Đề học sinh giỏi toán 12-số 1

1. Giải hệ phương trình sau với ẩn x, y, z: Với điều kiện nào của a, b để x, y, z là các số dương khác nhau? 2. Cho a, b, c là các cạ nh của mộ t tam giác và A là diện tích c ủa nó. Ch ứ ng minh r ằ ng: D ấu đẳng th ức xả y ra khi nào? 3. Giải phương trình cos n x - sin n x = 1, trong đó n là một số tự nhiên. 4. P là một điểm bên trong tam giác ABC. PA cắt BC tại D, PB cắt AC tại E, và PC cắt AB t ạ i F. Ch ứ ng minh r ằ ng ít nh ấ t m ộ t trong các t ỉ s ố : không v ượ t quá 2, và ít nhất có một tỉ số không nhỏ hơn 2. 5. Dựng tam giác ABC biết độ dài đoạn AC = b, AB = c và góc nhọn , trong đó M là trung điể m củ a BC. Chứng minh r ằng tam giác này dự ng đượ c nếu và ch ỉ nế u: Khi nào thì xảy ra dấu bằng? 6. Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C và một mặt phẳng p không song song với mặt ph ẳng ABC, sao cho các đ i ểm A, B, C n ằ m cùng phía đối v ớ i m ặt ph ẳ ng p. L ấy ba đ iể m tu ỳ ý A', B', C' trong p. Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA ' , BB ' , CC ' và gọ i O là tr ọ ng tâm tam giác A '' B '' C '' . Tìm quỹ tích các điểm O khi A ' , B ' , C ' thay đổi. . 1. Giải hệ phương trình sau với ẩn x, y, z: Với điều kiện nào của a, b để x, y, z là các số. r ằ ng: D ấu đẳng th ức xả y ra khi nào? 3. Giải phương trình cos n x - sin n x = 1, trong đó n là một số tự nhiên. 4. P là một điểm bên trong tam giác ABC. PA cắt BC tại