Bài toán tham số

Bài 1. Phương pháp hàm số CHƯƠNG I. HÀM SỐ BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ( ) 1 2 ,x x a b∀ < ∈ ta có ( ) ( ) 1 2 f x f x< 2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ( ) 1 2 ,x x a b∀ < ∈ ta có ( ) ( ) 1 2 f x f x> 3. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b). 4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b). 5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm ( ) k x x f x ′ = ⇔ đổi dấu tại điểm k x 6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số • Giả sử y = ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại ( ) 1 , ., , n x x a b∈ . Khi đó: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 , Max Max , ., , , ; n x a b f x f x f x f a f b ∈ = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 , M in M in , ., , , n x a b f x f x f x f a f b ∈ = • Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) , , Min ; Max x a b x a b f x f a f x f b ∈ ∈ = = • Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) , , Min ; Max x a b x a b f x f b f x f a ∈ ∈ = = • Hàm bậc nhất ( ) f x x= α + β trên đoạn [ ] ;a b đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút a; b 1 b j j j x x x − ε + ε i i i x x x − ε + ε a x Chương I. Hàm số – Trần Phương II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) y u x= với đồ thị ( ) y v x= . 2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị ( ) y u x= nằm ở phía trên so với phần đồ thị ( ) y v x= . 3. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị ( ) y u x= nằm ở phía dưới so với phần đồ thị ( ) y v x= . 4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị ( ) y u x= . 5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ ( ) I Min x u x m ∈ ≥ 6. BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ ( ) I Max x u x m ∈ ≤ 7. BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ ( ) I Max x u x m ∈ ≥ 8. BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ ( ) I Min x u x m ∈ ≤ III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số Bài 1. Cho hàm số ( ) 2 2 3f x mx mx= + − a. Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] b. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4] c. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈ [ ] 1;3− Giải: a. Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 3 0 2 3 2 1 1 f x mx mx m x x g x m x x x = + − = ⇔ + = ⇔ = = = + + − . Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì [ ] ( ) [ ] ( ) 1;2 1;2 Min Max x x g x m g x ∈ ∈ ≤ ≤ 3 1 8 m⇔ ≤ ≤ b. Ta có ∀x∈[1; 4] thì ( ) 2 2 3 0f x mx mx= + − ≤ ⇔ ( ) 2 2 3m x x+ ≤ ⇔ ( ) [ ] 2 3 , 1; 4 2 g x m x x x = ≥ ∀ ∈ + [ ] ( ) 1;4 Min x g x m ∈ ⇔ ≥ . Do ( ) ( ) 2 3 1 1 g x x = + − giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔ [ ] ( ) ( ) 1;4 1 Min 4 8 x g x g m ∈ = = ≥ 2 α β b x a v(x) u(x) a b x y = m Bài 1. Phương pháp hàm số c. Ta có với x∈ [ ] 1;3− thì ( ) 2 2 3 0f x mx mx= + − ≥ ⇔ ( ) 2 2 3m x x+ ≥ . Đặt ( ) [ ] 2 3 , 1;3 2 g x x x x = ∈ − + . Xét các khả năng sau đây: + Nếu 0x = thì bất phương trình trở thành .0 0 3m = ≥ nên vô nghiệm. + Nếu ( ] 0;3x∈ thì BPT ⇔ ( ) g x m≤ có nghiệm ( ] 0;3x∈ ( ] ( ) 0;3x Min g x m ∈ ⇔ ≤ . Do ( ) ( ) 2 3 1 1 g x x = + − giảm / ( ] 0;3 nên ycbt ( ] ( ) ( ) 0;3 1 3 5 x Min g x g m ∈ ⇔ = = ≤ + Nếu [ ) 1;0x∈ − thì 2 2 0x x+ < nên BPT ( ) g x m⇔ ≥ có nghiệm [ ) 1;0x∈ − [ ) ( ) 1;0 Max g x m − ⇔ ≥ . Ta có ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 3 2 2 0, 1;0 2 x g x x x x − + ′ = ≤ ∀ ∈ − + . Do đó ( ) g x nghịch biến nên ta có [ ) ( ) ( ) 1;0 1 3Max g x g m − = − = − ≥ Kết luận: ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈ [ ] 1;3− ( ] ) 1 ; 3 ; 5 m  ⇔ ∈ −∞ − +∞   U Bài 2. Tìm m để bất phương trình: 3 3 1 3 2x mx x − − + − < nghiệm đúng ∀x ≥ 1 Giải: BPT ( ) 3 2 3 4 1 1 2 3 2, 1 3 , 1mx x x m x f x x x x x ⇔ < − + ∀ ≥ ⇔ < − + = ∀ ≥ . Ta có ( ) 5 2 5 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 0f x x x x x x x x −   ′ = + − ≥ − = >  ÷   suy ra ( ) f x tăng. YCBT ( ) ( ) ( ) 1 2 3 , 1 min 1 2 3 3 x f x m x f x f m m ≥ ⇔ > ∀ ≥ ⇔ = = > ⇔ > Bài 3. Tìm m để bất phương trình ( ) 2 .4 1 .2 1 0 x x m m m + + − + − > đúng x∀ ∈ ¡ Giải: Đặt 2 0 x t = > thì ( ) 2 .4 1 .2 1 0 x x m m m + + − + − > đúng x∀ ∈ ¡ ( ) ( ) ( ) 2 2 . 4 1 . 1 0, 0 4 1 4 1, 0m t m t m t m t t t t⇔ + − + − > ∀ > ⇔ + + > + ∀ > ( ) 2 4 1 , 0 4 1 t g t m t t t + ⇔ = < ∀ > + + . Ta có ( ) ( ) 2 2 2 4 2 0 4 1 t t g t t t − − ′ = < + + nên ( ) g t nghịch biến trên [ ) 0;+∞ suy ra ycbt ⇔ ( ) ( ) 0 0 1 t Max g t g m ≥ = = ≤ Bài 4. Tìm m để phương trình: ( ) 12 5 4x x x m x x+ + = − + − có nghiệm. Giải: Điều kiện 0 4x≤ ≤ . Biến đổi PT ( ) 12 5 4 x x x f x m x x + + ⇔ = = − + − . 3 Chương I. Hàm số – Trần Phương Chú ý: Nếu tính ( ) f x ′ rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. Thủ thuật: Đặt ( ) ( ) 3 1 12 0 0 2 2 12 g x x x x g x x x ′ = + + > ⇒ = + > + ( ) ( ) 1 1 5 4 0 0 2 5 2 4 h x x x h x x x − ′ = − + − > ⇒ = − < − − Suy ra: ( ) 0g x > và tăng; ( ) h x > 0 và giảm hay ( ) 1 0 h x > và tăng ⇒ ( ) ( ) ( ) g x f x h x = tăng. Suy ra ( ) f x m= có nghiệm [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 0;4 0;4 min ; max 0 ; 4 2 15 12 ;12m f x f x f f    ⇔ ∈ = = −     Bài 5. Tìm m để bất phương trình: ( ) 3 3 2 3 1 1x x m x x+ − ≤ − − có nghiệm. Giải: Điều kiện 1x ≥ . Nhân cả hai vế BPT với ( ) 3 1 0x x+ − > ta nhận được bất phương trình ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 1 1f x x x x x m= + − + − ≤ . Đặt ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 1 ; 1g x x x h x x x= + − = + − Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 3 6 0, 1; 3 1 0 2 2 1 g x x x x h x x x x x   ′ ′ = + > ∀ ≥ = + − + >  ÷ −   . Do ( ) 0g x > và tăng 1x∀ ≥ ; ( ) 0h x > và tăng nên ( ) ( ) ( ) .f x g x h x= tăng 1x∀ ≥ Khi đó bất phương trình ( ) f x m≤ có nghiệm ( ) ( ) 1 min 1 3 x f x f m ≥ ⇔ = = ≤ Bài 6. Tìm m để ( ) ( ) 2 4 6 2x x x x m+ − ≤ − + nghiệm đúng [ ] 4,6x∀ ∈ − Cách 1. BPT ( ) ( ) ( ) 2 2 4 6f x x x x x m⇔ = − + + + − ≤ đúng [ ] 4,6x∀ ∈ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 0 1 2 4 6 4 6 x f x x x x x x x x − +   ′ = − + + = − + = ⇔ =  ÷ + − + −   Lập bảng biến thiên suy ra Max [ ] ( ) ( ) 4,6 1 6Max f x f m − = = ≤ Cách 2. Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 4 6 4 6 5 2 x x t x x + + − = + − ≤ = . Ta có 2 2 2 24t x x= − + + . Khi đó bất phương trình trở thành [ ] ( ) [ ] 2 2 24, 0;5 24 ; 0;5t t m t f t t t m t≤ − + + ∀ ∈ ⇔ = + − ≤ ∀ ∈ . Ta có: ( ) 2 1 0f t t ′ = + > ⇒ ( ) f t tăng nên ( ) [ ] ; 0;5f t m t≤ ∀ ∈ ⇔ [ ] ( ) ( ) 0;5 max 5 6f t f m= = ≤ 4 Bài 1. Phương pháp hàm số Bài 7. Tìm m để 2 2 3 6 18 3 1x x x x m m + + − − + − ≤ − + đúng [ ] 3,6x∀ ∈ − Giải: Đặt 3 6 0t x x= + + − > ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 3 6 9 2 3 6t x x x x= + + − = + + − ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 9 2 3 6 9 3 6 18t x x x x≤ = + + − ≤ + + + − = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 18 3 3 6 9 ; 3;3 2 2 x x x x t t   ⇒ + − = + − = − ∈   Xét ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3;3 2 9 1 ; 1 0; 3;3 2 max 3 3 2 2 f t t t f t t t f t f       ′ = − + + = − < ∀ ∈ ⇒ = =   ycbt ( ) 2 2 3;3 2 max 3 1 2 0 1 V m 2f t m m m m m     ⇔ = ≤ − + ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ − ≥ Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình 4 2 3 1 1 2 1x m x x− + + = − có nghiệm thực. Giải: ĐK: 1x ≥ , biến đổi phương trình 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ − + = + + . Đặt [ ) 4 4 1 2 1 0,1 1 1 x u x x − = = − ∈ + + . Khi đó ( ) 2 3 2g t t t m= − + = Ta có ( ) 1 6 2 0 3 g t t t ′ = − + = ⇔ = . Do đó yêu cầu 1 1 3 m⇔ − < ≤ Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi 0m > , phương trình ( ) 2 2 8 2x x m x+ − = − luôn có đúng hai nghiệm phân biệt. Giải: Điều kiện: 2x ≥ . Biến đổi phương trình ta có: ( ) ( ) ( ) 2 6 2x x m x⇔ − + = − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 2x x m x⇔ − + = − ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 6 32 0 2 V g x 6 32x x x m x x x m⇔ − + − − = ⇔ = = + − = . ycbt ( ) g x m⇔ = có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( ) 2;+∞ . Thật vậy ta có: ( ) ( ) 3 4 0, 2g x x x x ′ = + > ∀ > . Do đó ( ) g x đồng biến mà ( ) g x liên tục và ( ) ( ) 2 0; lim x g g x →+∞ = = +∞ nên ( ) g x m= có đúng một nghiệm ∈ ( ) 2;+∞ . Vậy 0m∀ > , phương trình ( ) 2 2 8 2x x m x+ − = − có hai nghiệm phân biệt. 5 t01+0– 0– 1 x2 +0 Chương I. Hàm số – Trần Phương Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 4 2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − = Giải: Đặt ( ) [ ] 4 4 2 2 2 6 2 6 ; 0;6 f x x x x x x= + + − + − ∈ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 , 0;6 2 2 6 2 6 f x x x x x x     ′ = − + − ∈  ÷  ÷ −   −   Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 ; 0,6 2 6 2 6 , xu x v x x x x x = − = − ∈ − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, 0,2 2 2 0 , 0, 2,6 u x v x x u v u x v x x  > ∀ ∈  ⇒ = =   < ∀ ∈  ( ) ( ) ( ) 0, 0, 2 ( ) 0, 2,6 (2) 0 f x x f x x f ′  > ∀ ∈  ′ ⇒ < ∀ ∈   ′ =  Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 4 2 6 2 6 3 2 6m+ ≤ < + Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007): Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y  + + + =    + + + = −    Giải: Đặt 1 1 ;u x v y x y = + = + ta có ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 1 3 3x x x x u u x x x x + = + − × + = − và 1 1 1 1 1 2 . 2 ; 2 . 2u x x x v y y x x x y y = + = + ≥ = = + ≥ = Khi đó hệ trở thành ( ) 3 3 5 5 8 3 15 10 u v u v uv m u v u v m + =  + =   ⇔   = − + − + = −    6 x026 +0– f(x) 4 2 6 2 6 + Bài 1. Phương pháp hàm số ⇔ ,u v là nghiệm của phương trình bậc hai ( ) 2 5 8f t t t m= − + = Hệ có nghiệm ( ) f t m⇔ = có 2 nghiệm 1 2 ,t t thỏa mãn 1 2 2; 2t t≥ ≥ . Lập Bảng biến thiên của hàm số ( ) f t với 2t ≥ t −∞ – 2 2 5/2 + ∞ ( ) f t ′ – – 0 + ( ) f t + ∞ 22 2 7/4 + ∞ Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 7 2 m 22 4 m⇔ ≤ ≤ ∨ ≥ Bài 12. (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình ( ) 2 2 sin cos 1 0x x y y+ + + ≥ đúng với y∀ ∈ ¡ . Giải: Đặt sin cos 2, 2u y y   = + ∈ −   , BPT ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2, 2 2 1 0, 2, 2 Min 0 u g u x u x u g u   ∈ −     ⇔ = + + ≥ ∀ ∈ − ⇔ ≥   Do đồ thị ( ) y g u= là một đoạn thẳng với 2, 2u   ∈ −   nên ( ) 2, 2 Min 0 u g u   ∈ −   ≥ ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 1 0 2 1 2 2 1 0 2 1 2 0 g x x x x x x g    − ≥ − + ≥ ≥ +   ⇔ ⇔ ⇔    + + ≥ ≤ −  ≥      Bài 13. Cho , , 0 3 a b c a b c ≥   + + =  Chứng minh rằng: 2 2 2 4a b c abc+ + + ≥ Giải: BĐT ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 3 2 4a b c bc abc a a a bc⇔ + + − + ≥ ⇔ + − + − ≥ ( ) ( ) 2 2 2 6 5 0f u a u a a⇔ = − + − + ≥ trong đó ( ) ( ) 2 2 1 0 3 2 4 b c u bc a + ≤ = ≤ = − . Như thế đồ thị ( ) y f u= là một đoạn thẳng với ( ) 2 1 0; 3 4 u a   ∈ −     . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 1 1 0 2 6 5 2 0; 3 1 2 0 2 2 4 4 f a a a f a a a= − + = − + ≥ − = − + ≥ nên suy ra ( ) 0;f u ≥ ( ) 2 1 0; 3 4 u a   ∀ ∈ −     . Vậy 2 2 2 4a b c abc+ + + ≥ . Đẳng thức xảy ra 1a b c⇔ = = = . 7 Chương I. Hàm số – Trần Phương Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984): Cho , , 0 1 a b c a b c ≥   + + =  . Chứng minh rằng: 7 2 27 ab bc ca abc+ + − ≤ . Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 1 2a b c a bc a a a bc a a a u f u+ + − = − + − = − + − = Đồ thị ( ) ( ) ( ) 1 2 1y f u a u a a= = − + − với ( ) ( ) 2 2 1 0 2 4 a b c u bc − + ≤ = ≤ = là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút ( ) ( ) ( ) 2 1 7 1 0 1 2 4 27 a a f a a  + − = − ≤ = <     và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 7 7 1 1 1 1 1 1 2 1 2 4 4 27 4 3 3 27 f a a a a a− = − + + = − + − ≤ Do đồ thị ( ) y f u= là một đoạn thẳng với ( ) 2 1 0; 1 4 u a   ∈ −     và ( ) 7 0 27 f < ; ( ) ( ) 2 7 1 1 4 27 f a− ≤ nên ( ) 7 27 f u ≤ . Đẳng thức xảy ra 1 3 a b c⇔ = = = Bài 15. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 4,a b c ab bc ca+ + − + + ≤ ∀ [ ] , , 0, 2a b c∈ . Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 4, , , 0,2f a b c a b c bc a b c= − − + + − ≤ ∀ ∈ Đồ thị ( ) y f a= là một đoạn thẳng với [ ] 0,2a∈ nên ( ) ( ) ( ) { } Max 0 ; 2f a f f≤ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 4 2 2 4; 2 4 4 4, , , 0, 2f b c f bc f a a b c= − − − ≤ = − ≤ ⇒ ≤ ∀ ∈ Bài 16. CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 1, , , , 0,1a b c d a b c d a b c d− − − − + + + + ≥ ∀ ∈ Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , 0,1f a b c d a b c d b c d a b c d = − − − − + − − − + + + ≥ ∀ ∈ Đồ thị ( ) [ ] , 0,1y f a a= ∀ ∈ là một đoạn thẳng nên [ ] ( ) ( ) ( ) { } 0,1 Min Min 0 , 1 a f a f f ∈ = Ta có ( ) [ ] 1 1 1, , , 0,1f b c d b c d= + + + ≥ ∀ ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 1f b c d b c d g b c d b c d c d = − − − + + + ⇔ = − − − + − − + + Đồ thị ( ) [ ] , 0,1y g b b= ∀ ∈ là một đoạn thẳng nên [ ] ( ) ( ) ( ) { } 0,1 Min 0 , 1 b g b Min g g ∈ = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1; 0 1 1 1 1g c d g c d c d cd = + + ≥ = − − + + = + ≥ ⇒ ( ) ( ) [ ] 0 1, 0,1f g b b= ≥ ∀ ∈ . Vậy ( ) 1f a ≥ hay ta có (đpcm) 8 Bài 1. Phương pháp hàm số 9 . Bài 1. Phương pháp hàm số CHƯƠNG I. HÀM SỐ BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1 m có nghiệm x∈I ⇔ ( ) I Min x u x m ∈ ≤ III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số Bài 1. Cho hàm số ( ) 2 2 3f x mx mx= + − a. Tìm m để phương trình