Bài viết Tương tác giữa nguyên tử với trường ngoài ở trạng thái nén bậc cao trình bày: Khảo sát phổ huỳnh quang cộng hưởng của nguyên tử có cấu hình hai mức tương tác với trường ngoài ở trạng thái nén bậc cao. Biểu thức giải tích tổng quát phổ huỳnh quang cộng hưởng được đưa ra, sau đó xét riêng trường hợp trường ngoài không nén và nén bậc 2, đồng thời so so sánh kết quả thu được với nhau,... Mời các bạn cùng tham khảo.
TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG NGOÀI Ở TRẠNG THÁI NÉN BẬC CAO PHAN ĐÌNH PHÚC Học viên Cao học, Trường ĐHSP - Đại học Huế PHÙNG VĂN VINH Ban Tuyên giáo Tỉnh ủy Thừa Thiên Huế Tóm tắt: Bài báo khảo sát phổ huỳnh quang cộng hưởng ngun tử có cấu hình hai mức tương tác với trường trạng thái nén bậc cao Biểu thức giải tích tổng quát phổ huỳnh quang cộng hưởng đưa ra, sau xét riêng trường hợp trường ngồi khơng nén nén bậc 2, đồng thời so so sánh kết thu với GIỚI THIỆU Tương tác vật chất với trường ánh sáng từ xa xưa quan tâm nghiên cứu khả ứng dụng chúng kỹ thuật đời sống Bài toán kinh điển tương tác ánh sáng với môi trường vật chất tương tác ánh sáng với hệ ngun tử có cấu hình hai mức theo mơ hình Jaynes-Cummings [3] Từ mơ hình đó, B.G Mollow lần nghiên cứu lý thuyết tượng hùynh quang cộng hưởng giới hạn trường mạnh vào năm 1969 Dưới tác dụng trường mạnh, phổ huỳnh quang nguyên tử vạch trung tâm xuất hai vạch phụ Phổ huỳnh quang cộng hưởng nguyên tử phụ thuộc mạnh vào cường độ điện trường độ điều hưởng Cũng với mơ hình này, mở nhiều hướng nghiên cứu như: nghiên cứu phổ huỳnh quang trường nén buồng cộng hưởng [1]; nghiên cứu trạng thái nén bậc cao [4]; nghiên cứu phổ huỳnh quang cộng hưởng nguyên tử hai mức, ba mức tác dụng trường ánh sáng mạnh trạng thái nén chân không [2], [8], [9], Trong báo này, xét đến phổ huỳnh quang cộng hưởng nguyên tử hai mức tương tác với trường trạng thái nén bậc cao Biểu thức phổ huỳnh quang cộng hưởng tổng quát đưa Nhờ phương pháp tính số vẽ đồ thị, chúng tơi thu phụ thuộc phổ huỳnh quang cộng hưởng vào thông số k độ bất điều hưởng Với tính cách cộng hưởng đồ thị, báo phổ huỳnh quang cộng hưởng phụ thuộc mạnh vào thông số k độ bất điều hưởng Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(11)/2009: tr 30-37 31 TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG NGOÀI BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA PHỔ HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG Do chất trình tương tác hai photon, trình tham số nhìn nhận nghiên cứu ánh sáng nén trường hợp tìm thấy nhiều thực nghiệm [6] Trong trình không suy biến, trường tạo trạng thái nén hai mode, khuếch đại tham số suy biến tạo trạng thái nén đơn mode Đối với trường hợp trường đơn mode tần số ωf trạng thái nén tương tác với nguyên tử có cấu hình hai mức có tần số đặc trưng ω0 , Hamiltonian tồn phần có dạng [5], [7] H= ω0 σ ˆz + ωf a ˆ+k a ˆk + g(ˆ σ+ a ˆk + σ ˆ− a ˆ+k ), (1) a ˆ+ , a ˆ toán tử sinh, hủy photon trường nén; σ ˆz , σ ˆ+ , σ ˆ− toán tử nghịch đảo toán tử chuyển mức nguyên tử, tuân theo hệ thức giao hoán [ˆ σ− , σ ˆ+ ] = −ˆ σz , [ˆ σ− , σ ˆz ] = −2ˆ σ− Cường độ phổ ánh sáng huỳnh quang vị trí r xác định biểu thức S(r, ωh ) = Re π ∞ dτ G1 (r, t; r, t + τ )eiωbx τ , (2) ωbx tần số photon xạ, ωh = ω0 − ωbx ; Re kí hiệu phép lấy phần thực Hàm tương quan hai thời gian bậc G(1) (r, t; r, t + τ ) = I0 (r) σ ˆ+ (t)ˆ σ− (t + τ ) , với I0 (r, t) = (3) ω02 ℘ sin (η) 4π c2 |r−r0 | Để tính cường độ phổ, trước hết ta phải tính hàm tương quan hai thời gian Giá trị trung bình σ ˆ− (t) phương trình chuyển động ma trận mật độ biểu diễn tương tác có dạng [6] σ ˆ− (t) eiω0 t = T r(|1 2|ρ(t)) = 2|ρ(t)|1 , Γ i σ+ σ ˆ− ρ(t) − 2ˆ σ− ρ(t)ˆ σ+ + ρ(t)ˆ σ+ σ ˆ− } ρ˙ = − [H, ρ] − {ˆ (4) Chọn trạng thái mặc áo |ϕ1n = |1, n + k |ϕ2n = |2, n đồng thời sử dụng Hamiltonian (1) thu hàm riêng |±, n trị riêng Ωn xác định biểu thức |+, n = c1 |2, n + c2 |1, n + k , Ωn = ∆2k + 4g (n + k)! , n! |−, n = c2 |2, n − c1 |1, n + k ; ∆k = ω0 − (n + k)! n! − ωf n! (n − k)! (5) Ωn + ∆k c1 = √ Ωn 1/2 , Ωn − ∆k c2 = √ Ωn 1/2 (6) 32 PHAN ĐÌNH PHÚC - PHÙNG VĂN VINH Thay Hamiltonian (1) vào phương trình (4) thực số tính toán, ta thu σ ˆ− (t + τ ) eiω0 (t+τ ) = a1 (τ ) + a2 (τ ) σ ˆ− (t) eiω0 t + a3 (τ ) σ ˆ+ (t) e−iω0 t + a4 (τ )( σ ˆz (t) + 1)/2, (7) a1 (τ ) = − iΩn Γ 4Ω2n − Γ2 − 3Γτ − e cos µτ − sin µτ Γ2 + 2Ω2n 4µΓ , −3Γτ −Γτ e a2 (τ ) = e + 8µ 4µ cos µτ + Γ sin µτ , (8) −3Γτ −Γτ e a3 (τ ) = e − 4µ cos µτ + Γ sin µτ , 8µ iΩn − 3Γτ a4 (τ ) = e sin µτ µ Để xác định σ ˆ− (t + τ ) eiω0 (t+τ ) phương trình (7) ta phải xác định (σ ˆz (t + τ ) + 1)/2 = ρ22 (t + τ ), (9) = (c21 − c22 )ρ++ (t + τ ) + c1 c2 [ρ+− (t + τ ) + ρ−+ (t + τ )] + c22 Lặp lại trình ρ22 (t + τ ), ta thu (σ ˆz (t + τ ) + 1)/2 = b1 (τ ) + b2 (τ ) σ ˆ− (t) eiω0 t + b3 (τ ) σ ˆ+ (t) e−iω0 t + b4 (τ )( σ ˆz (t) + 1)/2, (10) đó: 3Γτ Ω2n 3Γ − cos µτ + sin µτ e− , 2 Γ + 2Ωn 4µ iΩn − 3Γτ b2 (τ ) = e sin µτ, 2µ iΩn − 3Γτ b3 (τ ) = − e sin µτ, 2µ 3Γτ Γ b4 (τ ) = e− cos µτ − 4µ b1 (τ ) = (11) Sử dụng công thức ˆ + τ) = O(t ˆ j (t) aj (τ ) O j cho (7) (10), ta nhận σ ˆ− (t) eiω0 t = a1 (t) + a2 (t) σ ˆ− (0) + a3 (t) σ ˆ+ (0) + a4 (t)( σ ˆz (0) + 1)/2, (12) 33 TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG NGOÀI (σ ˆz (t) + 1)/2 = b1 (t) + b2 (t) σ ˆ− (0) + b3 (t) σ ˆ+ (0) + b4 (t)( σ ˆz (0) + 1)/2 (13) Sử dụng công thức ˆ i (t)O ˆ j (t + τ ) = O ˆ i (t)O ˆ j (t) aj (τ ) O j ˆ i (t), O ˆ j (t) toán tử ý cho (7), với O σ ˆ± (t)ˆ σ± (t) = 0, σ ˆ+ (t)ˆ σ− (t) = ( σ ˆz (t) + 1)/2, ta tìm hàm tương quan có dạng σ ˆ+ (t)ˆ σ− (t + τ ) eiω0 (t+τ ) = a1 (τ ) σ ˆ+ (t) + a2 (τ )( σ ˆz (t) + 1)/2 e−iω0 t (14) Thay phương trình (8) - (13) vào (14) tìm hàm tương quan hai thời gian trường hợp tổng quát Trường hợp trạng thái dừng, giá trị trung bình tốn tử khác khơng phụ thuộc vào điều kiện đầu Từ đó, theo phương trình (12) phương trình (13) ta có −iΩn Γ , Γ2 + 2Ω2n σ ˆz (t) ss + Ω2 = b1 (∞) = n Γ + 2Ωn lim σ ˆ− (t) eiω0 t = a1 (∞) = t−→∞ lim t−→∞ (15) Thay (15) vào (14), đồng thời nhân hai vế (14) với e−iω0 t , ta σ ˆ+ (t)ˆ σ− (t + τ ) ss = [a1 (τ )a∗1 (∞) + a2 (τ )b1 (∞)]e−iω0 τ (16) Thay hệ số từ (8), (15) vào (16) thực số biến đổi, đồng thời lưu ý đến (3), ta Ω2n Γτ Γ2 + e− 2 2 Γ + 2Ωn Γ + 2Ωn 2 3Γτ 2Ω − Γ Γ 10Ω2n − Γ2 + e− e−iµτ n + i Γ + 2Ω2n 4µ Γ2 + 2Ω2n 2 2Ω − Γ Γ 10Ωn − Γ2 + eiµτ n − i Γ + 2Ω2n 4µ Γ2 + 2Ω2n (17) 2Ω2n − Γ2 , Γ2 + 2Ω2n (18) G(1) (r, t; r, t + τ )ss = I0 (r)e−iω0 τ Ta đặt P = Q= Γ 10Ω2n − Γ2 4µ Γ2 + 2Ω2n Khi đó, phương trình (17) viết lại G(1) (r, t; r, t + τ )ss = I0 (r)e−iω0 τ Ω2n Γ2 + 2Ω2n Γ2 Γτ + e− 2 Γ + 2Ωn 3Γτ + e− e−iµτ (P + iQ) + eiµτ (P − iQ) (19) 34 PHAN ĐÌNH PHÚC - PHÙNG VĂN VINH Hàm tương quan (19) dùng để tính cường độ phổ huỳnh quang cộng hưởng Trong phần xét phổ huỳnh quang cộng hưởng nguyên tử hai mức trạng thái dừng • Trong trường ngồi có cường độ yếu: Trường coi yếu Ωn Γ/4 Thực số tính tốn ta thu Ωn δ(ωh ) (20) S(r, ωh ) = I0 (r) Γ Từ biểu thức (20) ta thấy, phổ huỳnh quang cộng hưởng ngun tử hai mức trường ngồi có cường độ yếu có dạng hàm delta vị trí ωh = • Trong trường ngồi có cường độ mạnh: Trường coi mạnh Ωn ≥ Γ/4 Thay (19) vào (2), ta S(r, ωh ) = I0 (r) + Ω2n Γ2 + 2Ω2n 4πΓ2 Γ δ(ωh ) + 2 Γ + 2Ωn ωh + (Γ/2)2 3ΓP 3ΓP − (ωh − µ)Q + (ωh + µ)Q + (ωh − µ)2 + (3Γ/4)2 (ωh + µ)2 + (3Γ/4)2 (21) Biểu thức (21) biểu thức giải tích phổ huỳnh quang cộng hưởng trường mạnh KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN Từ biểu thức giải tích phổ huỳnh quang cộng hưởng trường mạnh mô tả (21), ta khảo sát ảnh hưởng phổ huỳnh quang cộng hưởng vào thông số k độ bất điều hưởng ứng với giá trị khác n , cụ thể: • Xét trường hợp k = trường hợp phổ huỳnh quang trường không nén b 0.20 0.15 0.15 S Ωh S Ωh a 0.20 0.10 0.05 0.00 0.10 0.05 10 Ωh 10 0.00 20 10 10 20 Ωh Hình 1: Phổ huỳnh quang cộng hưởng trường hợp k = ∆ = Hình vẽ (a) ứng với n = 1, Hình vẽ (b) ứng với n = 10 Từ kết khảo sát thể hình 1, nhận thấy rằng: phổ có dạng vạch Vạch trung tâm vị trí ωh = có cường độ mạnh Hai vạch bên có cường 35 TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG NGOÀI độ nhỏ so với vạch trung tâm tuân theo tỉ lệ : : Các vạch bên nằm ωh = ±Ωn , tức chúng đối xứng qua vạch trung tâm Khi n tăng độ rộng vạch có xu hướng giảm b a n 4 n 2 0 0.20 0.20 S Ωh 0.10 0.10 S Ωh 0.15 0.15 0.05 0.05 0.00 0.00 10 10 10 10 Ωh Ωh Hình 2: Phổ huỳnh quang cộng hưởng trường hợp k = với giá trị khác n Hình vẽ (a) ứng với ∆ = 0, hình vẽ (b) ứng với ∆ = Để có tranh tổng quát phụ thuộc phổ huỳnh quang cộng hưởng vào đại lượng n ∆, khảo sát phổ huỳnh quang cộng hưởng hàm biến ωh /Γ n hai trường hợp ∆ = 0, ∆ = Trong hai trường hợp ta cho n nhận giá trị từ đến Kết biểu thị hình vẽ hình Từ hình thấy: n tăng khoảng cách vạch bên vạch trung tâm tăng Điều dễ dàng lý giải qua biến số Rabi Ωn Khi xét đến độ điều hưởng ∆ = khoảng cách vạch bên vạch trung tâm tăng có xu hướng dịch xa vạch trung tâm so với trường hợp cộng hưởng xác ∆ = • Xét trường hợp k = trường hợp trường nén bậc b 0.20 0.15 0.15 S Ωh S Ωh a 0.20 0.10 0.05 0.00 0.10 0.05 15 10 Ωh 10 15 0.00 100 50 50 100 Ωh Hình 3: Phổ huỳnh quang cộng hưởng trường hợp k = ∆ = Hình vẽ (a) ứng với n = 1, hình vẽ (b) ứng với n = 10 36 PHAN ĐÌNH PHÚC - PHÙNG VĂN VINH Từ kết thể hình có nhận xét: phổ có dạng vạch Vạch trung tâm vị trí ωh = có cường độ mạnh Hai vạch bên có cường độ nhỏ so với vạch trung tâm tuân theo tỉ lệ : : Các vạch bên nằm ωh = ±Ωn , tức chúng đối xứng qua vạch trung tâm Tuy nhiên, giá trị Ωn lớn nhiều so với trường hợp không nén, ứng với giá trị n Điều dễ dàng lý giải qua biến số Rabi Ωn Khi n tăng độ rộng vạch có xu hướng giảm đáng kể so với trường hợp khơng nén Điều lý giải rằng, trường nén dao động Rabi ổn định tạo xạ có độ đơn sắc Tương tự trường hợp k = 1, khảo sát phụ thuộc phổ huỳnh quang cộng hưởng vào đại lượng n ứng với hai trường hợp ∆ = 0, ∆ = Chúng ta thu kết biểu thị qua hình vẽ hình a b 4 n n 0 0.20 0.20 0.15 0.15 S Ωh 0.10S 0.10 Ωh 0.05 0.05 0.00 0.00 50 Ωh 50 40 20 20 40 Ωh Hình 4: Phổ huỳnh quang cộng hưởng trường hợp k = với giá trị khác n Hình vẽ (a) ứng với ∆ = 0, hình vẽ (b) ứng với ∆ = Từ kết hình có nhận xét sau: n tăng khoảng cách vạch bên vạch trung tâm tăng Khi xét đến độ điều hưởng ∆ = khoảng cách vạch bên vạch trung tâm giảm có xu hướng dịch lại gần vạch trung tâm so với trường hợp cộng hưởng xác ∆ = KẾT LUẬN Qua việc khảo sát phổ huỳnh quang cộng hưởng nguyên tử hai mức tương tác với trường trạng thái nén bậc cao, nhận thấy rằng, phổ huỳnh quang cộng hưởng phụ thuộc mạnh vào thông số k giá trị n đặc trưng cường độ trường ngồi Phổ có dạng đối xứng ba đỉnh Tỉ lệ độ cao đỉnh : : Độ rộng vạch phổ phụ thuộc mạnh vào số photon trung bình n thơng số k trường Chúng ta nhận thấy rằng, với giá trị n độ rộng vạch phổ nhanh chóng giảm k tăng xem xạ đơn sắc TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG NGOÀI 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Alebachew E and Fesseha K (2008), "Interaction of a two-level atom with squeezed light", Physics Letters A, 42, 42-50 [2] Ferguson M R, Ficek Z and Dalton B J (1996), "Resonance fluorescence of threelevel atom in a squeezed vacuum", Phys Rev A 54, 2379-2389 [3] Jaynes E T and Cummings F W (1963), Proc.IEEE, 51, 89-109 [4] Nguyen Ba An (2001), "Multidirectional higher-order amplitude squeezing", Physics Letters A, 284, 72-80 [5] Puri R R., Agarwal G S (1988), "Coherent two-photon transitions in Rydberg atom in a cavity with finite Q", Phys Rev A, 37, 3879-3883 [6] Puri R R (2001), Mathematical Methods of Quantum Optics, Sprin-ger-Verlag, Berlin Heidelberg [7] Singh S (1982), "Field statistics in some generalized Jaynes-Cummings models", Phys Rev A 25, 3206-3216 [8] Smart S and Swain S (1992), "Effect of laser linewidths and collisions on resonance in a squeezed vacuum", Phys Rev A, 45, 6863-6871 [9] Smart S and Swain S (1993), "Dispersive profiles in resonance fluorescence of a twolevel atom in a squeezed vacuum", Phys Rev A, 48, 50-53 Title: INTERACTION OF AN ATOM-FIELD IN A HIGH-ORDER SQUEEZING STATES Abstract: The article studies interaction of an atom-field in a higher-order amplitude squeezing states The authors introduce the general expression of resonance fluorescence then analytical expressions are numerically computed for ordinary squeezing and highorder squeezing The results show that dependence of linewidth on parametric k, detuning ∆, and the mean number of photons n of the field PHAN ĐÌNH PHÚC Học viên Cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết Vật lý tốn, Khóa 16 (2007-2009), Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế TS PHÙNG VĂN VINH Ban Tuyên giáo Tỉnh ủy Thừa Thiên Huế ... suy biến, trường tạo trạng thái nén hai mode, khuếch đại tham số suy biến tạo trạng thái nén đơn mode Đối với trường hợp trường đơn mode tần số ωf trạng thái nén tương tác với nguyên tử có cấu... với trường hợp cộng hưởng xác ∆ = KẾT LUẬN Qua việc khảo sát phổ huỳnh quang cộng hưởng nguyên tử hai mức tương tác với trường trạng thái nén bậc cao, nhận thấy rằng, phổ huỳnh quang cộng hưởng...31 TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG NGOÀI BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA PHỔ HUỲNH QUANG CỘNG HƯỞNG Do chất trình tương tác hai photon, trình tham số nhìn nhận nghiên cứu ánh sáng nén trường