211 đề HSG toán 7 huyện

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Bài (4 điểm) a) So sánh hai số:  5  2  39 b) 91 Chứng minh : Số A  11n2  122n1 chia hết cho 133, với n Bài (4 điểm) a) Tìm tất cặp số  x; y  thỏa mãn  x  y   2012  x 3 2013 0 b) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng:     n  aaa Bài (4 điểm) Ba lớp trường K có tất 147 học sinh Nếu đưa lớp A1 , số học sinh 1 học sinh lớp A2 học sinh lớp A3 thi học sinh giỏi cấp huyện số học sinh lại ba lớp Tính tổng số học sinh lớp trường K Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có A  3B  6C a) Tính số đo góc tam giác ABC b) Kẻ AD vng góc với BC  D  BC  Chứng minh : AD  BD  CD Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM  AN  AB a) Chứng minh : BM  CN b) Chứng minh : BC qua trung điểm đoạn thẳng MN c) Đường trung trực MN tia phân giác BAC cắt K Chứng minh rằng: KC  AC ĐÁP ÁN Bài a) Ta có:  5 39  2  91  539    53   12513 13  291    27   12813 13 Ta thấy: 12513  12813  12513  12813   5   2  39 91 b) Ta có: A  11n  122 n1  112.11n  12.122   121.11n  12.144n n  133  12  11n  12.144n  133.11n  12.11n  12.144n  133.11n  12.144n  11n  Ta thấy: 133.11n 133 144 n  11n  144  11  133  12.144n  11n  133 Do suy : 133.11n  12.144n  11n  chia hết cho 133 Vậy số A  11n2  122n1 chia hết cho 133, với n Bài a) Ta có: 2012 số tự nhiên chẵn   x  y   Và x    x  Do đó, từ  x  y   Suy  x  y   2012 2012 2013 2013 b) Ta có:     n  0 0  x 3  x 3 2012 2013 0 2 x  y    x  0  x    y  13 n  n  1 aaa  a.111  a.3.37 Do đó, từ     n  aaa  n  n  1  2.3.37.a  n  n  1 chia hết cho số nguyên tố 37  n n  1chia hết cho 37 (1) Mặt khác: n  n  1  aaa  999  n  n  1  1998  n  45 (2) Từ (1) (2) suy n  37, n   37 Với n  37 aaa  37.38  703 (không thỏa mãn) Với n   37 aaa  36.37  666 (thỏa mãn) Vậy n  36 a  Bài Gọi tổng số học sinh A1,7 A2 ,7 A3 a, b, c  a, b, c  * Theo ta có: 1 a  a  b  b  c  c(*) a  b  c  147 Từ *  2a 3b 4c 12a 12b 12c a b c         18 16 15 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c abc 147     3 18 16 15 18  16  15 49 Suy a  54, b  48, c  45 Vậy tổng số học sinh A1,7 A2 ,7 A3 54,48 45 Bài A 12 C D B a) Từ A  3B  6C  A B C A  B  C 1800      200 6  1  A  1200 ; B  400 , C  200 b) Trong ACD có: ACD  900 ; C  200  A2  700  A1  500 Xét ADB có B  400  A1  500  AD  BD(1) Xét ABC có B  400  C  200  AB  AC  AB2  AC Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vng ADB ADC có: AB2  AD2  BD2 AC  AD2  CD2 Do từ *  AD2  BD2  AD2  CD2  BD2  CD2  BD  CD(2) Từ (1) (2)  AD  BD  CD Bài A M C B E I N K a) Theo giả thiết, ta có: 2AB  AB  AB  AB  AM  BM AM  AN  AM  AC  CN ABC cân A  AB  AC Do đó, từ AM  AN  AB  BM  CN b) Qua M kẻ ME / / AC ( E  BC ) ABC cân A  BME cân M  EM  BM  CN  MEI  NCI ( g.c.g )  IM  IN Vậy BC qua trung điểm MN c) K thuộc đường trung trực MN  KM  KN (1) ABK  ACK  c.g.c   KB  KC (2); ABK  ACK (*) Kết chứng minh câu a, BM  CN (3) Từ (1) (2) (3)  BMK  CNK (c.c.c)  ABK  NCK ** Từ * , **  ACK  NCK  1800  900  KC  AN ... (2) Từ (1) (2) suy n  37, n   37 Với n  37 aaa  37. 38  70 3 (không thỏa mãn) Với n   37 aaa  36. 37  666 (thỏa mãn) Vậy n  36 a  Bài Gọi tổng số học sinh A1 ,7 A2 ,7 A3 a, b, c  a, b,... y  13 n  n  1 aaa  a.111  a.3. 37 Do đó, từ     n  aaa  n  n  1  2.3. 37. a  n  n  1 chia hết cho số nguyên tố 37  n n  1chia hết cho 37 (1) Mặt khác: n  n  1  aaa  999... sinh A1 ,7 A2 ,7 A3 54,48 45 Bài A 12 C D B a) Từ A  3B  6C  A B C A  B  C 1800      200 6  1  A  1200 ; B  400 , C  200 b) Trong ACD có: ACD  900 ; C  200  A2  70 0  A1