Bài viết này giới thiệu kết quả về các đặc trưng tập nghiệm của bài toán tối ưu có hàm mục tiêu thuộc lớp hàm Lipschitz n -giả tuyến tính trên tập hợp n -invex. Bài viết cũng thu lại được một số kết quả trước đây về đặc trưng tập nghiệm đối với lớp hàm giả tuyến tính khả vi.
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 23 (48) - Thaùng 12/2016 Đặc trưng tập nghiệm tốn tối ưu – giả tuyến tính Characterizations of solution sets of - pseudolinear optimization problems ThS Đổng Quang Phúc Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Dong Quang Phuc, M.Sc Nguyen Huu Canh High School Tóm tắt Bài báo giới thiệu kết đặc trưng tập nghiệm tốn tối ưu có hàm mục tiêu thuộc lớp hàm Lipschitz -giả tuyến tính tập hợp -invex Bài báo thu lại số kết trước đặc trưng tập nghiệm lớp hàm giả tuyến tính khả vi Từ khóa: đặc trưng tập nghiệm, -giả invex, -giả tuyến tính Abstract The aim of this paper is to introduce characterizations of solution sets of optimization problems, where the objective functions are Lipschitz - pseudolinear functions and the feasible sets are - invex sets Obtained results cover characterizations of solution sets of some smooth pseudolinear optimization problems reported in literature Keywords: characterization of solution set, -pseudoinvex, -pseudolinear Mangasarian giới thiệu khái niệm hàm giả lồi, giả lõm tựa lồi, tựa lõm cài đặt lớp hàm khả vi [15] Năm 1981, Craven [5] giới thiệu khái niệm hàm invex cho lớp hàm khả vi Theo đó, hàm f khả vi tập mở X gọi là invex X tồn Giới thiệu Trong lý thuyết tối ưu, vấn đề đặc trưng tập nghiệm toán tối ưu chủ đề quan trọng Đối với toán tối ưu có nhiều nghiệm, biết đặc trưng tập nghiệm, phương pháp tìm nghiệm đề xuất cách thích hợp Điều thuận lợi cho việc tìm nghiệm tối ưu phương pháp số Trong báo quan tâm đến đặc trưng tập nghiệm cho dạng toán tối ưu có hàm mục tiêu hàm lồi suy rộng tập lồi suy rộng Đối với lớp hàm lồi suy rộng, có nhiều lớp hàm khác giới thiệu năm qua Năm 1965, hàm véc-tơ : X X R n cho f ( x) f ( y) ( x, y)T f ( y), x, y X Rõ ràng hàm lồi khả vi hàm invex với ( x, y) x y Đặc điểm hàm invex chúng đặc trưng tính chất điểm dừng hàm invex tập mở X điểm cực tiểu toàn cục f X Tương tự hàm giả lồi tựa lồi khả vi, Hanson [8], năm 164 1981, giới thiệu khái niệm mở rộng hàm tựa lồi giả lồi mà sau gọi hàm khả vi giả invex tựa invex [16] tập mở X R n Năm 1984, Chew Choo quan tâm đến lớp hàm giả tuyến tính [7], lớp hàm khả vi vừa giả lồi giả lõm (tức f ( f ) giả lồi) Năm 1989, Rueda [18] giới thiệu hàm khả vi - giả tuyến tính từ khái niệm giả invex Các định nghĩa hàm lồi suy rộng nêu định nghĩa cho hàm khả vi Dựa vào đạo hàm suy rộng theo nghĩa Clarke, số khái niệm hàm lồi suy rộng từ lớp hàm khả vi mở rộng cho lớp hàm Lipschitz địa phương Khái niệm hàm invex xác lập cho lớp hàm Lipschitz địa phương gọi c-invex giới thiệu Khi mở rộng thế, đặc trưng hàm Lipschitz c-invex đặc trưng qua tính chất điểm dừng cực tiểu toàn cục Lịch sử vấn đề đặc trưng tập nghiệm sơ lược qua sau: Năm 1988, Mangasarian [14] lần giới thiệu công thức đặc trưng tập nghiệm toán lồi với ràng buộc tập lồi cho toán [10], [1], [11], [13], [2], [12], [3] Theo mạch nghiên cứu đó, mục đích báo thiết lập đặc trưng tập nghiệm dạng tốn khơng lồi với giả thiết -invex cài đặt cho tập ràng buộc tính chất hàm -giả tuyến tính cài đặt cho hàm mục tiêu thông qua việc sử dụng đạo hàm Clarke Kết mở rộng kết báo số [9] Chúng ý gần đây, đặc trưng tập nghiệm cho toán tối ưu với hàm mục tiêu Lipschitz địa phương, giả invex tập mở invex giới thiệu báo [19] Đặc biệt, đặc trưng tập nghiệm cho tốn tối ưu có hàm mục tiêu -giả tuyến tính tập -invex giới thiệu báo [20] thông qua vi phân Clarke Bài báo tổ chức sau: Phần dành để giới thiệu kiến thức liên quan đến định nghĩa số lớp hàm lồi suy rộng số kết cần thiết cho chứng minh phần báo Kết báo liên quan đến đặc trưng tập nghiệm giới thiệu phần cuối báo Ví dụ minh họa giới thiệu Kiến thức Cho hàm f : R n R Lipschitz địa Min f ( x) x C Kể từ đến có nhiều cơng trình liên quan đến chủ đề cơng bố Các báo quan tâm đến chủ đề phong phú Từ toán lồi với ràng buộc tập, đến tốn lồi có ràng buộc bất đẳng thức lồi, mở rộng với hệ vô hạn ràng buộc lồi Tiếp đặc trưng tập nghiệp toán tối ưu véc-tơ số lớp tốn tối ưu khơng lồi xem xét Có thể liệt kê số cơng trình tiêu biểu đặc trưng tập nghiệm năm qua như: [4], [9], [17], phương x R n vectơ d R n Theo định nghĩa Clarke [6], đạo hàm suy rộng hàm f x theo hướng d vi phân hàm f x định nghĩa tương ứng f c ( x; d ) lim sup y x t 0 f ( y td ) f ( y ) t f ( x) u R n | f c ( x, d ) u, d , d R n c Đạo hàm theo hướng d hàm f 165 điểm x định nghĩa giới hạn sau (nếu giới hạn vế phải tồn tại) f (x td) f (x) f '(x;d) lim t t0 Hàm f gọi quy x Rn f ' ( x; d ) tồn f (x) f (y) (x, y)T f (y) 0, x, y X , iii) Hàm f gọi - giả tuyến tính f ( f ) - giả invex với hàm Để chuẩn bị cho kết nói phần tiếp theo, nhắc lại định nghĩa hàm Lipschitz -giả tuyến tính dựa khái niệm -invex Trước hết giới thiệu khái niệm tập -invex (có tài liệu gọi tập invex) Định nghĩa 2.3 Cho tập khác rỗng f ' ( x; d ) f c ( x; d ) , với d R n Hàm f gọi quy tập C f quy điểm thuộc C Bổ đề 2.1 Cho hàm f : R n R Lipschitz địa phương x R n Khi đó: X R n ánh xạ : X X R n Tập X gọi - invex với x, y X , với [0;1] , ta có y ( x, y) X i) f ( x; rd ) rf ( x; d ), r , c c ii) f c (x; d) (f )c (x;d) , iii) c (f )( x) c f ( x) Chứng minh: i) Với r , ta có f c ( x; rd ) lim sup y x t 0 Từ nghĩa 2.3, ( x, y) x y X tập lồi (Ta nói tính chất -invex tính chất lồi suy rộng) Định nghĩa sau mở rộng khái niệm hàm -invex khả vi f ( y trd ) f ( y) f ( y trd ) f ( y) r lim sup rf c ( x; d ) yx t tr t 0 ii) Xem [6, mệnh đề 2.1.1], kết c) iii) Xem [6, mệnh đề 2.3.1] Chú ý: Ta có (f ) '(x;d) f '(x;d) Thật Định Định nghĩa 2.4 Cho X R n tập - invex hàm f : R n R Lipschitz địa phương R n i) Hàm f gọi - giả invex X với x, y X , ta có f c ( y; ( x, y)) f ( x) f ( y) (f)(x td) (f)(x) f(x td) f(x) lim f '(x;d) t t t0 t0 (f)'(x;d) lim Định nghĩa 2.1 Hàm h : R n R gọi lẻ dưới, h( x) h( x) 0, x R n \ 0 Định nghĩa 2.2 Cho f : X R hay f ( x) f ( y) f c ( y; ( x, y)) , ii) Hàm f gọi - giả tuyến tính X hàm f ( f ) - giả invex X hàm khả vi tập mở X R i) Hàm f gọi - giả invex n tồn hàm véc-tơ : X X R n cho (x, y)T f (y) f (x) f (y), x, y X , Định nghĩa 2.4, ( x, y) x y f hàm Lipschitz giả lồi Nhận xét 2.1 Từ Định nghĩa 2.4, ta thấy hàm Trong ii) Hàm f gọi - tựa invex tồn hàm véc-tơ : X X R n cho 166 f - giả invex X với Ký hiệu S tập nghiệm (P) giả sử S Trong định lý đặc trưng tập nghiệm đây, giả sử z nghiệm biết trước toán Bổ đề 3.1 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử với x, y X , tồn c f ( y) cho , ( x, y) f ( x) f ( y) Để thu kết đặc trưng tập nghiệm cho trường hợp hàm mục tiêu Lipschitz - giả tuyến tính, chúng tơi cần đến điều kiện bổ đề sau đây: y C , đạo hàm f c ( y;.) lẻ theo hướng Khi đó, hàm f quy z với x C , ta có f c ( z; ( x, z)) f ( x) f ( z ) Chứng minh: Nếu f -giả tuyến tính C f ( f ) - giả invex Khi đó, với x C , ta có Cho X R n tập - invex với ánh xạ : X X R n Điều kiện sau ký hiệu điều kiện (C) (Xem [21]): (C) : Với x, y X , với 0;1, ta có (y, y (x, y)) (x, y), (x, y (x, y)) (1 )(x, y) Đặc trưng tập nghiệm tối ưu toán - giả tuyến tính Trong phần này, chúng tơi quan tâm đến đặc trưng tập nghiệm lớp hàm Lipschitz địa phương R n có cài đặt thêm giả thiết - giả tuyến tính Cần nhắc lại tập nghiệm tốn tối ưu giả tuyến tính trường hợp hàm khả vi nghiên cứu giới thiệu báo [9], tổng hợp giới thiệu lại tài liệu [16] Các định lý sau mơ tả đặc trưng tập nghiệm cho tốn (P) với hàm mục tiêu hàm Lipschitz thỏa tính chất lồi suy rộng Đồng thời tập C tập lồi suy rộng Xét toán sau đây: (P) Min f (x) f c ( z; ( x, z )) f ( x) f ( z ) c ( f ) ( z; ( x, z )) ( f )( x) ( f )( z ) Do f quy z nên c f (z;η(x,z)) f(x) f(z), c f (z;η(x,z)) f(x) f(z) (3.1) Vì f c ( z; ( x, z )) f ( x) f ( z ) Ngược lại, với x C , giả sử f ( x) f ( z ) , ta cần chứng minh f c ( z; ( x, z )) Với 0;1 đặt y * z ( x, z ) C Ta chứng minh f ( y * ) f ( z) Giả sử f ( y * ) f ( z ) tức là, f ( x) f ( z ) f ( y * ) (3.2) Do f - giả invex nên từ i) Định nghĩa 2.4 ta có x C, f c ( y * ; ( z, y * )) C R n tập -invex (3.3) Do điều kiện (C) thỏa mãn nên f hàm Lipschitz -giả tuyến tính C , hàm : C C R n thỏa mãn điều kiện (C) ( z, y * ) 167 1 ( x, y * ) Từ (3.3) bổ đề 2.1 ta có c * f c ( y * ; ( x, y * )) f ( y ; ( x, y * )) 1 1 Suy f c ( y * ; ( x, y * )) điều kiện: f ( x) f ( z) p( x, z) f c ( z; ( x, z)) Chứng minh: Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu f c ( z; ( x, z )) , với x C Bổ đề 3.1 ta có f ( x) f ( z ) Khi đó, chọn (3.4) Nếu ( x, y ) f ( y ; ( x, y * )) c * * (mâu thuẫn với (3.4)) nên ( x, y * ) c p( x, z) tùy ý Trường hợp 2: Nếu f c ( z; ( x, z )) , với x C Bổ đề 3.1 ta có f ( x) f ( z) Chọn hàm p : C C R cho Do f ( y ;.) lẻ nên * f c ( y * ; ( x, y * )) f c ( y * ; ( x, y * )) Vậy ta có f c ( y * ; ( x, y * )) Do -giả invex nên (mâu thuẫn với (3.2)) f f ( x) f ( y * ) f ( x) f ( z ) (3.6) f c ( z; ( x, z )) Ta chứng tỏ p( x, z ) , với x C Giả sử f ( x) f ( z ) Do f -giả p ( x, z ) Giả sử f ( y * ) f ( z ) , tức f ( y * ) f ( z ) f ( x) (3.5) ( f )( z ) ( f )( y ) Do ( f ) -giả invex nên * Hay invex nên f c ( z; ( x, z )) ( f ) ( y ; ( z, y )) c * * (3.6), ta p( x, z ) , với x C Giả sử f ( x) f ( z ) Khi Kết hợp điều kiện (C) ý Từ f ( y ;.) lẻ ( f ) ( y ;.) lẻ Bằng lập luận trên, ta c c * * ( f )( x) ( f )( z) Vì ( f ) - giả nhận f ( y * ) f ( x) , mâu thuẫn với (3.5) invex nên ( f ) c ( z; ( x, z )) f ( y * ) f ( z ) hay f ( z ( x, z)) f ( z) Khi đó, f quy z nên Tóm lại, ta có Từ Bổ đề 2.1, ta nhận f ( z; ( x, z )) c f ( z ( x, z)) f ( z) 0, 0;1 0 f ( x) f ( z ) dẫn đến Nếu ( x, z ) f c ( z; ( x, z )) f c ( z; ( x, z)) f ' ( z; ( x, z)) lim Vậy (3.7) (mâu thuẫn với (3.7)) nên ( x, z ) Khi đó, f c (z;.) lẻ nên f ( z; ( x, z )) c Bổ đề 3.2 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử với f c ( z; ( x, z)) f c ( z; ( x, z)) Từ (3.6), ta p( x, z ) , với x C Tóm lại, bổ đề chứng y C , đạo hàm f c ( y;.) lẻ theo hướng hàm f quy z Khi với x C tồn hàm p : C C R cho p( x, z ) thỏa minh Chú ý phiên hai bổ đề chứng minh báo [20] cách sử dụng vi phân 168 Clarke Ở đây, trực tiếp dùng đạo hàm Clarke Định lý 3.1 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử với y C , đạo hàm f c ( y;.) lẻ theo f c ( z; ( x, z )) Do Bổ đề 3.2, tồn p( x, z ) cho hướng hàm f quy z Khi S S Vậy S S Tương tự Nhận xét 3.1, định lý 3.2, thay giả thiết f quy z giả thiết f quy C ta có Nhận xét 3.1 Trong Định lý 3.1, thay giả thiết f quy z giả hệ sau: Hệ 3.3 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử với y C , f ( x) f ( z) p( x, z) f c ( z; ( x, z)) f ( z) Vậy f ( x) f ( z ) Do đó, x S , tức c S S1 , với S1 x C | f ( z; ( x, z )) Chứng minh: Do Bổ đề 3.1, ta có x S f ( x) f ( z ) f c ( z; ( x, z )) x S1 thiết f quy C đạo hàm f c ( y;.) lẻ theo hướng hàm f quy C Khi đó, f c ( x; ( z, x)) f ' ( x; ( z, x)) Ta thu hệ sau Hệ 3.1 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử với y C , đạo hàm f c ( y;.) lẻ theo hướng ~ Hệ 3.2 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử f khả vi - giả tuyến tính tập mở chứa C tập invex Khi S x C | f ( z ), ( x, z ) 0 S' ~ ~ S' S1' , với x C | f ( x), ( z, x) 0, Định lý 3.3 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử với y C , đạo hàm f c ( y;.) lẻ theo hướng hàm f quy z Khi S S , với S3 x C | f c ( z; ( x, z )) f c ( x; ( z, x)) S S , với S x C | f c ( z; ( x, z )) 0 Chứng minh : Lấy x S , Định lý 3.1 ta có f c ( z; ( x, z)) f c ( x; ( z, x)) , Chứng minh: Do Định lý 3.1 nên x S2 x C x C | f ( x), ( z, x) 0, S ' x C | f ( z ), ( x, z ) 0 hướng hàm f quy z Khi S S Lấy Định lý 3.2 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử với y C , đạo hàm f c ( y;.) lẻ theo nghiệm biết Khi S S 2' S 2' , với ~ S' Hệ sau suy từ định lý nêu f giả sử khả vi tập mở C Hệ 3.4 Với toán (P), giả sử f khả vi -giả tuyến tính tập mở chứa C tập -invex, với z ' S S1 , với S1 x C | f ( x; ( z, x)) ~ S1' ~ ~ S S , với S x C | f ' ( x; ( z, x)) hàm f quy C Khi ~ tức f c ( z; ( x, z )) f c ( x; ( z, x)) Suy 169 x S , tức S S invex Khi đó, S S3' , với ~ S ' x C | f ( x), ( z, x) f ( z ), ( x, z ) , Ngược lại, lấy x S Ta có x C f c ( z; ( x, z )) f c ( x; ( z, x)) (3.8) Ta cần chứng minh x S Giả sử x S Khi đó, (3.9) f ( z ) f ( x) Vì f -giả invex, theo Định nghĩa S 3' x C | f ( z ), ( x, z ) f ( x), ( z, x) Các Hệ 3.2, 3.4 3.6 nội dung chứng minh trực tiếp báo số [9] Định lý 3.1, Hệ 3.1 Định lý 3.3 giới thiệu lại tài liệu số [16] Định lý 5.18, Hệ 5.19, Định lý 5.20 2.4, ta f c ( x; ( z, x)) ~ S3' (3.10) Từ (3.8) (3.10) suy TÀI LIỆU THAM KHẢO f c ( z; ( x, z )) N.Dinh, V Jeyakumar and G.M Lee (2006), Lagrange multiplier characterizations of solution sets of constrained pseudolinear optimization problems, Optimization 55, 241-250 Mặt khác, Bổ đề 3.2, tồn p( x, z ) cho f ( x) f ( z) p( x, z) f c ( z; ( x, z)) f ( z) Điều mâu thuẫn với (3.9) Do x S , tức S S T.Q Son and N Dinh (2008), Characterizations of optimal solution sets of convex infinite programs, TOP 16,147-163 Vậy S S Trong định lý 3.3, thay giả thiết f quy z giả T.Q Son and D.S Kim (2014), A new approach to characterize the solution set of a pseudoconvex programming problem, J Comput Appl Math 261, 333-340 thiết f quy C ta có hệ sau đây: Hệ 3.5 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử với J.V Burke and M Ferris (1991), Characterization of solution sets of convex programs, Operations Research Letters 10, 57-60 B.D Craven (1981), Invex functions and constrained local minima, Bulletin of Australian Mathematical Society 24, 357-366 y C , đạo hàm f ( y;.) lẻ theo hướng hàm f quy C c Frank H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Reprint, New York ~ Khi đó, S S , với ~ K.L Chew and E.U Choo Pseudolinear and efficiency, Programming 28, 226-239 S3 x C | f ' ( z; ( x, z )) f ' ( x; ( z, x)) Hệ sau suy từ định lý nêu f giả sử khả vi tập mở C Hệ 3.6 Với toán (P), z nghiệm biết Giả sử f khả vi -giả tuyến tính tập mở chứa C tập - (1984), Math M.A Hanson (1981), On Sufficiency of KuhnTucker conditions, Journal of Mathematical Analysis Applications 80, 545-550 V Jeyakumar and X.Q Yang (1995), Characterizing the solution sets of pseudolinear programs, Journal of Optimization Theory and Applications 87, 747-755 170 10 V Jeyakumar, G.M Lee and N Dinh (2004), Lagrange multiplier conditions characterizing optimal solution sets of coneconstrained convex programs, Journal of Optimization Theory and Applications 123, 83-103 11 V Jeyakumar, G.M Lee and N Dinh (2006), Characterizations of solution sets of convex vector minimization problems, European Journal of Operations Research 174, 13801395 12 D.S Kim and T.Q Son (2011), Characterizations of Solution Sets of a class of Nonconvex Semi-Infinite Programming Problems, J Nonlinear Convex Anal 12, 429-440 13 C.S Lalitha and M Mehta (2008), Characterizations of solution sets of mathematical programs in terms of Lagrange multipliers, Optimization 58, 995-1007 14 O.L Mangasarian (1988), A simple characterization of solution sets of convex programs, Operations Research Letters 7, 21-26 15 O.L Mangasarian (1965), Pseudoconvex functions, J SIAM Control 2, 281-290 Ngày nhận bài: 05/10/2016 16 [16] S K Mishra and G Giorgi (2008), Invexity and optimization, Springer- Verlag, Berlin Heidelberg 17 J.P Penot (2003), Characterization of solution sets of quasiconvex programs, Journal of Optimization Theory and Applications} 117, 627-636 18 N.G Rueda (1989), Generalized Convexity in Nonlinear Programming, Journal of Information and Optimization Sciences 10, 395-400 19 [19] K.Q Zhao, X Wan and X.M Yang (2013), A note on characterizing solution set of nonsmooth pseudoinvex problem, Optimization Letter 7, 117-126 20 K.Q Zhao and L.P Tang (2012), On characterizing solution set of nondifferentiable extremum problem, -pseudolinear Optimization 61, 239-249 21 Mohan, S R, Neogy, S K(1994), On invex sets and preinvex functions, Journal of mathematical analysis and applications 189, 901-908 Biên tập xong: 15/12/2016 171 Duyệt đăng: 20/12/2016 ... )(x, y) Đặc trưng tập nghiệm tối ưu t n - giả tuy n tính Trong ph n này, quan tâm đ n đặc trưng tập nghiệm lớp hàm Lipschitz địa phương R n có cài đặt thêm giả thiết - giả tuy n tính C n nhắc... c-invex đặc trưng qua tính chất điểm dừng cực tiểu to n cục Lịch sử v n đề đặc trưng tập nghiệm sơ lược qua sau: N m 1988, Mangasarian [14] l n giới thiệu công thức đặc trưng tập nghiệm to n lồi... phương, giả invex tập mở invex giới thiệu báo [19] Đặc biệt, đặc trưng tập nghiệm cho to n tối ưu có hàm mục tiêu -giả tuy n tính tập -invex giới thiệu báo [20] thông qua vi ph n Clarke Bài