NBV ôn THI THPTQG2021 chuyên đề 13 tỉ số THỂ TÍCH

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 TỈ SỐ THỂ TÍCH Chuyên đề 13 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò  Vmíi B Cắt đáy Vcị Giao cị IA   Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao khơng đổi) S Vcị  đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Cơng thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Công thức áp dụng cho hình chóp tam giác, nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt Nếu  A1 B1C1 D1    ABCD  VS A1 B1C1 D1 SA1 SB1 SC1 SD1  k3     k SA SB SC SD VS ABCD Kết trường hợp đáy n − giác Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V thể tích khối lăng trụ, V  thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5  V V   Ví dụ: V A ' B ' BC  V 2V ; VA' B ' ABC  3 B Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2  Khi M  A ', N  C AM CN  1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V thể tích khối hộp, V  thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  (hai đường chéo hai mặt phẳng song song)  V  (trường hợp lại)  V V V V , V A'C' D' D  B Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM   x xy  DD ' V   V2  BP  y  BB ' Ví dụ: VA ' C ' BD  Dạng Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P trung điểm SA, SB, SC Tỉ số thể tích VS ABC VS MNP Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 12 Câu B C (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung điểm cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích A Câu B C VMNPQ D 16 B C D Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC Tính tỉ số thể tích khối chóp S MNP S ABC A Câu VMIJK (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD Gọi A , B , C  , D theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S ABC D S ABCD A Câu D B C 16 D (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABC tích V Gọi B, C trung điểm AB, AC Tính theo V thể tích khối chóp S ABC  A V B V C V 12 D V Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C D Câu Cho hình chóp S ABC , tia SA , SB , SC lấy điểm A ' , B ' , C ' Gọi V1 , V2 thể tích khối chóp S ABC S A ' B ' C ' Khẳng định sau đúng? A V1 SA SB ' SC V SB SC V SA SB B  C   V2 SA ' SB SC ' V2 SB ' SC ' V2 SA ' SB ' D V1 SA SB SC  V2 SA ' SB ' SC ' Câu (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC tích 5a Trên cạnh SB , SC lấy điểm M N cho SM  3MB , SN  NC (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích V khối chóp AMNCB 3 A V  a B V  a C V  a D V  2a3 Câu Nếu hình chóp tứ giác có chiều cao cạnh đáy tăng lên lần thể tích tăng lên lần? A lần B lần C lần D lần Câu 10 Trên ba cạnh OA, OB, OC khối chóp O ABC lấy điểm A, B, C  cho 2OA  OA, 4OB  OB 3OC   OC Tỉ số thể tích hai khối chóp O ABC  O ABC A 12 B 24 C 32 Câu 11 Cho khối chóp SAB.C , M trung điểm SA Tỉ số thể tích A B C D 16 VM ABC VS ABC D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 12 (THPT Hoa Lư A - 2018) Cho khối tứ diện ABCD tích V điểm E cạnh AB cho AE  3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V V V V V A B C D Câu 13 (Chuyên Vinh - 2018) Cho khối chóp S ABCD tích V Các điểm A , B , C  tương ứng trung điểm cạnh SA , SB , SC Thể tích khối chóp S ABC  V V V V A B C D 16 Câu 14 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên cạnh AB , AC lần a 2a lượt lấy điểm B ', C ' cho AB '  , AC '  Tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D khối tứ diện ABCD 1 1 A B C D Dạng Tỉ số khối lăng trụ Câu Câu (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC.ABC tích V Tính thể tích khối đa diện BAAC C 3V 2V V V A B C D 4 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho lăng trụ ABC ABC  , M trung điểm CC Mặt phẳng  ABM  chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A B V1 V2 C D Câu Khối lăng trụ ABC ABC  tích Mặt phẳng  ABC   chia khối lăng trụ thành Câu khối chóp tam giác khối chóp tứ giác tích A B C D Cho khối lăng trụ tam giác ABC AB C  tích V Gọi M trung điểm cạnh CC  Mặt phẳng  MAB  chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k  Tìm k ? A B C D Câu (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác tích Nếu gấp đôi cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ hai lần khối lăng trụ tích là: A B C 16 D Câu Biết khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Nếu tăng cạnh hình hộp lên gấp hai lần thể tích khối hộp là: A 8V B 4V C 2V D 16V Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có M trung điểm AA Tỉ số thể tích Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ VM ABC VABC ABC  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Câu 1 1 A B C D 12 (HKI-NK HCM-2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC tích V Gọi M trung điểm cạnh AA Khi thể tích khối chóp M BCCB V 2V V V A B C D 3 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ ABC ABC Biết diện tích mặt bên  ABBA 15, khoảng cách từ điểm C đến  ABBA Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A 30 Câu 10 B 45 C 60 D 90 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích V Tính thể tích khối đa diện ABCBC V V 3V 2V A B C D 4 Câu 11 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có I giao điểm AC BD Gọi V1 V2 thể tích khối ABCD A ' B ' C ' D ' I A ' B ' C ' Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 C V1 V2 V1  V2 D V1  V2 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 13 TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcị  Vmíi B Cắt đáy Vcị Giao cị IA   Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao khơng đổi) S Vcị  đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Cơng thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Cơng thức áp dụng cho hình chóp tam giác, nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS A1B1C1D1 SA SB SC SD Nếu  A1 B1C1 D1    ABCD      k  k3 SA SB SC SD VS ABCD Kết trường hợp đáy n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V thể tích khối lăng trụ, V  thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5  V V   Ví dụ: V A ' B ' BC  V 2V ; VA' B ' ABC  3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2  Khi M  A ', N  C AM CN  1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V thể tích khối hộp, V  thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  (hai đường chéo hai mặt phẳng song song)  V  (trường hợp lại)  V V V V , V A'C ' D' D  B Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) Ví dụ: VA ' C ' BD  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 DM   x xy  DD ' V   V2  BP  y  BB ' Dạng Tỉ số thể tích khối chóp – khối lăng trụ Câu (HSG 12-Sở Nam Định-2019) Cho tứ diện ABCD tích V với M , N trung điểm AB, CD Gọi V1 , V2 thể tích MNBC MNDA Tính tỉ lệ A Câu B C V1  V2 V D (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi V M N trung điểm cạnh SA, SC , mặt phẳng ( BMN ) cắt cạnh SD P Tỉ số SBMPN VSABCD : V A SBMPN  VSABCD 16 B VSBMPN  VSABCD C VSBMPN  VSABCD 12 D VSBMPN  VSABCD Câu Cho tứ diện ABCD Gọi B , C  trung điểm AB CD Khi tỷ số thể tích khối đa diện ABC D khối tứ diện ABCD 1 1 A B C D Câu Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành Gọi M , N trung điểm SA, SC Mặt phẳng ( BMN ) cắt SD P Tỉ số A Câu VS BMPN  VS ABCD 16 B VS BMPN bằng: VS ABCD VS BMPN  VS ABCD C VS BMPN  VS ABCD 12 D VS BMPN  VS ABCD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K , M trung điểm đoạn thẳng SA , SB , ( ) mặt phẳng qua K song song với AC AM Mặt phẳng ( ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A V1  V2 25 B V1  V2 11 V1 V2 C V1  V2 17 D V1  V2 23 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng  P  qua A vng góc với SC cắt SB , SC , SD B , C , D  Biết C  trung điểm SC Gọi V1 , V2 thể tích hai khối chóp S ABC D S ABCD Tính tỷ số A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1 V2 V1  V2 Câu Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B , C , D theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D  S ABCD 1 1 A B C D 16 Câu (Chun Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình SM hành, cạnh SA lấy điểm M đặt  x Giá trị x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp SA cho thành hai phần tích là: A x  Câu B x  1 C x  D x  1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng  MNI  chia khối chọp S ABCD IA lần phần cịn lại Tính tỉ số k  ? 13 IS C D thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích A B   90o ,  ASC  120o Mặt phẳng Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có SA  6, SB  2, SC  4, AB  10, SBC  P qua B trung điểm N SC đồng thời vng góc với  SAC  cắt SA M Tính tỉ số thể tích k  A k  Câu 11 VS BMN VS ABC B k  C k  D k  (Đề tham khảo 2017) Cho khối tứ diện tích V Gọi V  thể tích khối đa diện V có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho, tính tỉ số V V V V V     A B C D V V V V Câu 12 Cho tứ diện ABCD , cạnh BC, BD, AC lấy điểm M , N , P cho BN , AC  AP Mặt phẳng  MNP  chia khối tứ diện ABCD thành hai khối V đa diện tích V1 , V2 , khối đa diện chứa cạnh CD tích V2 Tính tỉ số V2 BC  3BM , BD  A V1 26  V2 19 B V1 26  V2 13 C V1 15  V2 19 D V1  V2 19 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   BC  AB  BC  SB Ta có:    BC  SA  SBC   ( ABCD)  BC       SBC  ;  ABCD    AB; SB  SBA BC  AB Như vậy    BC  SB      SA a  6  AB  a   AB AB Gọi  I là trung điểm CD , trọng tâm  G  của tam giác  SCD , G thuộc  SI   Trong tam giác  SAB vuông tại A ,  tan   1 1 a a a3 Có  VS OCI  SA.SOIC  SA .IO.IC  a    3 2 24 Khi đó:  VSOGC SG 2 a a3    VSOGC  VSOIC   VSOIC SI 3 24 36 Câu 34 Cho  khối  hộp  ABCD ABC D   có  thể  tích  V   Lấy  điểm  M   thuộc  cạnh  AA   sao  cho  MA  MA  Thể tích của khối chóp  M ABC bằng    V V V V A.    B.    C.    D.    18 Lời giải  Chọn B   Thể tích hình hộp là  V  B h   Gọi diện tích tam giác  ABC là  B  , ta có:  B  B   Gọi  AH là đường cao hạ từ  A  xuống mặt phẳng đáy:  AH   ABCD   tại  H , đặt  h  AH  Dựng  MK MA 2    gt   h  h   AH AA 3 1 V Gọi  V là thể tích hình chóp  M ABC , ta có:  V   B h  B h  B h    3 9 MK   ABCD   tại  K , ta có  MK // AH và có tỉ số  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 35 Cho hình  lăng  trụ ABC A ' B ' C ' có  thể  tích  là  V Gọi  M là  trung điểm  BB ' ,  điểm  N thuộc  cạnh  CC ' sao cho  CN  2C ' N  Tính thể tích khối chóp  A.BCMN  theo  V 7V 7V V 5V A.  VA BCMN  B.  VA BCMN  C.  VA BCMN  D.  VA.BCMN  12 18 18 Lời giải Chọn B Cách 1:   1 Ta có:  VB ' BAC  d ( B ', ( ABC )).SABC  V   3 V BM 1 1 V Theo cơng thức tỷ số thể tích: B.MAC      VB MAC  VB B ' AC  V    VB B ' AC BB ' 2 Ta có:  BB '  BM  3 NC     BM  NC   BM d (C , BB ') SBMC      SNMC NC.d ( M , CC ') S BCNM V 7          A BCNM    SBMC 3 VA BMC 7 V 7V Vậy:  VA BCNM  VA.BMC     3 18 Cách 2:   Gọi  h, k  lần lượt là độ dài đường cao của hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' và hình chóp  A.BCMN , S là  diện tích tam giác  ABC   Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  h  độ dài đường cao của hình chóp  M ABC  là:   h hS  (1).  VMABC  S  h hS Mặt khác:  VMABC  S  k SBCM     k SBCM    3 4 Ta có  SMNC  SBCM  (vì 2 tam giác  MNC  và  BCM  có cùng chiều cao và  CN  BM ).  3 1 4 hS 2hS VAMNC  k SMNC  k SBCM  k SBCM   (2).  3 9 hS 2hS hS 7V Từ (1) và (2) ta có: VA BCMN  VMABC  VAMNC     18 18 Câu 36     (Chuyên  Quang  Trung  -  2018)   CSA   60,   Cho  khối  chóp  S ABC   có   ASB  BSC SA  a,   SB  2a,   SC  4a  Tính thể tích khối chóp  S ABC  theo  a   A.  8a   B.  2a   4a   Lời giải C.  D.  a3    SM  SB  Lấy  M  SB, N  SC  thoả mãn:  SM  SN  SA  a      SN   SC   CSA   600    S AMN  là khối tứ diện đều cạnh  a   Theo giả thiết:   ASB  BSC Do đó:  VS AMN  Mặt khác :  a3   12 VS AMN SM SN 1 2a     VS ABC  8VS AMN    VS ABC SB SC   CSA   60   và  Câu 37  (Chuyên  Lê  Hồng  Phong  2018)  Cho  khối  chóp  S.ABC   có  góc   ASB  BSC SA  ,  SB  ,  SC   Thể tích khối chóp  S ABC   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A.  2   B.    D.    C.    Lời giải  S C A O M B C B   Gọi  B  trên  SB  sao cho  SB  SB  và  C   trên  SC  sao cho  SC   SC   Khi đó  SA  SB  SC   S ABC   là khối tứ diện đều.  Ta có:  AM  2     AO  AM  3 Nên  SO  SA2  AO   và  S ABC    2 Khi đó  VS ABC   S ABC  SO    3 V SA SB SC Mà ta lại có:  S ABC    VS ABC  3VS ABC   2   VS ABC  SA SB SC  Cách khác: SA.SB.SC   cos CSB   2cos   cosCSB  2 2  VS ABC   cos  ASB  cos BSC ASB.cos.BSC Câu 38  (Chun Bắc Ninh - 2018) Cho khối tứ diện  ABCD  có thể tích  2017  Gọi  M ,  N ,  P ,  Q  lần  lượt là trọng tâm của các tam giác  ABC ,  ABD ,  ACD ,  BCD  Tính theo  V  thể tích của khối tứ  diện  MNPQ   A.  2017   B.  4034   81 8068   27 Lời giải C.  D.  2017   27 A N P M B D F E Q C G   Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  VAEFG S EFG 1      VAEFG  VABCD   VABCD S BCD 4 ( Do  E , F , G  lần lượt là trung điểm của  BC, BD, CD  ).  VAMNP SM SN SP 8    VAMNP  VAEFG  VABCD  VABCD   27 27 27 VAEFG SE SE SG 27 Do mặt phẳng   MNP  //  BCD   nên  VQMNP VAMNP  1  VQMNP  VAMNP   2 2017 VQMNP  VABCD  VABCD    27 27 27 Câu 39  (Chuyên  Hùng  Vương  -  Phú  Thọ  -  2018)  Cho  hình  chóp  S ABCD   có  đáy  ABCD   là  hình  vng cạnh  a ,  SA  a  và  SA  vng góc với đáy. Gọi  M  là trung điểm  SB ,  N  là điểm thuộc  cạnh  SD  sao cho  SN  ND  Tính thể tích  V  của khối tứ diện  ACMN   1 1 A.  V  a3   B.  V  a   C.  V  a3   D.  V  a3   12 36 Lời giải a3 Cách 1. Ta có  VS ABCD  SA.S ABCD    3 1   a3 VNDAC  NH S DAC  a  a     3   18 1 a   a3 VMABC  MK S ABC   a     3   12 a3 d  A,  SMN   S SMN    18 1  a  a3 Suy ra  VNSAM  NL.S SAM  a  a     3  2  18 1 a3 Mặt khác  VC SMN  d  C ,  SMN   S SMN  d  A,  SMN   S SMN    3 18 Vậy  VACMN  VS ABCD  VNSAM  VNADC  VMABC a3 a a3 a a 3  VSCMN         a   18 18 12 18 12 S M L A N B O K H D C   Cách 2. Gọi  O  là giao điểm của  AC và  BD   a3 Ta có  VS ABCD  SA.S ABCD   Vì  OM //SD  nên  SD //  AMC    3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Do đó  d  N ;  AMC    d  D;  AMC    d  B;  AMC     a3  VACMN  VN MAC  VD.MAC  VB.MAC  VM BAC  VS ABCD    12 1 (do  d  M ;  ABC    d  S ;  ABC   và  SABC  S ABCD  )  2 Câu 40 (Chun Quốc Học Huế - 2018) Cho hình chóp  S ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Cạnh bên  SA  vng góc với mặt đáy và  SA  2a  Gọi  B; D lần lượt là hình chiếu vng góc của  A  trên  các  cạnh  SB, SD   Mặt  phẳng   ABD    cắt  cạnh  SC   tại  C    Tính  thể  tích  của  khối  chóp  S ABC D A.  a3   B.  16a   45 a3   Lời giải  C.  D.  2a     Ta có  VS ABC D  2VS ABC  V SB SC  *   1  mà  SABC  VSABC SB SC  SAC  vuông tại  A  nên  SC  SA2  AC   2a   a   6a  suy ra  SC  a   Ta có  BC   SAB   BC  AB  và  SB  AB  suy ra  AB   SBC   nên  AB  BC   Tương tự  AD  SC  Từ đó suy ra  SC   ABD    ABC D   nên  SC  AC    Mà  SC .SC  SA2  suy ra  SC  SA2 4a 2     Ta cũng có  SC SC 6a SB SA2 SA2 4a       2 SB SB SA  AB 4a  a VSABC  8 8   suy ra  VSABC   VSABC  VSABCD  VSABCD  mà  Từ  *  VSABC 15 15 15 30 2a VSABCD  S ABCD SA    3 2a 8a Suy ra  VSABC      30 45 Từ  1  suy ra  VS ABC D  2VS ABC   16a   45 Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu 41  (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện đều  ABCD  có cạnh bằng   Trên các cạnh  AB  và  CD        lần  lượt  lấy  các  điểm  M   và  N   sao  cho  MA  MB    và  NC  2 ND   Mặt  phẳng   P    chứa  MN  và song song với  AC  chia khối tứ diện  ABCD  thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện  chứa đỉnh  A  có thể tích là  V  Tính  V   A.  V    18 B.  V  11   216 C.  V    216 D.  V    108 Lời giải Từ  N  kẻ  NP //AC ,  N  AD   M  kẻ  MQ //AC ,  Q  BC  Mặt phẳng   P   là  MPNQ   AH S ABCD    12  VAMPC  VMQNC  VMPNC   Ta có  VABCD  V  VACMPNQ AM AP VABCD  VABCD  VABCD   AB AD 3 1 CQ CN 11  VAQNC  VABCD  VABCD  VABCD   2 CB CD 22 2 2 AM 11  VMPCD  VMACD  VABCD  VABCD  VABCD   3 3 AB 32 Ta có  VAMPC  VMQNC VMPNC 11 11 1 1 Vậy  V     VABCD  V  VABCD    18 216 3 9 Câu 42  (Chun Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình chóp tứ giác  S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích  bằng  V  Lấy điểm  B  , D lần lượt là trung điểm của cạnh  SB và  SD  Mặt phẳng qua   ABD cắt  cạnh  SC tại  C  Khi đó thể tích khối chóp  S ABCD bằng  A.  V   B.  2V   V3   Lời giải C.  D.  V     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Gọi  O  là giao điểm của hai đường chéo  AC  và  BD  thì  SO  BD  H  Khi đó  H  là trung điểm  của  SO  và  C  AH  SO   Trong mặt phẳng   SAC  : Ta kẻ   d  //AC  và  AC   cắt   d   tại  K  Khi đó áp dụng tính đồng dạng  OH OA SK SK SC  SC     SK  OA   ;        SH SK AC AC CC  SC V SA SB SD 1 V  VS ABCD   nên ta có  S ABD      VS ABD  V và  VS ABD SA SB SD 2 của các tam giác ta có:  Vì  VS ABD  VS BCD VS BC D SB SC  SD SC  SC  V       VS BC D     VS BCD SB SC SD SC SC SC  V V  SC   V Suy ra  VS ABC D  VS ABD  VS BC D  V    1      SC 8  SC  Câu 43  (Tốn Học Tuổi Trẻ - 2018) Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh  a ,  SA   vng góc với đáy,  SA  a  Một mặt phẳng đi qua  A  vng góc với  SC  cắt  SB ,  SD ,  SC  lần  lượt tại  B ,  D ,  C   Thể tích khối chóp  S ABC D  là:  A.  V  2a 3   B.  V  2a   C.  V  a3   D.  V  2a 3   Lời giải S C' D' B' D A O B C   a Ta có:  VS ABCD  a a    3 Ta có  AD   SDC   AD  SD ;  AB   SBC   AB  SB   Do  SC   ABD   SC  AC    Tam giác  S AC  vuông cân tại  A  nên  C   là trung điểm của  SC   SB SA2 2a 2      SB SB 3a  SB SC  SD SC   SB SC  1          SB SC SD SC  SB SC 3 Trong tam giác vng  SAB  ta có  VSABC D VS ABCD  VS ABC   VS AC D VS ABCD Vậy  VSABC D  a3   Câu 44  (Chun Thái Bình - 2018) Cho khối tứ diện đều  ABCD  có thể tích là  V  Gọi  M ,  N ,  P ,  Q   lần lượt là trung điểm của  AC ,  AD ,  BD ,  BC  Thể tích khối chóp  AMNPQ  là A.  V   B.  V   C.  V   D.  V   Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021  Lời giải  Ta có  VAMNPQ  2VAPMQ (do  MNPQ  là hình thoi),  AB // MQ  VAPMQ Mặt  khác  do  P   là  trung  điểm  của  BD   nên  d  P,  ABC       VBPMQ   d  D,  ABC   ,  đồng  thời  1 1 S ABC    VBPMQ  d  P,  ABC   S BQM  d  D,  ABC   S ABC   1 V V  d  D,  ABC   S ABC   VAMNPQ    8 Câu 45  (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình đa diện như hình vẽ S BQM    CSD   DSA   BSD   60  Thể tích khối  Biết  SA  ,  SB  ,  SC  ,  SD   và   ASB  BSC đa diện  S ABCD  là  A.    C.  30   D.  10   Lời giải Trên  SA ,  SB ,  SC   lần  lượt  lấy  các  điểm  A ,  B ,  C    sao  cho  SA  SB  SC   SD    Ta  có  AB  BC   C D  DA   Khi đó hình chóp  S ABD  và hình chóp  S CBD  là các hình chóp  tam giác đều có tất cả các cạnh bằng    VS ABD  VS C BD  B.    23 2    12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Mặt khác  VS ABD SA SB SD 2 9       , nên  VS ABD  VS ABD    VS ABD SA SB SD 2 VS CBD SC SB SD 2    , nên  VS CBD  3VS C BD   2   VS CBD SC  SB SD Thể tích khối đa diện  S ABCD là  V  VS ABD  VS CBD   2      Câu 46  (THPT  Thạch  Thanh  2  -  Thanh  Hóa  2018)  Cho  hình  chóp  S ABCD   có  đáy  ABCD   là  hình  vng cạnh  a ,  SA  a  và  SA  vng góc với đáy. Gọi  M  là trung điểm  SB ,  N thuộc cạnh  SD   sao cho  SN  ND  Tính thể tích  V  của khối tứ diện  ACMN   1 1 A.  V  a3   B.  V  a3   C.  V  a3   D.  V  a   36 12 Lời giải  Cách 1: Phân rã hình:  a3 Thể tích khối chóp  S ABCD  là:  V   a    3   Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2 1 Thể tích tứ diện  SMNC  là:  VSMNC   VS BDC    V  V   3 2 1 Thể tích tứ diện  NACD  là:  VNADC   V  V   1 Thể tích tứ diện  MABC  là:  VMABC   V  V   2 2 1 Thể tích tứ diện  SAMN  là:  VSAMN   VS BDC    V  V   3 2 Mặt khác ta có:  VSMNC  VNACD  VMABC  VSAMN  VAMNC  VS ABCD   1  a3 1 Suy ra  VAMNC  V  VSMNC  VNACD  VMABC  VSAMN   V   V  V  V  V   V    6  12 6 Câu 47  (THPT Thạch Thanh 2 - Thanh Hóa - 2018) Cho khối hộp chữ nhật  ABCD ABC D  có thể  tích bằng  2110  Biết  AM  MA ,  DN  ND ,  CP  2C P  như hình vẽ. Mặt phẳng   MNP   chia  khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng    5275 A.    8440 B.    7385 C.    18 Lời giải  D.  5275   12   Gọi  Q  là giao điểm của mặt phẳng   MNP   với  BB   AM C P DN BQ  x ,   y ,   z ,   t  Khi đó  x  y  z  t   AA CC  DD BB VABD.MQN x  z  t VABD.MQN x z t       VABD ABD VABC D ABCD Giả sử  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  VC BD.PQN VC BD.CBD   VC BD.PQN y z t y z t      VABC D ABCD VMNPQ ADC B VABCD ADC B   x  y   VMNPQ ADC B  AM C P   1           VABCD ADC B  AA CC     12 5275  VMNPQ ADC B  VABCD ADC B    12 Câu 48  (Chuyên  Thăng  Long -  Đà  Lạt  -  2018)  Cho  hình  chóp  S ABCD   có  đáy  ABCD   là  hình bình  hành có thể tích bằng  V  Gọi  E  là điểm trên cạnh  SC  sao cho  EC  ES  Gọi     là mặt phẳng  chứa  AE  và song song với  BD ,     cắt  SB, SD  lần lượt tại hai điểm  M , N  Tính theo  V  thể  tích của khối chóp  S AMEN   3V V A.    B.    C.  3V   16 D.  V   Lời giải  Gọi  G  là giao điểm của  AE  và  SO   Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác  SOC  ta có:  AC GO ES GO 1 1  AO GS EC GS SG SM SN       SO SB SD V V V 1 1 1 Ta có:  S AMEN  S AME  S AEN      V 2VS ABC 2VS ACD 2 2  Vậy  VS AMEN  V   Câu 49  (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật  ABCD ABC D   có thể tích  bằng  2110  Biết  AM  MA ;  DN  3ND ;  CP  PC   Mặt phẳng   MNP   chia khối hộp đã cho  thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng  Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  D A C B N P M C D A.  7385   18 B 8440 C.    Lời giải A 5275 B.    12 D A D.  5275   C B N P M Q D Ta có:  VMNPQ ABC D VABCD ABC D Vnho  VMNPQ ABC D  C B A  AM C P   1              AA C C    12 5 5275 VABCD ABC D   2110    12 12 Câu 50  (Chuyên  Bắc  Ninh  -  2018)  Cho  khối  lăng  trụ  ABC ABC   có  thể  tích  bằng  2018.  Gọi  M là  trung điểm  AA ; N , P  lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh  BB ,  CC   sao cho  BN  2BN ,  CP  3C P  Tính thể tích khối đa diện  ABC.MNP   32288 40360 4036 23207 A.    B.    C.    D.    27 27 18 Lời giải   VABC MNP  AM BN CP  23 23207     Ta có   Vậy  VABC MNP     18 VABC ABC   AA BB CC   36 Câu 51  (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hình lăng trụ  ABC ABC   có thể tích bằng  6a  Các  AM BN CP  ,      điểm  M ,  N ,  P   lần  lượt  thuộc  các  cạnh  AA ,  BB ,  CC    sao  cho  AA BB CC  Tính thể tích  V   của đa diện  ABC.MNP   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A.  V   11 a   27 B.  V   a   16 C.  V   11 a   D.  V   11 a   18 Lời giải   Lấy điểm  Q  AA  sao cho  PQ //AC   Ta có  MQ  AQ  AM  AA   Dễ thấy  VABC MNP  VABC ABC ,  VM QNP  VABC ABC    12 11 11 Vậy  V   VABC MNP  VM QNP  V  a   18     BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/   ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!                               Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021                          Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63 ... BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V thể tích khối lăng trụ, V  thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 thể tích khối chóp tạo thành từ... diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích. .. diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích