Đáp án học sinh giỏi Toán Tỉnh

Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 Năm học 2008 - 2009 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: toán 12 THPT - bảng A ---------------------------------------------- Câu Nội dung Điểm 1 3.0 Phơng trình đã cho tơng đơng 2 3 4 4 4 cos x cos x m + + = 2 4 4 4 4 3cos x cos x m+ = (1) 0.50 Đặt t = cos4x ta đợc: 2 4 4 3t t m+ = , (2) Với ; 4 4 x thì [ ] 1;1 .t 0.50 Phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ; 4 4 x khi và chỉ khi phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t[-1; 1), (3) 0.50 Xét g(t) = 2 4t t+ với [ 1;1)t , g(t) = 8t+1. g(t) = 0 t = 1 8 0.50 Bảng biến thiên 0.50 Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra 1 4 3 3 16 m < 47 3 64 2 m< Vậy giá trị m cần tìm là: 47 3 64 2 m< . 0.50 2 3,0 Đặt t x= từ (1) và điều kiện suy ra 3 4t Khi đó 4y t= y = t 2 8t +16. 0.50 Khi đó bất phơng trình (2) trở thành 2 2 7 8 23 ,t t t a+ + + (3) Đặt 2 2 ( ) 7 8 23f t t t t= + + + . 0.50 Ycbt bất phơng trình (3) có nghiệm t [3;4] [3;4] min ( )f t a ( ) 2 2 4 ' 7 8 23 t t f t t t t = + + + 0,50 Trang 1/ 4 - 12 THPT - Bảng A 3 g(t) 0 + t 1 g(t) 5 1 16 ( ) ( ) 2 2 ' 0 8 23. 4 7f t t t t t t= + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 7 . 4 7 2,.t t t t t + = + = 0,50 Ta có ( ) ( ) 3 4 8; 4 23 7f f= + = + 0,50 Từ đó suy ra [3;4] min ( ) (3) 4 8f t f= = + . Vậy a 4 8+ 0.50 3 3.0 ( ) 0 ( ) (0) ' 0 lim x f x f f x = 0.5 ( ) 2 23 2 0 0 2 2 2 23 3 1 sin 1 sin lim lim 1 sin 1 sin 1 x x x x x x x x x x x x + = = + + + + 0.5 ( ) 2 0 2 23 3 sin 1 limsin . . 1 sin 1 sin 1 x x x x x x x x = + + + + 0.5 0. = 0.5 Mặt khác với 0x , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 23 3 sin 0 0 . 1 sin 1 sin 1 x f x f x f x x x x = = + + + + 0.5 Vì ( )f x liên tục trên R nên từ đó suy ra ( ) f x đạt cực tiểu tại 0.x = 0.5 4 3,0 Đặt ( ) , , ; , , 0; .x a y b z c x y z= = = + Khi đó: 2 2 2 . 3 3 3 yz zx xy P x yz y zx z xy = + + + + + 0.50 Ta có 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 yz zx xy P x yz y zx z xy = + + + + + 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 x y z Q x yz y zx z xy = + + = ữ + + + 0.50 áp dụng bđt BCS ta đợc ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 . 3 3 3 x y z x yz y zx z xy x yz y zx z xy Q x y z xy yz zx ữ + + + + + ữ + + + + + + + + 0.50 ( ) ( ) 2 2 x y z Q x y z xy yz zx + + + + + + + . Mặt khác ( ) 2 3 x y z xy yz zx + + + + 0.50 Suy ra 3 4 Q , do đó 9 3 3 . 4 4 P P 0.50 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .a b c = = Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 . 4 0.50 5 3.0 Ta có với 0x , ( ) ( ) 0 1 , 1 n n k n k n k x C x = + = 0.5 Đạo hàm hai vế của (1) ta đợc ( ) 1 1 1 0 1 ( ) n n k n k n k n x n k C x = + = 0.5 Trang 2/ 4 - 12 THPT - Bảng A Suy ra ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 , 2 . n n k n k n k nx x n k C x = + = 1,0 Đạo hàm hai vế của (2) ta đợc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 0 1 1 1 . , 3 . n n n k n k n k n x n x n k C x = + + + = 0.5 Thay 1x = vào (3) ta đợc đpcm 0.5 6 3.0 Gọi K và I lần lợt là giao điểm của MN với CD và BC, ta có CK = 3 2 CD, CI = 3 2 CB 0.25 d(P,(ABC)) = 1 2 d(S,(ABC)) 0.25 V PCIK = 1 1 . 3 2 CI.CK.sin ã ICK .d(P,(ABC)) 0.25 = 9 16 ( 1 3 CB.CD.sin ã BCD .d(S;(ABC)) 0.25 V PCIK = 9 16 V SABCD , (1) 0.25 Mặt khác 1 . . 18 IBEM ICPK V IB IE IM V IC IP IK = = (2) 0.5 Từ (1) và (2) V IBEM = 1 32 V SABCD 0.25 Tơng tự V KNDF = 1 32 V SABCD 0.25 Gọi V 2 là thể tích của khối đa diện giới hạn bởi mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng đáy V 2 = V PCIK - (V IBEM + V KNDF ) 0.25 = 9 16 V SABCD - 1 16 V SABCD = 1 2 V SABCD 0.25 Vậy V 2 = 1 2 V SABCD đpcm 0.25 Trang 3/ 4 - 12 THPT - Bảng A A D S P C B M E F N I K O 7 2,0 Đặt ã ã ã , , , , , .AD BC a AC BD b AB CD c BAC A ABC B ACB C= = = = = = = = = Ta có ABC nhọn và ABC = DCB = CDA = BAD. Suy ra ã ã ã ã ã ( ) ; , 1BCD ABC B ABD BDC CAB A= = = = = 0.5 Hạ CM AB , vì ( ) ( ) CAB DAB nên ( ) ( ) 2 2 2 , 2 .CM DAB CM MD CM DM CD + = 0.5 áp dụng định lí cosin cho tam giác BMD ta đợc ã ( ) 2 2 2 2 . .cos , 3MD BM BD BM BD MBD= + 0.25 Từ (1), (2), (3) ta đợc 2 2 2 2 2 . .cosCM BM BD BM BD A CD+ + = 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 cos .cosBC BD BM BD A CD a b ab A B c+ = + = 0.25 1 cos cos .cos sin .sin 2 cos .cos cot .cot . 2 C A B A B A B A B = = = 0.5 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Trang 4/ 4 - 12 THPT - Bảng A M A B C D M A B D C . thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 Năm học 2008 - 2009 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: toán 12 THPT. .cos sin .sin 2 cos .cos cot .cot . 2 C A B A B A B A B = = = 0.5 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Trang 4/ 4 - 12 THPT