Bài viết nghiên cứu và mở rộng các tính chất về giới hạn dưới và giới hạn trên từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng. Cuối cùng, chúng tôi thu được một số ứng dụng của chúng trong việc thiết lập định lý ergodic cho nhiều phép biến đổi, trong chứng minh luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được và trong chứng minh chiều “ limsup ” của hội tụ Mosco.
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 22 (47) - Thaùng 11/2016 Giới hạn dưới, giới hạn mảng biến ngẫu nhiên ứng dụng Lower limit and upper limit of array of random variables and their applications TS Dương Xuân Giáp, Trường Đại học Vinh ThS Ngơ Hà Châu Loan ThS Bùi Đình Thắng Trường Đại học Kinh tế Nghệ An Tôn Nữ Minh Ngọc, Sinh viên Trường Đại học Vinh Duong Xuan Giap, Ph.D., Vinh University Ngo Ha Chau Loan, M.Sc Bui Dinh Thang, M.Sc Nghe An College of Economics Ton Nu Minh Ngoc, Student of Vinh University Tóm tắt Trong báo này, đưa khái niệm giới hạn giới hạn mảng biến ngẫu nhiên cho hai trường hợp: max tọa độ tiến tới vơ Từ đó, chúng tơi nghiên cứu mở rộng tính chất giới hạn giới hạn từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng Cuối cùng, thu số ứng dụng chúng việc thiết lập định lý ergodic cho nhiều phép biến đổi, chứng minh luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi chứng minh chiều “ limsup ” hội tụ Mosco Từ khóa: giới hạn dưới, giới hạn trên, biến ngẫu nhiên, bổ đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, định lý ergodic Birkhoff, luật số lớn Abstract In this paper, we introduce the concepts of lower limit and upper limit of array of random variables for two cases: max of indicators tends to infinity, and of indicators tends to infinity Thereby, we study and extend some properties of lower limit and upper limit to the multidimensional array case Finally, we obtain some of their applications in proving multidimensional Birkhoff’s ergodic theorem, in proving strong law of large numbers for array of - exchangeable random elements, and in proving “ limsup ” part of Mosco convergence Keywords: lower limit, upper limit, random variable, Fatou’s lemma, bounded convergence theorem, Birkhoff’s ergodic theorem, the law of large numbers 73 Lebesgue’s Bổ đề 2.2 (xem [10]) Họ biến ngẫu nhiên khả tích hai điều kiện sau thỏa mãn: , Phần mở đầu Giới hạn giới hạn dãy số thực khái niệm có vai trò quan trọng lý thuyết xác suất, đặc biệt định lý giới hạn Dựa vào khái niệm này, ta có Bổ đề Fatou ứng dụng để chứng minh định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, định lý hội tụ đơn điệu, tính chất khả tích đều, định lý ergodic Birkhoff, luật số lớn chiều “ limsup ” hội tụ Mosco xác suất đa trị, Khi nghiên cứu định lý giới hạn lý thuyết xác suất cho cấu trúc nhiều số, việc xây dựng khái niệm nghiên cứu tính chất giới hạn dưới, giới hạn mảng biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng Kiến thức chuẩn bị Trong suốt báo này, giả thiết không gian xác suất, không gian Banach thực, khả ly không gian đối ngẫu Ký hiệu -đại số Borel Ký hiệu (tương ứng, ) tập tất số thực (tương ứng, tập tất số tự nhiên) Giả sử , ta ký hiệu Với , ta viết (tương ứng, ) (tương ứng, ) với Với hai số thực , giá trị lớn giá trị nhỏ chúng tương ứng ký hiệu Với , lôgarit số ký hiệu Định nghĩa 2.1 (xem [10]) Họ biến ngẫu nhiên gọi khả tích với cho với , tồn , Định nghĩa 2.3 Họ phần tử ngẫu nhiên gọi khả tích họ biến ngẫu nhiên khả tích Bổ đề 2.4 (Định lý hội tụ đơn điệu, xem [1]) Nếu dãy biến ngẫu nhiên không âm thỏa mãn (X biến ngẫu nhiên) Định nghĩa 2.5 Mảng phần tử ngẫu nhiên gọi 2hoán đổi với , , Định nghĩa 2.6 ([9]) Một phép biến đổi gọi đo , với Một phép biến đổi gọi bảo toàn độ đo T đo đồng thời , với Khi đó, ta nói độ đo T-bất biến Một tập gọi T-bất biến Một biến ngẫu nhiên gọi T-bất biến Một phép biến đổi bảo toàn độ đo gọi ergodic tập T-bất biến có xác suất 1; nghĩa là, với , điều kiện kéo theo 74 biến đổi bảo toàn độ đo Đặc biệt, phép biến đổi bảo toàn độ đo phép lặp phép biến đổi bảo toàn độ đo (4) Theo U Krengel [9, tr 5], biến ngẫu nhiên T-bất biến -đo Ký hiệu họ tất tập đóng khác rỗng Với , ký hiệu bao lồi đóng A, hàm tựa A định nghĩa Nhận xét 2.7 (1) Phép biến đổi bảo toàn độ đo viết cách đầy đủ tính chất bảo tồn độ đo phụ thuộc vào -đại số vào độ đo (2) Họ tất tập T-bất biến lập thành -đại số -đại số Ta ký hiệu -đại số (3) Nếu phép biến đổi bảo toàn độ đo tích (còn viết gọn ) phép Giới hạn giới hạn mảng biến ngẫu nhiên Định nghĩa 3.1 Giới hạn (tương ứng, (tương ứng, (tương ứng, ) giới hạn ) mảng số thực ) tọa độ tiến tới vô cùng, định nghĩa Định nghĩa 3.2 hạn mảng Ta nói mảng ) (tương ứng, hội tụ tới (tương ứng, ) (hay, giới ), ký hiệu (tương ứng, ), (tương ứng, Ta nói mảng ) (tương ứng, ) hội tụ tới (tương ứng, ) (tương ứng, (hay, giới hạn mảng ), ký hiệu (tương ứng, ) 75 ), Định nghĩa 3.3 Mảng gọi mảng mảng dãy theo tọa độ, nghĩa là, cố định độ dãy ứng với tọa độ lại Giới hạn mảng giới hạn riêng mảng Nhận xét 3.4 Với , đặt Khi đó: Các dãy số Các dãy số Với dãy tăng dãy giảm Từ đó, , Giới hạn giới hạn ln tồn (có thể Nếu mảng giới hạn thuộc thuộc Nếu ) bị chặn giới hạn thuộc , bị chặn bị chặn giới hạn giới hạn , Định lý 3.5 Giả sử Khi đó, ) với mà (tương ứng, (tương ứng, , tồn ), ta có cho với Chứng minh Sau chúng tơi trình bày chứng minh cho trường hợp với trường hợp ta chứng minh hoàn toàn tương tự Ta cần chứng minh cho trường hợp thực ( Banach bất kỳ, ta suy trực tiếp từ Định nghĩa 3.2 : Với mọi , tọa gọi : Theo giả thiết 76 , đối ) Đối với trường hợp khơng gian kết trường hợp thực Do đó, tồn cho với Khi đó, với mà , ta có đó, Như vậy, chiều thuận định lý chứng minh : Với , hay , tồn cho với mà Từ , ta có Kết hợp điều với tính đơn điệu dãy số Do đó, , ta suy Từ đó, ta thu điều phải chứng minh Định lý 3.6 Đối với mảng số thực ứng với hội tụ tới vô cùng, ta ln có giới hạn giới hạn riêng tọa độ tiến giới hạn Chứng minh Chúng tơi trình bày chứng minh cho trường hợp “giới hạn giới hạn riêng” Các trường hợp lại, ta chứng minh hồn tồn tương tự Ta chứng minh phản chứng: Giả sử tồn mảng với cho cho với Do mà Với , tồn Cho , ta có , với nên Do điều với nên (mâu thuẫn với giả thiết phản chứng) Định lý 3.7 (Bổ đề Fatou) âm Khi đó, Giả sử mảng biến ngẫu nhiên không 77 Nếu mảng biến ngẫu nhiên thỏa mãn , biến ngẫu nhiên khả tích (nghĩa là, ), h.c.c với Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp ta chứng minh hoàn toàn tương tự Đặt , Đối với trường hợp nên theo định lý hội tụ đơn điệu Do (Bổ đề 2.4), ta có Hơn nữa, Dựa vào với thỏa mãn Do đó, với thỏa mãn Từ đó, ta suy với Cho ta điều phải chứng minh Nhận xét 3.4 (6) Định lý 3.8 (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) Giả sử mảng biến ngẫu nhiên thỏa mãn với , , h.c.c (tương ứng, h.c.c.) Khi đó, khả tích (tương ứng, (tương ứng, ) ) Đặc biệt, Chứng minh Do h.c.c nên dụng Định lý 3.7 cho mảng biến ngẫu nhiên minh Định nghĩa 3.9 Mảng phần tử ngẫu nhiên trung bình cấp tới phần tử ngẫu nhiên ) ký hiệu h.c.c với Áp ta có điều phải chứng gọi hội tụ theo (tương ứng, (tương ứng, ), (tương ứng, khi ) Dựa vào bổ đề Fatou mảng biến ngẫu nhiên, thiết lập mối liên hệ hội tụ h.c.c hội tụ theo trung bình cho hai trường hợp: tọa độ tiến tới vơ Các kết chìa khóa để thu ứng dụng mục sau 78 Định lý 3.10 Giả sử mảng biến ngẫu nhiên nhiên Khi đó, với số thực đương: mảng khả tích đều, hội tụ h.c.c tới biến ngẫu , hai phát biểu sau tương Hơn nữa, Chứng minh hai điều kiện thỏa mãn , : Theo bổ đề Fatou (Định lý 3.7) Bổ đề 2.2, ta có Mặt khác, theo bất đẳng thức , ta có (trong đó, ) Do đó, mảng biến ngẫu nhiên khả tích Với với , khả tích nên tồn Do ( bị chặn (bởi Do phụ thuộc vào ) cho ) hội tụ h.c.c tới nên theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta có nghĩa là, tồn cho với , Từ (3.1), (3.2) (3.3), ta suy : Với Cố định , , ta có , ta có Do , , nên tồn Ngoài ra, tồn , , ta có 79 cho với cho với Khi đó, Do (3.4), cho , ta Vì vậy, bị chặn Do đó, nên khả tích Nếu thỏa mãn với bất đẳng thức Đối với hội tụ khi , ta suy Kết hợp điều tọa độ tiến tới vô cùng, ta thu kết yếu sau: Định lý 3.11 Giả sử mảng biến ngẫu nhiên nhiên Khi đó, với số thực , hội tụ h.c.c tới biến ngẫu khả tích Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 3.10 (phần ) Ví dụ sau phát biểu Định lý 3.11, ta khơng thu kết luận mạnh hơn: “ khả tích ” Ví dụ 3.12 Ta định nghĩa mảng biến ngẫu nhiên Khi đó, mảng nhiên 2015 sau hội tụ h.c.c theo trung bình cấp Tuy nhiên, tới biến ngẫu nên mảng khơng khả tích Tiếp theo, mở rộng Định lý 3.10 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên Định lý 3.13 Giả sử mảng phần tử ngẫu nhiên tử ngẫu nhiên Khi đó, với số thực tương đương: mảng khả tích đều, 80 hội tụ h.c.c tới phần , hai phát biểu sau Hơn nữa, hai điều kiện Chứng minh , thỏa mãn : Theo bổ đề Fatou (Định lý 3.7), Bổ đề 2.2 Định nghĩa 2.3, ta có Mặt khác, theo bất đẳng thức với , ta có Do đó, mảng biến ngẫu nhiên khả tích Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng biến ngẫu nhiên Điều tương đương với : Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng biến ngẫu nhiên ta suy mảng khả tích Từ giả thiết mảng ta thu bất đẳng thức (với ) ta suy khả tích Cuối cùng, mở rộng Định lý 3.11 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên Định lý 3.14 Giả sử mảng phần tử ngẫu nhiên tử ngẫu nhiên Khi đó, với số thực khả tích Chứng minh Lập luận tương tự chứng minh hội tụ h.c.c tới phần , Định lý 3.13 Một số ứng dụng Trong [2], N Dunford chứng minh định lý ergodic Birkhoff với nhiều phép biến đổi cho trường hợp thực, kết hội tụ hàm khả tích Kết sau N Dunford, J T Schwartz [3] N A Fava [6] mở rộng cho trường hợp toán tử co Sử dụng Định lý 3.11, thiết lập định lý ergodic Birkhoff cho nhiều phép biến đổi mà giới hạn thu kỳ vọng có điều kiện ứng với -đại số tập bất biến Các phép biến đổi bảo toàn độ đo giả thiết giao hoán Định lý 4.1 Giả sử đó, phần tử ngẫu nhiên phép biến đổi giao hốn, bảo tồn độ đo Khi thỏa mãn 81 Hơn nữa, ergodic với thuộc , h.c.c Chứng minh Đầu tiên, chứng minh định lý cho trường hợp Với , ta có nhận giá trị thực Dựa kết N A Fava [6, Hệ quả, tr 281] (hoặc tham khảo [9,Định lý 1.1, tr 196]), tồn tập với xác suất cho Do ta có thuộc phép biến đổi bảo toàn độ đo nên Tiếp tục, đặt thức (4.1), với tương đương với , cho Đặt Vì vậy, cơng , có , thu h.c.c., -đo Dựa tính giao hốn phép biến đổi biến ngẫu nhiên -đo với 82 Từ đó, , Điều , ta suy hàm giới hạn -đo Cố định thuộc biến Điều dẫn tới Với , -đo nên Tiếp theo, ta chứng tỏ mảng biến ngẫu nhiên khả tích Thật vậy, nên ta giả sử kỳ, từ , ta suy tồn Đặt -bất Cố định bất cho , ta kiểm tra Do đó, Từ với Kết hợp điều Vì vậy, , ta suy , ta có Tiếp tục, , nên với , Từ đó, Bây ta chọn Khi đó, với cho , thu Kết hợp (4.2) với đẳng thức , ta thu thỏa mãn Kết hợp điều với với số nguyên dương , ta suy khả tích 83 mảng biến ngẫu với nhiên hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên Từ đó, theo (4.4) áp dụng Định lý 3.11, ta có Như vậy, định lý chứng minh cho trường hợp Vì vậy, nhận giá trị thực Phần tiếp theo, chứng minh định lý cho trường hợp nhận giá trị không gian Banach thực, khả ly Với , áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (chứng minh trên) , ta có Do đó, định lý chứng minh cho trường hợp Với phần tử ngẫu nhiên , ta có phần tử ngẫu nhiên đơn giản với dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản Với cố định, áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho phần tử ngẫu nhiên đơn giản , số hạng thứ hai vế phải bất đẳng thức (4.5) hội tụ tới h.c.c Do vậy, Bởi nên ta chọn dãy đơn giản thoả mãn h.c.c với hạng cuối vế phải (4.6) hội tụ tới h.c.c Tiếp theo, từ đẳng thức phần tử ngẫu nhiên h.c.c , số , , ta có , với Với , áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên thực, ta suy hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên cho Điều kéo theo dãy biến ngẫu nhiên hội tụ theo trung bình tới , hội tụ theo xác suất tới Từ đó, tồn dãy dãy cho hội tụ h.c.c tới Vì vậy, h.c.c Định lý chứng minh Năm 1996, N Etemadi M Kaminski [5] chứng minh luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi cho trường hợp hội tụ h.c.c hội tụ theo trung 84 bình Sau đó, năm 1997, N Etemadi [4] mở rộng [5, Định lý 2] N.Etemadi M Kaminski mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach khả ly cho trường hợp hội tụ h.c.c Dựa Định lý 3.10, chúng tơi hồn thiện mở rộng N Etemadi [5, Định lý 2] Định lý 4.2 Giả sử nhận giá trị Nếu mảng phần tử ngẫu nhiên -hốn đổi được, h.c.c trong , phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn Chứng minh Theo [4, Hệ 1], tồn phần tử ngẫu nhiên h.c.c thỏa mãn Sử dụng [5, Định lý 2] cho mảng biến ngẫu nhiên -hoán đổi , ta suy mảng biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắn tới biến ngẫu nhiên Theo Định lý 3.10, mảng biến ngẫu nhiên mảng phần tử ngẫu nhiên cho khả tích đều, khả tích Hơn nữa, mảng phần tử ngẫu nhiên hội tụ hầu chắn tới , hội tụ tới phần tử ngẫu nhiên cách áp dụng Định lý 3.13 Vì vậy, Định lý chứng minh Giả sử (tơpơ yếu) Để thuận tiện, tôpô ký hiệu chung Đặt mảng mảng 85 (tôpô sinh chuẩn) (ở đây, mảng hiểu theo nghĩa dãy theo tọa độ) Ta nói mảng Mosco tới hội tụ Kết thu sau sử dụng chứng minh chiều “ luật số lớn đa trị cho mảng kép ” hội tụ Mosco Định lý 4.3 Giả sử tập đếm cho với (sự tồn dựa vào định lý tách Hahn-Banach) Khi đó, với , Chứng minh Với với , tồn mảng cho mảng mảng Áp dụng Định lý 3.6, Điều kéo theo Do đó, ta thu điều phải chứng minh Cuối cùng, cho ứng dụng giới hạn giới hạn mảng số thực mở rộng điều kiện mà F Hiai sử dụng [8, Định lý 3.3] từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng nhiều số Định lý 4.4 Giả sử với Khi đó, tồn , cho Chứng minh Do (4.7) nên Mặt khác, với , tồn mảng 86 cho Khi đó, với , Do điều với nên Từ (4.9) (4.10), ta suy Kết hợp điều với giả thiết (4.8) sử dụng Nhận xét 3.4 (3), ta thu điều phải chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: Nguyễn Duy Tiến Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục Tiếng Anh: N Dunford, An individual ergodic theorem for non-commutative transformations, Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 14 (1951), 1-4 N Dunford and J T Schwartz, Convergence almost everywhere of operator averages, J Rational Mech Anal., (1956), 129-178 N Etemadi, Criteria for the strong law of large numbers for sequences of arbitrary random vectors, Statistics and Probability Letters, 33 (1997), 151-157 N Etemadi and M Kaminski, Strong law of large numbers for -exchangeable random variables, Statistics and Probability Letters, 28 (1996), 245-250 N A Fava, Weak type inequalities for product operators, Studia Mathematica, 42 (1972), 271-288 C Hess, Loi forte des grands nombres pour des ensembles aléatoires non bornés valeurs dans un espace de Banach séparable, Comptes Kết luận Bài báo xây dựng khái niệm giới hạn giới hạn mảng biến ngẫu nhiên ứng với max tọa độ tiến tới vơ cùng, nghiên cứu số tính chất ứng dụng chúng Các kết mở rộng kết tương ứng từ trường hợp số sang trường hợp nhiều số tiếp nối kết nghiên cứu N Dunford [2], A Zygmund [11], N Dunford J T Schwartz [3] N A Fava [6] định lý ergodic Birkhoff với nhiều phép biến đổi, N Etemadi [4] luật số lớn cho mảng phần tử ngẫu nhiên -hoán đổi được, F Hiai [8] C Hess [7] chiều “ limsup ” hội tụ Mosco mảng biến ngẫu nhiên đa trị Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 87 Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences, Série A et B, 300 (1985), 177-180 F Hiai, Convergence of conditional expectation and strong law of large numbers for multivalued random variables, Transactions of the American Mathematical Society, 291 (1985), 613-627 U Krengel, Ergodic theorems, Walter de Ngày nhận bài: 29/7/2016 Gruyter Studies in Mathematics, 6, BerlinNew York, 1985 10 D Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, New York, 1997 11 A Zygmund, An individual ergodic theorem for non-commutative transformations, Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 14 (1951), 103-110 Biên tập xong: 15/11/2016 88 Duyệt đăng: 20/11/2016 ... phép Giới hạn giới hạn mảng biến ngẫu nhiên Định nghĩa 3.1 Giới hạn (tương ứng, (tương ứng, (tương ứng, ) giới hạn ) mảng số thực ) tọa độ tiến tới vô cùng, định nghĩa Định nghĩa 3.2 hạn mảng. .. , ta suy mảng biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắn tới biến ngẫu nhiên Theo Định lý 3.10, mảng biến ngẫu nhiên mảng phần tử ngẫu nhiên cho khả tích đều, khả tích Hơn nữa, mảng phần tử ngẫu nhiên hội... có giới hạn giới hạn riêng tọa độ tiến giới hạn Chứng minh Chúng tơi trình bày chứng minh cho trường hợp giới hạn giới hạn riêng” Các trường hợp lại, ta chứng minh hoàn toàn tương tự Ta chứng