Đề học sinh giỏi toán 12-số 21

1. Các dây cung AB và CD c ủ a m ộ t đườ ng tròn c ắ t nhau t ạ i m ộ t đ i ể m E bên trong đườ ng tròn. Gọ i M là một đ iểm trong c ủa đo ạn thẳ ng EB. Đường tiế p tuyến tạ i E với đường tròn đi qua D, E, và M giao v ớ i đườ ng th ẳ ng BC và AC t ươ ng ứ ng t ạ i F và G. Tính t ỉ s ố theo t với t = . 2. Lấy n 3 và xét m ột tập E g ồm 2n - 1 đ iểm khác nhau trên mộ t đường tròn. Gi ả sử r ằng chính xác trong đó có k đi ểm được tô màu đen. Cách tô màu đượ c gọi là tố t nếu t ồn tại ít nh ấ t môt c ặ p đ i ể m đ en sao cho bên trong m ộ t trong hai cung gi ữ a chúng ch ứ a chính xác n đ iểm thu ộc E. Tìm giá tr ị nhỏ nh ất củ a k sao cho với mọ i cách tô màu k đi ểm của E nh ư thế s ẽ là tố t. 3. Xác đị nh t ấ t c ả các s ố nguyên l ớ n h ơ n 1 sao cho: là m ộ t s ố nguyên. 4. Tìm hàm f : H + H + , H + - là tập hợp của các số hữu tỉ dương, sao cho f(xf(y)) = với mọi x, y. 5. Ban đầu cho một số nguyên n 0 > 1, hai người A và B chơi một trò chơi bằng cách chọn các số nguyên n 1 , n 2 , n 3 , lần l ượt theo các quy tắ c sau: Biết n 2k , A chọn bất kì số nguyên n 2k+1 sao cho n 2k n 2k+1 n 2k 2 . Biết n 2k+1 , B chọn bất kì số nguyên n 2k+2 sao cho , với p là một số nguyên tố và r là một số nguyên 1. N gườ i A ch ơ i thắ ng n ế u chọ n được s ố 1990, B ch ơi th ắ ng n ếu ch ọ n được s ố 1. H ỏ i ban đầu ph ả i cho n 0 th ế nào để: (a) A thắng cuộc. (b) B thắng cuộc. (c) Cả hai người đều không thắng. 6. Chứng minh rằng tồn tại một đa giác lồi 1990 đỉnh sao cho tất cả các góc của nó đều bằng nhau và độ dài các cạnh theo thứ tự nào đó sẽ là: 1 2 , 2 2 , , 1990 2 . . cuộc. (b) B thắng cuộc. (c) Cả hai người đều không thắng. 6. Chứng minh rằng tồn tại một đa giác lồi 1990 đỉnh sao cho tất cả các góc của nó đều bằng nhau và độ dài các cạnh theo thứ