x+C  cos x+C 2 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  cos x là: A x  cos x+C B x  cos x+C C A cos x  C B  cos x  C C  sin x  C (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x D x  x  C x  x C (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  x A x  x  C Câu 43 B x  x  C B e x  x  C x C B sin x  x  C x3 x   ln x  C A C Câu 46 C  sin x  x3 3x   ln x  C B x3 x   ln x  C D x 3x    C x (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   A ln x  cos x  C Câu 47 C x  C D  sin x  x  C (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm hàm số y  x  3x  x A sin x  Câu 45 C x e  x  C D e x   C x 1 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ nguyên hàm hàm số y  cos x  x A e x  x  C Câu 44 D sin x  C B   cos x  C x2 C ln x  cos x  C (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Hàm số F  x    sin x x D ln x  cos x  C x nguyên hàm hàm số sau  ;   ? x (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x A f  x   x Câu 48 A C Câu 49  B f  x   x f  x  dx  x  C  f  x  dx  x C f  x   x B ln  C D D f  x   2x C ln  f  x  dx   x 1 f  x  dx  C x 1 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm ngun hàm hàm số f  x   x4  x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A  f  x  dx  x3  C x B  f  x  dx  x3  C x x3 x3 C  f  x  dx    C D  f  x  dx    C x x Câu 50 (Sở Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau nguyên hàm hàm số y  e x ? A y  B y  e x C y  e  x D y  ln x x Câu 51 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F ( x)   e2 dx , e số e  2, 718 A F ( x)  Câu 52 e2 x C Câu 56 D F ( x)  2ex  C B ln 1  x   C C  ln x   C  2x D ln x   C x B  x  C 2x  x2  C C ln x D  x2 C (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x    sin x A  cos x  C Câu 55 C F ( x)  e2 x  C x (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm hàm số f  x    x 2x x2  C A ln2 Câu 54 e3 C (Chun Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   1    ;  2  A ln x   C Câu 53 B F ( x)  B  cos x  C C x  cos x  C D x  cos x  C (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Ngun hàm hàm số f (x )  x3  x  x  2019 A x2 x  x  C 12 B x2 x  x   2019 x  C C x2 x  x   2019 x  C 12 D x2 x  x   2019 x  C (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  khoảng 3x  1   ;  là: 3  1 A ln(3x  1)  C B ln(1  3x)  C C ln(1  3x)  C D ln(3x  1)  C 3 Câu 57 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? e2 x C A  x dx  x ln  C B  e2 x dx  1 dx  ln x   C  x  1 C  cos xdx  sin x  C D  x 1 2x4  Câu 58 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số f ( x)  Khẳng định sau x2 đúng? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A C Câu 59 Câu 60  x3 f ( x)dx   C 2x B   x3 f ( x)dx   C x D  f ( x)dx  x x x3 f ( x)dx   C x (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f  x    x  Tìm A  f  x dx  x  x2  x  C C  f  x  dx  x   C x  f  x  dx x  xC x 2  x  xC D  f  x  dx  x 1 B x  xC  f  x  dx  ln 2 x  (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  sin x A  f  x dx  3x2  cos x  C C  f  x dx  Câu 61 B  f  x dx  3x  cos x  C 3x  cos x  C D  f  x dx   cos x  C (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số F  x   e x nguyên hàm hàm số hàm số sau: 2 A f ( x)  xe x Câu 62 B f ( x)  x e x  C f ( x)  e2 x ex 2x (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất nguyên hàm hàm số f ( x)  3 x 3 x C B 3 x  C C 3 x ln  C ln (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x3  x A  Câu 63 D f ( x)  D 3 x C ln x x3 x x3  C  C B x  x  C C x  x  C D 3 Câu 64 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số hàm số sau không nguyên hàm hàm số y  x2019 ? A x 2020 1 2020 Câu 65 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số y  x  3x  x x x x x A B   ln x  C , C  R   ln x  C , C  R ln 3 ln x3 x 3x C D  3x   C , C  R    C, C  R x ln x A Câu 66 x 2020 1 2020 B x 2020 2020 C y  2019 x2018 D  2018e  x  (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   e x  2017   x5   2018 2018 A  f  x  dx  2017e x   C B  f  x  dx  2017e x   C x x 504,5 504,5 C  f  x  dx  2017e x   C D  f  x  dx  2017e x   C x x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  e x  (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm hàm số y  e x    cos x   1 C C A 2e x  tan x  C B 2e x  tan x  C C 2e x  D 2e x  cos x cos x Câu 68 (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F  x  hàm số f  x    x  1 x   x  3 ? Câu 67 Câu 69 A F  x   x4 11  6x3  x2  6x  C B F  x   x  x  11x  x  C C F  x   x4 11  x3  x2  x  C D F  x   x  x  11x  x  C (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm hàm số f  x   A ln  x    C B ln x   C C là: 5x  1 ln x   C D ln x   C ln 5 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25   TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm có điều kiện Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số tùy ý)   0dx  C    x n dx          k dx  kx  C   x n 1 C   n 1 dx  ln x  C   x 1 dx    C   x x    sin x dx   cos x  C      cosx dx  sin x  C       (ax  b)n dx  (ax  b)n 1 C.  a n 1     1 dx  ln ax  b  C   ax  b a     1 dx    C.  a ax  b (ax  b )     sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C   a    dx   cot x  C   sin2 x     sin(ax  b)  C   a dx   cot(ax  b)  C   a sin (ax  b )    dx  tan x  C   cos2 x     dx  tan(ax  b)  C   cos (ax  b) a    e x dx  e x  C      a x dx      cos(ax  b)dx      eax b dx  eax b  C   a ax C.  ln a     a x  dx  a x  C    ln a ♦ Nhận xét Khi thay x (ax  b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm   a Một số nguyên tắc tính PP   Tích đa thức lũy thừa    khai triễn PP   Tích hàm mũ   khai triển theo công thức mũ 1 1   Bậc chẵn sin cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a 2 2 PP   Chứa tích thức x    chuyển lũy thừa.  Câu (Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  1  f ( x )   xác  định  trên   \     thỏa  mãn  2 , f    1, f 1   Giá trị của biểu thức  f  1  f  3  bằng 2x 1 A  ln15 B  ln15 C ln15 D  ln15   (Sở Phú Thọ 2019) Cho  F  x   là một nguyên hàm của  f  x    trên khoảng  1;    thỏa  x 1 f  x  Câu mãn  F  e  1  Tìm  F  x    Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A 2ln  x  1    Câu B ln  x  1  C 4ln  x  1   D ln  x  1  (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x   ,  x2 biết  F 1   Giá trị của  F    bằng  A  ln Câu D ln  2  (KTNL  GV  Thuận  Thành  2  Bắc  Ninh  2019)  Cho  F  x    là  một  nguyên  hàm  của  hàm  f  x  ; biết  F     Tính  F 1   2x 1 A F 1  ln    Câu C  ln  2  B ln B F 1  ln    C F 1  2ln    D F 1  ln    x (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  y   trên   ;0    thỏa mãn  F  2    Khẳng định nào sau đây đúng?   x   x   ;0      A F  x   ln  B F  x   ln x  C x   ;0   với  C  là một số thực bất kì.  C F  x   ln x  ln x   ;0   D F  x   ln   x   C x   ;0   với  C  là một số thực bất kì.  Câu (THPT  Minh  Khai  Hà  Tĩnh  2019)  Cho  hàm  số  f  x    xác  định  trên  R \ 1   thỏa  mãn  ,  f    2017 ,  f    2018  Tính  S  f  3  f  1   x 1 A S  ln 4035   B S    C S  ln   f  x  Câu D S    (Mã 105 2017) Cho  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f ( x)  e x  x  thỏa mãn  F      Tìm  F  x  C F  x   e x  x2  A F  x   e x  x2  Câu B F  x   e x  x  D F  x   2e x  x    (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x   e2 x   và  F     Giá trị của  F  ln 3  bằng  A 2.  Câu B 6.  C 8.  D 4.  (Sở Bình Phước 2019) Biết  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  e2x  và  F    201   Giá trị  1 F    là  2 1 A e  200 B 2e  100 C e  50 D e  100 2 Câu 10 (Chuyên  Nguyễn  Trãi  Hải  Dương 2019)  Hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên     và:  f   x   2e2 x  1, x, f     Hàm  f  x   là  A y  2e x  x   B y  2e x    C y  e x  x    D y  e x  x    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy f  x  f   x   x2 x   x  C Hơn f    f     suy C  2  x2 Tương  f  x    f  x  f   x  nên  f  x     x   x   Suy 3  2  x2 x3 f  x     x   x   dx  x   x  18 x  C , f    suy 3 3  Câu 23 x3 f  x   x   x  18 x  Do  f 1   28 3 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn  x   f  x    x  1 f   x   e x e A f    f    B f    Tính f   e C f    e2 D f    e2 Lời giải Ta có  x   f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x   f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x     x  1 f  x    e x  e x  x  1 f  x    e x  x  1 f  x    e2 x  e x  x  1 f  x    e2 x   e x  x  1 f  x  dx   e2 x dx  e x  x  1 f  x   e2 x  C Mà f    ex  C  Vậy f  x   2 x 1 Khi f    Câu 24 e2 (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục  \ 0;  1 thỏa mãn điều kiện f 1  2 ln x  x  1 f   x   f  x   x  x Giá trị f    a  b ln , với a, b  Tính a  b2 25 A B Lời giải C Từ giả thiết, ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x  D 13 x x f  x  f  x  x 1 x 1  x  1 x  x   f  x   , với x   \ 0;  1  x 1  x 1 x x x Suy f  x   dx hay f  x   x  ln x   C x 1 x 1 x 1 x f  x   x  ln x   Mặt khác, ta có f 1  2 ln nên C  1 Do x 1 3 3 Với x  f     ln  f     ln Suy a  b   2 2 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy a  b  2 Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f 1  , f  x   f   x  3x  , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f    B  f    C  f    D  f    Lời giải Ta có f  x   f   x  3x    d  f  x f  x 2 dx  ln f  x   3x   C  f  x   e 3 3x   Mà f 1  nên e Câu 26 f  x f  x 1   dx   dx f  x f  x 3x  3x  C x 1  C 4   C   Suy f    e  3, 794 (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện Biết tổng f  0   a a f 1  f    f  3   f  2017   f  2018  với  a  , b  *  phân số tối giản b b Mệnh đề sau đúng? a a A  1 B  C a  b  1010 D b  a  3029 b b Lời giải f  x Ta có f   x    x  3 f  x    2x  f  x f   x    x  3 f  x   f  x dx    x  3 dx    x  3x  C f  x f  x Vì f      C  1   Vậy f  x     x  1 x   x  x  Do f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   1 1009   2020 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 Câu 27 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f  x   , f   x   f 1   Tính f 1  f     f  80  3240 6480 A  B 6481 6481 C  6480 6481 D 3x  x  f  x  x2 3240 6481 Lời giải f  x  f   x  3x  x  3x  x  f x     x2 f x x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  f  x  3x  x  d x   x dx  f x  d  f  x  f  x 3x  x   dx x2 d  f  x   1 1     3x    dx  C  x3  x   C  f  x   f  x x  f x x  x x x 1 1 x   Do f 1    C   f  x   =  x  x   x  x  x  x    1 11 1 1 1 1 1  f 1     ; f       ; f  3     ;.; f  80      1 2 3  13   6481 6321  1 3240 = f 1  f     f  80     2 6481 6481  Câu 28  (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai đoạn  0; 2 2 thỏa mãn  f  x    f  x  f   x    f   x    Biết f    , f    e6 Khi f 1 B e3 A e D e2 C e Lời giải 2 Theo đề bài, ta có  f  x    f  x  f   x    f   x     f  x  f   x    f   x    f  x   2 1  f   x   f  x x2   x  C  ln f  x    C.x  D  1 f  x  f  x  x  f    2 x C  2 Mà   Suy : f x  e  f  e      D    f    e 2 Câu 29 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f   x   x f  x   e x , x   f    Tính f 1 B f 1   e A f 1  e2 C f 1  e2 D f 1  e Lời giải Chọn D Ta có 2   f   x   x f  x   e x  e x f   x   x.e x f  x    e x f  x   xC  f  x  dx   dx  e x f  x   x  C  f  x   x e Vì f     C  Suy  e  x2 Do f  x   x Vậy f 1  e e x2 Câu 30 Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x  f  x   x4  x2 Biết f  0  Tính f   Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 313 A f    15 332 B f    15 324 C f    15 Lời giải D f    323 15 Chọn B f  x  x5 x   C f '  x  f  x  dx    x  x  dx  C  Ta có  f  0  nên suy C  Do  32  332 Vậy f           15 Câu 31 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e x , x   f    Tất nguyên hàm f  x  e x A  x   e x  e x  C B  x   e2 x  e x  C C  x  1 e x  C D  x  1 e x  C Lời giải Chọn D  f  x   f   x   e x  f  x  e x  f   x  e x   f  x  e x    f  x  e x  x  C Vì f    nên C   Do f  x  e2 x   x   e x Vậy:  f  xe 2x   dx    x   e x dx    x   d e x   x   e x   e x d  x     x   e x   e x dx  x x x   x   e  e  C   x  1 e  C Câu 32 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  0;    thỏa mãn xf   x   f  x   x x   0;    , f 1  Giá trị biểu thức f   là: A 25 B 25 17 Lời giải C D 17 Chọn C Xét phương trình xf   x   f  x   x 1  0;    : 1  f   x    f  x  2 2x , ta tìm nguyên hàm G  x  g  x  2x 1 Ta có  g  x  dx   dx  ln x  C  ln x  C Ta chọn G  x   ln x 2x  f  x  x Nhân vế   cho eG  x   x , ta được: x  f   x   x Đặt g  x      x f  x   x   3 Lấy tích phân vế  3 từ đến 4, ta được:    x f  x     x f  x  dx   xdx 14  14  17 2 3  x   f    f 1   f      1  (vì f 1  ) 2 3 1  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy f    Câu 33 17 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện x  f   x    27  f  x   1  0, x   f 1  Giá trị f   A 1 B C D  Lời giải Chọn D Ta có x  f   x    27  f  x   1     1      f  x    x f  x 1 x f  x 3  f  x   1   1  dx   dx    C Suy Do   x x  f  x    1   C x f  x  1 Có f 1   C  Do f  x    x3 Khi f    7 Câu 34 (Bến Tre 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn:  f   x   f  x  f   x   15 x  12 x , x   f    f     Giá trị f 1 A B C 10 D Lời giải Chọn B Theo giả thiết, x   :  f   x    f  x  f   x   15 x  12 x  f   x  f   x   f  x  f   x   15 x  12 x   f  x  f   x    15 x  12 x  f  x  f   x    15 x  12 x  dx  x  x  C 1 Thay x  vào 1 , ta được: f   f     C  C  Khi đó, 1 trở thành: f  x  f   x   3x5  x  1 1 1  1    f  x  f   x  dx    x5  x  1 dx   f  x     x  x3  x  2 0 2 0 0   f 1  f      f 1    f 1  2 Vậy f 1  Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 35 Cho hàm y  f  x số  xf   x   f  x   ln x  x đây? 25   A 12;    có đạo hàm liên  f  x  , x  1;    ; biết f 27   B 13;    tục 1;     e   3e Giá trị  23  C  ;12    Lời giải thỏa mãn f   thuộc khoảng 29   D 14;  2  Chọn C Xét phương trình  xf   x   f  x   ln x  x3  f  x  1 khoảng 1;   : 1  x ln x f   x   1  ln x  f  x   x3  f   x    ln x x2  f  x  x ln x ln x 2  ln x Ta tìm nguyên hàm G  x  g  x  x ln x  2ln x  ln x   dx   d  ln x       d  ln x  Ta có  g  x  dx   x ln x ln x  ln x  Đặt g  x    ln x   ln  ln x   2ln x  C  ln    C  x   ln x  Ta chọn G  x   ln    x  ln x ln x  ln x Nhân vế   cho eG  x   , ta được:  f   x    f  x  x x x3 ln x  ln x     f  x      f  x   x  C  3 x  x   e   3e nên thay x  Theo giả thiết, f ln  e.f 3 e  e  3 e C  C  Từ đây, ta tìm f  x   Câu 36 3 e2 e vào  3 , ta được:  3e  e  x3 23  23  Vậy f     ;12   f  2  ln x ln   (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f   x  e f  x   x2 1  2x  với  x   Biết f    , tính tích phân f  x 11 A 15 B 45 C Lời giải  x f  x  dx D Chọn C Ta có f   x  e f  x   x2 1   f  x  f   x  e f   x 2x   f  x  f   x  e f  x   x.e x 1 f  x 2 dx   x.e x 1dx   e f  x d  f  x     e x 1d  x  1  e f  x  ex 1 C Mặt khác, f    nên C  Do e f  x  ex 1  f  x   x2   f  x   x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy  x f  x  dx  Câu 37  x x  dx   45 x  d  x  1   x  1 x      8 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục không âm  thỏa mãn f  x  f   x   x f  x   f    Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x  đoạn 1;3 Biết giá trị biểu thức P  2M  m có dạng a 11  b  c ,  a , b , c    Tính a  b  c A a  b  c  B a  b  c  C a  b  c  D a  b  c  Lời giải Chọn A Ta có: f  x  f   x   x f  x    f  x  f   x f  x 1  2x   f  x  f   x  f  x 1 dx   xdx f  x    x2  C  f  x    x   f  x    x  1   x  x Mà f     C    f  x   x  x (do f  x   0, x   ) Ta có: f   x   x3  x x4  x2  0, x  1;3  max f  x   f  3  11; f  x   f 1  1;3 1;3 Ta có: P  M  m  11   a  6; b  1; c   a  b  c  Câu 38 Cho hàm số y  f  x liên tục  \ 1;0 thỏa mãn f 1  2ln  , x  x  1 f   x    x   f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 Biết f    a  b ln , với a, b hai số hữu tỉ Tính T  a  b A T  21 16 B T  C T  D T   Lời giải Chọn D Ta có: x  x  1 f   x    x   f  x   x  x  1 , x   \ 1;0  x2 x2  2x x2 , x   \ 1;0 f  x  f x    x 1  x  1  x  1  x2  x2  f  x   , x   \ 1;0  x 1  x 1  x2 x2 dx  f  x   C  , x   \ 1;0 x 1 x 1  x2     x 1 d x  f  x   C  , x   \ 1;0  x 1  x 1   x2 x2  x  ln x   C   f  x   C x 1  x2 x2  x  ln x   C  f  x  , x   \ 1;0 x 1 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 16 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Ta có: f 1  2ln  f 1  1  2ln  2C  C  x2 x2  x  ln x    f  x x 1 3 3 3  f     ln f  2  a  b ln  a  , b   T  a2  b    4 4 16 16  Câu 39 Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;    thỏa mãn 3x f  x   x f   x   f  x  , với Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f  x  đoạn 1; 2 Tính M  m f  x   0, x   0;    f 1  A 10 B 21 10 Lời giải C D Chọn C Ta có: 3x f  x   x f   x   f  x   3x f  x   x3 f   x   x f  x   x f  x   x3 f   x  f  x  x f  x   0, x   0;     x  x3    x    xdx  x  C  f  x  f  x  Mà f 1  x3  C   f  x  x 2 Ta có: f  x   x3 x4  6x2   f x   0, x   0;      x2   x2  2 Vậy, hàm số f  x   x3 đồng biến khoảng  0;    x2  Mà 1;2   0;    nên hàm số f  x   x3 đồng biến đoạn 1; 2 x2  Suy ra, M  f    ; m  f 1   M  m  3 Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm Câu   (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x x3  4x Hàm số F  x  x  có điểm cực trị? A B C Lời giải D Ta có F   x   f  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489          F  x  x  f x  x x  x   2x  1 x  x e   2x  1 x  x  1 e 2  x  x   4 2  x  x x2  x  x2  x         2x  1 x  x  1 x   x  1 x  x  e   x  x    x  x    x   2; 1; 1 ;0;1   2    F  x  x  có nghiệm đơn nên F x  x có điểm cực trị 1  cos x   sin x  cot x  dx S Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho F  x    sin x tổng   tất nghiệm phương trình F  x   F   khoảng  0;4  Tổng S thuộc khoảng 2 A  6 ;9  B  2 ;4  C  4 ;6  D  0;2  Lời giải Chọn 1  cos x   sin x  cot x  dx  1  cos x  sin x dx  1  cos x  cot x dx  sin x  sin x sin x 1  cos x  cot x dx B  1  cos x  sin x dx A  sin x sin x 2 Ta có: F  x    4 Gọi 4 Ta có: 1  cos x  cot x dx  1  cot x  cot x dx   cot x  cot x d cot x      sin x sin x A  cot x cot x       C1   1  cos x  sin x dx  1  cos x  sin x dx B   cos x sin x   2 2 Đặt t  cos x , suy dt   sin x.dx Khi đó: B   1 t2 t  1 dt    1 t2  t  1  t  1 dt    1  1 1   dt       C2 2    t  1  t  1   t 1 t   1 1       C2  cos x  cos x   Do đó: 1 1   cot x cot x  F  x  A  B     C   cos x  cos x    2  Suy ra: 1 1   cot x cot x    F  x  F       C  C   cos x  cos x    2  2  1   cot x  cot x  cos x  cos x  cos x cos x cos x   0 sin x sin x sin x Với điều kiện sin x  ,  Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 cos x  cos x   *    cos x 2  cos x    1  cos x   cos x 1  cos x   cos x   sin x cos x  cos x    cos x   17  cos x  cos x      3  3 Theo giả thiết x   0;4  nên x  ; x  ; x   2 ; x   2 ; 2 2 x   ; x    2 ; x   ; x    2 Khi tổng nghiệm lớn 9 Câu (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  2cos x  khoảng  0;   Biết giá trị lớn F  x  khoảng  0;   sin x Chọn mệnh đề mệnh đề sau   A F    3  6  2 B F   3      C F     3 Lời giải  5 D F      3  Ta có: 2cos x  cos x dx  2 dx   dx sin x sin x sin x d  sin x   2   dx    cot x  C sin x sin x sin x  f  x  dx   Do F  x  nguyên hàm hàm số f  x   F  x  có cơng thức dạng F  x    2cos x  khoảng  0;   nên hàm số sin x  cot x  C với x   0;   sin x  cot x  C xác định liên tục  0;   sin x 2cos x  F ' x  f  x  sin x 2cos x  1    cos x   x    k 2  k   Xét F '  x    sin x Xét hàm số F  x    Trên khoảng  0;   , phương trình F '  x   có nghiệm x   Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   max F  x   F      C 0;    3 Theo đề ta có,   C   C   cot x  Do đó, F  x    sin x Câu Biết F  x nguyên hàm hàm số f  x  x cos x  sin x Hỏi đồ thị hàm số y  F  x có x2 điểm cực trị khoảng 0; 4  ? A C Lời giải B D Chọn C Ta có F ' x  f  x   F ' x   f  x   x cos x  sin x 0; 4  x2 x cos x  sin x   x cos x  sin x  0; 4  x2 Đặt g  x  x cos x  sin x 0; 4  x    Ta có g ' x  x.sin x    x  2 0; 4    x  3  Từ có bảng biến thiên g  x  : x - g'(x) g(x) x1 π 0 + 2π x2 3π - x3 4π + 4π 2π 0 -π 0 -3π Vì g  x  liên tục đồng biến  ; 2  g  .g  2   nên tồn x1   ; 2  cho g  x1   Tương tự ta có g  x2   , g  x3   với x2   2 ;3  , x3  3 ; 4  Từ bảng biến thiên g  x  ta thấy g  x  x  0; x1  x   x2 ; x3  ; g  x  x   x1 ; x2  x   x3 ;4  Dấu f  x dấu g  x 0;4  Do ta có bảng biến thiên F  x : Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x x2 x1 0 - f(x) + x3 - 4π + CĐ F(x) CT CT Vậy hàm số y  F  x có ba cực trị Câu (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  cos x Hỏi đồ x2 thị hàm số y  F  x  có điểm cực trị? A B C vô số điểm Lời giải D Chọn A Vì  F  x    f  x  nên ta xét đổi dấu hàm số f  x  để tìm cực trị hàm số cho Ta xét hàm số g  x   x  cos x , ta có g   x    sin x  x Vì g  x  hàm số đồng biến toàn trục số     g           Hơn ta có  , g  x   có nghiệm     ;   2 g            Ta có bảng xét dấu Kết luận hàm số cho có cực trị Câu (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f '  x   5;3 hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol y  ax2  bx  c ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Biết f  0  , giá trị f  5  f   A 33 B 109 C 35 D 11 Lời giải Chon C *)Parabol y  ax2  bx  c qua điểm  2;3 , 1;4 ,  0;3 ,  1;0 ,  3;0 nên xác định y  x2  2x  3, x  1 suy f  x    f  0   C1  0, f  x    x3  x  3x  C1 Mà x3  x  3x 22 ; f 2  (1) 3 Có f   1   *)Đồ thị f ' x đoạn  4; 1 qua điểm  4;2 ,  1;0 nên f ' x    2 2  x  x  1  f  x     x   C2 3   Mà f   1    5 2 1 2  x 14  C        2  f  x    x   , hay f  4    3 3 2   *) Đồ thị f ' x đoạn  5; 4 qua điểm  4;2 ,  5; 1 nên f '  x   3x 14  f  x   3x2 14x  C3 2 Mà f  4    4  14 14 82   14  4   C3  suy C  3 Ta có f  x   3x2 82 31 14x   f  5   (2) Từ (1) (2) ta f     f     Câu 31 35  22  3 f  x  x  x x f 1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f   x   A y  16 x  20 B y  16 x  20 C y  16 x  20 D y  16 x  20 Lời giải Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B f  x  f  x  x  x  xf   x   f  x   x3  x x   Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf  x    x3  3x dx  x  x3  C Với x  ta có: f 1   C Theo f 1    C   C  Vậy xf  x   x  x3  f  x   x3  x Ta có: f   x   3x  x ; f     16 ; f    12 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm có hồnh độ x  là: y  16  x    12  y  16 x  20 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25   TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm có điều kiện Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số... https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NGUYÊN HÀM Chuyên đề 25   TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Nguyên hàm có điều kiện Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C số...     (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Giả sử  F  x   ax  bx  c e x  là một? ?nguyên? ?hàm? ?của? ?hàm? ? số  f  x   x 2e x Tính? ?tích  P  abc   A    B   C 5   x Câu 80 Họ? ?nguyên? ?hàm? ?của? ?hàm? ?số