P6 GIẢI VDC hình giải tích trong không gian oxyz (1)

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề GIẢI CHI TIẾT ĐỀ dongpt@c3phuctho.edu.vn Câu 1: Cho đường thẳng ∆: x−1 y z+ = = − hai điểm A(0; − 1;3), B(1; − 2;1) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA2 + 2MB đạt giá trị nhỏ B M (3;1; − 3) C M (− 1; − 1; − 1) A M (1;0; − 2) D M (5;2; − 4) Lờigiải Tácgiả:HồngTiếnĐơng; Fb: HồngTiếnĐơng ChọnC Ta có M ∈ ∆ ⇒ M ( + 2t; t; − − t ) nên ta có MA2 = ( − − 2t ) + ( − − t ) + ( + t ) = 6t + 16t + 27 ; 2 MB = ( − 2t ) + ( − − t ) + ( + t ) = 6t + 10t + 13 Suy MA2 + 2 2 2MB = 18t + 36t + 53 = 18 ( t + 2t + 1) + 35 = 18 ( t + 1) + 35 ≥ 35 nên MA2 + 2MB đạt giá trị nhỏ t = − suy M (− 1; − 1; − 1) Câu 2: x y −1 z + ∆: = = Cho đường thẳng 1 − ba điểm A(1;3; − 2), B(0;4; − 5), C (1;2; − 4) Biết điểm M (a; b; c) thuộc đường thẳng ∆ cho MA2 + MB + 2MC a + b + c bao nhiêu? A B - C đạt giá trị nhỏ Khi đó, tổng D Lờigiải Tácgiả:HồngTiếnĐơng; Fb: HồngTiếnĐơng Chọn B Ta có M ∈ ∆ ⇒ M ( t;1 + t; − − 2t ) nên ta có MA2 = ( − t ) + ( − t ) + ( 2t ) = 6t − 6t + ; 2 MB = ( − t ) + ( − t ) + ( − + 2t ) = 6t − 18t + 18 2 MC = ( − t ) + ( − t ) + ( − + 2t ) = 6t − 12t + ⇒ 2MC = 12t − 24t + 12 2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Suy MA2 + Đề 2 MB + 2MB = 24t − 48t + 35 = 24 ( t − 2t + 1) + 11 = 24 ( t − 1) + 11 ≥ 11 nên MA2 + MB + 2MC đạt giá trị nhỏ t = suy M (1;2; − 4) nên a = 1;b = 2;c = − Khi a + b + c = − dieptuandhsp@gmail.com Câu x y z −1 ∆: = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng − − hai điểm A ( − 1; − 1;6 ) , B ( 2; − 1;0 ) Biết điểm M đạt giá trị nhỏ A Tmin = thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức MA2 + 3MB Tmin Khi đó, Tmin ? B Tmin = 25 C Tmin = 25 D Tmin = 39 Lời giải Tác giả:Diệp Tuân ; Fb:Tuân Diệp Chọn D Đường thẳng ∆ r qua điểm  x = 2t  y = −t  trình tham số:  z = − t Vì M thuộc đường thẳng M o ( 0;0;1) có véc tơ phương u = ( 2; − 1; − 1) nên có phương (t∈¡ ) ∆ nên M ( 2t; − t;1 − t ) 2  ( 2t − ) + ( t − 1) + ( t − 1)  = t + + t − + t + + ( ) ( ) ( ) Ta có MA + 3MB   2 45   = 24t − 24t + 45 =  4t − 4t + ÷ 6  39  2  =  ( 2t − 1) +  = ( 2t − 1) + 39 ≥ 39, ∀ t ∈ ¡ 6  Vậy Câu ( MA2 + 3MB ) = 39 ⇔ t =  −1  M  1; ; ÷ hay  2 x−1 y z + = = Cho đường thẳng −1 1 A ( 1; − 1;0 ) , B ( 0; − 1;2 ) , C ( − 1;1;0 ) Tìm tọa độ điểm uuur uuur uuuur thuộc đường thẳng d cho MA + 2MB − MC đạt giá trị nhỏ d: M 1 4 M  ; ;− ÷ A  3  B M ( 0;1; − 1) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề  5 M  − ; ;− ÷ C  3  D M ( 2; − 1; − ) Lời giải Tác giả:Diệp Tuân ; Fb:Tuân Diệp Chọn A M ( − t; t; − + t ) uuur uuur uuuur Ta có: MA = ( t ; − t − 1;2 − t ) ,2 MB = ( 2t − 2; − 2t − 2;8 − 2t ) , MC = ( t − 2;1 − t;2 − t ) uuur uuur uuuur Do đó: MA + MB − MC = ( 2t ; − 2t − 4;8 − 2t ) Gọi M có tọa độ là: uuur uuur uuuur 224 2 MA + 2MB − MC = 4t + ( 2t + ) + ( 2t − ) = 12t − 16t + 80 ≥ Suy ra: uuur uuur uuuur 42 ⇒ MA + MB − MC ≥ Dấu " = " xảy ⇔ t= 1 4 M  ; ;− ÷ hay  3  nguyenhuusonc3tt1@bacninh.edu.vn Câu x y +1 z −1 ∆: = = Cho đường thẳng − hai điểm A(1;0;1), B(− 1;1;2) Biết điểm M (a; b; c) thuộc A ∆ cho uuur uuur MA − 3MB B đạt giá trị nhỏ Khi đó, tổng − C a + 2b + 4c bao nhiêu? D Lời giải Tác giả:Nguyễn Hữu Sơn; Fb:Son Nguyen Huu Chọn D Do M ∈ ∆ ⇒ M (2t; −1 + t;1 − t ) uuur MA = (1 − 2t;1 − t ; t ) uuur MB = (− − 2t ;2 − t;1 + t ) uuur 3MB = (− − 6t;6 − 3t ;3 + 3t ) uuur uuur MA − 3MB = (4 + 4t; − + 2t; − − 2t ) uuur uuur MA − 3MB = 24t + 24t + 50 = 24(t + )2 + 44 ≥ 44 uuur uuur MA − 3MB đạt giá trị nhỏ 44 t = − Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Khi điểm Câu M 3 M (− 1; − ; ) có tọa độ 2 Cho đường thẳng M A ∆: Đề a + 2b + 4c = − − + = x +1 y −1 z + = = −1 A(1;1;0), B(3; − 1;4), C (− 1;0;1) Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng ∆ cho MA2 − MB + 4MC  1 2 M  − ; ; − ÷ B  3 3 M (0;0;0) C đạt giá trị nhỏ M (− 2;2; − 4)  1  M  − ; − ;0 ÷ D  2  Lời giải Tác giả:Nguyễn Hữu Sơn; Fb:Son Nguyen Huu Chọn B Do M ∈ ∆ ⇒ M (− + t ;1 − t; − + 2t ) uuur MA = (2 − t; t;2 − 2t ) uuur MB = (4 − t; − + t;6 − 2t ) uuuur MC = (− t ; − + t;3 − 2t ) MA2 − MB + 4MC = (2 − t )2 + t + (2 − 2t )2 − 4[(4 - t ) + (t − 2) + (6 − 2t ) ] + [t + (t − 1) + (3 − 2t ) ] = 6t − 12t + − (6t − 36t + 56) + 4(6t − 14t + 10) 7 = 24t − 32t − = 24[(t − ) − ] ≥ − 9 MA − MB + 4MC 2 đạt giá trị nhỏ − t= 1 M (− ; ; − ) Suy điểm 3 tranquocan1980@gmail.com Câu7 Cho đường thẳng uuur uuur uuuur MA + MB − 3MC ∆: x+1 y−1 z+ = = −1 Tìm tọa độ điểm đạt giá trị nhỏ với  3  M  − ; ; −3÷ A  2  M thuộc đường thẳng A ( 2;1; − ) , B ( 6; − 1;1) , C ( 1;1; − ) 1 2 M  ;− ; ÷ B  3 3 C M (− 3;3; − 6) D ∆ cho M (− 1;1; − 2) Lời giải Tác giả:Trần Quốc An; Fb:Tran Quoc An Chọn C Gọi I điểm thỏa mãn uur uur uur r IA + IB − 3IC = ⇒ I ( −5;3; −5 ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Ta có : Đề uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur P = MA + MB − 3MC = MI + IA + MI + IB − 3MI − 3IC = MI = IM M ∈ ∆ ⇒ M ( − + t ;1 − t ; − + 2t ) ⇒ IM = (t + 4)2 + (− t − 2) + (2t + 3) = 6t + 24t + 29 = 6(t + 2) + ≥ Do Câu8 Pmin = t = − ⇒ M (− 3;3; − 6) x y −1 z +1 ∆: = = Cho đường thẳng −1 hai điểm A(1;0; − 1), B (2;1; − 1) Biết điểm đường thẳng ∆ cho nhiêu? A Tmin = uuur uuur T = MA + 2MB B đạt giá trị nhỏ Tmin = C Tmin Tmin = 14 Khi đó, D M Tmin thuộc bao Tmin = Lời giải Tác giả:Trần Quốc An; Fb:Tran Quoc An Chọn C uur uur r 5  IA + IB = ⇒ I  ; ; − 1÷ Gọi I điểm thỏa mãn 3  uuur uuur uuur uur uuur uur uuur P = MA + 2MB = MI + IA + 2MI + IB = 3MI = 3.IM Ta có : M ∈ ∆ ⇒ M ( t ;1 − t ; − + t ) 2 1 26 14  5    14 ⇒ IM =  t − ÷ +  − t + ÷ + t = 3t − 4t + =  t − ÷ + ≥ 3  3   3 Do đó: Pmin = 14 t= Nhận xét : Ở câu 7,8 , ta giải trực tiếp biểu diễn điểm khơng cần tìm tâm tỉ cự hệ điểm lời giải M theo tham số t mà nvanphu1981@gmail.com Phunghang10ph5s@gmail.com Câu Cho mặt phẳng điểm A M ∈ (α ) (α ) : x + y + z + = cho M (1; − 2; − 3) ba điểm 2MA2 + 3MB − 4MC B M (− 3;1; − 4) A(1;2;0), B(2;0; − 1), C (3;1;1) Tìm tọa độ đạt giá trị nhỏ C M (− 3;2; − 5) D M (1; − 3; − 2) Lời giải Tác giả: Phùng Hằng; Fb: Hằng Phùng Chọn C Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC I ( x0 ; y0 ; z0 ) Giả sử điểm thỏa mãn: Đề uur uur uur r IA + 3IB − IC =  ( − x0 ) + ( − x0 ) − ( − x0 ) =  ⇔  ( − y ) + ( − y ) − ( − y0 ) = ⇔  (1)  ( − z0 ) + ( − − z ) − ( − z ) = Ta có: (1)  − x0 − =   − y0 = ⇔ − z − =   x0 = −   y0 = ⇒ I ( − 4;0; − )  z = −7  uuur uuur uuuur2 2MA2 + 3MB − 4MC = 2MA + 3MB − 4MC uuur uur uuur uur uuur uur = MI + IA + MI + IB − MI + IC ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( uuur2 uuur uur uur2 uuur2 uuur uur uur2 uuur2 uuur uur uur = MI + 2.MI IA + IA + MI + 2.MI IB + IB − MI + 2.MI IC + IC uuur uur uur uur = MI + IA + 3IB − IC + 2MI IA + 3IB − IC 2 ( uuur r = MI + IA + 3IB − IC + 2MI 2 ) = MI + 2IA2 + 3IB − 4IC Khi đó, để MA2 + 3MB − MC đạt giá trị nhỏ MI Mà M ∈ (α ) ⇒ M hình chiếu vng góc I lên (α ) Gọi d ) đường thẳng qua có độ dài ngắn r u I vng góc (α ) ⇒ d có VTCP = ( 1;2;2 )  x = −4 + t   y = 2t  Phương trình đường thẳng d :  z = − + 2t ⇒ Do Giả sử tọa độ điểm M ( − + t;2t; − + 2t ) M ∈ (α ) ⇒ ( − + t ) + 2.2t + ( − + 2t ) + = ⇔ 9t − = ⇔ t = ⇒ M ( − 3;2; − 5) Phunghang10ph5s@gmail.com Câu 10 Cho đường thẳng cho A ∆: x+1 y −1 z + = = −1 A(1;1;0), B(3; − 1;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ MA + MB đạt giá trị nhỏ M (− 1;1; − 2) 1  M  ; − ;1÷ B 2   3  M  − ; ; − ÷ C  2  D M (1; − 1;2) Lời giải Tác giả: Phùng Hằng; Fb: Hằng Phùng Chọn D Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ∆: Đề x+1 y −1 z + r = = u −1 có VTCP ( 1; −1;2 ) uuur B (3; − 1;4) ⇒ AB ( 2; −2;4 ) A(1;1;0), Ta có: uuur AB ( 2; − 2;4 ) ⇒ AB // ∆ ⇒ AB r phương với u ( 1; −1;2 ) * Xét mặt phẳng chứa Gọi A′ đồng phẳng AB điểm đối xứng Khi đó, giao điểm (α ) ∆ H 1+ 1− ≠ A(1;1;0) ∉ ∆ (do −1 ) ∆ ∆: A qua ∆ ; ( α ) với (α ) mặt phẳng qua trung điểm A , vng góc với ∆ AA′ r n có VTPT ( 1; −1;2 ) , qua A(1;1;0) , có phương trình: 1( x − 1) − 1( y − 1) + ( z − ) = ⇔ x − y + z = H∈∆: x+1 y −1 z + = = ⇒ Giả sử H ( − + t ;1 − t; − + 2t ) −1 H ∈ ( α ) ⇒ ( − + t ) − ( − t ) + ( − + 2t ) = ⇔ 6t − = ⇔ t = ⇒ H ( 0;0;0 ) H  xH = xA + x A′  AA′ ⇒  yH = y A + y A′ ⇔  2z = z + z trung điểm A A′  H Ta có:  2.0 = + xA′   2.0 = + y A′ ⇔  2.0 = + z A′  MA + MB = MA′ + MB ≥ A′ B ⇒ ( MA + MB ) = A′ B giao điểm  x A′ = −   y A′ = − ⇒ A′ ( − 1; − 1;0 ) z =  A′ A′ B ∆ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! M trùng với Trang Mã đề M0 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề  x = −1 + t′   y = −1 uuur A′ B = ( 4;0;4 ) ⇒ A′ B có VTCP ( 1;0;1) qua A′ ( − 1; − 1;0 ) , có phương trình:  z = t ′  x = −1 + t  ∆ :  y = 1− t  z = − + 2t Mà   −1 + t = −1 + t′  ⇔ 1 − t = −  Giải hệ phương trình:  − + 2t = t ′ t = t′  ⇔ t =  − + 2t = t ′  t′ =  t = ⇒ M ( 1; − 1;2 ) Vậy, để MA + MB đạt giá trị nhỏ lycan0984@gmail.com Câu ∆: 11 Cho đường thẳng thuộc A ∆ x y −1 z +1 = = −1 1 hai điểm A(1;1; − 2), B(− 1;0; − 1) Biết điểm cho biểu thức Tmin = − M ( 1; − 1;2 ) T = MA + MB B Tmin = + đạt giá trị nhỏ C Tmin = − M Tmin Khi tính Tmin D Tmin = + Lời giải Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly Chọn D nên ta có M (− t ; t + 1; t − 1) Lúc Vì điểm M thuộc ∆ T = MA + MB = ( t + 1) + t + ( t + 1) + ( t − 1) + t + ( t + 1) 2 = 3t + 4t + + 3t + 2    ÷  2    =  t + ÷ +  + t +  ÷     ÷÷ ÷ ÷÷    r  2 r  2 r r r r u =  t + ; ÷÷, v =  − t ; ÷÷ T = u + v ≥ u +v  Ta có Đặt  3   ( ) Tứclà T≥ 2  2   ÷ +  + ÷÷ = + 3  3  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề 2 = ⇔ t = −1 + −t t+ Đẳng thức xảy Vậy Tmin = + Câu 12 Cho đường thẳng M (a; b; c) thuộc bằng: A ∆ ∆: x+1 y −1 z + = = −1 hai điểm A(1;1;0), B(− 1;0;1) Biết điểm cho biểu thức B T = MA − MB + 33 C đạt giá trị lớn Khi tổng 8+ 33 D 8+ a− b+ c 33 Lời giải Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: TrầnLêHương Ly Chọn D r C( − 1;1; − 2), u = (1; − 1;2) có vectơ phương ∆ uuur uuur AB = (− 2; − 1;1); AC = (− 2;0; − 2) qua uuur r uuur  AB; u  AC ≠ nên AB;   ∆ Vì điểm M thuộc P = MA − MB = ∆ không đồng phẳng nên ta có ( t − 2) M (− + t ;1 − t ; − + 2t ), t ∈ R Lúc + t + ( 2t − ) − ( − t ) + ( t − 1) + ( 2t − 3) 2 = 6t − 12t + − 6t − 14t + 10   11 P = ( t − 1) + −  t − ÷ +  6 r   r  11  r r r r u =  t − 1; ÷÷, v =  t − ; ÷÷ | u |− |v| ≤ u− v  Đặt   6  Ta có 2    11  P ≤  ÷ +  − ÷ ÷  6  Tức Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề t −1 33 = ⇔ t = 3+ 11 t− Đẳng thức xảy a − b + c = 4t − = + Với ta có hoainlht@gmail.com Hoxuandung1010@gmail.com 33 x y −1 z ∆: = = Câu13 Cho đường thẳng 1 hai điểm A(0;1; − 3), B(− 1;0;2) Biết điểm cho biểu thức A T = MA − MB Tmax = B đạt giá trị lớn Tmax = C Tmax M thuộc ∆ Tmax Khi đó, Tmax bao nhiêu? = 3 D Tmax = Lờigiải Tácgiả: HồXuânDũng;Fb: DũngHồXuân Chọn C uuur Ta có AB = ( − 1; − 1; ) , phương trình đường thẳng AB Xét vị trí tương đối AB ∆ ta có AB cắt ∆  x = −t   y = − t (t ∈ ¡ )   z = − + 5t  1 1 C  − ; ;− ÷  2  uuur  1  uuur uuur AC =  − ; − ; ÷ ⇒ AC = AB ⇒ C Suy trung điểm  2 2 T = MA − MB ≤ AB Dấu “=” xảy M ≡ A Do A M ≡ B Tmax = AB = 27 = 3 Câu 14 Cho mặt phẳng điểm AB ( α ) : x + y + z + = ba điểm A ( 1;2;0 ) , B ( 2;0; − 1) , C ( 3;1;1) Tìm tọa độ M ∈ ( α ) cho 2MA2 + 3MB − 4MC đạt giá trị nhỏ M ( 1; − 2; − 3) B M ( − 3;1; − ) ( − 3;2; − 5) D M ( 1; − 3; − ) C M Lờigiải Tácgiả: HồXuânDũng;Fb: DũngHồXuân Chọn C Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề uuur Ta có K ∈ d ⇒ K ( + 2t , t , + 2t ) ⇒ AK = ( 2t − 1, t − 5, 2t − 1) uur Ta có: ud ( 2;1;2 ) uuur uuur uur ⇒ K 3;1;4 , ( ) AK = ( 1; − 4;1) AK ⊥ d ⇒ AK ud = ⇒ 2(2t − 1) + 1(t − 5) + 2(2t − 1) = ⇔ t = Do AH ⊥ ( P ) , AK ⊥ d , d ⊂ ( P) nên AH ⊥ KH ⇒ AH ≤ AK ⇒ max AH = AK H ≡ K hay AK ⊥ ( P ) ⇒ ( P) qua ⇒ d ( M , ( P)) = uuur K ( 3;1;4 ) nhận AK làm VTPT nên phương trình 11 18 18 Câu 120 Trong không gian với hệ trục toạ độ  x = 1+ t  d : y = t d′:  z = + 2t thẳng ;  với cho mặt phẳng là: x − y + z − = ( P ) : x + y − z + = hai đường  x = − t′   y = + t′  z = − 2t ′ Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song  ( P ) ; cắt d ,  d ′ tạo với d A Oxyz, ( P) góc 30O Tính cosin góc tạo hai đường thẳng B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoa; Fb: Hoa Nguyễn Chọn B Gọi ∆ đường thẳng thỏa mãn YCBT Gọi giao điểm đường thẳng ∆ với hai đường thẳng d, d′ M , N M ( + t , t , + 2t ) , N ( − t ′, + t ′, − 2t ′ ) uuuur ⇒ MN = ( − t ′ − t , 1+t ′ − t , − − 2t ′ − 2t ) uuur uur n = 1;1; − , ( ) u Có ( P ) d (1;1;2) uuuur uuur ∆ //( P) ⇒ MN n( P ) = ⇒ + 2t ′ = ⇔ t ′ = − uuuur ⇒ MN = ( − t , -1 − t , − 2t ) Ta có: uuuur uur  ⇒  MN , ud  = ( − 5, -5, ) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 92 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề uuuur uur  MN , ud    ⇒ = u u u u r u u r 0 MN u d , ∆ = 30 ⇒ sin d , ∆ = sin 30 ( ) ( ) d ⇒ 6t − 18t − 24 = ⇔ t1 = 4, t2 = −1 uuuur uuuuur ⇒ MN1 = ( 0; −5; −5 ) = −5 ( 0;1;1) , MN = ( 5;0;5 ) = ( 1;0;1) ur uur Do VTCP hai đường thẳng ∆ , ∆ cần tìm là: u1 = ( 0;1;1) , u2 = ( 1;0;1) ⇒ sin ( ∆ , ∆ ) nhọn) ur uur  u1 , u2    = ur uur = ⇒ cos ( ∆ , ∆ ) = ( góc hai đường thẳng góc u1 u2 Câu 121: Trong khơng gian với hệ tọa độ Gọi Oxyz , cho ba điểm A ( 1; 0; 1) , B ( 3; -2; ) ; B ( 3; -2; ) ( P ) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P ) lớn Biết ( P ) khơng cắt BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) ? A G ( − 2;0;3) B F ( 3;0; − ) C Lời giải E ( 1;3;1) D H ( 0;3;1) Chọn C Gọi I trung điểm BC ⇒ I ( 2;0; − 1) ( P ) không cắt BC nên B; C nằm phía với ( P ) Do d ( B; ( P ) ) + d ( C ; ( P ) ) = BH + CK = 2IJ ≤ 2IA = Theo giả thiết Trong H; K; J Dấu “=” xảy hình chiếu vng góc B;C;I lên mặt phẳng ( P ) ⇔ J ≡ A hay ( P ) ⊥ IA uur IA = ( − 1;0;2 ) ( P ) có VTPT r P A 1; 0; n ( ) ( ) Do đó, Phương trình mặt phẳng qua có VTPT = ( −1;0;2 ) là: ( P ) : x − 2z + = ⇒ E ( 1;3;1) ∈ ( P ) Suy ra, Mặt phẳng Câu 122: Trong không gian với hệ tọa độ b; c dương mặt phẳng d ( O; ( ABC ) ) = A b + c = Oxyz , cho ba điểm A ( 1; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) , ( P) : y − z + = Biết mặt phẳng ( ABC ) ⊥ ( P ) Mệnh đề đúng? B b + c = C b + c = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! D b + c = Trang 93 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Lời giải Chọn A ( ABC ) : Phương trình mặt phẳng Ta có Mặt khác, x y z + + = ⇔ bcx + cy + bz = bc b c uur uuuuur nP ( 0;1; − 1) ; n( ABC ) = ( bc;c;b ) uur uuuuur nP n( ABC ) = ⇔ b = c ( *) Do mặt phẳng bc d ( O; ( ABC ) ) = ⇔ ( bc ) uur uuuuur ABC ⊥ P ⇔ n ( ) ( ) P ⊥ n( ABC ) + b2 + c2 = ( **)  c=0 3c = c + 2c ⇔ 8c − 2c = ⇔  c = ± Thay (*) vào (**) ta được:  Do b; c Vậy, dương nên b= c= 4 2 b + c = hoatoank15@gmail.com Câu 123 Trong không gian với hệ trục toạ độ Điểm M ∈ ( P) : x + y + z + = Khi đó, điểm A 121 54 M cách B Oxyz, cho điểm A ( 1;2;3) , B ( 0;1;1) , C ( 1;0; − ) cho giá trị biểu thức T = MA2 + 2MB + 3MC nhỏ ( Q ) : x − y − z + = khoảng C 24 91 D 54 Lời giải Tác giả : Nguyễn Viết Hòa, FB: Hòa Nguyễn Viết Chọn D uur uur uur r  4 1 IA + IB + 3IC = ⇒ I  ; ; − ÷ Gọi I điểm thỏa mãn  6 6 u u u r u u r u u r uur T = IA2 + IB + 3IC + IM − IM IA + 2IB + 3IC = IA2 + IB + 3IC + IM ( T nhỏ ⇔ IM ngắn ⇔M ) hình chiếu I ( P) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 94 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC  x = +t    d :y = +t t ∈R   z = − + t đường thẳng qua  Đề I vng góc với ( P) 91  − − − 22  M = d ∩ ( P) ⇒ M  ; ; ÷ ⇒ d ( M ,( Q) ) = 54  18 18 18  Câu 124 (Đề minh họa L1) Trong không gian với hệ tọa độ C ( 2;1; − 1) , D ( 3;1;4 ) A Oxyz cho bốn điểm A ( 1; − 2;0 ) , B ( 0; − 1;1) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? B C D Vô số Lời giải Tác giả : Nguyễn Viết Hòa, FB: Hòa Nguyễn Viết Chọn C uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur    AB = ( −1;1;1) , AC = ( 1;3; −1) , AD = ( 2;3;4 ) ⇒  AB, AC  = ( −4;0; −4 ) ⇒  AB, AC  AD ≠ , suy bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Xét mp(P) hai điểm M, N không nằm (P), ta có: (P) cách hai điểm M, N (P) song song với MN (P) qua trung điểm đoạn MN Vậy có mặt phẳng cách điểm A, B, C, D, có • • mặt phẳng mà mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh chung đỉnh mặt phẳng mà mặt phẳng song song với hai cạnh đối diện qua trung điểm bốn cạnh lại Chọn C dunghung22@gmail.com Câu 125 (Đề minh họa L1 )Cho Trong không gian với hệ tọa độ thẳng d C cho điểm A(1;0;2) x−1 y 2+1 = = có phương trình: 1 Viết phương trình đường thẳng vng góc cắt A Oxyz D đường qua d ∆: x−1 y 2− = = 1 ∆: x−1 y 2− = = 1 B D ∆: x−1 y z − = = 1 −1 ∆: x−1 y z − = = −3 Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 95 Mã đề A, Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Tác giả: Hoàng Dũng; Fb: Hoang Dung Chọn B Gọi B = d ÇD tọa độ uuur B ( t +1; t ;2t - 1) , AB ( t ; t;2t - 3) uuur uur Ta có AB.ud = Û t + t + 2.( 2t - 3) = Û t = Þ B ( 2;1; - 1) uuur Đường thẳng D qua A ( 1;0;2) , vecto phương AB ( 1;1; - 1) Suy phương trình đường thẳng ∆: x−1 y z − = = 1 −1 Câu 126 (Đề thử nghiệm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ B ( 5;6;2) Đường thẳng AB AM = A BM Oxyz , cho hai điểm A( - 2;3;1) cắt mặt phẳng ( Oxz ) điểm M Tính tỉ số AM =2 B BM AM = C BM AM BM AM =3 D BM Lời giải Tác giả: Hoàng Dũng; Fb: Hoang Dung Chọn A Mặt phẳng ( Oxz ) có phương trình y = AM d ( A, ( Oxz ) ) = = = Ta có BM d ( B, ( Oxz ) ) hoatoank15@gmail.com Câu 127 (Đề thử nghiệm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( P) A song song cách hai đường thẳng 2x − 2z + = B y − 2z + = d1 : x− y z x y −1 z − d2 : = = = = − 1 −1 −1 C 2x − y + = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! D y − 2z − = Trang 96 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Lời giải Tác giả : Nguyễn Viết Hòa, FB: Hòa Nguyễn Viết Chọn B r r u = ( − 1;1;1) , v = ( 2; − 1; − 1) véc tơ phương rr  d1 , d  u , v  = ( 0;1; − 1) r r uuur uuur  u A ( 2;0;0 ) ∈ d1 , B ( 0;1;2 ) ∈ d ⇒ AB = ( −2;1;2 )  , v  AB ≠ ⇒ d1 , d mặt phẳng ( P) d1 , d2 song song cách   I  1; ;1÷ ( P ) qua trung điểm   đoạn AB nhận Vậy chéo suy có rr  u, v  = ( 0;1; − 1)   làm VTPT ( P ) : y − z + = Chọn B Câu 128 (Tạp chí THTT Lần 5) Trong khơng gian với hệ tọa độ phương trình mặt phẳng (α ) A x + x y z + + =1 B − 2y − z = qua gốc tọa độ O ( 0;0;0 ) C x − Oxyz , cho điểm M ( 1;2; − 1) Viết cách y− z = M khoảng lớn D x + y+ z− 2= Lời giải Tác giả : Nguyễn Viết Hòa, FB: Hòa Nguyễn Viết Chọn A M O H P Gọi (P) mặt phẳng qua O, H hình chiếu M (P) Khi d ( M , ( P ) ) = MH MH = OM ⇔ H ≡ O ⇔ OM ⊥ ( P ) uuuur Vây ( α ) mặt phẳng qua O có VTPT OM = ( 1;2; −1) ⇒ ( α ) : x + y − z = Chọn A Ta có MH ≤ OM ⇒ MH lớn Email: nguyen.dinhhai.908@gmail.com hatoanlgm@gmail.com Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 97 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề (THPT Hai Bà Trưng Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm Câu 129 A ( 2;0; − ) , B ( 3; − 1; − ) , C ( − 2;2;0 ) Tìm điểm D ABCD khoảng cách từ D cho thể tích khối tứ diện Khi có tọa độ điểm A D mặt phẳng ( Oyz ) có cao độ âm đến mặt phẳng ( Oxy ) D thỏa mãn toán là: ( 0;3; − 1) D ( 0; − 3; − 1) B C D ( 0;1; − 1) D D ( 0;2; − 1) Lời giải Tác giả: Ngô Ngọc Hà, fb: Ngơ Ngọc Hà Chọn A Vì D ∈ ( Oyz ) Do d ( D, ( Oxy ) ) = nên z = ⇒ z = − ⇒ D ( 0; y; − 1) Ta có D ( 0; y; z ) , z < nên uuur uuur uuur uuur uuur   ⇒ AB , AC = 2;6; − ( ) AB = ( 1; −1; −2 ) , AC = ( −4;2;2 )  ; AD = ( − 2; y;1)  uuur uuur uuur  AB, AC  AD = y − = y −  6 VABCD =  y = ⇒  D ( 0;3; −1)  ⇔ y −1 = ⇔  Theo giả thiết VABCD =  y = −1  D ( 0; −1; −1) (THPT Hai Bà Trưng Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Câu 130 Mặt phẳng giác ( P) qua điểm H , cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Oxyz cho , cho điểm H H ( 1;2;3) trực tâm tam ABC Phương trình mặt phẳng ( P ) A ( P ) :3x + y + z − 11 = B ( P ) : 3x + y + z − 10 = C ( P ) : x + y + z − 13 = D ( P ) : x + y + 3z − 14 = Lời giải Tác giả: Ngô Ngọc Hà, fb: Ngô Ngọc Hà Chọn D Do OABC tam diện vuông H ( 1;2;3) H trực tâm tam giác uuur OH = ( 1;2;3) có véc tơ pháp tuyến ABC nên nên ( P) OH ⊥ ( ABC ) Suy ( P ) điểm có phương trình Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 98 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề 1( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Hay x + y + 3z − 14 = dmathtxqt@gmail.com Câu 131 Trong không gian với hệ tọa độ ( Oxy ) M ≠ O Gọi D hình chiếu vng góc OM Biết đường thẳng DE A R = Oxyz , cho điểm A ( 0;0;4 ) , điểm M B O lên AM nằm mặt phẳng E trung điểm tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu R = C R = D R= Lời giải Tác giả: Lê Cảnh Dương; FB: Cảnh Dương Lê Chọn A Ta có ∆ ODM vng ∠ EOD = ∠ EDO Gọi I trung điểm , suy D trung tuyến nên ∆ OED cân E , suy ( 1) OA , ta có ∆ ODA vng D có DI ∠ IOD = ∠ IDO Từ (1) (2) ta có: DE có trung tuyến nên ( 2) ∠ EDI = ∠ EDO + ∠ IDO = ∠ EOD + ∠ IOD = ∠ IOE = 90 Vậy đường thẳng DE ∆ ODA cân I tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính R= hay ED ⊥ DI = OA = 2 OA = 2 Câu 132 trùng 131 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 99 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề leminhhuebg@gmail.com Câu 133 Cho điểm A(0;8;2) mặt cầu ( S ) có phương trình B(9; − 7;23) Viết phương trình mặt phẳng ( P) r A tiếp xúc với ( S ) cho khoảng cách từ B đến ( P) lớn Giả sử n = (1; m; n) ( S ) : ( x − 5)2 + ( y + 3)2 + ( z − 7)2 = 72 qua vectơ pháp tuyến A m.n = điểm ( P) Lúc m.n = − B C m.n = D m.n = − Tác giả:Lê Minh Huệ ; Fb:leminhhuebg Chọn D x + my + nz + d = Gọi phương trình mặt phẳng (P) là: Vì Do A∈ ( P) ( P) Ta có: nên ta 8m + 2n + d = ⇔ d = − 8m − 2n ⇒ ( P ) : x + my + nz − ( 8m + 2n ) = tiếp xúc với mặt cầu d ( B; ( P ) ) = ⇒ d ( B; ( P ) ) ≤ ( S) nên d ( I;( P) ) = R ⇔ − 7m + 23n − 8m − 2n + m2 + n2 − 11m + 5n + m2 + n2 Cosi − Svac ⇔ d ( B; ( P ) ) ≤ + +4 = − m + 4n + m2 + n2 − 11m + 5n + m2 + n2 =6 ( − 11m + 5n ) + ( − m + 4n ) + m2 + n ⇔ d ( B; ( P ) ) ≤ + ( + + 16) ( + m2 + n2 ) + m2 + n2 n  1 = − m =  ⇔  − 11m + 5n  =6 Dấu “=” xảy  + m + n − m + 4n + m2 + n2 ⇔ d ( B; ( P ) ) ≤ 18  m = −1  n = d =  tranquocthep@gmail.com Câu 134 Trong không gian cho đường thẳng d: ∆: x− y z +1 = = đường thẳng x+ y −1 z + = = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua góc lớn A 19 x − 17 y − C 20 z − 77 = B 19 x − 17 y − 31x − y − z + 91 = D ∆ tạo với đường thẳng 20 z + 34 = 31x − y − z − 98 = Lời giải Tác giả:Trần Quốc Thép ; Fb:tranquocthep@gmail.com Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 100 Mã đề d Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Chọn D Cách 1: ( P) ( P ) : ax + by + cz + d = chứa ∆ nên qua A ( 3;0; − 1) 5b + 7c sin ( d , ( P ) ) = Nếu ( P) uur uur ⇒ 3a − c + d = ⇒ a = −2a − 3c nP ⊥ u∆ a + 2b + 3c = d = c − 3a = 10c − 6b 5b + 10c + 2bc 14 c = ⇒ sin ( d , ( P ) ) = c ≠ ⇒ sin ( d , ( P ) ) = Nếu 14 b +7 c b b  ÷ + 10 + 12 14 c c 25t + 70t + 49 10t − f ( t) = = + = g ( t) Xét hàm số 5t + 12t + 10 5t + 12t + 10  t = −50t + 10t + 112 g '( t ) = =0⇔ 2 t = − t + 12 t + 10 ( )  maxg ( t ) = Chọn 75 ⇔ t= 14 b = 8, c = ⇒ a = − 31; d = 98 Vậy chọn D trangtoanlqd@gmail.com Câu135 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) :( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) 2 ( P ) : x − y + z + = Gọi M ( a; b; c ) điểm mặt cầu ( S ) đến ( P) A a + =9 mặt phẳng cho khoảng cách từ M lớn Khi b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Lời giải Tác giả:Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm Chọn C Mặt cầu ( S) có tâm I ( 1;2;3) , bán kính R = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 101 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề d I ,( P ) = < R Ta có: ( P ) cắt ( S ) Khi d M ,( P ) lớn  x = + 2t  d :  y = − 2t z = 3+ t góc với ( P ) cắt mặt cầu điểm M , M PTĐT  ( d cắt ) ( ) ⇔ M∈d qua I, vuông ( S ) M1, M nên tọa độ M1, M nghiệm hệ  x = + 2t  y = − 2t t =  ⇔ z = + t t = −1  2  ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) =  13 Với t = ⇒ M ( 3;0;4 ) ⇒ d ( M1 , ( P ) ) = Với t = − ⇒ M ( − 1;4;2 ) ⇒ d ( M , ( P ) ) = 13 Vậy khoảng cách từ M đến ( P ) lớn Câu136 Trong không gian với hệ tọa độ tâm điểm I có phương trình: M ( 3;0;4 ) ⇒ a + b + c = Oxyz , cho đường thẳng ( S ) :( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) 2 d: x−1 y z + = = − − mặt cầu ( S ) = 18 Đường thẳng d cắt ( S) A, B Tính diện tích tam giác IAB 11 A 16 11 B 11 C 11 D Lời giải Tác giả:Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm Chọn A  x = 1− t  d :  y = 2t  Phương trình tham số đường thẳng  z = − − t Đường thẳng d cắt ( S) điểm A, B Khi tọa độ A, B ứng với t nghiệm phương t = −1 ( − t − 1) + ( 2t − ) + ( − − t + 1) = 18 ⇔  t= trình:  2 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 102 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Với Đề t = − ⇒ A ( 2; − 2; − )  10 14  t = ⇒ B − ; ;− ÷ Với  3  Mặt cầu ( S) có tâm S∆ IAB = Khi I ( 1;2; − 1) uur uur 11  IA, IB  =   Email: nguyen.dinhhai.908@gmail.com Email: cuongcs79@gmail.com Câu 137 Cho hình lập phương phẳng ( AB′D′ ) ABCD A′ B′C ′D′ có cạnh ( BC ′D ) A B Tính khoảng cách hai mặt C D Lời giải Tác giả: Võ Ngọc Trang, Fb: Trang Vo Chọn D Ta có ( AB′D′ ) / / ( BC ′D ) d ( ( AB ' D ') , ( BC ' D ) ) = d ( A, ( BC ' D ) ) Gắn hệ trục tọa độ ( BC ′D ) Mặt phẳng ( Axyz ) , A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0) , D ( 0;2;0 ) , C ' ( 2;2;2 ) qua r B ( 2;0;0 ) có vtpt n = [ BC ', BD ] = ( − 4; − 4;4 ) ⇒ pt ( BC ′D ) : − 4( x − 2) − y + z = ⇔ x + y − z − = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 103 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề d ( A, ( BC ' D ) ) = Câu 138 trùng 129 Câu 138 Trong không gian phẳng D ( Oyz ) Oxyz , cho điểm A ( 2;0; − ) , B ( 3; − 1; − ) , C ( − 2;2;0 ) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện đến mặt phẳng ( Oxy ) D ( 0;3; − 1) A Khi có tọa độ điểm B D ( 0; − 3; − 1) C D ABCD Điểm D mặt khoảng cách từ thỏa mãn toán D ( 0;1; − 1) D D ( 0;2; − 1) Lời giải Tác giả: Võ Ngọc Trang, Fb: Trang Vo Chọn A D ∈ (Oyz ) ⇒ D ( 0; y; z ) , z < d ( D,(Oxy ) ) = z = ⇒ z = −1 ⇒ D ( 0; y; −1) Ta có uuur uuur uuur  AB, AC  = ( 2;6; − ) , AD = (− 2; y;1)   y = uuur uuur uuur  AB, AC  AD = − + y − = ⇒   6  y = −1  D ( 0;3; − 1) ⇒  D ( 0; − 1; − 1) VABCD = Tinh.danlapts@gmail.com Câu 139 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;11; − 5) mặt phẳng ( P) : 2mx + (m2 + 1) y + (m2 − 1) z − 10 = Biết m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( P) qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu A 2 B C D 12 Lời giải Tác giả:Nguyễn Văn Tỉnh ; Fb: Duongtinhnguyen Chọn D Gọi I ( x0 ; y0 ; z0 ) tâm mặt cầu Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có 2 2mx0 − z0 − 10 2mx0 + (m + 1) y0 + (m − 1) z0 − 10 d ( I ;( P)) = = y + z + = const 0 với m2 + m2 + 2  x0 = ⇔  m suy  − z0 − 10 =  x0 = ⇒ I (0; y0 ; −5) ⇒ d ( I ,( P)) = y0 −   z0 = − Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 104 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Mặt khác mặt cầu qua A nên Với I (0;25; − 5) ⇒ R = 10 Với I (0;9; − 5) ⇒ R = 2 Đề IA = d ( I ;( P)) ⇔ + ( y0 − 11) = Câu 140 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , ( P) : x + y + z + = Tính thể tích V phẳng ( P) SA = SB = SC A V= 145 B khối tứ diện V = 145 C V= ⇒ I (0;25; − 5); I (0;9; − 5) A(5;5;0), B(1;2;3), C (3;5; − 1) cho ba điểm phẳng y0 − S ABC 45 biết đỉnh D V= S mặt thuộc mặt 127 Lời giải Tác giả:Nguyễn Văn Tỉnh ; Fb: Duongtinhnguyen Chọn A Vì SA = SB = SC tam giác nên hình chiếu đỉnh S xuống mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Phương trình mặt phẳng ( ABC ) : 3x − 10 y − z + 35 = Phương trình mặt phẳng trung trực cạnh Phương trình mặt phẳng trung trực cạnh AB : x + y − 3z − 18 = AC : x + z − 15 =0  3 I  3; ; ÷ Suy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp  2    x = + 3t   SI :  y = − 10t   z = − 6t  Phương trình đường thẳng , điểm S thuộc mặt phẳng  14  ( P) ⇒ t = ⇒ S  6; − ; − ÷ ⇒ SI = 145 2  AB = 34, BC = 29, AC = ⇒ S∆ ABC = 145 145 V = SI S ABC = Vậy Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 105 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 106 Mã đề ... tham gia STRONG TEAM TOÁN VD -VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 21 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Câu 30 Trong khơng gian với hệ tọa độ d: vng góc với Đề Oxyz , viết... STRONG TEAM TOÁN VD -VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 25 Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề trandotoanbk35@gmail.com, Sonphamhonganh@gmail.com Câu 35 Trong không gian. .. − 1;2) Lời giải Tác giả: Phùng Hằng; Fb: Hằng Phùng Chọn D Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD -VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ∆: Đề x+1