Đây là kinh nghiệm giải phương trình bậc cao dành cho học sinh trung học cơ sở. Nội dung tài liệu gồm một số phương pháp Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp 3: Đưa hai vế về luỹ thừa cùng bậc Phương pháp 4: Dùng bất đẳng thức Phương pháp 5: Dùng tính chất về số nghiệm thực của phương trình Bài tập tự luyện Rất hữu ích cho học sinh giỏi. Có thể dùng để ôn thi THPT( cấp 3)
I Đại cơng phơng trình Khái niệm phơng trình - nghiên cứu phơng trình Giả sử A(x) vµ B(x) lµ hai biĨu thøc chøa mét biÕn (x) Khi nói A(x) = B(x) phơng trình, ta hiểu phải tìm giá trị x để giá trị tơng ứng hai biểu thức Biến x đợc gọi ẩn số Giá trị tìm đợc ẩn số gọi nghiệm phơng trình Việc tìm nghiệm gọi giải phơng trình Mỗi biểu thức gọi vế phơng trình Điều kiện xác định phơng trình Điều kiện xác định phơng trình tập hợp giá trị ẩn làm cho biểu thức phơng trình có nghĩa Tập xác định viết tắt là: ĐKXĐ Hai phơng trình tơng đơng Hai phơng trình đợc gọi tơng đơng chúng có tập hợp nghiệm II Phơng trình bậc cao Định nghĩa Ta gọi phơng trình Đại số bậc n (n 3) ẩn x trờng số thực phơng trình đợc đa dạng: anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0= (1) Trong ®ã n � N*; a1, a2 an � R;a n Phơng pháp chung để giải phơng trình bậc cao Quy phơng trình bậc phơng trình bậc hai III Những kiến thức bổ trợ để giải phơng trình bậc cao Phơng trình bậc ẩn số Dạng tổng quát ax+b = 0; a, b h»ng sè; a �0 NghiƯm lµ x = -b/a * Nhận xét: Giải phơng trình mx+n = 0, phơng trình đà cho cha đà phơng trình bậc nên giải cần phải xem xét hết trờng hợp + Nếu m phơng trình có nghiÖm nhÊt x = -n/m + NÕu m= phơng trình có dạng 0x = n + Nếu n = phơng trình vô số nghiệm + Nếu n phơng trình vô nghiệm Phơng trình bậc hai ẩn * Dạng tổng quát: ax2 + bx+c = 0, ®ã a, b, c R, a Cách giải: * Dùng công thức nghiƯm: =b2 - 4ac + 0, PT cã nghiƯm ph©n biƯt x1,2 b � 2a ph©n biƯt x1,2 b '� ' a * Dùng định lý Vi-et Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1, x2 th× S = x1 + x2 = -b/a P = x1.x2 = c/a * Ph©n tÝch vÕ trái thành tích: Phơng trình tích Phơng trình tích phơng trình có dạng: F(x) G(x) H(x) = Cách giải: F(x) � G(x) F(x) G(x) H(x) = � � � � H(x) � Các định lý Định lý 1: Trên trờng số thực, phơng trình bậc n phân tích đợc thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai Định lý 2: Nếu phơng trình P(x) có nghiệm x=a P(x) M(x-a) Định lý 3: + Nếu phơng trình P(x) = có tổng hệ số x=1 nghiệm phơng trình + Nếu phơng trình P(x) =0 có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ x=-1 nghiệm phơng trình Định lý bất đẳng thức: (1) A B A B DÊu "=" xÈy AB � (2) A B �A B DÊu "=" xÈy AB � (3) A �A DÊu "=" xÈy A IV Một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình bậc cao Phơng pháp 1: Đa phơng trình tích a Định nghĩa: Phơng trình tích phơng trình có dạng F(x) G(x) H(x) = (1) b Cách giải: 000000000 00000000000000000000 Giải: Ta nhóm hạng tử thích hợp vế trái tạo thành bình phơng sư dơng c«ng thøc A2 - B2 = (A - B).(A + B) để biến vế trái thành tích x + 4x3 + 3x2 + 2x - 1= (x2 + 2x)2 - (x-1)2 =0 (x2 + x+ 1) (x2 +3x-1) = PT v« nghiƯm � x � �2 x � TËp � x 1 � � 3 13 3 13 � 3x x ; x2 2 nghiệm phơng trình (1.2) lµ S= �3 13 3 13 � ; � � � � VÝ dô 3: Giải phơng trình: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (1.3) Giải: Vế phải đa thức bậc 4, giả sử phân tích đợc thành hai nhân tử bậc hai x2 + pq+q x2 + rx + s; Trong ®ã p, q, r, s số nguyên cha xác định, đó: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (x2 + pq + q) (x2 + rx + s) Khai triển, nhóm hạng tử đồng số hạng bậc hai vế đồng thức ta cã hÖ sau: p q 4 � � s p qr 10 � � ps qr 37 � � qs 14 Giải hệ phơng trình ta đợc p =-5; q=2; s= -7; r=1 phơng trình đà cho trë thµnh: (x2 - 5x + 2) (x2 + x -7) =0 � x 5x � �2 � x x7 � ……………………… � 17 17 x1 ; x2 � 2 � � 1 29 1 29 x3 ; x4 � 2 Tập nghiệm phơng trình (1.3) �5 17 17 1 29 1 29 � ; ; ; � 2 � � S= � VÝ dơ 4: Gi¶i phơng trình: x4 - x3 + 2x2 - x + = (1.4) Giải: Phơng trình (1.4) (x2 + 1)2 - x(x2 + 1) = (x2 + 1)2 (x2-x + 1) = C¶ hai thõa số phía trái dơng nên tập nghiệm phơng trình (1.4) S = Ví dụ 5: Giải phơng trình: (x2 - 4)2 = 8x + (1.5) Giải: Phơng trình (1.5) (x2 - 4)2 + 16x2 = 16x2 + 8x (x2 - 4)2 - (4x + 1)2 = (x2 + 4x + 5) (x2 - 4x + 3) = PT v« nghiƯm � x 4x � �2 �� x1 1; x x 4x � Tập nghiệm phơng trình (1.5) S{1;3} Ví dụ 6: Giải phơng trình: 12x3 - 3x2 - 7x + = (1.6) Giải: Ta thấy x=-1 nghiệm phơng trình (1.6) => phơng trình (1.6) (x+1) (12x2 - 15x+8) = x 1 � �� � 12x 15x � TËp nghiÖm x1 1 � � 15 129 15 129 � x ; x3 24 24 phơng trình (1.6) S � 15 129 15 129 � ; �1; 24 24 Phơng pháp 2: Đặt ẩn phụ Phơng pháp đợc dùng với dạng phơng trình sau: = 2.1 Phơng trình trùng phơng: a Định nghĩa: Phơng trình trùng phơng phơng trình có dạng ax4 + bx2 + c = (a 0) (2.1) b Cách giải: + Bớc 1: §Ỉt x2 = y (y �0) => (2.1) ay2 + by + c = (2.2) Bíc 2: BiƯn luận phơng trình (2.2) qua trờng hợp =b2-4ac - Trờng hợp 1: (2.2) vô nghiệm => (2.1) vô nghiệm - Trờng hợp 2: =0 => (2.2) cã nghiÖm kÐp y0=-b/2a => NÕu y0 (2.1) v« nghiƯm NÕu y0 =0 => (2.1) cã mét nghiÖm x=0 NÕu y0 >0 => (2.1) cã hai nghiÖm x1 = y0 ; x y0 - Trêng hỵp 3: >0 => (2.2) cã hai nghiƯm ph©n biƯt y1 b b ; y2 2a 2a (Kh«ng mÊt tÝnh tổng quát ta giả sử y1 < y2) - Nếu y1 < y2 < => (2.1) v« nghiƯm - NÕu y1 < y2 = => (2.1) cã mét nghiÖm x=0 - NÕu y1 (2.1) cã hai nghiÖm x1 = y2 ; x y2 - NÕu 0=y1 < y2 => (2.1) cã nghiÖm x = 0; x2 = y2 ; x3 y2 - NÕu 0 (2.1) cã nghiÖm y1 ; x y ; x y ; x y c C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: Giải phơng trình x4 - 5x2 + = (2.1.1) x1 = Giải: Đặt x2 = y � th× (2.1.1) y2 - 5x + = => y1 = 2; y2 = Víi y1 = => x2 = => x1= 2; x Víi y2 = => x2 = => x3 = 3; x Tập nghiệm phơng trình (2.1.1) lµ S= 2; 2; 3; VÝ dụ 2: Giải phơng trình 2x4 + 7x2 + = (2.1.2) Giải: Đặt x2 = y th× (2.1.2) 2y2 + 7y + = => y1 -1/2 (loại); y2 -3 (loại) Phơng trình (2.1.2) vô nghiệm Tập nghiệm phơng trình (2.1.2) là: S = Ví dụ 3: Giải phơng trình 3x4- 5x2 - = (2.1.3) Giải: Đặt x2 = y � th× (2.1.3) 3y2 - 5y - 2= => y1 = 2; y2 -1/3 (lo¹i) Víi y1 = => x2 = => x1 = 2; x TËp nghiƯm cđa ph¬ng trình (2.1.3) S= 2; 2.2 Phơng trình đối xứng bậc chẵn a Định nghĩa: Phơng trình đối xứng bậc chẵn phơng trình có dạng: a0x2n + a1x2n-1 + an-1xn+1 + anxn + an+1xn-1 + + a1x+a0 = (2.2) b Cách giải: Nếu x = không nghiệm phơng trình (2.2) ta chia hai vế phơng trình (2.2) cho x2 �0 (2.2) a0x2n + a1x2n-1 + an-1x1 + anx0 + an+1x-1 + + a1x-(n-1)+a0x-n = a0(xn + x-n) + a1(xn-1 + x-(n-1)+ +an = Đặt y = x + x-1 => ta đa phơng trình (2.2) phơng trình bậc với ẩn y c C¸c vÝ dơ: ……………………… …………………………………………………… VÝ dơ 1: Giải phơng trình: 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = (2.2.1) Giải: x = nghiệm phơng trình (2.2.1), chia hai vế phơng trình (2.2.1) cho x2 nhóm lại ta cã: (2.2.1) 2(x2 + 1/x2) + 3(x+1/x) - 16 = Đặt: y = x + 1/x ta đợc phơng trình bậc hai 2y2 + 3y - 20 = => y1 = 5/2; => y2 = -4 Víi y1 = 5/2 => x+1/x = 5/2 2x2 - 5x + = => x1 = 2; x2 = 1/2 Víi y2 = -4 => x+1/x = -4 x2 + 4x + = => x3 = -2+ ; x4 = -2- TËp nghiÖm phơng trình (2.2.1) là: S= {2;1/2;-2+ ;-2- 3} Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + = (2.2.2) Gi¶i: x = không nghiệm phơng trình (2.2.2), chia vế phơng trình (2.2.2) cho x2 nhóm l¹i ta cã: (2.2.2) (x2 + 1/x2) - 3(x+1/x)+4 = Đặt x+1/x = y ta đợc phơng trình bËc hai y2 - 3y + = => y = ; y1 = Víi y1 = => x + 1/x =1 x2 - x + = phơng trình vô nghiệm Với y2 = => x + 1/x =2 x2 - 2x + = => x = Tập nghiệm phơng trình (2.2.2) là: S = {1} 2.3 Phơng trình đối xứng bậc lẻ a Định nghĩa: Phơng trình đối xứng bậc lẻ phơng trình có d¹ng ……………………… …………………………………………………… a0x2n+1 + a1x2n + an+1xn+1 + anxn + an-1xn-1 + + a1x+a0 = (2.3) b Cách giải: Phơng trình có nghiệm x=-1, Do ta chia hai vế phơng trình (2.3) cho (x+1) ta đợc phơng trình đối xứng bậc chẵn c Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh: 2x3 + 7x2 + 7x + = (2.3.1) Giải: Ta thấy x =-1 nghiệm (2.3.1) H¹ bËc (2.3.1) (x+1) (2x2 + 5x+2) = (x+1) (x+2).(2x+1) = x 1 � � �� x20 � � 2x � x 1 � � x 2 � � x 1/ � TËp nghiƯm cđa phơng trình (2.3.1) S = {1;-2;-1/2} Ví dụ 2: Giải phơng trình: x7-2x6+3x5 - x4 - x3 + 3x2 -2x +1 = 0(2.3.2) Giải: Ta thấy x=-1 nghiệm phơng trình (2.3.2) Dùng sơ đồ Hooc nơ để hạ bậc phơng trình -1 -2 -1 -1 -2 1 -3 -7 -3 (2.3.2) (x+1)(x - 3x + 6x - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = Ta giải phơng trình: (x6 - 3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = (*) (Đây phơng trình đối xứng bậc chẵn) Ta thấy x=0 không nghiệm phơng trình (*), ta chia c¶ vÕ cđa (*) cho x3 ta đợc: x3 - 3x2 + 6x - + 6/x - 3/x2 + 1/x3 = (x3 + 1/x3) =3(x2 +1/x2) +6(x+1/x)-7=0 (**) ……………………… 10 …………………………………………………… Đặt: x+1/x = t phơng trình t3 - 3t2 + 3t (**) -1=0 (t-1)3 = => t =1 => x+1/x = x2 - x + = Phơng trình vô nghiệm x+1=0 => x = -1 Tập nghiệm phơng trình (2.3.2) là: S = {-1} 2.4 Phơng trình phản thơng a Phơng trình phản thơng phơng trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = (2.4) (Hc: ax4 -bx3 + cx2 - bx + a = (2.4*) b Cách giải: x= không nghiƯm cđa (2.4), chia c¶ hai vÕ cđa (2.4) cho x2 ta cã: (2.4) ax2 + bx+c - b/x + a/x2 = a(x2 + 1/x2) + b(x-1/x) + c = Đặt: x-1/x = y ta có phơng trình: ay2 + by + c + 2a = giải phơng trình ta đợc nghiệm y0, giải phơng trình: x1/x = y0 ta đợc nghiệm phơng trình (2.4) Giải tơng tự phơng trình (2.4*) c Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 - 7x3 + 8x2 + 7x+ = (2.4.1) Giải: x = không nghiệm phơng trình (2.4.1), chia hai vế phơng trình (2.4.1) cho x2 ta cã: x2 - 7x + + 7/x+ 1/x2 = (x2 + 1/x2 )- 7(x - 1/x)+ = Đặt: x-1/x = y ta có phơng trình: y2 - 7y + 10 = ……………………… 11 …………………………………………………… => y1 = 5; y2 = Víi y1 = => x - 1/x = x2 - 5x - = � x1 29 29 ; x2 2 Víi y2 = => x-1/x = => x2 - 2x - => x3 = + ; x4 = 1- TËp nghiÖm phơng trình (2.4.1) là: S= 29 29 ; ;1 2;1 2 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x+ = (2.4.2) Gi¶i: x = không nghiệm phơng trình (2.4.2), chia hai vế phơng trình (2.4.2) cho x2 ta có: 6x2 + 7x -36 - 7/x+ 6/x2 = 6(x2 + 1/x2 )+ 7(x - 1/x)-36 = Đặt: x-1/x = y phơng trình trở thành: 6(y2 +2)+ 7y -36 = 6y2 + 7y - 24 = => y1 = 3/2; y2 = -8/3 Víi y1 = 3/2 => x - 1/x = 3/2 2x2 - 3x - = 0=> x1 = 2; x2 = -1/2 Víi y = -8/3 => x - 1/x = -8/3 3x + 8x - = 0=> x3 = 1/3; x4 = -3 TËp nghiƯm cđa ph¬ng trình (2.4.2) là: S = {2; -1/2; 1/3; 3} 2.5 Phơng trình hồi quy a Định nghĩa: Phơng trình hồi quy phơng trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 � dx+ e = (2.5) ®ã: e/a = (d/b)2 = t2 12 b Cách giải: x = không nghiệm phơng trình (2.5), chia hai vế phơng trình (2.5) cho x2 th× (2.5) ax2 + bx + c � d/x+ e/x2 = (ax2 + e/x2) + (bx �d/x)+ c = a(x2 + t2x-2) + b(x �tx-1)+ c = Đặt: x tx-1 = y (2.5*) ay + by+ c � 2at = giải phơng trình ta đợc nghiệm y0, giải x tx-1 = y0 ta đợc nghiệm phơng trình (2.5) c Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 - 3x3 + 3x+1 = (2.5.1) Giải: x = không nghiệm phơng trình (2.5.1), chia hai vế phơng trình (2.5.1) cho x2 th× (2.5.1) x2 - 3x + +3/x +1/x2 = (x2 + 1/x2) - (x-1/x) = Đặt: x-1/x = t ta có phơng trình: t2 - 3t + = o => t = 1; t2 = Víi t1 = => x-1/x = 1 x 2- x-1= => x1 = 1 1 ; x2 2 Víi t2= 2=> x-1/x = 2=> x2- 2x-1= => x3 = 2; x TËp nghiÖm phơng trình (2.5.1) là: � ; ;1 2;1 � S= Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + = (2.5.2) ……………………… 13 …………………………………………………… Gi¶i: Ta thÊy x = không nghiệm phơng trình (2.5.2) chia hai vế phơng trình (2.5.2) cho x2 ta đợc: x2 + 3x - 14 - 6/x + 4/x2 = Đặt: x-2/x = t => x2 + 4/x2 = t2 + Phơng trình (2.5.2) trở thành: t2 + 3t - 10 = => t1 = 2; t2 = -5 Víi t1 = => x-2/x = x2 -2x - = => x1 = 3; x Víi t2 = -5 => x-2/x = -5 x2 +5x - = => x3 = 5 33 5 33 ; x4 2 TËp nghiÖm phơng trình (2.5.2) là: 3;1 3; S= � � 5 33 5 33 ; 2 2.6 Phơng trình có dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (2.6) a Cách giải: §Ỉt y = x+ ab ab � x y 2 ab � xa y � � Khi ®ã: � �x b y a b Phơng trình (2.6) có dạng: (y ab ab ab 2 ab ) + (y ) = c 2y4 + 12( ) y + 2( 2 2 )4 - c=0 Đây phơng trình trùng phơng ta đà biết cách giải b Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình (x+2)4 + (x+8)4 = 272 (2.6.1) Giải: Đặt y=x+ 28 = x+5 => x=y-5 14 …………………………………………………… (2.6.1) (y-3)4 + (y+3)4 = 272 2y4 + 108y2 + 162 = 272 2y4 + 108y2 - 110 = y4 + 54y2 - 55 = (2.6.1') Đặt: y2 = z phơng trình (2.6.1') có dạng: Z2 + 54z - 55 = => z1 = 1; z2 = -55 (lo¹i) Víi z1 = =>y1 = 1; y2 = -1 y1 = =>x1 = -4 y2 = -1 =>x2 = -6 TËp nghiƯm cđa phơng trình (2.6.1) là: S{-4;-6} Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x-6)4 + (x-8)4 = 16 Đặt: y = x+ (2.6.2) (6) (8) = x-7 => x=y+7 (2.6.2) => (y+1)4 + (y-1)4 = 16 2y4 + 12y2 + = 16 y4 + 6y2 - = Đặt: y2 = z phơng trình cã d¹ng: z2 + 6z - = => z1 = 1; z2 =-7 (lo¹i) Víi z1 = => y1 = 1; y2 = -1 => x1 = 8; x2 = tập nghiệm phơng trình (2.6.2) là: S= {8;6} 2.7 Phơng trình: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 (2.7) ad =bc a Cách giải: Ta nhóm: [(x+a) (x+d)][ (x+b) (x+c)] = mx2 [x2 + (a+d)x + ad] x2 + [(b+c)x + bc] = mx2 (2.7.1') Ta thấy x = không nghiệm phơng trình (2.7.1'), chia hai vế phơng trình (2.7.1') cho x2 (2.7.1') [x + (a+d) + ad x-1] x + (b+c) + bc x-1] = m ……………………… 15 Đặt: y = x+ad x-1 ta có phơng trình: [y+(a+d] [y+(b+c)] = m (2.7.1'') Giải phơng trình (2.7.1'') ta đợc nghiệm y0 Giải phơng trình x+ad x-1 = y0 ta đợc nghiệm phơng trình (2.7) b Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x+2)(x+3)(x+8)(x+12) = 4x2 (2.7.1) Gi¶i: (2.7.1) [((x+2) (x+12)][ (x+3) (x+8)] = 4x2 (x2 + 14x+24) (x2 + 11x+ 24)= 4x2 Ph¬ng trình nghiệm x = 0, chia hai vế phơng trình x2 ta đợc phơng trình: (x + 14+24/x) (x + 11+ 24/x)= Đặt: x+24/x = y đa phơng trình dạng: (y+14)(y+11) = y2 + 25y+ 150 = => y1 = -15; y2 = -10 Víi y1 = -15 => x+24/x = -15 x2 + 15x + 24 = � x1 15 129 15 129 ; x2 2 Víi y2 = -10 => x+24/x = -10 x2 + 10x + 24 = => x3 = -6; x4 = Tập nghiệm phơng trình (2.7.1) là: 15 129 15 129 ; ; 6; � 2 S= Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x+1) (x-4) (x+3) (x-12) = -2x (2.7.2) Giải: (2.7.2) [(x+1) (x-12)] [(x-4) (x+3)] = -2x2 ……………………… 16 …………………………………………………… (x2 - 11x - 12) (x2 - x - 12) = -2x2 phơng trình nghiệm x=0, chia hai vế phơng trình cho x2 ta đợc: (x - 11 - 12/x) ( x-1 - 12/x) = -2 Đặt: x-12/x = y phơng trình trở thµnh (y-11) (y-1) = -2 y2 - 12y + 13 = => y1 = 1; y2 = 13 Víi y1 = => x-12/x = x - x - 12 = => x1 = 4; x2 = -3 Víi y2 = 13 => x-12/x = 13 x2 - 13x - 12 = => x TËp 13 217 13 217 ; x4 2 nghiệm phơng trình (2.7.2) lµ: S= � 13 217 13 217 � ; �4; 3; � 2 � � 2.8 Phơng trình dạng: d(x+a)(x+b)(x+c) = mx (2.8) d= abc ; m=(d-a)(d-b) (d-c) a Cách giải: Đặt y = x+d => x=y-d thay vào phơng trình (2.8) ta đợc phơng trình ẩn y; giải phơng trình ta tìm đợc nghiệm y0 Giải phơng trình x=y0 - d ta tìm đợc x0 nghịêm (2.8) b Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình (x-2)(x-3)(x+7) = -72x Giải: Đặt y=x+ (2) (3) =x+1 (2.8.1) => x=y-1 thay vµo (2.8.1) ta cã: ……………………… 17 …………………………………………………… (y-3)(y-4)(y+6) = -72(y-1) y3 - y2 + 42y = y(y2- y + 42) = y0 � �2 y y 42 Phơng trình vô nghiệm Với y = => x = - = -1 TËp nghiƯm cđa phơng trình (2.8.1) là: S={-1} Ví dụ 2: Giải phơng trình: 8(x+2)(x+5)(x+9) = -18x (2.8.2) Giải: Đặt y=x=8 => x=y-8 thay vµo (2.8.2) ta cã: (y-6) (y-3)(y+1) = -18 (y-8) 4y3 - 32y2 + 45y = y(4y2 - 32y + 45) = 16 76 16 76 ; y3 4 Giải phơng trình ta đợc: y1 = 0; y2 = Với y1 = => x1 = -8 Víi y2 = 16 76 16 76 => x2 = -8= 4 Víi y3 = 16 76 76 16 => x3 = 4 TËp nghiƯm cđa phơng 76 16 trình: (2.8.2) là: S = � 76 16 76 16 � ; 8; 4 2.9 Phơng trình cã d¹ng: (x+a) (x+b) ( x+ c) (x+d) = m (2.9) đó: a+d= b +c a Cách giải: Ta nhóm [(x+a) (x+d) ] [(x+b) (x+c)] = m (2.9.1') Đặt: y = (x+a) (x+d) thay vào phơng trình (2.9.1') ta tìm đợc y0 Giải phơng trình (x+a) (x+d) = y0 ta có x0 nghiệm phơng trình (2.9.1') b Các ví dụ: 18 Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x+5) (x+6) (x+8) (x+9) = 40 (2.9.1) Giải: (2.9.1) [(x+5) (x+9)] [(x+6) (x+8) ] = 40 (x2 + 14x + 45) (x2 + 14x + 48) = 40 Đặt: x2 + 14x + 45 = y phơng trình có dạng: y(y+3) = 40 y2 + 3y - 40 =0 => y1 = 5; y2 = -8 Víi y1 = => x2 +14x + 45 = x2+14x + 40 = 0=> x1 =-4; x2=-10 Víi y2 = -8 => x2 +14x + 45 =-8 x2+14x + 53=0 PT v« nghiƯm TËp nghiƯm phơng trình: (2.9.1) là: S = {-4; -10} Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x-1) (x+7) (x2 + 2x - 15) = 297 (2.9.2) Gi¶i: (2.9.2) (x-1) (x+7) (x-3) (x+5) = 297 [(x-1) (x+5) [(x+7) (x-3)] = 297 (x2 + 4x - 5) (x2 + 4x - 21) = 297 Đặt x2 + 4x - = y phơng trình có dạng: y(y-16) = 297 y2 - 16y - 297 = => y1 = 27; y2 = -11 Víi y1 = 27 => x2 + 4x - = 27 => x2 + 4x - 32 = => x1 =-8; x2 = Víi y2 =-11 => x2 + 4x - = -11 => x + 4x +6 = PT v« nghiệm Tập nghiệm phơng trình (2.9.2) là: S = {-8;4} 2.10 Phơng trình tam thức: a Định nghĩa: Phơng trình tam thức phơng trình có dạng: ax2n + bxn + c = (a �0) (2.10) Trong ®ã: a,b,c số thức, n nguyên dơng, n 19 Nếu a,b,c số thực đồng thời khác n = (2.10) phơng trình trùng phơng b Cách giải: xn y (*) Đặt x = y (2.10) ay by c (**) � n Giải; (**) ta tìm đợc y0 thay vào (*) ta tìm đợc x0 nghiệm (2.10) c Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: x6 - 7x3 + = (2.10.1) Giải: Đặt x3 = y th× (2.10.1) y2 - 7y + = => y1 = 1; y2 = Víi y1 = => x3 = => x=1 Víi y2 = => x3 = => x = Tập nghiệm phơng trình (2.10.1) là: S = {1; Ví dụ 2: Giải phơng trình: x10 + x5 - = 6} (2.10.2) Giải: Đặt x5 = y th× (2.10.2) y2 + y - = => y = 2; y2 = -3 Víi y1 = => x5 = => x = Víi y2 = -3 => x5 = -3 => x = Tập nghiệm phơng trình (2.10.2) lµ: S = { ; 3 } Phơng pháp 3: Đa hai vế luỹ thừa bậc a Cơ sở lý luận: Thêm bớt vào hai vế phơng trình biểu thức (hay số) để đa vế phơng trình trở thành luỹ thừa bậc Phơng trình: An = Bn (3.1) + Nếu n số chẵn A = B + Nếu n số lẻ A = B (3.2) (3.3) Giải phơng trình (3.2) (3.3) ta tìm đợc nghiệm phơng trình (3.1) ……………………… 20 …………………………………………………… b C¸c vÝ dơ: VÝ dơ 1: Giải phơng trình: x4 = 24x + 32 (3.1.1) Giải: Cộng 4x2 + vào hai vế phơng tr×nh (3.1.1) ta cã: x4 +4x2 + = 4x2 + 24x + 36 (x2 + 2) = (2x+ 6)2 �2 � x2+2=2x+6 � �x -2x-4=0 � x1=1+ 5; x2=1- � x +2=-2x-6 �x2+2x=4=0 ph¬ng trình vô nghiệm Tập nghiệm phơng trình (3.1.1) lµ: S = { ; } Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x2 - 9)2 = 12x +1 (3.1.2) Giải: Cộng 36x2 vào hai vế phơng trình (3.1.2) (x2 - 9)2 + 36x2 = 36x2 + 12x + (x2 + 9)2 = (6x + 1)2 � x2+9=6x+1 � x +9=-6x-1 � � x2-6x+8=0 �x =2; x =4 trình vô x +6x+10=phơng nghiệm Tập nghiệm phơng trình (3.1.2) là: S = {2;4} Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức a Cơ sở lý luận: * Dùng tính đơn điệu hàm số khoảng: Đa phơng trình đà cho dạng f(x) = g(x) (1*) + Nếu x1 > x2 mà f(x1) > f(x2) f(x) hàm đồng biến + Nếu x1 > x2 mà f(x1) < f(x2) f(x) hàm nghịch biến 21 + Nếu f(x) tăng [a,b] g(x) giảm [a,b] x0 nghiệm (1*) f(x0) = g(x0) + Nếu f(x) giảm [a,b] g(x) tăng [a,b] x0 nghiệm nhÊt cđa (1*) f(x0) = g(x0) * Dïng c¸c bÊt ®¼ng thøc A B �A B dÊu "=" xÈy AB � A B �A B dÊu "=" xÈy AB � A � A dÊu "=" xÈy A � b Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: x x (4.1) Giải: áp dụng bất đẳng thức A B A B dÊu "=" xÈy AB � x x x x �x x 1 XÈy dÊu đẳng thức khi: x(1-x) x Tập nghiệm phơng trình (4.1) lµ: S = {x/0 �x �1} VÝ dơ 2: Giải phơng trình x x (4.2) Giải: Viết phơng trình (4.2) dới d¹ng: x 8 x 9 1 DƠ thấyx =8; x =9 nghiệm của(4.2).Xét giá trị lại x Với x x x phơng trình (4.2) vô nghiệm x9 th× x x cßn x >0 => x x phơng trình (4.2) vô nghiệm x>9 Víi 8 x x x 6 => x x x x => x x => phơng trình (4.2) vô nghiệm Kết luận:Tập nghiệm phơng trình (4.2) là: S = {8;9} Phơng pháp 5: Dùng tính chất số nghiệm thực phơng trình a Cơ sở lý luận: Ngời ta chứng minh đợc phơng trình đại số bậc n có không n nghiệm thực Do ta đợc n nghiệm phơng trình đại số bậc n tất nghiệm phơng trình Ví dụ: Giải phơng trình với a lµ tham sè: (a2 - a)2 (x2 - x+1)3 = (x2 - x)2 (a2 - a + 1)3 (5.1) Giải: Với a = a = (5.1) cã hai nghiƯm: vµ XÐt a �0, a Khi x (Vì x = a = a = 1) Gäi m lµ nghiƯm cđa (5.1) => (a2 - a)2 (m2 - m + 1)3 = (m2 - m)2 (a2 - a + 1)3 (5.1.1') Chia hai vÕ cña (5.1.1') cho m2 ta cã: (a2 - a)2 (1-1/m+1/m2)3 = (1/m - 1/m2)2 (a2 - a + 1)3 (a2 - a)2 (1/m2 - 1/m + 1)3 = (1/m2 - 1/m)2 (a2 - a + 1)3 ……………………… 23 …………………………………………………… §iỊu nµy chøng tá r»ng 1/m cịng lµ nghiƯm cđa (5.1) Ta dễ dàng chứng minh đợc 1- m nghiƯm cđa (5.1) VËy a lµ mét nghiƯm cđa (5.1) theo 1/a 1-a nghiệm (5.1) Do 1/a nghiệm (5.1) nên 1-1/a lµ nghiƯm cđa (5.1) Do 1-a lµ nghiƯm cđa (5.1) nên nghiệm a (5.1) Do ®ã 1- cịng lµ nghiƯm cđa (5.1) 1 a Điều kiện để sáu giá trị a, 1/a, 1-a, 1-1/a, 1 , 1đôi a a khác lµ: a �0, a � 1, a �-1; a 2; a 1/2 Các trờng hợp a = 0, a = đà xét Trong trờng hợp a = -1, a =2, a = 1/2, phơng trình (5.1) có dạng: 4(x2 - x + 1)3 = 27 (x2 - x)2 (x+1)2 (x-2)2 (2x-1)2 = Phơng trình có nghiệm kép: -1; 2; 1/2 Trong trêng hỵp a �0, a ��1, a � 2, a 1/2, phơng trình có nghiệm nêu trên, không nghiệm khác Một số phơng pháp khác: Ví dụ 1: Giải phơng trình: (3-x)4 + (2-x)4 = (5-2x)4 (6.1) Giải: Đặt 3-x = y; 2-x = z => 5-2x = y+z phơng trình (6.1 có dạng: y4 + z4 = (y+z)4 Khai triĨn vÕ ph¶i, rót gän råi biến đổi ta đợc: yz (2y2 + 3yz + 2z2 ) = � y0 � �� z0 � 2y 3yz 2z � ……………………… 24 …………………………………………………… Víi y = => 3-x = => x1 = Víi z = => - x = => x2 = Víi 2y2 + 3yz + 2z2 = => 2(3-x)2 + (3-x) (2-x) + (2x)2 = 7x2 - 35x + 44 = phơng trình vô nghiệm Tập nghiệm phơng trình (6.1) là: S = {3;2} Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x2 - x + 1)4 - 10x2 (x2 - x + 1)2 + 9x4 = (6.2) Giải: Đặt (x2-x+1)2 = y phơng trình (6.2) trë thµnh: y210x2y +9x4 = (y-x2) (y-9x2) = => y1 = x2; y2 = 9x2 � x2 x x Víi y1 = x => (x - x + 1) = x �2 x x x � 2 2 � x 2x � x1 x � �2 Phơng trình vô x nghiệm x x 3x Víi y2 = 9x => (x - x + 1) = 9x � �2 x x 3x � � x 4x � �2 x 2x � 2 � x 3; x � x x Tập nghiệm phơng trình (6.2) lµ: S = {1; - 1; ; 3} Ví dụ 3: Giải biện luận phơng trình với a tham số: x4 - 2ax2 - x + a2 - a = (6.3) Gi¶i: BiÕn ®æi (6.3) (x2 - x - a) (x2 + x + - a) = � x2 x a (*) � �2 x x a (**) � Ph¬ng trình (*) có = 1+4a, phơng trình (**) có = 4a-3 - Nếu a