mot vai kinh nghiem toan lop 8 THẢO THCS hung cuong2019 2020

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ HƯNG YÊN Trường THCS Hùng Cường MỘT VÀI KINH NGHIỆM DẠY DẠNG TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Họ tên: Trần Thị Thảo Chức vụ : Giáo viên Đơn vị : Trường THCS Hùng Cường Năm học 2019 - 2020 LỜI NĨI ĐẦU Các tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn hay khó chương trình mơn Tốn lớp Trong thực tế giải loại tốn khơng học sinh đại trà mà nhiều em học sinh khá, giỏi nhiều lúng túng vấp phải sai sót Đã có nhiều viết với mục đích giúp học sinh làm tốt loại toán này, mở rộng toán đề xuất tốn tương tự, từ phát triển tư lơ gic, tư sáng tạo tính xác giải toán Tuy nhiên viết thường đề cập đến chủ yếu học sinh giỏi Ở dám đề cập đến vài phương pháp nhỏ việc dậy em học sinh lớp diện đại trà, tiếp thu kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Nhân xin chân thành cám ơn ban lãnh đạo thày cô trường THCS Hùng cường tạo điều kiện , có nhiều đóng góp ý kiến q báu giúp tơi thực đề tài Đặc biệt xin chân thành cám ơn cô Bùi Thị Dịu giáo viên chủ nhiệm lớp 8a dạy mơn tốn 8a, 8b em học sinh lớp 8a, 8b năm học 2018-2019 tích cực hợp tác giúp tơi thực nghiệm đề tài Vì trình độ thân có hạn nên đề tài nhiều thiếu sót, mong q thày bạn góp ý giúp tơi hồn thiện đề tài ngày tốt Xin chân thành cảm ơn !!! Ngày 15 tháng 02 năm 2020 Người viết * MỤC LỤC Trang A PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………1 I./ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II./ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .3 III./GIỚI HẠN ĐỀ TÀI B./NỘI DUNG……………………………….……………………………6 I./KIẾN THỨC CƠ BẢN II./CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI III/ KHẢO SÁT SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 27 C./KẾT LUẬN ………………………………………………… 29 Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Tôi giáo viên giảng dạy 13 năm nên nhiều hạn chế chuyên mơn, nghiệp vụ vậyviệc học hỏi trau dồi kinh nghiệm điều cần thiết Trong giai đoạn chưa ổn định mặt phương pháp nay, thân tơi ln phải thể nghiệm phương pháp, nhóm phương pháp để đúc rút kinh nghiệm cho từ nâng cao hiệu giảng dạy cho thân Học sinh trường THCS Hùng Cường có điều kiện khả tự học Các em yếu thiếu kiến thức kỹ nhìn nhận tìm hướng cho toán Sáng kiến "Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử" học kỹ chương trình lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm tinh thần trình giảng dạy tốn lớp tơi dày cơng tìm tòi, nghiên cứu để tìm phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh Trong SGK trình bày phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm hạng tử, dùng đẳng thức Trong sáng kiến giới thiệu thêm phương pháp như: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ,phương pháp tìm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử Khi nghiên cứu sáng kiến học sinh tiếp thu thích thú Các ví dụ đa dạng, có nhiều tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho em học tập kiến thức giải tốn khó CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Đại số nói chung tốn phân tích thành nhân tử nội dung hay phong phú, rèn kỹ tính tốn óc tư linh hoạt cho học sinh Đây kiến thức làm móng cho việc tiếp thu kiến thức lớp Việc giải tốt toán Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình sau Do yêu cầu đổi SGK, đổi phương pháp giảng dạy mơn tốn theo tinh thần " lấy học sinh làm trung tâm ", nên việc tổ chức hướng dẫn để em tìm tòi cách giải toán yêu cầu cần thiết người thầy Mặt khác, kiến thức SGK nên việc phát bổ sung kiến thức, tìm tòi phương pháp sở tảng kiến thức SGK điều cần thiết, tạo cho em tính “tò mò khoa học”, “ tính tự lập” hình thành thói quen tự học Hơn nữa, tốn mắt xích quan trọng trục chương trình, khơng giúp em học tốn tốt năm học sau này, mà giúp em học tốt môn học tự nhiên khác Khi giải vấn đề này, đồng thời em giải nhiều mặt khác : + Củng cố kiến thức + Rèn kỹ tính tốn, phân tích, tổng hợp, + Phát triển tư + Tạo lưng vốn kiến thức cho năm học sau Từ tâm huyết trăn trở nêu trên, xây dựng đề tài mang tên "Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử" chia thành dạng sau Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử DẠNG 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “tách số hạng tử thành nhiều hạng tử” DẠNG 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “thêm bớt số hạng” DẠNG 3: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “đổi biến số’’ CƠ SỞ DẠNG 4: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “hệ số bất định” DẠNG 5: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “xét giá trị riêng” DẠNG 6: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “tìm nghiệm đa thức” DẠNG 7: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp II./MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải có tư khả phán đoán cao Mặt kiến áp dụng để giải tốn có liên quan tìm x, rút gọn biểu thức,… - Do mục đích viết đề tài góp phần bé nhỏ vào việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung rèn kỹ Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng theo phương châm “lấy kết đạt thực tế làm thước đo cho chất lượng giảng dạy” III./GIỚI HẠN ĐỀ TÀI Giải toán Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử đề cập THCS phần đại số Vả lại ơn học khó đòi hỏi cao tư người dạy người học Mặt khác thời gian nghiên cứu ngắn nên đề tài đề cập tới vấn đề rèn kỹ Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua tiết luyện tập ôn tập tập cụ thể 1.Thời gian thực phạm vi đề tài Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử Thời gian Năm học 2018 – 2019 Phạm vi thực Lớp 8A, 8B Trường THCS Hùng Cường Khảo sát trước thực đề tài Các em hiểu làm toán đơn giản sở vài phép biến đổi t, chưa có khả phán đốn, định hướng cho việc giải toán Về mặt phương pháp em hiểu sơ sài mà chủ yếu, phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Việc vận dụng phương pháp mang tính nhỏ lẻ thiếu đồng không hệ thống Trước thực đề tài cho em làm kiểm tra khảo sát chất lượng sau : Lần 1: (15phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 8x3 + B = x + y + xy + y2 * Kết sau * Kết lớp chưa áp dụng sáng kiến Lớp/Sĩ số 8B (33) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 0% 21,2% 13 39,4% 11 33,3% 6,1% * Kết lớp chưa áp dụng sáng kiến Lớp/Sĩ số 8A (30) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 13,3% 26,7% 13 43,3% 16,7% 0% Lần 2: (15phút) Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x+2)2 - 6(x+2) + B = x3 - 2x2 - x+2 * Kết sau * Kết lớp chưa áp dụng sáng kiến Lớp/Sĩ số 8B (33) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL % 21,2% 15 45,5% 10 30,3% 3% * Kết lớp chưa áp dụng sáng kiến Lớp/Sĩ số 8A (30) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 13,3% 26,7% 14 46,7% 13,3% 0% Qua hai kiểm tra thấy chất lượng có lên chậm, chưa đáp ứng yêu cầu ngày cao chất lượng môn học thay sách Từ thực trạng đưa giải pháp sau  Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử B NỘI DUNG I /.KIẾN THỨC CƠ BẢN - Việc nắm vững kiến thức điều cần thiết giúp em giải toán cách thuận lợi dễ dàng Kiến thức xương sống để từ phát triển mở rộng phương pháp giải tập Từ quan điểm trang bị cho học sinh kiến thức sau Các đẳng thức đáng nhớ Các phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử (SKG toán - tập 1) - Phương pháp đặt nhân tử chung - Phương pháp dùng đẳng thức - Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Nghiệm đa thức Nếu f(a)=0 x-a nhân tử đa thức f(x) Ta có f(x)=(x-a)g(x), f(x), g(x) đa thức Đồng hệ số Nếu anxn + an-1xn-1 + + a1 = bnxn + bn-1xn-1 + + b1 an = bn a = b  n−1 n −1   a1 = b1 Nếu thay x1=a1 x2=a2 mà A(x1,x2, ,xn)=0 A(x1,x2, ,xn) ( x1 − a1 ), ( x2 − a2 ), Vậy A(x1,x2, ,xn) = K(x1-a1)(x2-a2) Tam thức bậc hai Tam thức ax2+bx+c phân tích thành nhân tử b 2-4ac ≥ (thừa nhận dấu hiệu này) II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁCH GIẢI Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử DẠNG 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “tách số hạng tử thành nhiều hạng tử” * CƠ SỞ : Nếu f(a) = f(x) = (x-a)g(x) với f(x) g(x) đa thức Quy tắc: tách số hạng tử thành số hạng tử khác làm xuất nhân tử chung đẳng thức từ tốn giải Các toán Bài toán 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử A = x2 - 4x+3 Phân tích tìm lời giải: Ta phải tách ba hạng tử thành hạng tử để gộp với hai hạng tử lại trở thành nhóm, nhóm xuất nhân tử chung giống nhau, nhờ toán giải Lời giải Cách 1: (Tách hạng tử giữa) A = x2 - x - 3x +3 = x(x-1)-3(x-1) =(x-1)(x-3) Cách 2: (Tách hạng tử cuối) A =x2-4x-1+4 =x2-1-4x+4 =(x-1)(x+1)-4(x-1) =(x-1)(x+1-4) =(x-1)(x-3) Cách 3: (Tách hạng tử cuối) A =x2-4x+4-1 =(x-2)2-1 =(x-2+1)(x-2-1) =(x-1)(x-3) Cách 4: (Tách hạng tử cuối) 10 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ : (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 Nhận xét: Ta có: + = + ta nhân thừa số x + với x +7 x + với x + ta đa thức có phần biến giống (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15 Đặt x2 + 8x + = y ta được: y (y + 8) + 15 = y2 + y + 15 = y2 + y + y + 15 = (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + + 3) (x2 + 8x + + 5) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10) = (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10) Bài toán 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử A=x4+6x3+7x2-6x+1 Lời giải : 1 2 A = x2(x2+6x+7- + ) = x [( x + ) + 6( x − ) + 7] x x x x Đặt x − =y ⇒ x y2 = x2 − + x2 ⇒ y2 + = x2 + (*) x2 Thay vào (*), ta có: x2(y2+2+6y+7) =x2(y2+6y+9) =x2(y+3)2 =(xy+3x)2 Thay y = x − x = [ x ( x − ) + x ]2 x = ( x + x − 1) 21 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử Cách 2: x4+6x3+7x2-6x+1 =x4+6x3-2x2+9x2-6x+1 =x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 =(x2+3x-1)2 Nếu làm phép so sánh cách cách rõ ràng cách đơn giản nhiều Vậy phải cách làm phức tạp hố vấn đề cách khơng cần thiết ? Tơi muốn đưa tốn cho học sinh để làm phong phú cách làm tốn mà nhằm mục đích trang bị cho em kiến thức để sau giải phương trình bậc dạng đối xứng em giải nhanh gọn Bài tập tự luyện Bài 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử x(x+1)(x+2)(x+3)+1 Gợi ý: x(x+1)(x+2)(x+3) = x(x+3)(x+1)(x+2) =(x2+3x)(x2+3x+2) Bài 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử (x2+y2+z2)-(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 Gợi ý: Đặt x2+y2+z2=a xy+yz+zx=b DẠNG 4: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “hệ số bất định” *CƠ SỞ Nếu anxn + an-1xn-1 + + a1 = bnxn + bn-1xn-1 + + b1 22 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử an = bn a = b  n−1 n −1   a1 = b1 Các toán Bài toán 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử x4-6x3+12x2-14x+3 (1) Phân tích tìm lời giải: Ta thấy, có ước ± 1, ± khơng nghiệm 1, việc tìm nghiệm khó khăn khơng có nghiệm, việc định hướng để phân tích nhân tử bậc khó khăn Nếu (1) phân tích có dạng (x2+ax+b)(x2+cx+d) Lời giải Giả sử (1) phân tích thành nhân tử, ta có x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d) a + c = −6 ac + b + d = 12  ⇒ ad + bc = −14 bd = Cho b=3 -> d=1 ->a=-2;c=-4 Vậy ta có dạng phân tích (1) (x2-2x+3)(x2-4x+1) Đây tốn khó, dạng tốn phức tạp có số em làm Mục đích tơi đưa tốn giúp học sinh giỏi giải toán tương tự, từ mở định hướng cho việc Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốn có ý nghĩa chìa khố cho việc giải tốn khó phân tích Mặt khác việc làm tốt phương pháp này, tạo thuận lợi cho em học tốt lớp học 23 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử Vì dạng tốn khó, nên đại phận học sinh lớp không làm được, tiếp tục đưa vào tập dạng gây tâm lý hoang mang, choáng váng cho học sinh có lực học trung bình yếu Vì tơi nhanh chóng chuyển sang dạng tốn khác Bài tập tự luyện Dùng phương pháp hệ số bất định, Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử 4x4+4x3+5x2+2x+1 3x2+22xy+11x+37y+7y2+10 DẠNG 5: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “xét giá trị riêng” CƠ SỞ: Nếu thay x1=a1 x2=a2 mà A(x1,x2, ,xn)=0 A(x1,x2, ,xn) ( x1 − a1 ), ( x2 − a2 ), Vậy A(x1,x2, ,xn) = K(x1-a1)(x2-a2) Các toán Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử P = ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) (1) Lời giải a = b  Nếu thay b = c vào (1) P = -> a-b, b-c, c-a nhân tử P Mặt khác c = a P có bậc Vậy P = K(a-b)(b-c)(c-a) (2) với K số Nếu thay a = 1, b = 2, c = biểu thức ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)= K(a-b)(b-c)(ca), ta có K = Ví dụ : a5 + a + Số mũ a từ xuống nên a5 a cần có số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất nhân tử chung 24 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử Cách 1: a5 + a + = a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + = (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) Cách 2: a5 + a + = a5 - a2 + a2 + a + = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1) Đây dạng tốn phức tạp tơi cố gắng chọn tốn thật đơn giản đặc thù học sinh trường tôi, em nhận thức chậm, đưa tốn phức tạp vừa thời gian lại không hiệu Bài tập tự luyện Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) DẠNG 6: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp “tìm nghiệm đa thức” *CƠ SỞ: Nếu f(a)=0 x-a nhân tử đa thức f(x) Ta có f(x)=(x-a)g(x), f(x), g(x) đa thức Nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm a', b' phân tích thành a(x-a')(x-b') Các toán Bài toán 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử x3+3x2-4 Phân tích tìm lời giải: Dễ nhẩm thấy x=1 nghiệm đa thức -> đa thức chứa nhân tử x-1, ta phải biến đổi đa thức làm xuất nhân tử x-1 Lời giải x3+3x2-4 =x3-1+3x2-3 25 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử =(x-1)(x2+x+1)+3(x2-1) =(x-1)[x2+x+1+3(x+1)] =(x-1)(x2+4x+4) =(x-1)(x+2)2 VD Tìm nghiệm đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + Giải: Các ước : 1;-1;3;-3 Các ước dương : 1;2 Xét số ± 1; ± 3;± 1/2; ± 3/2 ta thấy -3/2 nghiệm đa thức cho Chú ý: - Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + = nên có nghiệm x = b) 4x3 +5x2 - 3x - có + + (-3) + (-6) = nên có nghiệm x = - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + 11 + (-3) = 13 Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b)x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 Bài toán 2: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử x2+3x+2 (1) x2-x+12 (2) Gợi ý: Hãy tìm nghiệm đa thức 26 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử Lời giải Dễ thấy x=-1 x=-2 nghiệm đa thức (1) Vậy x2+3x+2=(x+1)(x+2) Trên sở em hiểu thật kỹ phần a, cho em nhà tự làm phần b Bài toán đơn giản, lại mở hướng cho việc suy luận tìm lời giải, có tác dụng định hướng cho việc phân tích làm xuất nhân tử chung Mặt khác, muốn đưa dạng toán để em sớm tiếp cận làm quen với nghiệm phương trình đặc biệt phương trình bậc hai mà em học nhiều lớp năm học sau Vấn đề tốn khơng “to tát” song toán mở cho em ý tưởng Bài tập tự luyện Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử x3-x2+1 2x3-2x2-x+1 x2-4x+3 2x2+3x-2 DẠNG 7: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Các toán Bài toán 1: Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử A = bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b) Lời giải Ta có cách phân tích sau: Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b) = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2) = (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] 27 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử = (b + c) (b + a) (c -a) Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2) = ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab) = (c - a) (a +b) (c+ b) Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b) = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b) = (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a) Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b) = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a) Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b) Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b) = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b) Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b) = (c - a) (c + c) (b + a) Bài toán có vai trò củng cố phương pháp Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử, mặt khác tổng hợp kiến thức giúp em có nhìn nhận thấu đáo làm toán 28 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử Bài tốn 2: Chứng minh n n2 n3 A= + + số ngun Phân tích tìm lời giải: Ta quy đồng biểu thức thành phân thức phân thức số nguyên tử chi a hết cho mẫu Vậy toán trở việc chứng minh tử chia hết cho mẫu sau quy đồng Lời giải: n n n 2n + 3n + n + + = Ta có 6 2n+3n2+n3 =n(2+3n+n2) =n[(n2+n)+(2n+2)] =n[n(n+1)+2(n+1)] =n(n+1)(n+2) Vì n∈Z nên n(n+1)(n+2) tích ba sơ ngun liên tiếp -> có thừa số chia hết cho 2, thừa số chia hết cho -> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2n + 3n + n Vậy ∈ Z hay A ∈ Z (đpcm) Bài toán giải vấn đề đồng thời có liên hệ với kiến thức cũ qua em củng cố kiến thức thấy liên hệ, tính hệ thống, móc xích thống chương trình Chắc chắn qua tập trên, em hiểu sâu sắc hơn, có nhìn tồn diện đặc biệt có hệ thống phương pháp tốt để làm tập, từ tơi cho em làm tập sau: Bài tập tự luyện Bài : Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử a4+5a3+15a-9 Bài : Tính nhanh a3-a2b-ab2+b3 với a=5,75; b=4,25 Bài : Tìm x biết 29 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử a )x2+x=6 b) 6x3+x2=2x Trên hệ thống tập từ dẽ đến khó mà tơi cung cấp cho học sinh Qua đó, tơi thấy trình độ tiếp thu kiến thức em lên nhiều, việc giải toán Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng giải tốn nói chung em tiến hành có hệ thống, có định hướng đặc biệt đối tượng học sinh có học lực yếu biết làm tập dạng tương tự Để xác minh tính chân thực kiểm định lại suy nghĩ tơi tiến hành khảo sát sau : III KHẢO SÁT SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Đề bài: (25') Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử 6x2-11x+3 x3-7x+6 a6+a4+a2b2+b4-b6 Kết * Kết lớp chưa áp dụng sáng kiến 8B Lớp/Sĩ số 8B (33) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 0% 24,2% 14 42,4% 10 30,3% 3,1% * Kết lớp áp dụng sáng kiến 8A Lớp/Sĩ số 8A (30) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 30% 12 40% 30% 0% 0% 30 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử Kết thúc năm học 2018 - 2019, chúng tơi nhận thấy có khác biệt kết học tập lớp 8B (Lớp chưa áp dụng sáng kiến) với lớp 8A (Lớp áp dụng sáng kiến): + Học sinh học sinh giỏi lớp 8A đạt tỉ lệ cao lớp 8B 30 % + Học sinh học sinh lớp 8A đạt tỉ lệ cao lớp 8B 15,8 % + Học sinh học sinh trung bình lớp 8A so với 8B 12,4 % + Đặc biệt học sinh yếu lớp 8A khơng có Sau thực đề tài này, thấy em mở mang kiến thức Việc tiếp thu kiến thức cải thiện, mà em học hơn, thích học mơn tốn từ em có phần q tơi hơn, tin tưởng tơi trước Từ chỗ em ham học hơn, nên em có ý thức Tơi thấy sáng kiếnnày khơng giúp em tháo gỡ khó khăn học mà mang ý nghĩa giáo dục lớn Về phía thân, tơi thấy em q tơi hơn, từ tơi thêm u nghề, thêm tin vào nghiệp giáo dục “lý tưởng trồng người” Đây lời động viên thiết thực, q phấn khích làm tốt  31 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử C./ KẾT LUẬN Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau * Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kĩ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK * Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh cần nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, rèn luyện khả tự học, gợi say mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức * Đối với học sinh giỏi Ngoài việc nắm vững kiến thức bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác, tập mở rộng vấn đề, cụ thể hóa vấn đề để việc giải tốn Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho em thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, , khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em * Đối với giáo viên Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan đến chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến hướng giải hợp lí đề cập, giúp học sinh học sinh nắm dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập đẻ tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp cách đa 32 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện đẻ học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi say mê hứng thú học, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập môn tốt hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi Hướng phổ biến áp dụng Đề tài triển khai phổ biến áp dụng rộng rãi chương trình đại số cho năm học sau Hướng nghiên cứu phát triển - Đề tài nghiên cứu tiếp tục phương pháp phân tích đa thức phức tạp hơn, sâu vào việc nghiên cứu đa thức đặc biệt - Đặc biệt đề tài tiền đề giúp học tốt chương III Phương trình bậc dạng giải phương trình bậc cao  33 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán bồi dưỡng học sinh lớp đại số hình học ( Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều ) 255 tốn chọn lọc ( Vũ Dương Thuỵ - Trương Cơng Thành - Nguyễn Ngọc Đạm ) Ôn tập đại số ( Vũ Hữu Bình - Tơn Thân ) Tốn nâng cao đại số ( Vũ Hữu Bình ) Tốn bồi dưỡng học sinh đai số ( Vũ Hữu Bình - Tơn Thân - Đỗ Quang Thiều ) Ôn kiến thức luyện kĩ đại số (Vũ Hữu Bình - Tơn Thân – Bùi Văn Tuyên ) Toán nâng cao phát triển đại số ( Vũ Hữu Bình ) Bồi dưỡng lực tự học toán ( Đặng Đức Trọng – Nguyễn Đức Tấn ) XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS HÙNG CƯỜNG Tổng điểm Xếp loại TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH ( ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Tổng điểm Xếp loại TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH ... xuất thừa số chung, nhân tử chung đẳng thức 11 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập tự luyện Bài 1: Một vài kinh nghiệm... Qua tốn em có kiến thức kinh nghiệm cho việc giải toán Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử 12 Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm dạy dạng tốn... Một vài kinh nghiệm dạy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua tiết luyện tập ôn tập tập cụ thể 1.Thời gian thực phạm vi đề tài Trần Thị Thảo Trường THCS Hùng Cường Một vài kinh nghiệm