STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC 11 Họ và tên: ………………… ……………………………………………… SBD:………… +¥ un+2 ³ un+1 + un ( un ) n=1 " n = 1, 2,3, 5 Câu Cho dãy số bị chặn thỏa mãn điều kiện , Chứng minh dãy ( un ) Câu có giới hạn hữu hạn ( I) BC , CA, AB D, E , F ∆ABC Cho có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với Đường thẳng qua DE , DF M,N BC DMN A song song cắt Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt ( I) L D NE I MF = K đường tròn điểm khác , A, K , L a) Chứng minh thẳng hàng M,N U ,V DMN EF b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt Chứng UVL DMN minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác Tìm tất đa thức cho với số ngun dương, phương trình có nghiệm ngun Câu Cho Câu : M = { 1; 2; 3; K ; p − 2; p − 1} tập S gọi “tốt” tích tất phần tử khơng nhỏ tích tất p số nguyên tố có dạng phần tử ∆S Câu p M \ S Ký hiệu ∆S 12k + 11 Một tập S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia p −1 M xét tập tốt có chứa phần tử k n Cho đa giác lồi đỉnh Mỗi cạnh đường chéo đa giác tô màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k cho Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – HƯỚNG DẪN GIẢI un+2 ³ +¥ Câu Cho dãy số ( un ) n=1 bị chặn thỏa mãn điều kiện Chứng minh dãy ( un ) , " n = 1, 2,3, có giới hạn hữu hạn Lời giải un+2 ³ +¥ Cho dãy số un+1 + un 5 ( un ) n=1 un+1 + un " n = 1, 2,3, 5 , bị chặn thỏa mãn điều kiện ( un ) Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn 3 un+2 ³ un +1 + un Û un+2 + un+1 ³ un +1 + un " n = 1, 2,3, ( 1) 5 5 Ta có , = un+1 + un " n = 1, 2,3, Đặt , ( 1) ( 2) vn+1 ³ " n = 1, 2,3, Từ ta có , +¥ ( un ) n=1 un £ M " n = 1, 2,3, M bị chặn nên tồn số cho , Vì dãy số £ M + M = M " n = 1, 2,3, ( 3) 5 suy , ( 2) ( 3) ( ) ( ) Từ ta thấy dãy không giảm bị chặn Do đó, dãy dãy hội tụ Đặt lim = a b= a Ta chứng minh lim un = b e " e> " n ³ n0 Thật vậy, nên nhỏ tùy ý, cho , 3 8b e un+1 - b - un - b < ( un+1 - b) + ( un - b) = un+1 + un < 5 5 Mặt khác , e un+1 - b < un - b + " n ³ n0 5 nên ta có , e un0 +1 - b < un0 - b + 5 Suy ; lim = a $n0 ẻ Ơ * - a < Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – 3÷ e e e ỉư u b + + ÷ un0 +2 - b < un0 +1 - b + < ç ç n ÷ è5 ø 5 5 ỗ ; k k- k- ỉư ỉư ỉư 3÷ 3÷ 3÷ ù ỗ ỗ ỗ un0 +k - b < ỗ ÷ u b + + + + +1ú ÷ ữ ỗ ứ ỗ ứ ỳ ữ ữ ỗ ỗ ç è5 ÷ ø n0 è è 5ê 5 ê ú ë û k ỉư 3÷ k 1- ỗ k ữ ỗ ữ ổử ỗ5 ứ ổử e e ố ữ ữ ỗ ị un0 +k - b < ỗ u b + < u b + ữ ữ ỗ ỗ n n ữ ữ ỗ ỗ5 ứ ố5 ứ ố 1- un - b < e n e> với đủ lớn, tức với đủ lớn nhỏ tùy ý lim un = b Hay ta chứng minh ( un ) Vậy, dãy có giới hạn hữu hạn (đpcm) ( I) BC , CA, AB D, E , F ∆ABC Cho có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với Đường thẳng qua DE , DF M,N BC DMN A song song cắt Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt ( I) L D NE I MF = K đường tròn điểm khác , A, K , L a) Chứng minh thẳng hàng M,N U ,V DMN EF b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt Chứng UVL DMN minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác Lời giải Vậy, ta có Câu : un0 +k - b < e a Chứng minh A, K , L k thẳng hàng Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – ∆MDN K Trước hết ta chứng minh trực tâm ·ANF = FDB · AN P BC Do nên ( I) D, E , F BC , CA, AB BD = BF Do tiếp điểm nên · · · A ⇒ AN = AF ⇒ BDF = BFD ⇒ ·ANF = BFD = ·AFN ⇒ ∆ANF cân AN = AF = AE = AM AM = AE AE = AF Chứng minh tương tự ta có mà nên ⇒ ∆NEM E ∆NFM F vuông ; vuông ⇒ NE ⊥ MD; MF ⊥ ND NE I MF = K ∆MDN K mà suy trực tâm A, K , L Bây ta chứng minh thẳng hàng: DMN T D' D T + Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi điểm đối xứng qua ND ' P KM ND MD ' P KN MD Ta có (vì vng góc với ), (vì vng góc với ) ND ' MK Do hình bình hành Do A trung điểm MN nên A trung điểm KD’ Do D’, A, K thẳng hàng.(1) KF ⊥ DF KE ⊥ DE K + Hơn nữa, (do trực tâm) Suy tứ giác DFKL nội tiếp đường tròn đường kính DK Suy DL vng góc với LK Mặt khác DD’ đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nên DL vng góc với LD’ Do L, K, D’ thẳng hàng (2) A, K , L Từ (1) (2) suy thẳng hàng (đpcm) M,N U ,V DMN EF b Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt Chứng UVL DMN minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ( T ) ( Q ≠ L) LV giao · · (T) MU DMU = DNM M Do tiếp xúc nên (góc tạo tiếp tuyến dây cung) NE ⊥ ME , MF ⊥ NF NMEF MN Do nên nội tiếp đường tròn đường kính · · · EM ⇒ MEU = FNM F (cùng bù ) ·UME = UEM · U ⇒ UM = UE ⇒ ∆UME Nên cân · · » PMU = MLU = MP ⇒ ∆MUP ∆LUM Ta có đồng dạng UE UL ⇒ UM = UP.UL ⇒ UP.UL = UE ⇒ = ⇒ ∆UEP : ∆ULE UP UE (c.g.c) · · · · · · ⇒ UPE = UEL ⇒ 1800 − UPE = 1800 − UEL ⇒ EPL = LEF (3) ·LEF = 1800 − LDF · · · LPN = 1800 − LDN LPND LEFD Lại có (do nội tiếp) (do nội tiếp) nên · · LPN = LEF (3) · · LPN = EPL ⇒ P; E ; N Từ (3) (4) suy thẳng hàng Q; F ; M Chứng minh tương tự ta có thẳng hàng · · MNQP NMQ = NPQ Do nội tiếp nên · · NMEF NMF = NEF Do nội tiếp nên ·NEF = NPQ · ⇒ EF PPQ ⇒ UV PPQ Do ( LQP ) ( LUV ) ( UVL ) ( DMN ) L L Do tiếp xúc với suy tiếp xúc với (đpcm) Tìm tất đa thức cho với số nguyên dương, phương trình có nghiệm ngun Gọi Câu TỔ 12 – P Rõ ràng giao UL deg( P) > Đặt ( T ) ( P ≠ L) deg( P) = m ; Q Lời giải hệ số bậc cao không tổng quát, coi Gọi nghiệm nguyên lớn phương trình Dễ thấy xn = +∞ Hơn nữa, nên xn +1 − xn axnm lim n = ước lim , xn +1 m = xn P ( xn +1 ) − P ( xn ) nên xn +1 − xn = kn , với kn số tự nhiên Suy xn +1 kn = 1+ xn xn Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC ( m ) m −1 Và ( m ) −1 Do thức P ( x) l phải hội tụ đến = a.2l P ( x ) = ax + b Đặt Câu m m kn a.2m.kn = lim = lim = a lim m.kn −n ÷ m a.xn xn ( m.kn − n ) Do đó, dãy TỔ 12 – m phải a ( x2 − x1 ) = Từ thỏa mãn (nguyên) Kéo theo ta suy P ( x) = a ( x + k ) với a = ±1, ±2 a = ±1, ±2 Từ đó, ta tìm tất đa k số nguyên tùy ý M = { 1; 2; 3; K ; p − 2; p − 1} tập S gọi “tốt” tích tất phần tử khơng nhỏ tích tất Cho p số nguyên tố có dạng phần tử ∆S cho p M \ S Ký hiệu ∆S 12k + 11 Một tập S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia xét tập tốt M có chứa Lời giải p +1 p +3 S = ; ; K ; p − 2; p − 1 p −1 phần tử S Trước hết, xét tập rõ ràng tập tốt p −1 p −1 p −1 p −1 ∆ S = ( −1 ) ÷! ÷! − ÷! ≡ −2 = 2a (mod p ) , p −1 a = − ÷! p | a2 − thỏa mãn theo định lý Wilson Ta xét trường hợp: ∆ S = (mod p ) a ≡ (mod p ) - Nếu p +1 p −1 p +1 ≡− (mod p ) a ≡ −1 (mod p ) S, 2 - Nếu tập thay dễ thấy ∆S dấu thay đổi thành Khi đó, hai trường hợp, ta tập ∆ S = (mod p ) tốt có ∆ S = (mod p ) ∆ S = (mod p ) S Ta chứng minh không tồn tốt cho Xét a, a′ S M \S S tập tốt gọi tích phần tử Theo định lý aa′ = ( p − 1)! ≡ −1 (mod p ) Wilson Trang STRONG TEAM TỐN VD-VDC Khi đó, p | a2 + , vơ lý ta biết a2 + khơng có ước ngun tố −3 p ÷ = −1 a − a′ ≡ (mod p ) (2a − 1) ≡ −3 (mod p ) Còn , vơ lý p ≡ 11 (mod 12 ) theo giả thiết Vậy giá trị nhỏ cần tìm n k Cho đa giác lồi đỉnh Mỗi cạnh đường chéo đa giác tô màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k Lời giải kmin ≥ n − k < n −1 Dễ thấy , hiển nhiên có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh tô màu 0,1, , n − n TH1 Nếu số chẵn gọi màu cần tô Ta tô màu sau: Ai Aj i + j ( mod ( n − 1) ) ( ≤ i, j ≤ n − ) Ai An −1 tô màu tô màu 2i ( mod ( n − 1) ) ( ≤ i ≤ n − ) Cách tô màu thỏa mãn đề Thật Ai A j , Ai Ak ( ≤ i, j , k ≤ n − ) j ≡ k ( mod ( n − 1) ) + Nếu tơ màu Vơ lí ! Ai An −1 , Ai Aj ( ≤ i, j ≤ n − ) i ≡ j ( mod ( n − 1) ) + Nếu tơ màu Vơ lí ! Ai An −1 , A j An −1 ( ≤ i, j ≤ n − ) + Nếu màu 2i ≡ j ( mod ( n − 1) ) ⇔ i ≡ j ( mod ( n − 1) ) Vô lí ! Vậy cách thỏa mãn yêu cầu toán kmin = n − Như (1) 0,1, , n − n n −1 TH2: Nếu số lẻ giả sử tơ với màu Khi đó, tất đoạn thẳng có deg Ai = 1, , n − màu xóa hết lại đoạn thẳng có màu Suy dạng Câu a ≡ a ′ (mod p ) TỔ 12 – 4k + n −1 ∑ deg A = nM2 i k ≥ n (Vì tổng số bậc lần số cạnh) Điều vơ lí Do Ai Aj 0,1, , n − k =n n Với ta tô màu sau: Gọi màu cần tơ tơ màu i=0 i + j ( mod n ) i ≡ j ( mod n ) Cách tơ thỏa mãn u cầu tốn Thật Ai A j , Ai Ak tô màu vơ lí Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Như k = n Từ (1) (2) suy TỔ 12 – (2) n − 1 kmin = + Trang