Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÔNG GIAN I. Dạng toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau . Bài toán : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 7 3 9 3 1 1 : , : 1 2 1 7 2 3 x y z x y z d d − − − − − − = = = = − − . a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau b) Viết phương trình đường vuông góc chung. Lời gải: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 M(7;3;9) N(3;1;1) ) , 8;4;16 (1;2; 1) ( 7;2;3) 4; 2; 8 , . 168 0 qua qua a d d u u vtcpu vtcpu MN u u MN = − − = − − − ⇒ = − ≠ ur uur ur uur uuuur ur uur uuuur Suy ra d1 và d2 chéo nhau b) Cách1: + Gọi d là đường vuông góc chung của d 1 và d 2 . Do d vuông góc với cả hai đường thẳng nên có một vectơ chỉ phương là ( ) 1 2 , 4 2;1;4u u u = = uur ur uur . +Mặt phẳng (d1,d) qua M(7;3;9) và có VTPT 1 1 , 12(3; 2; 1)n u u = = − − ur ur uur nên có phương trình 3(x – 7) – 2(y – 3) – 1(z – 9) = 0 ⇔ 3x – 2y – z – 6 = 0 +Mặt phẳng (d2 , d) qua N(3;1;1) và có VTPT 2 2 , 4(5;34; 11)n u u = = − uur uur uur nên có phương trình 5(x – 3) + 34(y – 1) – 11(z – 1) = 0 ⇔ 5x + 34y –11 z –38 = 0 . + Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (d1,d) và (d2 , d) nên các điểm thuộc d có toạ độ thoả mãn hệ 3 2 6 0 5 34 11 38 0 x y z x y z − − − = + − − = . Cho z = 0 ta có 5 2 3 4 x y = = nên d có phương trình tham số 5 2 2 3 4 4 x t y t z t = + = + = - 1 - Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị Cách 2: 1 2 7 3 7 ' 3 2 , 1 2 '. 9 1 3 ' x t x t d y t d y t z t z t = + = − = + = + = − = + ( ) ( ) 1 2 Gäi A 7 ;3 2 ;9 vµ B 3 7 ';1 2 ';1 3 ' ( 4 7 ' ; 2 2 ' 2 ; 8 3 ' ) t t t d t t t d AB t t t t t t + + − ∈ − + + ∈ ⇒ − − − − + − − + + uuur AB là đường vuông góc chung k.v.c.k ( ) ( ) 1 2 0 7;3;9 . 0 6 ' 6 0 62 ' 6 0 ' 0 3;1;1 . 0 t A AB u t t t t t B AB u = ⇒ = + = ⇔ ⇔ + = = ⇒ = uuur ur uuur uur . Vậy phương trình đường vuông góc chung là AB: 7 3 9 2 1 4 x y z− − − = = . II. Dạng toán: Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d 1 và vuông góc với d 2 Bài toán: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua A( 0;1;1), vuông góc với 1 2 1 1 2 : vµ c¾t : 1 3 1 1 x x y z d d y t z t = − − + = = = − − = − Cách1: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc d 1 , (Q) là mặt phẳng qua A và chứa d 2 . Suy ra d là giao tuyến của (P) và (Q), tìm một vectơ chỉ phương của d là , P Q n n uur uur kết hợp với d qua A ta viết được phương trình tham số của d. +mp(P) qua A và có VTPT ( ) 1 3;1;1u = ur có phương trình 3 2 0x y z+ + − = +mp(Q) qua A và có VTPT ( ) 2 2 , 1; 1;1AM u = − uuuur uur có pt 0x y z− + = + Đường thẳng d qua A và có VTCP ( ) , 2 1; 1; 2 P Q n n = − − uur uur có pt 1 1 1 1 2 x y z− − = = − − Cách 2: Gọi B(-1; -1-t; -t) là giao điểm của d với d 2 . ( ) 1; 2 ; 1AB t t= − − − − − uuur . d vuông góc d 1 khi và chỉ khi ( ) 1 1 1 . 0 3 1;1;2 . VËy d: 1 1 2 x y z AB u t AB − − = ⇔ = − ⇒ = − = = − uuur ur uuur . III. Dạng toán: Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d 1 và song song với (P) Bài toán: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua - 2 - Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị A( 3;-2;-4), cắt đường thẳng 1 2 3 : 4 2 vµ song song (P):3 2 3 7 0 1 2 x t d y t x y z z t = + = − − − − − = = + Cách1: Viết mặt phẳng (Q) qua A và chứa d 1 , viết mp(R) qua A và song song với (P). d là giao tuyến của (Q) và (R) nên tìm được phương trình của d. +mp(Q) qua A và có VTPT , (6;17;8) Q n AM u = = uur uuur uur nên có pt là 6 17 8 48 0 x y z+ + + = +mp(R) qua A và có VTPT (3; 2; 3) P n = − − uur có pt 3 2 3 25 0 x y z− − − = +Đường thẳng d là giao tuyến của (Q) và (R ) nên có VTCP , 7(5; 6;9) Q R u n n = = − − uur uur uur . Vậy d có phương trình 3 5 2 6 4 9 x t y t z t = + = − − = − + Cách 2: Gọi (2 3 ; 4 2 ;1 2 ) M t t t+ − − + là giao điểm của d với d 1 Sử dụng điều kiện P AM n⊥ uuur uur ta có t = 2. Vậy d có phương trình 3 5 2 6 4 9 x t y t z t = + = − − = − + IV . Dạng toán: Viết pt đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng và cắt hai đường thẳng cho trước: Bài toán: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ): 1 0P x y z+ + + = và cắt hai đường thẳng 1 2 2 1 1 : , 3 2 1 1 x t x y z d d y z t = − + − + = = = − − = − Cách1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d 1 và vuông góc (P), mặt phẳng (R) chứa d 2 và vuông góc (P). Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (Q) và (R). + ( ) 1 1 M 1; 1;0 ( ) ; (2;1; 3) P qua Q VTPT n u − = − uur ur có pt 2 3 1 0x y z+ − − = + ( ) 2 2 M 2; 3;0 ( ) ; ( 1;2; 1) P qua Q VTPT n u − − = − − uur uur có pt 2 4 0x y z− + − = - 3 - Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị + d là giao tuyến của (Q) và (R) nên có VTCP ( ) ; 5 1;1;1 P R u n n = = uur uur uur và d qua điểm 6 5 6 7 7 ; ;0 : 5 5 5 x t A d y t z t = + − − ⇒ = + ÷ = Cách 2: d 1 có phương trình tham số là 1 1 2 : 1 x t d y t z t = + = − − = . Gọi (1 2 ; 1 ; ), ( 2 '; 3; ')A t t t B t t+ − − − + − − lần lượt là giao điểm của d với d 1 và d 2 . ( ) 3 ' 2 2 ' 3 ' 2 ; 2 ; ' . ( ) 1 1 1 t t t t t AB t t t t t d P − + − − + − − − + − − + − − ⊥ ⇔ = = uuur ( ) 7 7 6 1 5 1 ; ; 6 5 5 5 5 : 58 9 ' 1;1;1 1 5 5 5 x t A t d y t t AB z t = + − = ÷ − ⇔ ⇒ ⇒ = + = = − = + uuur V: Dạng toán tìm điểm M trên đường thẳng d thoả mãn điều kiện cho trước: Bài toán 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng 1 : 2 2 x t d y t z t = − = − + = . Tìm M thuộc d sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất. Cách 1: Gọi I là trung điểm AB, ta có 2 2 2 2 2 2 AB MA MB MI+ = + . MA 2 + MB 2 nhỏ nhất k.v.c.k MI nhỏ nhất. Vì M thuộc d nên MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I trên d. + I(0;3;3). + Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc d có pt x – y – 2z + 9 = 0. + M là hình chiếu của I trên d nên toạ độ của M là nghiệm (x;y;z) của hệ - 4 - Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị 1 1 2 0 ( 1;0;4) 2 4 2 9 0 2 x t x y t y M z t z x y z t = − = − = − + = ⇔ ⇒ − = = − − + = = Cách 2: Gọi M(1 – t ; - 2 + t; 2t) thuộc d. 2 2 2 12 48 76MA MB t t+ = − + . MA 2 +MB 2 nhỏ nhất k.v.c.k t = 2 ( sử dụng cực trị của hàm số bậc hai). Vậy M(-1;0;4) Bài toán 2: Cho A(2;-1;1), B(-2;3;7) và đường thẳng 2 2 1 : 2 2 3 x y z d − − + = = − − . Tìm I thuộc d sao cho IA IB+ uur uur nhỏ nhất. Cách 1: Ta có 2 , víi M lµ trung ®iÓm AB 2 .IA IB IM IA IB IM+ = ⇒ + = uur uur uuur uur uur nhá nhÊt IM dIA IB+ ⇔ ⊥ uur uur hay I là hình chiếu của M trên d + M( 0;1;4) + Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc d có phương trình 2 2 3 14 0x y z− − + = + 2 2 2 2 ( ) (0;4;2) 1 3 2 2 3 14 0 x t y t d P I I z t x y z = + = − ∩ = ⇒ = − − − − + = Cách 2 Gọi I( 2+2t; 2 – 2t; -1 - 3t) thuộc d. ( ) 2 4 4 ; 2 4 ;10 6 68 136 120IA IB t t t IA IB t t+ = − − − + + ⇒ + = + + uur uur uur uur IA IB+ uur uur nhỏ nhất k.v.c.k t = -1. Vậy I( 0;4;2) Bài toán 3: Cho 2 2 : . 3 2 1 x y z d + + = = − Tìm toạ độ điểm A’ là hình chiếu của A trên đườn thẳng d. Cách1: Viết pt mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d, tìm toạ độ giao điểm của d và (P) ta có điểm A’ + (P) qua A và vuông góc d nên có phương trình 3 2 4 0x y z+ − − = + Toạ độ điểm A’ là nghiệm của hệ 2 3 2 2 2 y 2 2 3 2 1 3 2 4 0 3 2 4 x y x y z z x y z x y z − = + + = = ⇔ + = − − + − − = + − = - 5 - Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị 1 0 1 x y z = ⇔ = = − . Vậy A’(1;0; - 1) Cách 2: Gọi ( ) ( ) ' 2 3 ; 2 2 ; ' 3 6;2 1; 2A t t t d AA t t t− + − + − ∈ ⇒ = − + − − uuur . A’ là hình chiếu của A trên d k.v.c.k ( ) '. 0 3(3 6) 2(2 1) 1( 2) 0 1 ' 1;0; 1 d AA u t t t t A = ⇔ − + + − − − = ⇔ = ⇒ = − uuur uur BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau: 2 2 1 2 1 2 ) : 1 ': Kq: 1 1 2 1 5 2 3 4 6 1 1 ) : 2 ' : 1 Kq: 1 2 2 1 2 2 x t x y z x y z a d y d z t x t x t x y z b d y t d y t z t z t = − − − − − − = − = = = = − = = − = − + + = − + = + = = = − + = + Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua A(3;-2;-4), song song với mặt phẳng 2 4 1 3 2 3 7 0 vµ c¾t ®t 3 2 2 x y z x y z − + − − − − = = = − Kq: 3 2 4 5 6 9 x y z− + + = = − Bài 3: Tìm toạ độ hình chiếu H của A(2;-1;5) trên 4 2 : Kq: H(4;0;2) 1 1 1 x y z d − − = = Bài 4: Lập ptđt qua A(3;2;1), song song mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 và vuông góc 1 : 1 4 x t d y t z t = + = − = − − . Kq: 3 3 : 2 5 1 2 = − ∆ = + = − x t y t z t . Bài 5: Viết PTĐT qua M(2;-1;0), vuông góc và cắt 1 3 2 2 5 1 : 5 Kq: 1 3 2 0. 6 x t x t d y t y t z z t = − + = + = − = − − = = − - 6 - Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị Bài 6: Cho 1 2 2 1 1 : ; : 3 ; ( ) : 1 0. 2 1 1 x t x y z d d y P x y z z t = − − − + = = = − + + − = − = Lập PTĐT ∆ vuông góc (P), ∆ cắt cả 1 2 ; .d d Kq: 7 5 6 5 1 5 x t y t z t = + = − + = + Bài 7: Trong không gian, cho : 2 3 x t d y t z t = − = − = − và điểm A(2;0;1), B(2;-1;0), C(1;0;1). Tìm trên d một điểm S sao cho SA SB SC+ + uur uur uur đạt giá trị nhỏ nhất. Kq: 3 3 9 ; ; 14 7 14 S ÷ Bài 8: A(2;5;7), B(0;-1;-1), C(3;1;-2). Viết PTCT của ∆ qua A, vuông góc và cắt trung tuyến xuất phát từ C. Kq: 12 2 5 3 5 10 1 7 2 x t y t z t = − = − = − Bài 9: Cho M(1;2;-1) và 1 2 2 : . 3 2 2 x y z d + − − = = − Gọi N là điểm đối xứng của M qua d. Tính 2 MN . Kq: MN 2 = 52 - 7 - Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị C. KẾT LUẬN Qua một số bài toán đã trình bày ở trên một lần nữa chúng ta thấy được sự thuận tiện khi dùng phương trình tham số của đường thẳng so với một số cách giải khác. Mỗi phương pháp đều có những mặt ưu điểm và hạn chế nhất định, tôi hy vọng được sự góp ý bổ sung của quý thầy cô và các em học sinh để có thể hoàn chỉnh hơn nữa chuyên đề này. Qua nội dung đề tài này tôi cũng mong muốn giúp quý thầy cô và các em có thêm một tư liệu khi học tập và nghiên cứu về phương trình đường thẳng trong không gian. Cuối cùng xin kính chúc quý thầy cô sức khoẻ, chúc các em thành công. Thị xã Quảng Trị, tháng 3 năm 2010 Người viết Nguyễn Chơn Ngôn - 8 - . Quảng Trị SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÔNG GIAN I. Dạng toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau . Bài toán : Trong không. KẾT LUẬN Qua một số bài toán đã trình bày ở trên một lần nữa chúng ta thấy được sự thuận tiện khi dùng phương trình tham số của đường thẳng so với một số cách giải khác. Mỗi phương pháp đều. tìm một vectơ chỉ phương của d là , P Q n n uur uur kết hợp với d qua A ta viết được phương trình tham số của d. +mp(P) qua A và có VTPT ( ) 1 3;1;1u = ur có phương trình 3 2 0x y