Tổ 16 đ2 HSG toan 10 nam 2018 2019 sở hà nam ban chuan

TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 HÀ NAM NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 10 TIME: 180 PHÚT Câu (5.0 điểm) Oxy Trong mặt phẳng ( d) : x − y + m = ( m Tìm A ( − 1; − 1) , tham số thực) hai điểm ( d) để đường thẳng A, B , M , N cho m ( P ) : y = x2 + mx + 3m − , đường thẳng cho parabol ( P) cắt parabol B ( 2;2 ) M,N hai điểm phân biệt bốn đỉnh hình bình hành x, y Cho số thực ( x + y ) = + xy Gọi thỏa mãn: m giá trị nhỏ biểu thức Câu (5.0 điểm) ( x + 1) Giải phương trình M giá trị lớn P = ( x + y ) + x y Tính M + m x − x + 25 = 23x − 13  x3 − y + x + x − y + =  ( x + 1) y + + ( x + 6) y + = x − x + 12 y Giải hệ phương trình Câu (2.0 điểm) Oxy , cho tam giác Trong mặt phẳng điểm cạnh B C , biết đỉnh AB cho CD Điểm B AB = AD ABC A(− 1;3) Gọi cân  3 M  ;− ÷  2  trung điểm nằm đường thẳng có phương trình H D hình chiếu vng góc HC Xác định tọa độ đỉnh x+ y+ = Câu (6.0 điểm) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC ABC Cho tam giác M , N, P 15 Lấy điểm có cạnh BC , CA, AB lượt cạnh Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 BM = 5, CM = 10, AP = cho lần Chứng minh AM ⊥ PN ABC Cho tam giác BC = a, CA = b, AB = c có ABC kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác tam giác ABC bán a + b3 + c 2r + =4 Chứng abc R tam giác Cho tứ giác lồi kính thoả mãn R, r ABCD R = Đặt diện AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Tính giá trị biểu thức tích T= Câu (2.0 điểm) Cho số thực dương AC ⊥ BD có tứ O bán nội tiếp đường tròn tâm ABCD giác S ( ab + cd ) ( ad + bc ) S a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a2 b2 c2 a + b2 + c + + ≤ 2a + 2b + 2c + a + b2 + c + -Hết - Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT Thực lời giải sưu tầm tập thể tổ 16 Strong team Toán VDVDC Oxy Câu 1.1 Trong mặt phẳng ( d) : x − y + m = m ( B ( 2;2 ) Tìm m M,N điểm phân biệt ( P ) : y = x + mx + 3m − , đường thằng cho parabol A ( − 1; − 1) , tham số thực) hai điểm ( d) để đường thẳng A, B , M , N cho ( P) cắt parabol hai bốn đỉnh hình bình hành Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Khoa ; Fb: Khoa Nguyen ( P) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ⇔ x + ( m − 1) x + 2m − ( 1) x + mx + 3m − = x + m ⊕ ( d) Đường thẳng ⇔ ( 1) ( d) x1 , x2 sau: ⊕ hai điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt m < ⇔ m − 10m + > ⇔  m > ⇔ ∆ = ( m − 1) − ( 2m − ) > với ( P) cắt parabol Khi đó, ( d) : cắt ( P) hai điểm M ( x1 ; x1 + m ) , ( 1) x1 < x2 ) nghiệm Bốn điểm A, B , M , N (giả sử N ( x2 ; x2 + m ) bốn đỉnh hình bình hành xảy trường hợp Trường hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành ABNM uuur uuuur ⇒ AB = MN ⇔ = x2 − x1 Kết hợp với định lý Vi-et ta có hệ: 2+m   x1 = −  x1 + x2 = − m  4−m    x1 x2 = 2m − ⇔  x2 = x − x =    x1 x2 = 2m −   Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC − Suy m = 2+m 4−m = 2m − ⇔ m − 10m = ⇔  2  m = 10 ( 1) m = 0, Với (loại) ABNM thỏa mãn  x = −1  M ( −1; − 1) ≡ A x2 − x − = ⇔  ⇒ x =   N ( 2;2 ) ≡ B trở thành: ( 1) m = 10 , Với Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019  x = −6  M ( −6;4 ) x + x + 18 = ⇔  ⇒ x = −   N ( −3;7 ) trở thành: tạo thành hình bình hành ANBM Trường hợp 2: Bốn điểm lập thành hình bình hành  1 I ; ÷  2  trung điểm Khi đó, AB nên  x1 + x2  = ⇔m=0  x + x + m  = (loại)  2 Vậy m = 10 x, y Câu 1.2 Cho số thực m lớn ( x + y ) = + xy Gọi thỏa mãn: MN trung điểm giá trị nhỏ biểu thức M giá trị P = ( x + y ) + x y Tính M + m Lời giải Tác giả: Lâm Thanh Bình; Fb: Lâm Thanh Bình P = ( x + y ) + x y =  ( x + y ) − x y  + x y   = 7( x + y P=− Đặt ) 2 2  + xy  2 2 − 10 x y =  ÷ − 10 x y = ( x y + xy + 1) − 10 x y   2 33 2 7 x y + xy + 4 t = xy , ta có Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 1 + xy = ( x + y ) ≥ xy ⇔ xy ≤ ⇔ t ≤ 3 1 2  ( x + y ) − xy  = + xy ⇔ ( x + y ) = + xy ≥ ⇔ xy ≥ − ⇔ t ≥ −   5 P=− M= 70 33 xảy  xy =  33   x + y = 20  33 Ta có m= Ta có 33 7 t + t+ 4 18 25 xảy  xy = −    x2 + y2 =   1 t ∈ − ;   3 với t= 33 hay    x =     y =   ⇔    x =      y =   t=− xy = 33 Khi x2 + y2 = 20 33 Khi x2 + y2 = 34 + 33 11 34 − 33 11 34 − 33 11 34 + 33 11 hay xy = −   x =     y = −  ⇔   x = −    y =   Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Vậy M +m= Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 2344 825 ( x + 1) Câu 2.1 Giải phương trình x − x + 25 = 23x − 13 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thu Nghĩa; Fb: Thu Nghia Ta có ( x + 1) x − x + 25 = 23x − 13 ⇔ ( x + 1)  x − x + 25 − ( x + 3)  + x − 18 x + 16 = ( 1)   −3  x≤  ⇔   x − x + 25 = − x − x − x + 25 + ( x + 3) = TH1: (PTVN) x − x + 25 + ( x + 3) ≠ TH2: ( 1) ⇔ ( x + 1) ( 2x − 18 x + 16 ) x − x + 25 + ( x + 3) + x − 18 x + 16 =   x+1 ⇔ ( x − 18 x + 16 )  + 1 =  x − x + 25 + ( x + 3)   x − 18 x + 16 = ( 1)  x +1 ⇔ +1=  x − x + 25 + ( x + 3)  Giải ( 1) Giải ( 2) ⇔ ta ( 2) x=1 x =  x − x + 25 = − 3x − −4  x≤  ⇔ ⇔ x = −5 − 3x + 30 x − =  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 Vậy tập nghiệm phương trình cho { S = 1; 8; − − } Câu 2.2 Giải hệ phương trình  x3 − y + x + x − y + =  ( x + 1) y + + ( x + 6) y + = x − x + 12 y Lời giải Tác giả:Hoàng Ngọc Huệ ; Fb: Hoàng Ngọc Huệ y ≥ − Điều kiện: x3 − y + 3x + x − y + = ⇔ ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y + y Ta có f (t ) đồng biến nên Thế có f ′ (t ) = 3t + > 0, ∀ t ∈ ¡ f (t ) = t + 3t , Xét hàm số x + = y Do x + 1= y ¡ (1) Do hàm số Mà phương trình (1) có dạng y ≥ − nên vào phương trình f ( x + 1) = f ( y ) x ≥ −2 ( x + 1) y + + ( x + 6) y + = x − x + 12 y ta ( x + 1) x + + ( x + 6) x + = x + x + 12 ⇔ ( x + 1)( x + − 2) + ( x + 6)( x + − 3) = x + x −  x = 2(TM ) ( x + 1)( x − 2) ( x + 6)( x − 2) ⇔ + = ( x − 2)( x + 4) ⇔  x + x+6  + = x + (*) x+2 +2 x+7 +3 x+7 +3  x + + Giải phương trình (*): x +1 x+6 2( x + 2) 2( x + 6) + = x+4⇔ − ( x + 2) − + − ( x + 6) = x+2 +2 x+7 +3 x+2 +2 x+2 +2 x+7 +3  − x+   − x + − 1 ⇔ ( x + 2)  − + ( x + 6) ÷÷  ÷÷ = x + + x + + x + + (**)     Dễ thấy vế trái phương trình (**) ln âm với Vậy hệ phương trình có nghiệm x ≥ −2 ( x; y ) = (2;3) Bổ sung: Để đánh giá (*) vơ nghiệm có thể xét riêng Trường hợp 1: x ≥ − ⇒ VT < x+1 x+ + = x+ < x+ 2 Trường hợp 2: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 x +1 x+6 − x+2+2 x+7 +3 x+6   2x  x +1  x+6 = − +  + ÷− > ÷  x+ + 3  x+ +  − > x ≥ − ⇒ VP − VT = ( x + ) − Oxy , cho tam giác Câu Trong mặt phẳng AB điểm cạnh B C, tọa độ đỉnh ABC cân AB = AD cho A(− 1;3) Gọi D H hình chiếu vng góc CD Điểm  3 M  ;− ÷  2  trung điểm biết đỉnh B HC Xác định nằm đường thẳng có phương trình x+ y+ = Lời giải Tác giả: Dương Nguyễn, Hạnh Bích; Fb: Dương Nguyễn, Hạnh Bích Gọi F trung điểm Gọi E giao điểm BC CD với đường thẳng qua A song song với BC ⇒ AEBF hình chữ nhật AB kính ⇒ AEBF nội tiếp đường tròn EF MF đường trung bình tam giác Ta có BH BHC ⇒ MF song song với · ⇒ EMF = 900 ⇒ E , M , F nằm đường tròn đường kính EF ⇒ A, E, B, F , M nằm đường tròn Vì (T ) có đường (T ) ⇒ ·AMB = 900 ⇒ AM ⊥ BM B ∈ ( d ) : x + y + = ⇒ B (b; − − b) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 uuuur uuuur AM ⊥ BM ⇒ AM BM = ⇒ b = − ⇒ B(− 4; − 3) Vì D Do ⇒ Do nằm cạnh AB x + y + = ⇒ C ( c; − − c ) CD là: Phương trình đường thẳng c = −7 C (−7;6) 2 AB = AC ⇒ ( c + 1) + ( −4 − c ) = 45 ⇒  ⇒ c = C (2; −3) ABC Câu 4.1 Cho tam giác lượt cạnh uuur uuur AB = AD ⇒ AB = AD ⇒ D(− 2;1) 15 Lấy điểm có cạnh BC , CA, AB M , N, P lần BM = 5, CM = 10, AP = Chứng minh cho AM ⊥ PN Lời giải Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn uuur r uuur r AB = b, AC = c Đặt Ta có Khi uuur r r BC = c − b rr r r 225 b.c = b c cos600 = uuuur uuur uuuur uuur uuur r r r AM = AB + BM = AB + BC = b + (c − b) = 3 1r c+ 2r b uuur uuur uuur r r PN = AN − AP = c − b 15 Khi uuuur uuur  r r   r r  AM PN =  c + b ÷  c − b ÷ =  3   15  Suy AM ⊥ PN r2 r 2 r r   c − b + b.c =  − + ÷.225 = 45 15  45 15  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC ABC Câu 4.2 Cho tam giác kính đường tròn Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 BC = a, CA = b, AB = c có ngoại tiếp, nội tiếp tam a + b + c 2r + =4 Chứng tam giác abc R bán ABC giác ABC R, r thoả mãn tam giác Lời giải Tác giả: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu; Fb: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu Ta có: S= ⇒ Do đó: abc abc r abc r = pr ⇒ S = p ⇒ p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = p 4R R R 2r ( a − b + c ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) = R abc a + b3 + c 2r + =4 abc R ⇔ a3 + b3 + c3 + ( a − b + c ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) = 4abc ⇔ a3 + b3 + c3 +  a − ( b − c )  ( b + c − a ) = 4abc   ⇔ a + b3 + c3 +  − a3 + a ( b + c ) − ( b − c ) ( b − c ) + a ( b − c )  = 4abc   ⇔ a 2b + ab2 + b 2c + bc + c a + a 2c = 6abc (*) a 2b + ab + b 2c + bc + c 2a + a 2c ≥ 6abc Áp dụng bất đẳng thức Cachy, ta có: a = b = c Dấu xảy Ta có: Câu 4.3 (*) ⇔ a = b = c ⇔ ∆ ABC Cho tứ giác lồi kính tam giác (Đpcm) AC ⊥ BD ABCD có R = Đặt diện tích AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Tính giá trị biểu thức T= tứ O nội tiếp đường tròn tâm giác ABCD S ( ab + cd ) ( ad + bc ) S Lời giải Tác giả: Khổng Vũ Chiến ; Fb: Vũ Chiến Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! bán Trang 10 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 D c d O C A a b B S ABC = Ta có : Tương tự ta có : T= S 4R a.b AC ⇒ ab = ABC 4R AC cd = S ADC 4R AC , ad = S ABD R BD , bc = S BCD R BD ( ab + cd ) ( ad + bc ) S  S ABC R S ADC R  S ABD R S BCD R  + +  ÷ ÷ AC AC  BD BD   = S S S S S S S S  S  ABC ABD + ABC BCD + ADC ABD + ADC BCD ÷ AC BD AC BD AC BD AC BD  =  S = ( S ABC S ABD + S ABC S BCD + S ADC S ABD + S ADC S BCD ) S AC.BD = [ S ABC S + S ADC S ] 4S ( S ABC + S ADC ) 4S S = = =2 S AC.BD S AC.BD S 2S  S ABC ( S ABD + S BCD ) + S ADC ( S ABD + S BCD )  =  S AC.BD Vậy T = Câu Cho số thực dương minh a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng a2 b2 c2 a + b2 + c + + ≤ 2a + 2b + 2c + a + b2 + c + Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 11 TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 Lời giải Cách 1: Tác giả: Trương Văn Tâm; Fb: Văn Tâm Trương Bất đẳng thức cho tương đương với a + b2 + c a2 b2 c2 − − − ≥0 2 2a + 2b + 2c + a + b + c + 14444444244444443 VT Trong a2 a2 a2 3 a + 1+ a 2a − =− ≥− = − a a = − a a.1.1 ≥ − a =− − 2a + a + a + 3 a.a.1 3 3 9 − Tương tự ta có VT ≥ Suy Đặt b2 b 2b ≥− − 2b + 9 a2 + b2 + c2 c2 c 2c ≥− − 2c + 9 2 2 ( a +b +c ) − a + b2 + c2 + − t = a + b + c + Ta có Lúc đó, với − t ∈  3; 15   2 ( a + b + c) =3 a + b + c ≥ ⇒ t ∈ 3; 15   a + b + c ≤ a + b + c = ( )  ta có t2 − 2 t − t 9t − 54 − t ( − t )  t ( t − ) − 18 VT ≥ − ( t − 6) − = − = = ≥0 t t 9t 9t Dấu xảy t = , suy a = b = c = Cách 2: Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung Ta có Tương tự có Suy a a2 a a2 a2 a a2 − = = ⇔ = − 2a + 2a + 2a + a 2a + 2 2a + a b2 b b2 = − 2b + 2 2b + b c2 c c2 = − 2c + 2 2c + c a2 b2 c2  a2 b2 c2  + + = −  + + ÷ 2a + 2b + 2c + 2  2a + a 2b + b 2c + c  Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 12 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 ( a + b + c) a2 b2 c2 + + ≥ = 2 2a + a 2b + b 2c + c ( a + b + c ) + ( a + b + c ) + a2 b2 c2 9 + + ≤ − 2 = − 2a + 2b + 2c + 2 ( a + b + c ) + ( a + b + c ) + ⇒ a2 + b2 + c2 − ≤ ( a2 + b2 + c2 ) + a + b2 + c + Ta cần chứng minh ( 1) t = a + b + c + Ta có Đặt  2 ( a + b + c) =3 a + b + c ≥  a + b + c = a + b + c − ab + bc + ca ≤ ( ) ( )  t ∈  3; 15  Ta có Suy t2 − t2 − ⇔ + ≥ ( 1) ⇔ − ≤ 2 4t − 18 t t ( 2t − ) 2 t + 81 t4 81 < 2t − = 9t − ≤ −9 = ⇒ ≥ 9 ( 2t − ) 2t Mặt khác, ta có 81 t− + ≥ t 2t Ta cần chứng minh Thật vậy, t ≥ nên  81 t t t t t 81 t 81 t = + ≥  t + = + + + + + ≥ + 5 2t 6 6 2t 2592 2   − ≥ −2  t Suy Dấu 81 t− + ≥ −2= t 2t 2 '' = ' xảy t = , suy a = b = c = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 13