9 ôn tập chương 3 hình học tiết 1

CHUN ĐỀ GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN BÀI 16 ƠN TẬP CHƯƠNG III (TIẾT 1) Bài Cho nửa đường tròn (O, R), đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Tiếp tuyến nửa đường tròn M cắt Ax, By C, D MA cắt OC E, MB cắt OD F a) Chứng minh rằng: Tứ giác OEMF hình chữ nhật b) Chứng minh rằng: AC, BD không đổi c) Cho BD = R Tính AM Giải a) Ta có: CM, CA tiếp tuyến đường tròn (O) (gt) => CM = CA Mà OM = OA (t/c tiếp tuyến cắt nhau) (= R) => OC trung trực AM (dấu hiệu nhận biết trung trực đoạn thẳng) => OC ⊥ AM => 𝑂𝐸𝑀 = 900 Chứng minh tương tự: 𝑂𝐹𝑀 = 900 Xét đường tròn (O) có: 𝐴𝑀𝐵 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét tứ giác OEMF có: 𝐸𝑀𝐹 = 900 (cmt) 𝑂𝐸𝑀 = 900 (cmt) 𝑂𝐹𝑀 = 900 (cmt) => Tứ giác OEMF hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! b) Ta có: 𝐶𝑂𝐷 = 900 (tứ giác OEMF hình chữ nhật) => ∆ COD vuông O Mà OM ⊥ CD (CD tiếp tuyến đường tròn (O) ) => CM.MD = MO2 (hệ thức lượng tam giác vuông) Mà CM = CA ; MD = BD (cmt) MO = R => CA BD = R2 không đổi c) ∆ OBD vuông B BF ⊥ OD =>  𝐵𝐹 𝐵𝐹 = =  BF2 =  BF = (cmt) 𝐵𝑂 𝑅2 + + (hệ thức lượng tam giác vuông) 𝐵𝐷 = 3𝑅 3𝑅 3𝑅 𝑅 => MB = 2BF = 𝑅 ∆ MAB vuông M (F trung điểm MB) (𝐴𝑀𝐵 = 900 ) => AM2 + MB2 = AB2 (Định lý Py-ta-go)  AM2 = (2R)2 – (𝑅 3)2 = R2  AM = R Vậy AM = R Bài Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kẻ đường kính AA’ Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh rằng: tứ giác BCEF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: H, I, A’ thẳng hàng c) Chứng minh rằng: DH DA = DB DC d) Cho B, C cố định, A di động cung lớn BC Tìm vị trí A để SAEF max Giải Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! a) Ta có: 𝐵𝐹𝐶 = 900 (CF ⊥ AB) 𝐵𝐸𝐶 = 900 (BE ⊥ AC) => 𝐵𝐹𝐶 = 𝐵𝐸𝐶 (= 900 ) Xét tứ giác BFEC có: 𝐵𝐹𝐶 = 𝐵𝐸𝐶 (cmt) Mà F, E đỉnh kề => Tứ giác BFEC tứ giác nội tiếp b) Xét đường tròn (O) có: 𝐴𝐶𝐴′ = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => A’C ⊥ AC Mà BH ⊥ AC (gt) => BH // A’C Chứng minh tương tự: CH // A’B Xét tứ giác BHCA’ có: CH // A’B (cmt) BH // A’C (cmt) => Tứ giác BHCA’ hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) => BC, HA’ cắt trung điểm Mà I trung điểm BC => I trung điểm HA’ => H, I, A’ thẳng hàng c) Ta có: 𝐷𝐴𝐶 + 𝐴𝐶𝐷 = 900 (∆ ADC vuông D) 𝐸𝐵𝐶 + 𝐸𝐶𝐵 = 900 (∆ BEC vuông E) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! => 𝐷𝐴𝐶 = 𝐷𝐵𝐻 (cùng phụ 𝐴𝐶𝐵 ) Xét ∆ DBH ∆ DAC có: 𝐵𝐷𝐻 = 𝐴𝐷𝐶 = 900 𝐷𝐵𝐻 = 𝐷𝐴𝐶 (cmt) => ∆ DBH ∽ ∆ DAC => 𝐷𝐵 𝐷𝐴 𝐷𝐻 = (g.g) (định nghĩa tam giác đồng dạng) 𝐷𝐶 => DA DH = DB DC (đpcm) d) Ta có: 𝐵𝐶𝐸 + 𝐵𝐹𝐸 = 1800 Mà 𝐴𝐹𝐸 + 𝐵𝐹𝐸 = 1800 (tứ giác BFEC tứ giác nội tiếp) (2 góc kề bù) => 𝐴𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵 Xét ∆ AEF ∆ ABC có: 𝐵𝐴𝐶 chung 𝐴𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵 (cmt) => ∆ AEF ∽ ∆ ABC (g.g) => 𝑆𝐴𝐸𝐹 𝐴𝐸 = ( )2 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵  𝑆𝐴𝐸𝐹 = ( 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐸 ) 𝐴𝐵 𝑆𝐴𝐵𝐶 = cos2A 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝐵𝐶 không đổi => cos2 A không đổi 𝑆𝐴𝐸𝐹 max  𝑆𝐴𝐵𝐶 lớn 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 𝐵𝐶 Mà BC không đổi SABC max  AD max  A điểm cung BC Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! ... (hệ thức lượng tam giác vuông)