Tìm để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt sao cho là bốn đỉnh của hình bình hành.. Xác định tọa độ đỉnh , biết đỉnh nằm trên đường thẳng có phương trình.. Cho tam giác có và
Trang 1KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 HÀ NAM
NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 10 TIME: 180 PHÚT
Câu 1 (5.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng cho parabol , đường thẳng
( là tham số thực) và hai điểm , Tìm để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt sao cho là bốn đỉnh của hình bình hành
2 Cho các số thực thỏa mãn: Gọi là giá trị lớn nhất và là giá trị
Câu 2 (5.0 điểm)
Câu 3 (2.0 điểm)
Trong mặt phẳng , cho tam giác cân tại Gọi là điểm trên cạnh sao cho
và là hình chiếu vuông góc của trên Điểm là trung điểm Xác định tọa độ đỉnh , biết đỉnh nằm trên đường thẳng có phương trình
Câu 4 (6.0 điểm)
1 Cho tam giác đều có cạnh bằng Lấy các điểm lần lượt trên các cạnh
2 Cho tam giác có và lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp, nội tiếp tam giác thoả mãn Chứng mình tam giác là tam giác đều
3 Cho tứ giác lồi có và nội tiếp đường tròn tâm bán kính Đặt diện
Câu 5 (2.0 điểm) Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng
Trang 2Trang 3
-Hết -PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Thực hiện lời giải và sưu tầm bởi tập thể tổ 16 Strong team Toán VD-VDC
Câu 1.1 Trong mặt phẳng cho parabol , đường thằng
( là tham số thực) và hai điểm , Tìm để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt sao cho là bốn đỉnh của hình bình hành
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Khoa ; Fb: Khoa Nguyen
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :
Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt
(giả sử )
Bốn điểm là bốn đỉnh của hình bình hành xảy ra các trường hợp sau:
Kết hợp với định lý Vi-et ta có hệ:
thành hình bình hành
Trang 4Khi đó, là trung điểm của cũng là trung điểm của nên
(loại)
Câu 1.2. Cho các số thực thỏa mãn: Gọi là giá trị lớn nhất và là giá trị
Lời giải
Tác giả: Lâm Thanh Bình; Fb: Lâm Thanh Bình
Đặt , ta có
với
Trang 5Ta có .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Nghĩa; Fb: Thu Nghia
Ta có
TH1:
TH2:
Trang 6Giải ta được
Giải
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Câu 2.2 Giải hệ phương trình
Lời giải
Tác giả:Hoàng Ngọc Huệ ; Fb: Hoàng Ngọc Huệ.
Điều kiện:
. Giải phương trình (*):
Trang 7(**)
Dễ thấy vế trái của phương trình (**) luôn âm với mọi
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Bổ sung: Để đánh giá (*) vô nghiệm cũng có thể xét riêng
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Câu 3 Trong mặt phẳng , cho tam giác cân tại Gọi là điểm trên cạnh sao cho
và là hình chiếu vuông góc của trên Điểm là trung điểm Xác định tọa độ đỉnh , biết đỉnh nằm trên đường thẳng có phương trình
Lời giải
Tác giả: Dương Nguyễn, Hạnh Bích; Fb: Dương Nguyễn, Hạnh Bích
Gọi là trung điểm của
Gọi là giao điểm của với đường thẳng qua và song song với
là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có đường kính là và
Ta có là đường trung bình của tam giác song song với
nằm trên đường tròn đường kính nằm trên
Trang 8Vì
Câu 4.1 Cho tam giác đều có cạnh bằng Lấy các điểm lần lượt trên các cạnh
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn
Ta có
Khi đó
Suy ra
Câu 4.2. Cho tam giác có và lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp, nội tiếp tam giác thoả mãn Chứng mình tam giác là tam giác đều
Lời giải
Tác giả: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu; Fb: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu
Ta có:
Trang 9O A
B
C D
c d
Do đó:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Câu 4.3 Cho tứ giác lồi có và nội tiếp đường tròn tâm bán kính Đặt diện
Lời giải
Tác giả: Khổng Vũ Chiến ; Fb: Vũ Chiến
Ta có :
Trang 10Câu 5.Cho các số thực dương , , thỏa mãn Chứng minh rằng
Lời giải
Cách 1: Tác giả: Trương Văn Tâm; Fb: Văn Tâm Trương
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
Trong đó
Lúc đó, với mọi ta có
Trang 11Dấu bằng xảy ra khi , suy ra
Cách 2: Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có