Tổng hợp mặt cầu oxyz có giải chi tiết

Page : The Spiciness of MATH tổng hợp Link page: https://www.facebook.com/ThespicinessofMATH/ Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1; 3 hai điểm M , B thỏa mãn    2 4MAMA  MB.MB  Giả sử điểm M thay đổi mặt cầu x  1  y  1  z  3  Khi điểm B thay đổi mặt cầu có phương trình là: A S1  : x  1  y  1  z  3  B S  : x  1  y  1  z  3  C S  : x  2  y    z  6  D S  : x  2  y    z  6  2 2 2 2 2 2 Lời giải      Từ 4MAMA  MB.MB  ta suy MA chiều với MB Hơn nữa:        4MA.MA  MB.MB   4MA.MA  MB.MB  4MA.MA  MB.MB  4MA2  MB Vậy M          điểm thoả 2MA  MB , suy ra: MA  MA  MB   MA  BA  suy A trung điểm MB Vì điểm M thay đổi mặt cầu S  : x  1  y  1  z  3  có tâm điểm A 1; 1; 3 nên 2 MB đường kính mặt cầu S  , M thay đổi S  điểm B thay đổi mặt cầu Do ta chọn đáp án A Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P  : x  2y  2z   Trong P  lấy điểm M   xác định điểm N thuộc đường thẳng OM cho ON OM  Mệnh đề sau đúng?    1 1 1 A Điểm N thuộc mặt cầu suy có phương trình x    y    z          2    1 1 1 B Điểm N ln thuộc mặt cầu có phương trình x    y    z    12      16  2 C Điểm N thuộc mặt phẳng có phương trình x  2y  2z   D Điểm N thuộc mặt phẳng có phương trình x  2y  2z   Lời giải   Vì O , M , N thẳng hàng OM ON  nên OM ON      Từ OM ON  suy OM  ON ON Fb admin : https://www.facebook.com/CayM1999 Page : The Spiciness of MATH tổng hợp Link page: https://www.facebook.com/ThespicinessofMATH/  a b c  ; ; Gọi N a;b; c  , M   a  b  c a  b  c a  b  c  Vì M  P  nên a 2b 2c   6  2 2 a b c a b c a  b2  c2    a b c 1 1 1  a  b  c      a    b    c       3 12  6 6 16    2 2 2 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1,0,0, B 0,2,0 , C 0,0,3 Tập hợp điểm M  x ; y ; z  thỏa MA  MB  MC mặt cầu có bán kính A R  B R  C R  2 D R  Lời giải Ta có MA2  MB  MC   x 1  y  z  x   y  2  z  x  y   z  3 2  x  y  z  x  y  z  12    x  1   y  2   z  3  2 2 Suy tập hợp điểm M  x , y, z  thỏa mãn mặt cầu có bán kính R  Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;0;0  B 5;0;0 Gọi  H  tập hợp điểm M   không gian thỏa mãn MA.MB  Khẳng định sau đúng? A  H  đường tròn có bán kính B  H  đường tròn có bán kính C  H  mặt cầu có bán kính D  H  mặt cầu có bán kính Lời giải   I 3;0;0 Gọi I trung điểm AB       IA   IB   Fb admin : https://www.facebook.com/CayM1999 Page : The Spiciness of MATH tổng hợp Link page: https://www.facebook.com/ThespicinessofMATH/           Ta có MA.MB   MI  IA MI  IB   MI  IA MI  IA           MI  IA   MI  IA    MI   MI  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;0;0 , B 0;4;0, C 0;0;6 , điểm M thay đổi mặt phẳng  ABC , N điểm tia OM cho OM ON  12 Biết M thay đổi điểm N ln nằm mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu A B C D Lời giải Phương trình mặt phẳng  ABC  : x  y  z  12 Giả sử N  x; y ; z   ON  x  y  z Vì N điểm tia OM thỏa OM ON  12 suy      12  ON OM  12  OM ON  12ON  OM  ON ON   12 x 12 y 12 z  M  ; ;   x  y  z x  y  z x  y  z  Vì M   ABC   6.12 x 3.12 y 2.12 z    12 2 2 x y z x  y z x  y2  z 2  3 49   x  3   y     z 1   2 2 Vậy N thuộc mặt cầu cố định bán kính R  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P  : x  y  z   hai điểm A 1;1;1 , B 3; 3; 3 Mặt cầu S  qua hai điểm A, B tiếp xúc với P  điểm C Biết C thuộc đường tròn cố định Tính bán kính đường tròn A R  B R  C R  33 D R  Lời giải Fb admin : https://www.facebook.com/CayM1999 11 Page : The Spiciness of MATH tổng hợp Link page: https://www.facebook.com/ThespicinessofMATH/   x t   Phương trình đường thẳng AB  y  t   z t    Giao điểm AB P  I 3; 3; 3 Suy IA  IB  Vì mặt cầu S  tiếp xúc với mặt phẳng P  C nên IC tiếp tuyến mặt cầu S  Do IA.IB  IC  IC  IA.IB  Vậy C ln thuộc đường tròn cố định nằm mặt phẳng P  với tâm I 3; 3; 3 , bán kính Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm   : 2x  2y  z  12  Điểm M di động Biết M ln thuộc đường tròn A 4 B A 10; 6; 2   cho , B 5;10; 9 MA , MB tạo với C D 10 A B H M K Gọi H , K hình chiếu vng góc A, B mặt phẳng   , đó:     BK  d B;    2.10  2.6  2  12 22  22  12 2.5  2.10  9  12 22  22  12   góc   cố định Hồnh độ tâm đường tròn   Lời giải AH  d A;   mặt phẳng  6;  Fb admin : https://www.facebook.com/CayM1999 Page : The Spiciness of MATH tổng hợp Link page: https://www.facebook.com/ThespicinessofMATH/   Vì MA , MB với   góc nên AMH  BMK Từ AH  2BK suy MA  2MB Gọi M x ; y; z  , ta có: MA  2MB  MA2  4MB 2 2 2 2   x  10  y  6  z  2  x  5  y  10  z  9     x  y2  z  20 68 68 x y z  228  3 10 34 34  Như vậy, điểm M nằm mặt cầu S  có tâm I  ; ;   bán kính R  10 Do đó, đường tròn  3   giao mặt cầu S  mặt phẳng   , nên tâm J đường tròn D hình chiếu vng góc I mặt phẳng    x  10  2t   34 Phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng   y   2t   34 z   t    10  x  2t x       y  10 34    y  2t  Tọa độ điểm J nghiệm x ; y; z  hệ phương trình:   z  12    34   z   t   t      2x  2y  z  12     Vậy Câu J  2;10; 12 Trong không P  : 1  m  x gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm  A  4;  2; mặt phẳng  1  m  y  1  3m  z  2  8m   Khi m thay đổi, biết tập hợp hình chiếu A mặt phẳng P  đường tròn, đường kính đường tròn A  B C D Lời giải Fb admin : https://www.facebook.com/CayM1999 Page : The Spiciness of MATH tổng hợp Link page: https://www.facebook.com/ThespicinessofMATH/   x 1   Phương trình đường thẳng AB  y    z  1  4t    Giao điểm AB P  I 1;2; 3 Suy IA  IB  Vì mặt cầu S  tiếp xúc với mặt phẳng P  C nên IC tiếp tuyến mặt cầu S  Do IA.IB  IC  IC  IA.IB  2 Vậy C thuộc đường tròn cố định nằm mặt phẳng P  với tâm I 1;2; 3 , bán kính       Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 3; 0; , B 1; 2;1 C 2;  1; Biết mặt phẳng qua B   , C tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có vectơ pháp tuyến 10 ; a ; b Tổng a  b A 2 B C D 1 Lời giải Chọn B   Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC I x ; y ; z Ta có phương trình mặt phẳng OBC  x  z  Phương trình mặt phẳng ABC  5x  3y  4z  15  Tâm I cách hai mặt phẳng OBC  ABC  suy x z  5x  3y  4z  15 y  3z     10x  3y  z  15   0  3.0  50  3.0  5  Vì    10.3  3.0   1510.0  3.0   15        suy hai điểm A O nằm phía  nằm khác phía   suy loại  nhận mặt phẳng   Fb admin : https://www.facebook.com/CayM1999 Page : The Spiciness of MATH tổng hợp Link page: https://www.facebook.com/ThespicinessofMATH/     Mặt phẳng   10x  3y  z  15  thỏa mãn qua B 1; 2;1 C 2;  1; có vectơ pháp tuyến   10; 3;1 suy a  , b  1 Vậy a  b  Câu 11 Trong không gian Oxyz cho điểm A 1; ;  , B  0; 2;  , C  0; 0;3 Viết phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC ? A  x  3   y  3   z  3  2 B  x     y     z    2 2 1  1  1  C  x     y     z    3  3  3  2 2 3  3  3  D  x     y     z    2  2  2  Lời giải Phương trình mặt phẳng  ABC  x  y  z   Phương trình mặt phẳng  OAB  z  Phương trình mặt phẳng  OBC  x  Phương trình mặt phẳng  OAC  y  Gọi I  a ; b ; c  tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC suy khoảng cách từ I đến mặt phẳng kể R , tức 6a  3b  2c   a  b  c R Vì I  a ; b ; c  tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có tọa độ đỉnh khơng âm nên ta có a  ; b  ; c0  11a  abcR 3 11a     a a  R     11a   a a  R     3 Vậy có hai mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt tứ diện OABC , mặt cầu có bán kính nhỏ nội tiếp tứ diện, mặt cầu bán kính lớn bàng tiếp tứ diện suy loại R  2 1  1  1  Vậy phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC lả  x     y     z    3  3  3  Fb admin : https://www.facebook.com/CayM1999 Page : The Spiciness of MATH tổng hợp Link page: https://www.facebook.com/ThespicinessofMATH/ Câu 12 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  0; 3;  , B 1;0;0  , C 1;1;1 Biết mặt phẳng qua B , C tâm mặt cầu   nội tiếp tứ diện OABC có vectơ pháp tuyến 2; a ; b Tổng a2  b2 A 26 B 26  22 C 26  22 D 22 Lời giải Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC I  x ; y ; z  Ta có phương trình  OBC   y  z  Phương trình mặt phẳng  ABC  3x  y  z   Tâm I cách hai mặt phẳng  OBC   ABC  suy y  z  3x  y  z  11          3 x  11  y   11 z    3 x  11  y   11 z        Nhận thấy hai điểm A O nằm phía với   nên loại   hai điểm A O nằm khác phía    nên nhận      Thấy vectơ pháp tuyến 2; 11  2;   11 suy a  11  , b    11 Vậy a  b  26  22 Câu 13 Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A  0; 0;  , B  3;0;0  , C 1; 2;1 , D  2; 1;  Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Lập phương trình đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng  ICD  ? A  d  : x  y 1 z    10 B  d  : x  y 1 z    10 13 C  d  : x  y 1 z    10 1 D  d  : x  y 1 z    10 3 Lời giải Phương trình mặt phẳng  ACD  x  z  Phương trình mặt phẳng  BCD  x  y  z  15  Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC I  x ; y ; z  suy I cách mặt phẳng  ACD   BCD  tức Fb admin : https://www.facebook.com/CayM1999 Page : The Spiciness of MATH tổng hợp x z  Link page: https://www.facebook.com/ThespicinessofMATH/ 5x  3y  4z  15 y  3z     10x  3y  z  15  1 2   0  3.0  50  3.0  5  Vì   10.3  3.0   1510.0  3.0   15     suy A , B nằm phía mặt phẳng 1  nằm khác phía mặt phẳng       Mặt phẳng 10x  3y  z  15    thỏa mãn qua C 1; ;1 D ;  1; suy phương trình mặt phẳng  ICD  10 x  y  z  15   Phương trình đường thẳng cần tìm qua D  2; 1;  có a d  10; 3;  1 nên  d  có phương trình x  y 1 z    10 1 Fb admin : https://www.facebook.com/CayM1999 ... Vậy có hai mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt tứ diện OABC , mặt cầu có bán kính nhỏ nội tiếp tứ diện, mặt cầu bán kính lớn bàng tiếp tứ diện suy loại R  2 1  1  1  Vậy phương trình mặt cầu. .. MA.MB  Khẳng định sau đúng? A  H  đường tròn có bán kính B  H  đường tròn có bán kính C  H  mặt cầu có bán kính D  H  mặt cầu có bán kính Lời giải   I 3;0;0 Gọi I trung điểm AB  ... tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 3; 0; , B 1; 2;1 C 2;  1; Biết mặt phẳng qua B   , C tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có vectơ pháp tuyến 10 ; a ; b Tổng a  b A 2 B C D 1 Lời giải Chọn