Phòng GD&ĐT Tiên Lãng bài thi học sinh giỏi năm học 2008-2009 Môn Toán Lớp 9 phần trắc nghiệm khách quan (2 điểm) ( Thời gian làm bài 30 phút ) Họ và tên . Lớp . Trờng THCS . SBD Phòng Giám thị Số phách 1/ 2/ Điểm phần trắc nghiệm khách quan Giám khảo Số phách Bằng số: Bằng chữ: 1/ 2/ Em hãy khoanh tròn vào chữ cái in hoa đứng trớc câu trả lời đúng . Câu 1: Có tất cả bao nhiêu số nguyên dơng là nghiệm của phơng trình (x 2 -1)(4x 2 -1) = 0? A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 2: Nếu 2x+y = 2 thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4x 2 +y 2 bằng A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 3: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có giá trị lớn nhất? A. 2 2008 B. 2007 2009+ C. 2006 2010+ D. 6 2011 2005 Câu 4: Nếu 1 5x x + = thì 2 2 1 x x + = ? A. 5 B. 5 C. 3 D. 3 Câu 5: Phơng trình 2 2 30 10 2008x x + = có bao nhiêu nghiệm? A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 6: Cho 0 O < <45 O . Tỉ số lợng giác nào sau đây có giá trị lớn nhất? A. sin B. cos C. tg D. cotg . Câu 7: Nếu tam giác ABC đồng dạng với các tam giác MNP và DEF lần lợt theo các tỉ số 1 3 và 2 5 thì tam giác MNP đồng dạng với tam giác DEF theo tỉ số nào ? A. 2 15 B. 6 5 C. 15 2 D. 5 6 Câu 8: Tam giác ABC có Â = 45 O , à B = 15 O , BC = 2 3 . Tính AB. A. 3 2 B. 2 6 C. 3 3 D. 3 6 . Câu 9: Diện tích toàn phần của một hình lăng trụ lục giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 6cm, chiều cao bằng 8cm là: A. 288 cm 2 B. 288 +54 3 cm 2 C. 288+108 3 cm 2 D. 432 3 cm 2 Câu 10: Cho tam giác ABC có Â>90 O , đờng cao AH. Gọi I là hình chiếu của H trên AB. Kết luận nào sau đây không đúng? A. AB 2 +HC 2 =AC 2 +HB 2 B. BH 2 = BA.BI C. HI 2 = AI.BI D.AH 2 = BH.HC. =========================== Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi năm học 2008-2009 Môn Toán Lớp 9 phần tự luận (8 điểm) ( Thời gian làm bài 120 phút ) Phần tự luận ( 8 điểm) ( Thời gian làm bài 120 phút ) Bài 1: (2 điểm) a/ Với giá trị nào của m thì phơng trình 3 3 1 2 x m m = có nghiệm là x = 3 . b/ Giải phơng trình x 3 2 + 3x 2 -2 = 0. Bài 2: (2 điểm) a/ Chứng minh rằng A = 6 2 5 13 48 3 1 + + + là một số nguyên. b/ Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: ( ) 2 2 2 2 2 2 2a b c a b b c c a+ + + + + + + < (a+b+c) 3 Bài 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC (Â= 90 O ), đờng cao AH, phân giác AD. Biết AH =21cm; CH = 28cm. a/ Tính AC, AB. b/ Tính diện tích tam giác ABD. Bài 4: (2 điểm) Tứ giác lồi ABCD có các đờng chéo cắt nhau tại I và ã BIC < 90 O . Gọi G và P lần lợt là trọng tâm của các tam giác AIB và CID; H và K lần lợt là trực tâm các tam giác BIC và AID. Chứng minh GP HK. ==============Hết============== Phòng GD&ĐT Tiên Lãng hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp 9 năm học 2008-2009 I/ Phần trắc nghiệm khách quan ( 2điểm ) Mỗi câu đúng cho 0,2 điểm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A C A D B A C D II/ phần tự luận (8 điểm) Nội dung Điểm Bài 1: (2 điểm) a/ ĐK: m 1 Phơng trình có nghiệm x = 3 khi và chỉ khi 3 3 3 1 2 m m = 0.25 Từ đó suy ra m = 3. 0.5 m =3 thoả mãn điều kiện m 1. Vậy với m =3 thì phơng trình 3 3 1 2 x m m = có nghiệm là x = 3 . 0.25 b/ Đặt y = x 2 phơng trình trở thành y 3 + 3y 2 4= 0 0.25 (y-1)(y+2) 2 = 0 y 1 = -2; y 2 = 1. 0.5 x 1 = - 2 ; x 2 = 2 2 .Vậy phơng trình có nghiệm x 1 = - 2 ; x 2 = 2 2 0.25 Bài 2: (2 điểm) a/ A = 6 2 4 2 3 3 1 + + 0.25 = ( ) 6 2 3 1 3 1 + + 0.25 = 4 2 3 3 1 + + 0.25 = 3 1 3 1 + + = 1. Vậy A là một số nguyên. 0.25 b/ Chứng minh đợc ( ) ( ) 2 2 2 2a b a b+ + suy ra a+b ( ) 2 2 2 a b + 0.25 Tơng tự có b+c ( ) 2 2 2 b c + ; c+a ( ) 2 2 2 c a + suy ra ( ) 2 2 2 2 2 2 2a b c a b b c c a+ + + + + + + . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều. 0.25 Do a, b ,c là ba cạnh của một tam giác nên (a-b) 2 < c 2 ( ) 2 2 a b+ < 2 2c ab+ tơng tự có ( ) 2 2 b c+ < 2 2a bc+ ; ( ) 2 2 c a+ < 2 2b ca+ 0.25 2 2 2 2 2 2 a b b c c a+ + + + + < 2 2c ab+ + 2 2a bc+ + 2 2b ca+ Chứng minh đợc (x+y+z) 2 3(x 2 +y 2 +z 2 ). áp dung bất đẳng thức trên suy ra 2 2c ab+ + 2 2a bc+ + 2 2b ca+ (a+b+c) 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a+ + + + + < (a+b+c) 3 Nếu HS sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki hay một bất đẳng thức phụ khác nhng không chứng minh thì trừ 0.125đ 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 3 7 ABD ABC S S = S ABD = 196,875 cm 2 0.5 0.25 0.5 MH = MC.cotg ; FM = MA.cotg suy ra FH = AC.cotg 0.5 Tơng tự chứng minh đợc FK = BD.cotg nên FH AC FK BD = 0.25 Suy ra FH EP FK EG = nên các tam giác GEP và KFH đồng dạng. 0.25 ã ã HKF PGE= . Mà ã KQN =90 nên ã ã QKN QNK+ =90 O ã ã GNH NGP+ =90 O GP HK 0.25 Tổng 8.0 L u ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Nếu học sinh không vẽ hình thì chấm một nửa số điểm của phần làm bài hình, học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình. - Bài làm không chặt chẽ, không đủ các cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó. Tuỳ theo bài làm của học sinh giám khảo có thể chia nhỏ mỗi ý của biểu điểm. ==========Hết========== D B A C H Bài 3: (2 điểm) a/ Tính được AC = 35cm Tính được AB = 26,25cm b/Tính đượcS ABC = 459,375cm 2 . 3 4 ABD ACD S BD AB S CD AC = = = N Q G P E H F M K I A B D C Bài 4: (2 điểm) Gọi E là trọng tâm tam giác AID; M, F lần lượt là giao điểm của BH với AC và AK;Q, N lần lượt là giao điểm của EG với AK và HK. Đặt suy ra C/m