de thi HSG Toan 9

®Ị thi häc sinh giái cÊp hun. M«n: To¸n 9. N¨m häc: 2009 2010.– Thêi gian lµm bµi: 150 phót ( Kh«ng kĨ thêi gian ph¸t ®Ị ) Bµi 1: Cho biĨu thøc 3 2 6 3 3 2 1 3 x x x x A x x x x − − + = − + + − + − a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän A. b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A khi x = 27 - 10 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cđa x. Bµi 2 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. a) T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = - 2x + 1. b) T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè ®i qua ®iĨm (1; -4). c) T×m ®iĨm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cđa hµm sè lu«n ®i qua víi mäi m. d) T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè t¹o víi trơc tung vµ trơc hoµnh mét tam gi¸c cã diƯn tÝch b»ng 1 (®¬n vÞ diƯn tÝch). Bµi 3: Cho hƯ ph¬ng tr×nh: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) − = −   + = +  a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh khi m = -1. b) Gäi nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ĩ M = -(x 2 + y 2 ) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. c) T×m ®¼ng thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo m. Bài 4: Cho ∆ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O), kẻ dây cung AM (M thuộc cung nhỏ AC), từ C kẻ đường vuông góc CD với AM, đường này cắt BM tại E, đường kính qua A cắt BC tại trung điểm N (N ∈ BC). a) Chứng minh: DMEDMC ∠=∠ , suy ra ∆MDC = ∆MDE b) Chứng tỏ AC = AE. Khi AM quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào? c) Chứng minh CEBBAC ∠=∠ .2 . d) Chứng minh bốn điểm A, N, C, D cùng thuộc một đường tròn. Bµi 5: Cho ABC (AC > AB), trung tun AD, M lµ ®iĨm n»m gi÷a 2 ®iĨm A vµ D Chøng minh: AC - AB > MC - MD Bµi 6: a) Cho a, b > 0 vµ a + b = 1. T×m GTNN cđa B = ab 1 + 22 1 ba + b) Tìm nghiệm ngun của phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm 1 Đáp án H ớng dẫn chấm. Kỳ thi Học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán 9. Năm học: 2009 2010. Bài Câu Nội dung Điểm 1 (3.5) a (1.25) Cho biểu thức 3 2 6 3 3 2 1 3 x x x x A x x x x + = + + + Rút gọn P: ĐK x 0, x 9 2 3 2( 3) ( 3)( 1) ( 1)( 3) 8 1 x x x x x P x x x x + + = + + = + Vậy 8 1 x P x + = + 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ b (1đ) Tính giá trị của P khi x = 27 - 10 2 x = 27 - 10 2 = ( 2 - 5) 2 => 2 5 5 2x = = => P = 35 10 2 6 2 = 190 25 2 34 0.5đ 0.5đ c (1.25) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tơng ứng của x. 8 1 9 9 9 1 1 2 1 1 1 1 x x A x x x x x x + + = = = + = + + + + + + áp dụng BĐT Côsi ta có: ( ) 42922 1 9 122 1 9 1 == + + + ++= x x x xP P = 4 4 1 9 1 = + =+ x x x . Vậy min P = 4 khi x = 4 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ a (0.75) Để đồ thị hàm số y = (m 1)x + m + 3 song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1 thì m 1 = -2 và m + 3 1 Từ m - 1 = -2 => m = -1 Từ m + 3 1 => m -2 0.25đ 0.25đ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 2 2 (3.5) Vậy với m = -1 và m -2 thì hai đồ thị trên song song 0.25đ b (0.5) Đồ thị hàm số y = (m 1)x + m + 3 đi qua điểm (1 ; -4) Nên ta thay các giá trị x = 1, y = -4 vào y = (m 1)x + m + 3, Tính đợc m = -3 0.25đ 0.25đ c (1 đ) Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng y = (m 1)x + m + 3 đi qua điểm cố định N(x 0 , y 0 ) với mọi m là: y 0 = (m 1)x 0 + m + 3 với mọi m mx 0 x 0 + m + 3 - y 0 = 0 với mọi m m(x 0 + 1) - x 0 +3 - y 0 = 0 với mọi m 0 0 0 0 0 1 0 1 3 0 4 x x x y y + = = + = = Vậy các đờng thẳng y = (m 1)x + m + 3 luôn đi qua điểm cố định N(-1 ; 4) với mọi m 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0 25đ d (1.25) Gọi A là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục tung. Thì ta có A(0; m+3), do đó OA = 3m + . Gọi B là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục hoành. Thì ta có B( 3 1 m m + ; 0) , do đó OB = 3 1 m m + Theo đề bài ta có: S ABC = 1 2 OA.OB = 1 2 3m + . 3 1 m m + = 1 => (m + 3) 2 = 2 1 m m 2 + 6m + 9 = 2 1 m * Với m 1 ta có: m 2 + 6m + 9 = 2(1 - m) m 2 + 6m + 9 = 2 2m m 2 + 8m + 7 = 0 (m + 1)(m + 7) = 0 => m = - 1, m = - 7 * Với m > 1 ta có: m 2 + 6m + 9 = 2(m - 1) m 2 + 6m + 9 = 2m - 2 m 2 + 4m + 11 = 0. Phơng trình vô nghiệm Vậy có hai giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt). là m = - 1, m = - 7 0.25đ 0 25đ 0.25đ 0.25đ 0 25đ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 3 B(; 0) A(0; m+3) x y O 3 (3) a (1.25) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh khi m = -1. Víi m = -1 ta cã : − =   + =  x 2y 4 2x y 3  = +   + =  x 4 2y 2x y 3  = +   + + =  x 4 2y 2(4 2y) y 3  = +   + + =  x 4 2y 8 4y y 3  = +   + =  x 4 2y 8 5y 3  = +   = −  x 4 2y 5y 5  =   = −  x 2 y 1 VËy víi m = - 1 th× hƯ cã nghiƯm =   = −  x 2 y 1 0.5® 0.5® 0 25® b (1.25) Gäi nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). Ta cã: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) − = −   + = +   = − +   + = +  x 3 m 2y 2x y 3(m 2)  = − +   − + + = +  x 3 m 2y 2(3 m 2y) y 3(m 2)  = − +   − + + = +  x 3 m 2y 6 2m 4y y 3m 6  = − +   =  x 3 m 2y 5y 5m  = +   =  x 3 m y m §Ĩ M = -(x 2 + y 2 ) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt tøc lµ - [m 2 + (m+3) 2 ] lín nhÊt -(2m 2 + 6m+ 9) = - 9 2 - [2(m 2 +3m + 9 4 )] = - 9 2 - 2(m + 2 3 ) 2 ≤ - 9 2 -(x 2 + y 2 ) = - [m 2 + (m+3) 2 ] lín nhÊt b»ng - 9 2 khi vµ chØ khi m =- 3 2 0.25® 0.25® 0 25® 0.25® 0 25® c (0.5) Suy ra ®ỵc hƯ thøc x – y = 3 0.5® 4 a (1.25) Vẽ hình đúng. C/m: DMEDMC ∠=∠ * Ta có AMBDME ∠=∠ (đối đỉnh) Mặt khác: sđ AMB∠ = sđ 2 1 AB MCAMACCMD ∠+∠=∠ (góc ngoài ∆AMC) Mà sđ · ¼ 1 2 MAC sd MC= (Góc nội tiếp chắn cung MC) · » 1 2 MCA sd AC= (Góc nội tiếp chắn cung AC) ⇒ · ¼ » » » 1 1 1 ( ) 2 2 2 CMD sd MC MA sd AC sd AB= + = = . 0.25® 0.25® 0.25® C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm 4 B A E D C O M N (4.0) Do dây AB = AC⇒ Cung AB bằng cung AC ⇒ · · DMC DME= . * Xét ∆MDC = ∆MDE. Ta có: · · DMC DME= (chứng minh trên) MD chung; · · 0 90MDC MDE= = (Do CD ⊥ AM) Vậy ∆MDC = ∆MDE(g - c - g) (đpcm). 0.25® 0.25® b (1 ®) Khi AM quay xunh quanh A thì E chạy trên đường nào? Do ∆MDC=∆MDE (chứng minh ở câu a) ⇒DC=DE ⇒AD là đường trung trực của CE ⇒AE=AC=AB VËy khi AM quay xung quanh A thì E chạy trên đường tròn tâm A bán kính AC. 0.25® 0.25® 0.5® c (0.75) C/m · · 2.BAC CEB= Do ∆MCE cân ở M ⇒ · · MCE MEC= . Mà · · · · 2.BMC MEC MCE MEC= + = (góc ngoài ∆MEC). Ta lại có · · BAC BMC= (cùng chắn cung BC) ⇒ · · 2.BAC CEB= . 0.25® 0.5® d (1 ®) Chứng minh bốn điểm A, N, C, D cùng thuộc một đường tròn. Ta đã có · 0 90ADC = (Do CD ⊥ AM) đường kính qua A cắt BC tại trung điểm N (N ∈ BC) nên CB ⊥ AN tại N (Tính chất đường kính và dây cung) Suy ra bốn điểm A, N, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AC. 0.25® 0.5® 0.25® 5 (2 ®) (2 ®) Gäi E lµ ®iĨm ®èi xøng cđa C qua AD, tõ tÝnh chÊt ®èi xøng trơc ta cã : AC = AE ; MC = ME (*) Gäi I lµ giao ®iĨm BM vµ AE ta cã : IM + IE > ME AI + IB > AB ( B§T tam gi¸c )  AI + IE + MI + IB > AB + ME  AE + MB > AB + ME  AE - AB > ME - MB KÕt h¬p (*) ta cã AC - AB > MC - MB 0,5 0,5 0,5 0,5 C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm 5 D I E C A B M 6 (4.0) a (2 đ) Theo bất đẳng thức Côsi : (a + b)( 1 1 a b + ) 2 .a b . 2 1 ab = 4 (với a, b > 0) 1 1 a b + 4 a b+ (1) Mặt khác ta có : ab ( 2 ba + ) 2 = 4 1 ab 1 4 (2) do a+b = 1 (với a, b > 0) áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 4 4 ( ) 2 2 2 2 B ab a b ab a b ab ab a b ab a b = + = + + + = + + + + + + B 2 + 6 )( 4 2 = + ba do a + b = 1 Min B = 6 a = b = 2 1 Vậy : Min B = 6 a = b = 2 1 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ b (2 đ) 5x 3y = 2xy 11 Rỳt y theo x 5x +11 = 2xy + 3y 5x +11 = (2x + 3)y 5 11 5 2 2 3 2 3 x x y x x + + = = + + + (Do x nguyờn nờn 2x + 3 0) Vỡ y nguyờn => x + 5 M 2x + 3 =>2(x + 5) M 2x + 3 => 2x + 3 + 7 M 2x + 3 => 7 M 2x + 3 2x+3 7 -7 1 -1 x 2 -5 -1 -2 y 3 2 6 -1 Vaọy ta cú cỏc cp (x ; y) l: (-1; 6); (-2; -1); (2; 3); (-5; 2) Th li cỏc giỏ tr ú u ỳng. 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Ghi chú: Học sinh làm cách khác đáp án nhng đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm toàn bài không làm tròn. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 6 . + (m+3) 2 ] lín nhÊt -(2m 2 + 6m+ 9) = - 9 2 - [2(m 2 +3m + 9 4 )] = - 9 2 - 2(m + 2 3 ) 2 ≤ - 9 2 -(x 2 + y 2 ) = - [m 2 + (m+3) 2 ] lín nhÊt b»ng - 9 2 khi vµ chØ khi m =- 3 2 0.25® 0.25® 0. 2 = 190 25 2 34 0.5đ 0.5đ c (1.25) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tơng ứng của x. 8 1 9 9 9 1 1 2 1 1 1 1 x x A x x x x x x + + = = = + = + + + + + + áp dụng BĐT Côsi ta có: ( ) 4 292 2 1 9 122 1 9 1 == + + + ++= x x x xP . + 6m + 9 = 2 1 m * Với m 1 ta có: m 2 + 6m + 9 = 2(1 - m) m 2 + 6m + 9 = 2 2m m 2 + 8m + 7 = 0 (m + 1)(m + 7) = 0 => m = - 1, m = - 7 * Với m > 1 ta có: m 2 + 6m + 9 = 2(m