Toán 9 HSG 0708

PHÒNG GD BUÔN ĐÔN ĐỀ THI HSG HUYỆN-NĂM HỌC 2007-2008 THCS TRẦN HƯNG ĐẠO Môn: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài:150 phút Bài 1 ( 3 điểm ) Cho P = )2(2 242242 − −+++−−+ x xxxx Với x > 2 Rút gọn Bài 2 ( 3 điểm ) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba cạnh của tam giác. Thì phương trình x 2 + [ 1 + ( b c ) 2 -( b a ) 2 ]x + ( b c ) 2 = 0 Vô nghiệm Bài 3 ( 3 điểm ) Chứng minh rằng. Nếu a.b.c = 1 thì 1 ++ aab a + 1++ bbc b + 1++ cac c = 1 Bài 4 ( 4 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BD tại D. a) C/M tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc BC b) C/M AE x AB = AF x AC c) 0 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC tính tỷ số BC K0 khi tứ giác BHOC nội tiếp. d) Cho HF = 3Cm , HB = 4 Cm , CE = 8 Cm , và HC >HE. Tính HC Bài 5 ( 4 điểm ) Cho đường tròn tâm O , M là một điểm trong đường tròn, dựng dây AB qua M sao cho tam giác OAB lớn nhất. Bài 6 ( 3điểm ) Giải và biện luận hệ phương trình.    −=++ =+ 1)1(3 12 ymx ymx PHÒNG GD BUÔN ĐÔN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG HUYỆN THCS TRẦN HƯNG ĐẠO Môn: TOÁN-LỚP 9 NĂM HỌC 2007-2008 Bài 1 P = )2(2 )22()22( 22 − +−+−− x xx = )2(2 2222 − +−+−− x xx (1 điểm) Nếu 6022 ≥⇔≥−− xx (0,5 điểm) Thì P = )2(2 2222 − +−+−− x xx = 2 2 − − x x (0,5 điểm) Nếu 022 <−−x thì x<6 (0,5 điểm) P = )2(2 2222 − +−++−− x xx = 2 2 − x (0,5điểm) Bài 2 b 2 x 2 + (b 2 + c 2 –a 2 )x + c 2 = 0 (0,5điểm) 222222 4)( cbacb −−+=∆ = (b - c - a) . (b – c + a) . (b + c –a) . (b + c + a) (1,5điểm) Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác 0))()()(( 0 0. 0 0) <++−++−−−=∆⇒        >++ >−+ >−+ <−− ⇒ acbacbacbacb acb acb cab acb (1 điểm) ⇒ phương trình vô nghiệm Bài 3 Nhân cả tử số và mẫu số của 1 ++ aab a Với c (1 điểm) Ta được cac ac cacabc ac ++ = ++ 1 (vì abc = 1) Nhận của tử số và mẩu số của 1++ bbc b với ac ta được (1 điểm) 1 1 1 11 1 1111 = ++ ++ = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ cac cac cac c acccac ac cac c bbc b aab a (1 điểm) Bài 4 ( Học Sinh vẻ hình ghi giải thích , kết luận đúng được 0,5 điểm) a) ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB,AC với đường tròn đường kính BC ⇒ Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC ⇒ góc BEC = góc BFC = 90 0 ( Góc Nội Tiếp nữa đường tròn) ⇒ BF,CE là hai đường cao của tam giác ABC ⇒ H là trực tâm ⇒ AH Vuông Góc BC (0,5diểm) b) Chứng minh Tam giác AEC ∞ tam giác AFB (g – g ) ( 0.5 điểm) AFxACAExAB AB AC AF AE =⇒=⇒ ( 0,5điểm) c) Khi BHOC nội tiếp gocBHCgocBOC =⇒ Mà gocBHC=gocEHF và góc EHF+gócEAF=180 (tứ giác AEHF nội tiếp) ⇒ gócBOC +gócBAC=180 0 ⇒ 3. gócBAC=180 0 ⇒ gócBAC=60 0 ⇒ góc BOC=120 0 (0.5điểm) Ta có K là trung điểm của BC .O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC BCOK ⊥⇒ Mà tam giác OBC cân tại O 0 60 2 1 ==⇒ gocBOCgocKOC (0.25 điểm) )1( 1 1 = ++ = ++ vìabc accacabcbacc abc a) H A K C F E B D 3 3 60cotcot 0 ===⇒ ggKOC KC OK Mà BC=2KC nên 6 3 = BC OK (0.25 điểm) d) Chứng minh tam giác EHB đồng dạng tam giác FHC (g_g) cmHFHBHCHE HC HB HF HE 123.4 ===⇒=⇒ (0.5 điểm) 012812).( 2 =+−⇒=−⇒ HCHCHCCEHC 2 =⇒ HC hoặc HC=6 (0.5 điểm) Khi HC=2 thì HE=6 (không thoả mãn vì HC>HE) Khi HC=6 thì HE =2 (thoả mãn) Vậy HC=6cm (0.25 điểm) Bài 5 Phân tích :Kẻ OH ⊥ AB .Góc OAB lớn nhất thì sinOAB lớn nhất R OH OA OH OAB ==⇔ sin (lón nhất) ⇔ OH lớn nhất Kẻ AB ⊥ OM thì ta luôn có OM ≥ OH .Vậy OH lớn nhất khi M trùng H hay OM ⊥ AB (1,5 điểm) Cách dựng: Nối O vói M B A B A H M Dựng AB ⊥ OM .Nối O vói A Vẽ hình đúng (1 điểm) Chúng minh: đúng (0.5 điểm) Biện luận:- Xét M trùng vói O luôn có một nghiệm hình - Xét M khác O có vô số nghiệm hình (1điểm) Bài 6    −=++ =+ 1)1(3 12 ymx ymx        −= − ++ − = ⇒ 1 2 1 ).1(3 2 1 mx mx mx y ⇔ x(m-2)(m+3) =m+3 (1) (1điểm) +Nếu (m+3) (m-2) ≠ o hay m ≠ -3;m ≠ 2 (0.5 điểm) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất 2 1 ; 2 1 − − = − = m y m x +Nếu (m+3)(m-2)=0 thì m=-3 ;m=2 . Nếu m=-3 thì pt(1) có vô số nghiệm .Nghiệm tổng quát:(x;y)=( Rx x ∈ + / 2 31 ) (0.5 điểm) . Nếu m=2 thì pt (1) ⇔ 0x=5 ⇒ ptvn ⇒ hệ vô nghiệm (0.5 điểm) * kết luận (0.5 điểm) . . PHÒNG GD BUÔN ĐÔN ĐỀ THI HSG HUYỆN-NĂM HỌC 2007-2008 THCS TRẦN HƯNG ĐẠO Môn: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài:150 phút Bài 1 ( 3 điểm. PHÒNG GD BUÔN ĐÔN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG HUYỆN THCS TRẦN HƯNG ĐẠO Môn: TOÁN-LỚP 9 NĂM HỌC 2007-2008 Bài 1 P = )2(2 )22()22( 22 − +−+−−