TRƯỜNG THCS PHƯƠNG TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2018-2019 Câu (3 điểm) Tìm số hữu tỉ x, biết: a) x 1 243 b) x2 x2 x2 x2 x2 11 12 13 14 15 c) x x ( x 0) Câu (3 điểm) a) Tìm số nguyên x, y biết: y x b) Tìm số nguyên x để A có giá trị số nguyên, biết: A x 1 x 3 x 0 Câu (5 điểm) a 1 b c 5a 3b 4c 46 xác định a, b, c 2a 3ab 5b2 2c 3cd 5d a c 2) Cho tỉ lệ thức Chứng minh , với 2b2 3ab 2d 3cd b d điều kiện mẫu thức xác định 1) Cho Câu (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x 2001 x Câu (7 điểm) Cho tam giác cân ABC, AB AC Trên cạnh BC lấy điểm D Trên tia đối tia BC lấy điểm E cho BD BE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh: a) DM ED b) Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Đường thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi BC ĐÁP ÁN Câu a) x 1 3 x 3 x 2 5 1 1 1 b ) x x x 2 11 12 13 14 15 c) x x x x 0 x x 2 0 x x Câu y 2y 1 2y a) , , x x 8 x x 1 y 40 y ước lẻ 40 Ước lẻ 40 1; 5 x; y 40;0 ; 40;1 ; 8; 2 ; 8;3 x 1 1 x 3 x 3 A nguyên nguyên x U (4) 4; 2; 1;1;2;4 x 3 Các giá trị nguyên x là: 1;4;16;25;49 Câu a b c 5 a 1 3 b 3 4 c 5 5a 3b 4c 20 1) 2 10 12 24 10 12 24 a 3; b 11; c 7 b) A 2) Chứng minh: a c Đặt k a kb; c kd Thay vào biểu thức: b d 2a 3ab 5b2 2c 3cd 5d k 3k k 3k dfcm 2b2 3ab 2d 3cd 3k 3k Câu A x 2001 x x 2001 x x 2001 x 2000 Vậy biểu thức đạt GTNN 2000 x 2001 Câu a) MDB NEC DN EN b) MDI NEI IM IN BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Gọi H chân đường cao vng góc kẻ từ A xuống BC, ta có: AHB AHC HAB HAC Gọi O giao AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I OAB OAC (c.g.c) OBA OCA (1) OIM OIN OM ON OBN OCN (c.c.c) OBM OCM (2) Từ (1) (2) suy OCA OCN 900 OC AC Vậy điểm O cố định