Về tập nghiệm của bài toán bù tựa thuần nhất tổng quát

Bài viết này nghiên cứu tính chất tập nghiệm của bài toán bù tựa thuần nhất tổng quát. Các tác giả giới thiệu khái niệm ánh xạ tựa thuần nhất bậc p với p >0. Dùng các khái niệm cặp ánh xạ thuần nhất dương chính quy ngoại trừ đối với nón K, dãy ngoại trừ đối với bài toán bù tổng quát và tính chất của các ánh xạ tựa thuần nhất bậc p>0, các tác giả đã chứng minh một điều kiện đủ cho tính khác rỗng và tính compact của tập nghiệm đối với bài toán bù tựa thuần nhất tổng quát.

TNU Journal of Science and Technology 227(08): 38 - 45 ON THE SOLUTION SET OF GENERALIZED QUASI-HOMOGENEOUS COMPLEMENTARITY PROBLEMS Hoang Kim Chi *, Vu Tuan Anh, Hoang Van Hung Vietnam Maritime University ARTICLE INFO Received: 09/12/2021 Revised: 19/4/2022 Published: 21/4/2022 KEYWORDS Generalized complementarity problem p-degree quasi-homogeneous map Generalized quasi-homogeneous complementarity problem Exceptionally regular pair of positively homogeneous maps for cone K Exceptional family of elements for generalized complementarity problems ABSTRACT This paper investigates the properties of the solution set for generalized quasi-homogeneous complementarity problems The authors introduce the concept of p-degree quasi-homogeneous maps with p>0 Using the concepts of exceptionally regular pair of positively homogeneous maps for cone K, exceptional family of elements for generalized complementarity problems and the properties of p-degree quasi-homogeneous maps, the authors proved a sufficient condition for compactness and non-emptiness of the solution set for generalized quasi-homogeneous complementarity problems The class of p-degree quasi-homogeneous maps with p>0 properly contains the class of polynomial maps So, the obtained result is better a result of L.Ling, C.Ling, H.He [Pac J Optim, 16(1) 155-174, 2020.] about the properties of the solution set for generalized polynomial complementarity problems VỀ TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BÙ TỰA THUẦN NHẤT TỔNG QUÁT Hoàng Kim Chi*, Vũ Tuấn Anh, Hoàng Văn Hùng Trường Đại học Hàng hải Việt Nam THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT Ngày nhận bài: 09/12/2021 Bài báo nghiên cứu tính chất tập nghiệm tốn bù tựa tổng quát Các tác giả giới thiệu khái niệm ánh xạ tựa bậc p với p >0 Dùng khái niệm cặp ánh xạ dương quy ngoại trừ nón K, dãy ngoại trừ toán bù tổng quát tính chất ánh xạ tựa bậc p>0, tác giả chứng minh điều kiện đủ cho tính khác rỗng tính compact tập nghiệm toán bù tựa tổng quát Lớp ánh xạ tựa bậc p >0 chứa lớp ánh xạ đa thức lớp thực Do đó, kết thu tổng quát kết L.Ling, C.Ling, H.He [Pac J Optim, 16(1) 155-174, 2020] tính chất tập nghiệm toán bù đa thức tổng qt Ngày hồn thiện: 19/4/2022 Ngày đăng: 21/4/2022 TỪ KHĨA Bài toán bù tổng quát Ánh xạ tựa bậc p Bài toán bù tựa tổng quát Cặp ánh xạ dương quy ngoại trừ nón K Dãy ngoại trừ toán bù tổng quát DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.5337 * Corresponding author Email: kimchi2587@vimaru.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 38 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 38 - 45 Đặt vấn đề Trong khoảng 20 năm gần đây, toán bù lý thuyết tối ưu đề cập đến cách mạnh mẽ [1]-[8] Sở dĩ tốn bù khơng tốn quan trọng lý thuyết tối ưu, mà liên quan đến toán cân bằng, toán nảy sinh nhiều lĩnh vực như: lý thuyết trò chơi, kinh tế học (điểm cân Walras, cân giá không gian), học (cơ học kết cấu, học tiếp xúc), tốn cân giao thơng Mối liên quan toán bù toán cân tổng quan loại toán bù ứng dụng xem [1] Bài tốn bù đa thức tổng quát tính chất tập nghiệm tốn nghiên cứu [2]-[4] Nói riêng, định lý 3.1 báo [2] cho điều kiện đủ để tập nghiệm toán bù đa thức tổng quát tập compact khác rỗng Trong báo định lý 3.1 [2] thay ánh xạ đa thức F ( x), G( x) định lý [2] ánh xạ tổng quát hơn, gọi ánh xạ tựa Dưới không gian véc tơ thực n-chiều ký hiệu R n , tích vơ hướng véc tơ u, v  R n ký hiệu u, v , chuẩn Euclid véc tơ x  R n ký hiệu x , R + = t  R : t  0 Nón đối ngẫu K * nón lồi K R n định nghĩa bởi:   K * = u  R n :  x, u  (x  K ) ; n n K * nón lồi đóng R Nếu K nón lồi đóng R K * * = ( K *)* = K Các khái niệm Định nghĩa 1.1: Cho hai ánh xạ liên tục S, T từ R n vào R n nón lồi đóng K R n n Bài tốn tìm x  R cho S ( x)  K , T ( x)  K * S ( x), T ( x) = gọi toán bù tổng quát, ký hiệu GCP(S , T , K ) Tập nghiệm toán GCP(S , T , K ) ký hiệu SOL(S , T , K ) Định nghĩa 1.2: Ánh xạ H : R n → R k gọi dương bậc p  R với t  , x  R n ta có H (tx ) = t p H ( x) Ví dụ: Các ánh xạ H ( x1 , x2 ) = ( x12 + x22 , x1 x2 ), G( x1 , x2 ) = (3 x16 + x26 , ( x1 + x2 ) ) ánh xạ dương bậc từ R vào R p Định nghĩa 1.3: Cho ánh xạ F : R n → R n , ta viết F = 0( x ) ( p  0) nếu: lim x → F ( x) x p = Định nghĩa 1.4: Ánh xạ T : R n → R n gọi ánh xạ tựa bậc p  biểu diễn T = H + F , H ánh xạ dương bậc p F = 0( x ) Lớp ánh xạ tựa bậc p ký hiệu H ( p,0( p)) p Nhận xét 1: Dễ thấy T ( x) = m−1 A ( k ) m− k x n (k ) + a , x, a  R , m  , A tensor k =1 vuông n-chiều ( n  ) cấp m − k , ánh xạ thuộc H (m − 1,0(m − 1)) Phỏng theo định nghĩa 2.4 [2], đưa khái niệm cặp ánh xạ dương quy ngoại trừ nón lồi đóng K R n sau: http://jst.tnu.edu.vn 39 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 38 - 45 Định nghĩa 1.5: Cho nón lồi đóng K H, G hai ánh xạ dương tương ứng bậc p, q từ R n vào R n Ta nói H, G cặp quy ngoại trừ K không tồn ba ( x, t , s )  ( R n \ 0)  R +  R + thỏa mãn điều kiện sau: (ER1): H ( x) + tx  K , G( x) + sx  K * ; H ( x) + tx, G( x) + sx = (ER2): Định nghĩa 1.6: Ánh xạ T : R n → R n gọi xác định dương R n nếu: x,Tx  0, x  Rn \ 0 Nhận xét 2: Các ánh xạ tuyến tính từ R n vào R n cho ma trận vuông cấp n đối xứng xác định dương A ví dụ ánh xạ dương bậc xác định dương R n Ánh xạ T : R → R cho công thức: ( x13 e − x2 / x1 , x23 ) x1  0; T ( x1 , x2 ) =  (0, x23 ) x1 = ví dụ ánh xạ liên tục, dương bậc xác định dương R , không thuộc lớp ánh xạ đa thức Định nghĩa 1.7: Tập nghiệm SOL( S , T , K ) S, T ánh xạ tựa bậc p, q tương ứng gọi tập nghiệm toán bù tựa tổng quát Sơ đồ chứng minh kết chúng tơi tương tự chứng minh định lý 3.1 [2] nên cần đến khái niệm dãy ngoại trừ khảo sát [5]-[7]: Định nghĩa 1.8: Cho hai ánh xạ liên tục S, T từ R n vào R n nón lồi đóng K R n   Dãy x (i )  i =1  R n gọi dãy ngoại trừ toán GCP(S , T , K ) nếu: 1) li m x (i ) =  ; 2) Tồn dãy số dương i i =1 thỏa mãn đồng thời điều kiện: i →  S ( x (i ) ) + i x (i )  K , T ( x (i ) ) + i x (i )  K *, S ( x (i ) ) + i x (i ) , T ( x (i ) ) + i x (i ) = Bổ đề quan trọng sau chứng minh [7] chứng minh lại [2]: Bổ đề 1.1: Cho ánh xạ liên tục S, T từ R n vào R n nón lồi đóng K R n Hai khả sau loại trừ nhau: 1) SOL( S , T , K )   ;    2) Tồn dãy ngoại trừ x (i ) i =1  R n toán GCP(S , T , K ) Một kết báo [2] định lý sau (định lý 3.1,[2]), diễn đạt lại để tránh sử dụng ký hiệu cồng kềnh [2]: Định lý 1.2: Giả sử K nón lồi đóng R n : S, T ánh xạ đa thức từ R n vào R n cho công thức : 1) S ( x) = m−1  k =1 A (k ) ,B 2) ( j) A ( k ) x m − k + a, T ( x ) = l −1 B ( j) l− j x +b ( x, a, b  R n ), j =1 tensor vuông n-chiều cấp m − k , l − j tương ứng; A (1) , B (1) cặp ánh xạ quy ngoại trừ nón K ; 3) Nếu m  l A (1) xác định dương R n , m  l B (1) xác định dương R n http://jst.tnu.edu.vn 40 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 38 - 45 Khi SOL( S , T , K )   tập compact R n Mở rộng định lý từ lớp ánh xạ đa thức sang lớp ánh xạ tựa mục đích báo Kết Trong mục chứng minh định lý sau: Định lý 2.1: Giả sử K nón lồi đóng R n : 1) S, T ánh xạ tựa từ R n vào R n cho công thức : S = H p + F  H ( p,0( p )), T = K q + G  H (q,0(q )) , p, q số dương; H p , K q ánh xạ liên tục, dương bậc p, q p q (tương ứng) từ R n vào R n F = 0( x ), G = 0( x ) ánh xạ liên tục từ R n vào R n ; 2) H p , K q cặp ánh xạ quy ngoại trừ nón K ; 3) Nếu p  q H p ánh xạ xác định dương R n , q  p K q ánh xạ xác định dương R n Khi SOL( S , T , K )   tập compact R n Chứng minh Trước hết ta chứng minh SOL(S , T , K )     Giả sử trái lại SOL(S , T , K ) =  Khi theo bổ đề 1.1 tồn dãy ngoại trừ x (i ) toán GCP(S , T , K ) Vậy tồn dãy số dương i i =1 cho:  i =1  Rn  = S ( x (i ) ) + i x (i ) , T ( x (i ) ) + i x (i ) (1) S ( x (i ) ) +  i x (i )  K , T ( x (i ) ) +  i x (i )  K * (2) lim x ( i ) =  i → Tử (1) biểu diễn ánh xạ S, T ta nhận được: = H p ( x ( i ) ) + F ( x ( i ) ) +  i x ( i ) , K q ( x ( i ) ) + G( x ( i ) ) +  i x ( i )  = H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ), K q ( x (i ) ) + G ( x (i ) ) + (3)  i x (i ) , H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ) + K q ( x (i ) ) + G ( x (i ) ) +  i2 x (i ) Do K nón lồi đóng ta có K * * = K , vai trò số p, q giả thiết i định lý 2.1 Do đó, khơng giảm tổng qt ta xem p  q Đặt t i = Ta khẳng q −1 x (i ) định dãy t i i =1 bị chặn Thực vậy, dãy t i i =1 khơng bị chặn thay t i i =1 dãy    cần, ta xem t i i =1 dãy dần tới vô cực Chia hai vế (3) cho  x (i ) p+q ta nhận được: H p ( x ( i ) ) + F ( x ( i ) ), K q ( x ( i ) ) + G ( x ( i ) ) 0= x (i ) ti x (i ) http://jst.tnu.edu.vn p +1 p+q + x (i ) , H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ) + K q ( x (i ) ) + G ( x (i ) ) + 41 t i2 x (i ) p −q Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 38 - 45 H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ) K q ( x (i ) ) + G ( x (i ) ) 0= , + p q x (i ) x (i ) x ti ( i ) p +1 (4) x (i ) , H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ) + K q ( x (i ) ) + G ( x (i ) ) + t i2 x (i ) p −q Dùng tính p-thuần dương (tương ứng q-thuần dương) ánh xạ H p , K q ta viết lại (4) dạng: = Hp( x (i ) )+ x (i ) F ( x (i ) ) p x (i ) x (i ) , Kq ( )+ x (i ) G ( x (i ) ) + q x (i ) (5) ti x (i ) x (i ) ,H p( x (i ) x (i ) )+ (i ) F (x ) x (i ) p + x (i ) p −q Kq ( x (i ) x (i ) )+ (i ) G( x ) x (i ) p + ti2 x (i ) p −q Nhận xét 3: Bởi mặt cầu đơn vị khơng gian R n tập compact, H p , K q ánh p q xạ liên tục từ R n vào R n , F = 0( x ), G = 0( x ) dễ thấy số hạng thứ vế phải (5) đại lượng bị chặn x (i ) đủ lớn Để chứng tỏ giả thiết ti i=1 dãy dần tới vô cực dẫn tới mâu thuẫn ta phân biệt hai trường hợp: Trường hợp 1: p = q Trong trường hợp (5) trở thành: = H p( x (i ) x (i ) )+ F ( x (i ) ) x (i ) p ,Kp( x (i ) x (i ) )+ G ( x (i ) ) x (i ) p + (6) ti x (i ) x (i ) ,H p( x (i ) x (i ) )+ (i ) F (x ) x (i ) p + Kp( x (i ) x (i ) )+ (i ) G( x ) x (i ) p + t i2 Chia hai vế (6) cho t i2 ta được: 0= x (i ) F ( x (i ) ) x (i ) G ( x (i ) ) H ( ) + , K ( ) + + p p p p t i2 x (i ) x (i ) x (i ) x (i ) (7) ti x (i ) x (i ) ,H p( x (i ) x (i ) )+ (i ) F (x ) x (i ) p + Kp( x (i ) x (i ) )+ (i ) G( x ) x (i ) p +1 Cho i →  , dùng nhận xét nhớ ti → , x (i ) →  từ (7) ta nhận mâu thuẫn 0=1 Trường hợp 2: p  q Trong trường hợp từ (5) ta có bất đẳng thức: http://jst.tnu.edu.vn 42 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology  Hp( x (i ) )+ x (i ) F ( x (i ) ) x (i ) p , Kq ( x (i ) x (i ) )+ 227(08): 38 - 45 G ( x (i ) ) x (i ) + q (8) ti x (i ) x (i ) ,H p( x (i ) Bởi dãy { (i ) = x x (i ) x (i ) )+ (i ) F (x ) x (i ) p + x (i ) p −q Kq ( x (i ) x (i ) )+ (i ) G( x ) x (i ) p n }i=1 dãy thuộc mặt cầu đơn vị R từ tính compact mặt (i )   hội tụ tới phần tử  cầu ta suy có dãy dãy  (i )   dãy hội tụ tới  R Thay dãy  n (i )   hội tụ tới  Do (i ) mặt cầu đơn vị cần, ta coi dãy n H p xác định dương R  = ta có  , H p ( )  Cho i →  (8) lại dùng nhận xét 3, ý p  q hệ số t i vế phải (8) có giới hạn  , H p ( )  i →  , ta nhận mâu thuẫn  + Các mâu thuẫn nhận chứng tỏ dãy ti i=1 phải dãy bị chặn Các hệ thức (1), (2) viết lại dạng: = H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ) + ti x (i ) H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ) + ti x (i ) x (i ) Lại xét dãy { (i ) = x (i ) q −1 q −1 ( i ) x , K q ( x (i ) ) + G( x (i ) ) + ti x (i ) x (i )  K , K q ( x (i ) ) + G ( x (i ) ) + ti x (i ) q −1 q −1 (i ) x x (i )  K * (9) (10) }i=1 lý luận trên, ta xem lim i =  Các hệ thức i → (9) (10) trở thành: q q = H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ) + ti x (i )  (i ) , K q ( x (i ) ) + G( x (i ) ) + ti x (i )  (i ) q q (11) H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ) + ti x (i )  (i )  K , K q ( x (i ) ) + G ( x (i ) ) + ti x (i )  (i )  K * (12) Do dãy ti i=1 bị chặn, cách thay ti i=1 dãy hội tụ cần, ta xem lim ti = t  i → Xét trường hợp p = q : Từ hệ thức (11), (12) suy ra: = Hp( Hp( x (i ) x (i ) )+ x (i ) x (i ) )+ x F ( x (i ) ) x F ( x (i ) ) (i ) p (i ) p + ti (i ) , K p ( + t i (i )  K , K p ( x (i ) x (i ) x (i ) x (i ) )+ )+ G( x (i ) ) x G ( x (i ) ) x + ti (i ) (13) + t i (i )  K * (14) (i ) p (i ) p Cho i →  , từ hệ thức (13), (14) ta nhận được: H p ( ) + t , K p ( ) + t = 0, H p ( ) + t  K , K p ( ) + t  K * http://jst.tnu.edu.vn 43 (15) Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 227(08): 38 - 45 Hệ thức (15) mâu thuẫn với giả thiết cặp ánh xạ H p , K p cặp ánh xạ quy ngoại trừ nón K Xét trường hợp p  q : Từ hệ thức (11), (12) suy ra: = Hp( Hp( x (i ) x (i ) x )+ x (i ) (i ) )+ F ( x (i ) ) x F ( x (i ) ) x (i ) p + (i ) p ti (i ) x ti (i ) + x (i ) p −q (i ) , Kq ( p −q  K, Kq ( x (i ) x x (i ) x (i ) (i ) G( x (i ) ) )+ x )+ G ( x (i ) ) x + ti (i ) (16) + ti (i )  K * (17) (i ) q (i ) q Do p − q  x (i ) →  , cho i →  hệ thức (16), (17) ta nhận được: H p ( ), K q ( ) + t = 0, H p ( )  K , K q ( ) + t  K * (18) Các hệ thức (18) mâu thuẫn với giả thiết cặp ánh xạ H p , K q cặp ánh xạ quy ngoại trừ nón K Như vậy, giả thiết phản chứng SOL(S ,T , K ) =  dẫn tới mâu thuẫn với giả thiết 2) định lý 2.1 tính quy ngoại trừ nón K cặp ánh xạ H p , K q Điều chứng minh SOL(S ,T , K )   Bây ta chứng minh tính compact tập SOL(S ,T , K ) Giả sử z  R n điểm giới   hạn tập SOL(S ,T , K ) Khi tồn dãy z (i )   i →  Vì z (i )  i =1  i =1  SOL(S ,T , K ) cho z (i ) → z  SOL(S ,T , K ) ta có: S ( z (i ) )  K , T ( z (i ) )  K *, S ( z (i ) ), T ( z (i ) ) = (19) Cho i →  (19) dùng tính liên tục ánh xạ S, T , tính đóng nón S ( z )  K , T ( z )  K *, S ( z ), T ( z ) = K , K * ta nhận được: Vậy z  SOL(S ,T , K ) , nghĩa SOL(S ,T , K ) tập đóng Tính bị chặn tập SOL(S ,T , K ) chứng minh phản chứng Giả sử trái lại   SOL(S ,T , K ) khơng bị chặn Khi tồn dãy x (i )  i =1  SOL(S ,T , K ) cho lim x (i ) = + i → Vậy ta có: S ( x (i ) )  K , T ( x (i ) )  K *, S ( x (i ) ), T ( x (i ) ) = (20) H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) )  K , K q ( x (i ) ) + G( x (i ) )  K *,  (21)  H p ( x (i ) ) + F ( x (i ) ), K q ( x (i ) ) + G( x (i ) ) =   Dùng tính p-thuần dương (tương ứng q-thuần dương) ánh xạ H p , K q tính  chất nón, từ (21) ta nhận được:  x (i ) F ( x (i ) ) x (i ) G ( x (i ) ) H ( ) +  K , K ( ) +  K *,  p (i ) q p q x x (i ) x (i ) x (i )     x (i ) F ( x (i ) ) x (i ) G ( x (i ) ) H ( ) + , K ( ) + =0  p q p q x (i ) x (i ) x (i ) x (i )   http://jst.tnu.edu.vn 44 (22) Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology Lại dãy { (i ) = x (i ) x (i ) 227(08): 38 - 45 }i=1 dãy thuộc mặt cầu đơn vị R n , khơng tính tổng quát ta xem dãy hội tụ phần tử  thuộc mặt cầu đơn vị R n Cho i →  (22) ta nhận được: H p ( )  K , K q ( )  K *, H p ( ), K q ( ) = (23) Các hệ thức (23) mâu thuẫn với tính quy ngoại trừ nón K cặp ánh xạ H p , K q Vậy tập SOL(S ,T , K ) tập bị chặn Ở ta chứng minh SOL(S ,T , K ) tập đóng, SOL(S ,T , K ) tập compact chứng minh định lý 2.1 kết thúc Kết luận Từ nhận xét nhận xét suy tập ánh xạ đa thức tập thực tập ánh xạ tựa nhất, định lý 2.1 thực mạnh định lý 1.2 (tức định lý 3.1 [2]) Lời cảm ơn Bài báo tài trợ Trường Đại học Hàng hải Việt Nam đề tài mã số DT2122.92 TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES S C Billups and K G Murty, “Complementarity problems,” J Computational and Applied Mathematics, vol 124, pp 303-318, 2000 [2] L Ling, C Ling, and H He, “Properties of the solution set of generalized polynomial complementarity problems,” Pac J.Optim., vol 16, pp 155-174, 2020 [3] L Ling, H He, and C Ling, “On error bounds of polynomial complementarity problems with structured tensors,” Optimization, vol 67, pp 341-358, 2018 [4] M S Gowda, “Polynomial complementarity problems,” Pac.J.Optim., vol 13, pp 227-241, 2017 [5] G Isac, V Bulavski, and V Kalashnikov, “Exceptional families, topological degree and complementarity problems,” J.Global Optim., vol 10, pp 207-225, 1997 [6] G Isac and A Carbone, “Exceptional families of elements for continuous functions: some applications to complimentarity theory,” J.Global Optim., vol 15, pp 181-196, 1999 [7] V V Kalashnicov and G Isac, “Solvability of implicit complementarity problems,” Ann Oper Res., vol 116, pp 199-221, 2002 [8] X L Bai, Z H Huang, and Y Wang, “Global uniqueness and solvability for tensor complementarity problems,” J Optim Theory Appl., vol 170, pp 72-84, 2016 [1] http://jst.tnu.edu.vn 45 Email: jst@tnu.edu.vn ... toán bù toán cân tổng quan loại tốn bù ứng dụng xem [1] Bài tốn bù đa thức tổng qt tính chất tập nghiệm toán nghiên cứu [2]-[4] Nói riêng, định lý 3.1 báo [2] cho điều kiện đủ để tập nghiệm toán. .. , không thuộc lớp ánh xạ đa thức Định nghĩa 1.7: Tập nghiệm SOL( S , T , K ) S, T ánh xạ tựa bậc p, q tương ứng gọi tập nghiệm toán bù tựa tổng quát Sơ đồ chứng minh kết tương tự chứng minh định... R n vào R n nón lồi đóng K R n n Bài tốn tìm x  R cho S ( x)  K , T ( x)  K * S ( x), T ( x) = gọi toán bù tổng quát, ký hiệu GCP(S , T , K ) Tập nghiệm toán GCP(S , T , K ) ký hiệu SOL(S