Giáo trình đại số

GHM Ỉ1 48 HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ Bưu CHÍNH VlỀN THƠNG PGS TS LÊ BÁ LONG Giáo trình ĐẠI số NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỂN THÔNG QD24 HM 09 LỜI NĨI ĐẦU Đại số (Tốn cao cấp A2) học phần chưong trình tốn cao cấp bắt buộc dành cho sinh viên năm thứ thuộc nhóm ngành kỹ thuật Để phục vụ nhu cầu giáo trình cho sinh viên học tập lỉọc viện Cơng nghệ Buu Viễn thơng phối hợp với Nhà xuất Thông tin Truyền thông xuất bàn “Giáo trình Đại s ổ ” PGS.TS Lê Bá Long biên soạn Giáo trình biên soạn chương trình khung Bộ Giáo dục - Đào tạo theo đề cương chương trình cùa Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng phê duyệt năm 2007 cho hệ đào tạo qui, có tham kháo giáo trình trường đại học kỳ thuật, kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tác giá Giáo trình gồm chương: Chương ỉ: Logic toán học lý thuyết tập hợp, ánh xạ cấu trúc đại số Chương 2: Không gian véc tơ Chương J Ma trận Chưrmg 4' Định thức Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính Chương 6: Ảnh xạ tuyến tính Chương 7: Khơng gian véc tơ Euclide dạng tồn phương Giáo trình trình bày theo cách thích hợp người tự học Trước nghiên cứu nội dung chi tiết, bạn đọc nên xem phần giới thiệu cùa mồi chương mục đích cùa chương để thấy mục đích ý nghTa, yêu cầu chương Trong mồi chương, nội dung, bạn đọc tự đọc hiểu cặn kẽ thông qua cách diễn đạt chửng minh rõ ràng ỉ)ặc biệt bạn dọc nên ý đến nhận xét binh luận đê hiêu sâu mở rộnu tôim quát kết Hầu hết toán giáo trinh dược xây dựng theo lược đồ: Đặt toán, chứng minh tồn lời giai bàng lý thuyết cuối nêu thuật tốn giải tốn nà> Các ví dụ để minh họa trực tiếp khái niệm, định lý thuật tốn, giúp người đọc dễ dàng tiếp thu học Cuối chương có tập xếp từ dễ đến khó Các tập dề chi kiểm tra trực tiếp nội dung vừa học, tập khó đòi hoi phải sử dụng kiến thức tổng hợp Giáo trình viết chung cho ba ngành Diện từ, Viễn thơng Cơng nghệ Thơng tin q trình giảng dạy học tập lựa chọn nội dung trọng tâm nội dung tham kháo tùy thuộc vào ngành Sinh viên cùa ba ngành có sử dụng tốt cơng cụ cơng nghệ thơng tin q trinh học tập Vì tác giả có ý thức trình bày khái niệm kết dạng thích hợp đế người học hình thành thuật tốn lập trình Ngồi giáo trình tài liệu học tập tham khảo hữu ích cho sinh viên cua lất trường đại học cao đẩng kỳ thuật nước Tuy ràng tác già cố gắng q trình biên soạn, song khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý cua bạn bè đồng nghiệp bạn đọc Mọi ý kiến góp ý xin gứi Khoa Cơ bán 1H ụt viện Cơng nghệ Đưu chínli Viẽii lliùiig Xin trân trọng giới thiệu bạn đọc! HỌC VIỆN CÓNG NGHỆ Bưu CHỈNH VIẼN THƠNG MỤC LỤC Lời nói đ a u .3 Chưo-ng 1: MÓ ĐÀU VÈ LOGIC MỆNH ĐÈ, TẬP HỢP ÁNH XẠ VÀ CÁC CÁU TRÚC ĐẠI S Ổ 11 1.1 Sơ lưọc logic mệnh đ ề 13 1.1.1 Mệnh đề .13 1.1.2 Các phép liên kết logic mệnh đ ề 14 1.1.3 Các tính chất 15 1.2 Tập họp 16 1.2.1 Khái niệm tập hcrp 16 1.2.2 Cách mô tà tập h ợ p .17 1.2.3 Các tập họp số thường gặp 18 1.2.4 Tập 18 1.2.5 Các phép toán tập h ợ p 19 1.2.6 Lượng từ phố biến lượng từ tồn tạ i 21 1.2.7 Phép hcTp giao suy rộng .22 1.3 Tích Descartes quan h ệ 23 1.3.1 ích Dcscartes cùa tập hợp 23 1.3.2 Quan hệ hai n gôi .24 1.3.3 Quan hệ iương đương 25 1.3.4 Quan hệ thứ tự 26 1.4 Ánh x 28 1.4.1 Định nghĩa ví d ụ .28 1.4.2 Phân loại ánh x 31 1.4.3 Ánh xạ ngược cùa song ánh .34 1.4.4 Hợp hai ánh xạ 35 1.4.5 Lực lượng cùa tập hợ p 36 1.5 So lưọc phép đếm, giải tích tổ hụp - nhị thức Nen ton 37 1.5.1 Sơ lược phép đếm 1.5.2 Hoán vị, phép th ế 38 1.5.3 Chình hợp 39 1.5.4 Tổ h ợ p 41 1.5.5 Nhị thức Nevvton 42 1.6 Các cấu trúc đại số 44 1.6 Luật hợp thành 44 1.6.2 Nhóm 46 1.6.3 Vành 47 1.6.4 Trưòng 50 1.7 Đại số Boole 51 1.7.1 Định nghĩa tính chất bán cùa đại số Boole 51 1.7.2 Công thức Boole, hàm Boole nguyên lý đối n g ẫ u .52 1.7.3 Phương pháp xây dựng hàm Boole thỏa mãn giá trị cho trước 56 1.7.4 ủ n g dụng đại số Boole vào mạng chuyển m ạch .57 Bài lập chươnỊĩ I 62 Chương 2: KHÔNG GIAN VÉC T 71 2.1 Khái niệm không gian véc t 72 2.1.1 Định nghĩa ví dụ 72 2.1.2 Tính chất 75 2.2 Không gian véc tơ c o n 76 2.2.1 Định nghTa ví d ụ 76 2.2.2 Không gian véc rơ sinh bớimột hệ véc tơ 78 2.2.3 Tông cùa họ không gian véc tơ co n 80 2.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 82 2.4 Hạng hệ hữu hạn véc t 84 2.4.1 Hệ dộc lập tuyến tính tối đ i .84 2.4.2 Hạng cứa hệ hĩai hạn véc t 85 2.5 Co' sở, số chiều không gian véc tơ 87 Bùi lập cìnarng 94 Chương 3: MA TRẬN 103 3.1 Khái niệm ma trận 105 3.2 Các phép toán ma trận 106 3.2.1 Phép cộng ma trận 106 3.2.2 Phép nhân số với ma trận 106 3.2.3 Phép nhân ma trận 108 3.2.4 Đa thức ma trận 111 3.2.5 Ma trận chuyển vị 111 3.3 Ma trận hệ véc t .112 3.3.1 Định nghĩa ma trận cua hệ véc t ữ 112 3.3.2 Ma trận chuyển s 113 3.4 Hạng ma tr ậ n 115 3.4.1 Định nghĩa cách tìm hạng ma trận bàng phép biển đối sơ cấp 115 3.4.2 Các ma trận tưcmg ứng với phépbiến đổi sơ c ấ p 116 Bùi lập chiamg 119 Chưong4: DỊNH THỨC 125 4.1 Hoán vị phép th ế 126 4.2 Định nghĩa định thức 130 4.3 Các tính chất định th ứ c 134 4.4 Các cách tính định th ứ c 137 4.4.1 Khai triến theo hàng, theo c ộ t 137 4.4.2 Định lý khai triển Laplace (theo khàng k cột) .139 4.5 ủ n g dụnng định thức để tìm ma trận nghịch đ ả o .145 4.5.1 Dịnh nghĩa ma trận nghịch đ ả o 145 4.5.2 Điều kiện cần đủ để tồn ma trận nghịch đ o 145 4.5.3 Tìm ma trận nghịch đảo theo phương pháp Gauss-Jordan 148 4.6 Tìm hạng ma trận định thức 150 Bài tập chương 154 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN T ĨN H 163 5.1 Khái niệm hệ phưig trình tuyến tín h 165 5.1.1 Dạng tổng quát cùa hệ phương trinh tuyến tính 165 5.1.2 Dạng ma trận cùa hệ phương trình tuyến tính 166 5.1.3 Dạng véc tơcúa hệ phương trinh tuyến tính 166 5.2 Định lý tồn nghiệm 167 5.3 Phưong pháp Cramer 168 5.3.1 Hệ Cramer cách giái 168 5.3.2 Giải hệ phương trình tuyến tính trường hợp tổng q u t 169 5.4 PhưoTig pháp ma trận nghịch đảo 171 5.5 Giải hệ phưig trình tuyến tính phưig pháp khử G au ss 172 5.6 Hệ phưong trình tuyến tính thuầnnhất 177 Bùi tập chương 183 Chương 6: ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH 189 6.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 190 6.1.1 Định nghĩa ví d ụ 190 1.2 Các tính chất 192 1.3 Các phép tốn cùa ánh xạ tuyến tín h 194 6.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 196 6.3 Toàn cấu, đơn cấu, đẳng c ấ u 199 6.3.1 Toàn cẩu .199 6.3.2 Dơn c ấ u 200 6.3.3 [)ãng cấu 201 6.4 Ánh xạ tuyến tính ma trận .203 6.4 Ma trận cùa ánh xạ tuyến tính 203 6.4.2 Ma trận cùa ánh xạ tuyến tính sở khác 208 6.4.3 Biêu thức tọa độ cùa ánh xạ tuyến tính 212 6.4.4 Anh xạ tuyến tính hệ phưong trinh tuyến tín h 213 6.5 Chéo hoá ma trận 216 6.5.1 Không gian bất b iế n 217 6.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng 217 6.5.3 Đa thức đặc trưng 219 6.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá đ u ợ c .223 6.5.5 Thuật toán chéo h o 225 Bùi tập chương 234 ChưoTig 7: KHƠNG GIAN VÉC Tơ EUCLIDE VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG ! 247 7.1 Dạng song tuyến tính 250 7.1.1 Định nghĩa dạng song tuyến tín h 250 7.1.2 Ma trận biểu thức toạ độ cùa dạng songtuyếntính 251 7.1.3 Biểu thức toạ độ dạng song tuyến tính sở khác 252 7.2 Dạng toàn phương 254 7.2.1 Định nghTa dạng toàn phương 254 7.2.2 Dạng cực dạng toàn phương 255 7.2.3 Ma trận biều thức toạ độ cùa dạng toànphương 255 7.2.4 Biểu thức toạ độ dạng tác cúa dạng tồn phương 256 7.2.5 Đưa dạng tẳc theo phương pháp Lagrang 257 7.2.6 Đưa dạng tấc theo phương pháp Jacobi 260 7.2.7 Luật quán tín h 265 c 'hưcmịỊ I : M(/ đáu vê loịỊÌc mệnh đế, tập hợ p 2) = a V ịa / \ a' ) theo B4 = (a V a) A (a V a') theo B = (a V ứ) A theo B4 =a v a theo B3 ' = 'v theo B3 =1 55 theo Bì B4 3) a V ị - a V (a V a') theo B4 = (a theo B a ) v a' = a v a' theo ) = theo B4 4) ữ V (a A ) = (a A 1) V (ữ A ố) =aa (1 vồ) theo B3 theo B5 =a a I theo ) =a theo B 5) a = a v (a AC) theo 4) = a V (ò A c) a = { a v b ) A { a v c) theo B = (a \/ h) A (h V c) a v c = b v c =b theo Bs v ịa AC) AC = b v (h Ac ) vi =b th eo 4) 6) Vì a v / ) = l = a v a ' a Ac = b /\c =b AC a A = = O A ữ ' Theo 5) suy b = a' 7) Ta dề dàng kiểm chứng (ớ (a V ồ) A ( í 7' a vồ) V (ứ'A ố') = /7 ') = , áp dụng 6) suy điều phải chứng minh Ciiào Irình Dại số 56 Áp dụng tính chất nàv với hệ tiên đề B -B ta có ihế tíưn gián hố cơng ihức Boole Ví dụ 1.52: Rút gọn cơng thức Boole { x A v) V { x A v') V ( x ' v v ) G iải: Ta có: ( x A v) V => ( at A v) (-V A v') = ( V V v') = V (x A v') V ( x V ^ v) = ^ V (a'V • v) = (A' V x ' ) V Ị’ = V V’ = Ví dụ 1.53; Rút gọn cơng thức Boole ( x A > ’ ’) V X A (_v A z ) ' V z Giải: Ta có: (x A v') V A' A ( VA z)'] V z = (x A v') V (x A V') V (x A z ') V z = ( x A v') V ( x A z ') V z = ( x A v') V [ ( x V z ) A ( z ' v z) = ( x A v') V [ ( x V z ) A 1] = (jr A v') V ( x V z ) (x Ay ' ) v X Ví dụ 1.54: Rút gọn công thức: { x A y / \ z ) v ( x A ỵ A z ' ) v { x 'a y A z ) G iả i: Ta c ó ( x A V A z ) V (.V A = [(JC A A z') V {x'a V A z) A z ) V ( , t A V A z ' ) ] V [ { x A > ’ A Z ) V ( a ' A V’ A z ) ] = [ ( x A v ) A ( V z ' ) ] V [ ( V A z ) A ( x V X ') = ( x A v ) V { y A z ) = V A (,v V z ) 1.7.3 Phương pháp xây dựng hàm Boole thỏa mãn giá trị cho trước Một vài trường hợp ứng dụng đại số Boole để giải vấn đề thực tế dẫn đến toán cần tim hàm Boole theo biến thỏa mãn điều kiện cho trước (mục 1.7.2) Trong mục ( 'hươny, l : M(f đâu loị^ic mệnh để, lập hợ p 57 chi hai phưcĩng pháp xây dựng hàm Phương pháp ihứ biêu diễn hàm cần tìm dạng “tống {V ) tích ( a )" Sử dụng nguyên lý đối ngầu ta có phương pháp thứ hai dạng “tích tơng" Đề xây dựng hàm cần tim dạng "tống tích" ta thực bước sau: Lập báng giá trị biển X, € B-, có mặt cơng thức giá trị tưtmg ứng cua hàm F cua biến (tương tự báng chân trị mục ) Chi xét hàng cúa báng mà hàm F nhận giá trị Trong mồi hàng ta lập biều thức A cùa biến: * X, nhận giá trị Xị * x ) Xị nhận giá trị Hàm F cần tìm có cách lấy theo hàng V cùa biểu thức Ví dụ 1.55: Tim hàm cùa hai biến F(x, v) nhận giá trị x , y đồng thời nhận giá trị Lập bảng giá trị cùa hàm biến: X V F(x.y) 1 1 0 0 Biếu thức theo hàng Vậy hàm cần tìm F(x, v) = {x A v) V ATA V x 'a ( x 'a v') v' 1.7.4 Úng dụng đại sổ Boole vào mạng chuyển mạch Ta chi xét mạng gồm chuyển mạch có hai trạng thái đóng (dòng điện qua được) mở (dòng điện khơng qua được) Hai Cỉiủo trình Dai sô 58 mạng đơn giản mạng song song ban (basic parallel nctvvork) mạng nối tiếp (basic series netvvork) mơ tá hình vẽ sau; ^— o — o AT Hình ì : Mạng song song bàn V Hình 2: M ạng nối tiếp bán Một mạng nhận cách ghép nối tiếp hay song song mạng bàn Ta ký hiệu chuyển mạch chừ X, v , Nếu X trạng thái mở ta cho V nhận giá trị trạng t h i đóng ta cho X nhận giá trị Trong mạng hai chuyển mạch !n trạng thái ta ký hiệu chữ Hai chuyển mạch có trạng thái ngược nhau, chuyển mạch ký hiệu X thi chuyến mạch ký hiệu x' Mạng song song (hình 1) nhận giá trị có hai chuyển mạch X, V nhận giá trị ta ký hiệu X V tiếp (hình ) nhận giá trị V Còn mạng nối cá hai chuyển mạch x,.v nhận giá trị ta ký hiệu a:a V Như x ' , x v y x A V xem biến nhận giá irị irong dại sổ Boole B2 (vi dụ 1.47) tíàng phương pháp ta mơ tả mạng bời công thức Boole ngược lại Chẳng hạn mạng sau đây: y o o — X o y tưomg ứng với công thức ( VV z) V (x A • 59 Chươtĩịĩ, ì : M(r đáu vê logic mệnh đê, lập hợp Còn cơng thức Boole (x ) a z v ( ) v a z v ( v 'a j c ) mô tá mạng; 0-0 -o — o V y' — o ^ Chú ý công thức cần xét ta thay ( x v v)' bới x ' A y ' ( x A v Ỵ bời x ' v v' Hai m ạng N I N2 gọi tương đương thực chức năng, nghía với cách chọn trạng thái đóng mở vị trí chuyển mạch mạng trạng thái đầu vào đầu NI N2 Như hai mạng tương đương hai công thức Boole tương ứng cùa chúng tương đương Ta áp dụng đại số Booỉe để giải hai vấn đề sau: 1.7,4.1 Với m ạng cho trước tìm mạng tương đương đơn giản Ví d ụ 1.56: Tìm mạng tương đương đơn giản cùa mạng sau o 00 - - vv ọ o y vv Công thức Boole tưomg ứng: [x v z ) a v V ((x A w) v>v) 60 Giáo trình Dại sơ Ta có (X A w ) V biến đồi thành (.vv vv = VI’ (luật hấp thu), cơng thức có ihê z) V V A U' A Ị’ = (x V z V H') A V Vậy ta có mạng tương đương đơn giản Ví dụ 1.57; Tìm mạng tương đương đơn gián cùa mạng sau o o - V o o- - o X y z Công thức Boole tương ứng: { z r x ) y [x z')) Ta có '(z A X ) v ( t a ( v ’V ')) r.{z ■/ x ) / { z a ( z v v ) a ( z V )•) = "(z A X ) v ( ( X A v ) v ( X A Z ' ) ) ' = 'ịx = X A a {z A z ' ) ) v (x z V (.V A v ) A y v ) ỵ) a [z v {A'A v ) a [ z V ( , V A _V) = (x A z) V A (.V A v ) ] = ( x A z ) V ( x A v ) = -Y A ( z V v ) Vậy ta có mạng tương đương đom gián hom; ChinrriỊỊ I : Mcr đâu vê logic mệnh đê lập hợp 61 / 7.4.2 Thiết k ế m ột m ạng thố man điều kiện cho trước Ví d ụ 1.58: Thiết kế mạng điện cho bóng đèn cầu thang mà bật tắt cà hai dầu cầu thang Giải Gọi -V V hai công tẳc hai đầu cầu thang Theo yêu cầu đặt ta cần thiết kế mạng điện cho thay đối trạng thái cùa hai vị trí X V thi trạng thái cùa đầu (bóng đèn) phải thay đơi Báng giá trị cua hàm cho ví dụ 1.53 thỏa mãn đòi hỏi Vậy mạng cần tim X o V o I' V' 62 G iáo (rình Dại số BÀI T Ậ P C H Ư Ơ N G 1.1 Hai tập hợp A B trường hợp sau có bàng tập hợp nhau? a) /í = Ịx elR X ' + a: > l ị = |x elR jr > >/2 - l ị b) A tập sổ thực > B tập số thực > trị tuvệt đối cùa c) A tập số ngun khơng âm có luỹ thừa bậc số lẻ không chia hết cho 3, B tập số nguyên không âm có bình phương trừ chia hết cho 24 1.2 A , B , C , D tập cùa £ Chứng minh ràng; a) A \ B = chi A(Z B b) Nếu A c B , c cz D A u C czB kj D A r \ C c i B r \ D c) N ế u A^CcA^uB A n C c A n B thi c (Z B 1.3 Cho A , B hai tập cùa £ , Chứng minh ràng; a) A d B < ^ B c A b) A ( z B c : : > A u B = B o A u B = E c) A c : R c : > A r \ R = A < r i > B r ^ A - C d d) A\(A\B) =A n B e) À n ( B \ C ) = ( À n B ) \ ( / l n C ) A vj { B \ A ) = A \ j B 1.4 A , B , C , D tập E Chứng minh ràng: a) A n B ^ o { A x B ) r > ^ { B x A ) ^ b) ( A x C ) n ị B x D ) = ( À n B ) x ị C n D ) c h n g I : MN xác định bởi: f { n ) = 2n ^ ( ' nỊl = _ , ( ^ - l) / n chẩn : nêu n lé a) Xác định tính chất đơn ánh, toàn ánh cúa f \ g ( 'ỉnarm^ I : Mo' lIúii Ví' loịỊÌc mệnh cíâ lập hợp h) Xác dịnh / 65 ịr, iỊ o / 1.15 Cho ánh \ / : A' -> Y cho A.IĨCZ X C D ^ Ỵ' Chứng minh rănu: a) A cz ỉỉ=> f \ A ) C f ( B ) Tim vi dụ chứng lo f (Ả)cz f ( B ) nlurng Aa B h) f ( A r \ B)(Z f ( A ) r \ f ( B ) Tìni \ i d ụ c h ứ n ẹ i o / ( / ) f\B)(Z f ( A r \ B ) B ) ^ í \ A ) kj f ( B ) c) d) / V 'n D ) - / e) , r ' ( C u D ) = / / '(C )n / '(D) '( C ) u , r '( D ) ' ( ( ’ ' D ) ^ f - \ C ý f '(D ) Nêu / dơn ánh thì; g) / ( ) c / (/?)=> A cl D h) f ( A r ^ B ) = f ( A ) n f ( B ) 1.16 Ký hiệu h = ÌỊO f hợp cua hai ánh xạ /': A' -> K í í : K -> z Chứng minh: a) f ị ĩ dơn ánh ihi // đcrn ánh b) f g t o n n h h to n án h c) h loàn ánh ihi ẹ toàn ánh d) h dưn ánh thi / đcrn ánh e) h dan ánh \ f loàn ánh Ihi ẹ dem ánh // toàn ánh \ ^ đưn ánh f tồn ánh 1.17 Vứi mồi bốn so nmivên a.h.c.ci e cho aii - h c = \ ( iiáo n inh Dại \o 66 'ĩa xét ánli \ / ; ' —> ' xác dinh btĩi: / ( ,v r ) = {ơx + hv cx + íỉy) Cìọi tập h ợ p nh xạ n h trC'n C hírnu mi nh: a) Với / e thi / sotm ánh \ / ' e ihi / o íi e - 'ĩ ■ b) Nếu / t,’ e Nói cách khác tập •'/ với luật hcTp thành hợp hai ánh xạ mộl nhóm khơng giao hốn I I * Cho ba tập hợp khác trốns E F G a) Cho hai ánh \ f : E F \ g :E Chứng minh rang tồn lại ánh xạ h : F - > C cho h ° vói v c h i E: v y '€ / ' ( v ' ) = > t í( v ) = f ( x ) - f= ^ ,íí(.v ') b) Cho hai ánh \ g : E - * G h \ F - ^ G Chứng minh tồn ánh xạ f E chi 1.19 Cho X cỏ /7 với Y e E3y G F cho h ° f - ịr F\g{x) = h(y ) phần tư Chứng minh ‘f ( X ) cỏ 2" phần tư 1.20 Cho hai phép cua tập [l 2.3.4* : ơ= ‘l 3 Tìm a o ụ Ị,ioa a 1.21 Cho /7 '1 41 • 1-1 = 4' ị ' đièm khác irong mật phării’: a) Tính số đoạn thăng nối lừng cặp diC' 1 khác b) Tính số véc tơ ^ đièm có điềm dầu điêin cuối từ n 67 ( 'hưoiìịỊ I : Mo dủii vê loỊịic mỌnlĩ ílc tập hợp 1.22 Tim số hạng lớn khai íricn cùa nhị thửc (37 19)'^* tì 1.23* Với hai số tự nhiên n p e \t\ ký hiệu s^,(n)= ^ k ' ' k () />*l a) Chứng minh I( ^ + ) = ^ k :(> ịS/^ ụi) b) Suy (/; + !)''"' = k n n n c) Suy tône k \ k-\ Ắ I 1.24 Chứng minh ràng % = I ;IR—>IR / (.y) = o x + h ' ớ./) GlR,ữ ^ oỊ với phép hcTp ánh xạ o nhóm Nhóm có giao hốn khơng? 1.25 Lũy thừa cua phần tứ a cua nhóm G với phép nhân định nghĩa sau: a" = l V/;€N Chứng minh ràng với m n k e : m n_ a a =a Ị III 1« _ = í/ Iiiit í III*Ii\^ _ lữ ) “ ^ kiii^kii 1.26 Cho nhóm G với phép nhân thóa măn điều kiện (íìbỶ =a~b~ với a h e G Chứng minh G nhóm Abel (jiá ỉ i n h V € l u \ l i n h t h i t n t i ( I - v) ' cl) \ c u 1.32 Biêu diồn SIĨ (Jơ mạim ứni> \ới còng ihức lioolc sau; a) V V ( r 'a r ) V (.V A r ') V ( \' A J ) h) V '/ y V ( V A J)'v z ’ 1.33 \ iêt côna ihirc lĩdole ứiiii \ới mạnu sau \à lim mạim URTI1U c ỉ u ( r i i u d ( í n u i a n l i ( r n: - o V ổ u' X \\ ... CHÍNH VlỀN THƠNG PGS TS LÊ BÁ LONG Giáo trình ĐẠI số NHÀ XUẤT BẢN THƠNG TIN VÀ TRUYỂN THƠNG QD24 HM 09 LỜI NĨI ĐẦU Đại số (Toán cao cấp A2) học phần chưong trình tốn cao cấp bắt buộc dành cho... nhu cầu giáo trình cho sinh viên học tập lỉọc viện Cơng nghệ Buu Viễn thơng phối hợp với Nhà xuất Thông tin Truyền thông xuất bàn Giáo trình Đại s ổ ” PGS.TS Lê Bá Long biên soạn Giáo trình biên... 1.2.3 Các tập họp số thưòTig gặp - Tập số tự nhiên N = | , | - Tập số nguyên = {0, ± 1, ± 2, } - Tập số hữu ti Q = Ị p Ịq q ^ , p ,q - Tập số thực IR (gồm số hữu tỉ vơ ti) - Tập số pVìức c Ị