Bài giảng Chương 2: Phân tích hệ thống liên tục trong miền thời gian

Bài giảng Chương 2: Phân tích hệ thống liên tục trong miền thời gian cung cấp cho người đọc các kiến thức: Mở đầu, đáp ứng nội tại của hệ thống - Đáp ứng khi ngõ vào là zêrô, đáp ứng xung h(t), đáp ứng với ngõ vào - Đáp ứng trạng thái zêrô,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƢƠNG 2: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC TRONG MIỀN THỜI GIAN Nội dung 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Mở đầu Đáp ứng nội hệ thống: Đáp ứng ngõ vào zêrô Đáp ứng xung h(t) Đáp ứng với ngõ vào: Đáp ứng trạng thái zêrơ Giải phương trình vi phân phương pháp truyền thống Ổn định hệ thống Dự đoán đáp ứng hệ thống Phụ chương Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Tài liệu xem xét hai phương pháp phân tích hệ thống tuyến tính –bất biến (TTBB) hay (LTI) Phương pháp miền thời gian phương pháp miền tần số Chương khảo sát phương pháp phân tích miền thời gian hệ thống tuyến tính, bất biến, liên tục (hệ LTIC) 2.1 Mở đầu Xét hệ phương trinh vi phân tuyến tính, dạng tuyến tính, bất biến, liên tục trình bày chương 1, theo quan hệ ngõ vào f(t) ngõ y(t) có dạng phương trình vi phân tuyến tính: dny d n1 y dy dm f d m1 y df  a    a  a y ( t )  b  b    b1  b0) f (t ) (2.1a) n 1 m m1 n n 1 m m1 dt dt dt dt dt dt Các hệ số bi số Dùng toán tử D thay cho d / dt để viết lại phương trình ( D n  an1 D n1    a1 D  a0 ) y(t )  (bm D m  bm1 D m1    b0 ) f (t ) hay: Q( D) y(t )  P( D) f (t ) (2.1c) Các đa thức Q(D) P(D) là: Q( D)  D n  an1 D n1    a1 D  a0 (2.2a) P( D)  bm D  bm1 D m m1    b1 D  b0 (2.1b) (2.2a) Về mặt lý thuyết, giá trị lũy thừa m n phương trình có Tuy nhiên, thực tế, tác động nhiễu, nên cần có m  n Nhiễu dạng tín hiệu khơng mong muốn, có ngun nhân tự nhiên hay nhân tạo, làm nhiễu loạn lên tín hiệu mong muốn Một số nguồn nhiễu là: xạ điện từ sao, dịch chuyển hỗn loạn điện tử linh kiện hệ thống, nhiễu từ trạm phát phát hình, từ hệ thống đánh lửa xe ôtô, đèn huỳnh quang, v.v,… Chương chứng minh hệ đặc trưng phương trình (2.1) hoạt động vi phân bậc (m-n) tần số cao, m > n Điều khơng may nhiễu tín hiệu có băng thơng rộng chứa đủ thành phần tần số từ đến  Như thế, nhiễu chứa đựng phần lớn thành phần thay đổi nhanh, đạo hàm chúng có giá trị lớn Do đó, hệ thống với phương trình (2.1) có m > n khuếch đại thành phần tần số cao nhiễu tạo vi phân, ảnh hưởng xấu đến chất lượng tín hiệu có ích Trong tài liệu này, ta mặc định m  n Để dễ khảo sát, cho điều kiện m = n trong phương trình (2.1) Chương chứng tỏ hệ thống đặc trưng phương trình (2.1) hệ tuyến tính, nên đáp ứng viết thành tổng hai thành phần: thành phần đáp ứng với ngõ vào zêrô thành phần trạng thái zêrô Vậy: Đáp ứng tổng = đáp ứng với ngõ vào zêrô + đáp ứng trạng thái zêrô Thành phần đáp ứng với ngõ vào zêrô đáp ứng hệ thống ngõ vào f (t )  , nên kết phụ thuộc điều kiện bên hệ thống (như việc tích lũy lượng, điều kiện đầu) độc lập với ngõ vào bên f (t ) Ngược lại, thành phần trạng thái zêrô đáp ứng hệ thống với ngõ vào bên f (t ) hệ thống trạnh thái zêrô, khơng tồn vấn đề tích chức lượng nội tại; tức điều kiện đầu zêrô 2.2 Đáp ứng hệ thống với điều kiện nội tại: Đáp ứng ngõ vào zêrô Đáp ứng ngõ vào zêrô y0 (t ) nghiệm phương trình (2.1) ngõ vào f (t )  , Q( D) y0 (t )  Vậy: (2.4a) Hay: (2.4b) D n  an1 D n1    a1 D1  a0 ) y0 (t )  Nghiệm phương trình tìm theo phương pháp cổ điển Ở đây, ta thử làm tắt dùng suy diễn heuristic Phương trình (2.4b) cho thấy tổ hợp tuyến tính y0 (t ) n đạo hàm liên tiếp y0 (t ) zêrô, với số giá trị t, mà với t Kết có y0 (t ) n đạo hàm liên tiếp y0 (t ) có dạng Chỉ hàm dạng mủ e t có tính chất Giả sử: y0 (t )  ce t Là nghiệm phương trình (2.4b), dy Dy0 (t )   cet dt d y0 D y0 (t )   c2 e t dt  D n y0 (t )  d n y0  cn e t n dt Thay vào phương trình (2.4b), có được: c(n  an1n1    a1 a )et  Các nghiệm không tầm thường (nontrivial) có n  an1n1    a1 a  (2.5a) t Kết cho thấy ce nghiệm phương trình (2.4),  thỏa phương trình (2.5a) Chú ý, đa thức phương trình (2.5a) giống đa thức Q(D) (2.4b), thay  cho D Viết lại (2.5a) (2.5b) Q( )  Chuyển Q( ) thành dạng thừa số, viết lại phương trình (2.5b): Q( )  (  1 )(  2 ) (  n )  (2.5c) Rõ ràng,  có n nghiệm: 1 , 2 , , n Nên phương trình (2.4) có khả có n nghiệm là: c1e 1t , c2 e 2t , , cn e nt c1 , c2 , , cn số Nghiệm tổng quát tổng n nghiệm, nên: (2.6) y0 (t )  c1e 1t  c2 e 2t    cn e nt c1 , c2 , , cn số bất kỳ, xác định từ n ràng buộc nghiệm (điều kiện phụ) Do đa thức Q( ) mang đặc tính hệ thống, khơng liên quan đến ngõ vào, nên phương trình (2.7) Q( )  Được gọi phƣơng trình đặc tính hệ thống Phương trình (2.5c) chứng tỏ 1 , 2 ,, n nghiệm phương trình đặc tính; gọi nghiệm đặc tính hệ thống Ngồi nghiệm đặc tính gọi giá trị đặc tính, nghiệm riêng, tần số tự nhiên Hàm mũ e it (i  1,2,, n) đáp ứng ngõ vào - zêrô chế độ đặc tính (characteristic modes) gọi chế độ (modes) hay chế độ tự nhiên (natural modes) hệ thống Mỗi nghiệm đặc tính hệ thống có chế độ đặc tính, đáp ứng ngõ vào –zêrơ tổ hợp tuyến tính chế độ đặc tính hệ thống Thuộc tính quan trọng hệ LT-TT-BB (liên tục, tuyến tính, bất biến) chế độ đặc tính Chế độ đặc tính khơng xác định đáp ứng ngõ vào - zêrơ mà quan trọng xác định đáp ứng trạng thái – zêrô Nói cách khác, chế độ đặc tính định dạng đáp ứng chung hệ thống Phần lại chương cho thấy ảnh hưởng độ đặc tính dáng vẽ hoạt động hệ thống Nghiệm lặp lại Nghiệm phương trình (2.4) cho (2.6) nghiệm đặc tính 1 , 2 ,, n giả sử phân biệt Trường hợp có nghiệm lặp lại, dạng nghiệm có thay đổi Dùng phép trực tiếp, nghiệm cùa phương trình ( D   ) y0 (t )  y(t )  (c1  c2t )e t Trường hợp nghiệm  lặp lại hai lần, nên chế độ đặc tính e t te t Từ đó, chứng minh với phương trình vi phân ( D   ) r y0 (t )  (2.8) Các chế độ đặc tính e t , te t , t e t , , t r 1e t nghiệm phương trình vi phân là: y0 (t )  (c1  c2t    cr t r 1 )et (2.9) Vậy, hệ thống có đa thức đặc tính Q( )  (  1 )r (  r 1 )(  n ) Có chế độ đặc tính e1t , te 1t ,, t r 1e1t , er 1t ,, en t nghiệm y0 (t )  (c1  c2t    cr t r 1 )et  cr 1er 1t    cnen t Nghiệm phức Phương thức xử lý nghiệm phức tương tự trường hợp nghiệm thực, với chế độ phức dạng nghiệm phức Tuy nhiên, tránh dạng phức nói chung thơng qua cách chọn dạng thực nghiệm, sau: Trong hệ thực, nghiệm phức phải có dạng cặp nghiệm phức liên hợp hệ số đa thức đặc tính Q( ) thực Như thế, nghiệm đặc tính   j ,   j nghiệm Đáp ứng ngõ vào – zêrô tương ứng cặp nghiệm phức liên hợp là: y0 (t )  c1e(  j )t  c2e(  j )t (2.10a) Trong hệ thực, đáp ứng y0 (t ) phải thực Điều c1 c2 liên hợp Đặt c c1  e j y (t )  c2  c  j e , c j (  j )t c  j (  j )t c t j ( t  ) e e  e e  e [e  e j ( t  ) ]  cet cos(t   ) (2.10b) 2 Do đó, đáp ứng ngõ vào–zêrơ tương ứng với cặp nghiệm phức liên hợp   j biểu diễn theo dạng phức (2.10a) hay dạng thực (2.10b) Dạng thứ hai thích hợp tính tốn khơng dùng dạng số phức ■ Thí dụ 2.1: (a) Tìm thành phần đáp ứng ngõ vào – zêrô y0 (t ) hệ LT – TT – BB mô tả phương trình vi phân: ( D  3D  2) y(t )  Df (t ) Với điều kiện đầu y0 (0)  0, y 0  5 Ghi chú: y0 (t ) thành phần ngõ vào – zêrô  f (t )  0 nghiệm ( D  3D  2) y0 (t )  Đa thức đặc tính hệ thống 2  3  Phương trình đặc tính hệ thống 2  3   (  1)(  2)  Các nghiệm đặc tính hệ 1  1 2  2 chế độ đặc tính hệ e  t e 2t Do đó, thành phần ngõ vào- zêrơ dòng điện mạch vòng y0 (t )  c1e t  c2 e 2t (2.11a) Muốn xác định số c1 c2, đạo hàm hai vế phương trình (2.11a): y (t )  c1e t  2c2 e 2t (2.11b) Cho t  phương trình (2.11a) (2.11b), thay điều kiện đầu y0 (0)  y (0)  5 , ta có  c1  c2   c1  2c2 Vậy y0 (t )  5e t  5e 2t thành phần ngõ vào –zêrô y (t ) t  (b) Tương tự, cho trường hợp nghiệm lặp Thí dụ, hệ đặc trưng ( D  6D  9) y(t )  (3D  5) f (t ) Xác định y0 (t ) thành phần ngõ vào – zêrô đáp ứng điều kiện đầu y0 (0)  3, y 0  7 Đa thức đặc tính hệ thống 2  6  Phương trình đặc tính hệ thống 2  6   (  3)  Các nghiệm đặc tính hệ 1  3 2  3 (nghiệm l�vào tín hiệu không dừng dạng mủ e st H ( s)e st , với H (s) hàm truyền hệ thống Các phương trình vi phân mơ tả hệ LT – TT – BB giải dùng phương pháp cổ điển, theo đáp ứng có tổng đáp ứng tự nhiên đáp ứng ép, điều không giống với đáp ứng thành phần ngõ vào –zêrô trạng thái – zêrô, cho dù chúng thỏa phương trình Phương pháp đơn giản có nhiểu yếu điểm áp dụng cho số dạng tín hiệu vào, đáp ứng hệ thống không biểu diễn theo hàm tường minh ngõ vào Hạn chế làm phương pháp không dùng nghiên cứu lý thuyết hệ thống Hệ thống tuyến tính trạng thái zêrơ điều kiện đầu zêrô Hệ thống trạng thái zêrơ khơng có khả tạo đáp ứng chưa có tín hiệu vào Khi số điều kiện đầu đưa vào hệ thống, hệ thống có xu hướng zêrơ khơng có tín hiệu ngõ vào, gọi ổn định tiệm cận Ngược lại, đáp ứng hệ thống tăng vơ hạn, hệ thống khơng ổn định, ngồi có trường hợp hệ thống biên ổn định Các tiêu chuẩn ổn định theo vị trí nghiệm đặc tính hệ thống tóm tắt thành: Hệ LT – TT – BB ổn định tiệm cận nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức Các nghiệm nghiệm đơn hay nghiệm lặp Hệ LT – TT – BB không ổn định nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức Các nghiệm nghiệm đơn hay nghiệm lặp Hệ LT – TT – BB biên ổn định tiệm cận nếu, khơng có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, có số nghiệm lặp trục ảo mặt phẳng phức Dựa vào định nghĩa khác ổn định là: ổn định BIBO (bounded-input, bounded output), tức hệ thống ổn định ngõ vào bị chặn tạo ngõ bị chặn Ngược lại hệ BIBO không ổn định Hệ BIBO biên ổn định hệ BIBO ổn định, nhiên, điều ngược lại không Hoạt động đặc tính hệ thống quan trọng không xác định đáp ứng hệ thống với điều kiện nội (hoạt động ngõ vào – zêrơ) mà xác định đáp ứng với ngõ vào (hoạt động trạng thái – zêrơ) tín hổn định hệ thống Đáp ứng hệ thống với tín hiệu từ ngồi xác định dùng đáp ứng xung, mà tự thân đáp ứng xung bao gồm chế độ đặc tính Độ rộng đáp ứng xung gọi số thời gian hệ thống, thị tốc độ đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào Hằng số thời gian giữ vai trò quan trọng để xác định nhiều hoạt động khác hệ thống đáp ứng theo thời gian tính lọc hệ thống, phân tán xung, tốc độ truyền xung qua hệ thống Tài liệu tham khảo Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, California, 1987 Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980 Lathi, B.P., Modern Digital and Analog Communication Systems, Third Ed,.Oxford University Press, New York, 1998 Bài tập 2.2-1 Hệ LT – TT –BB đặc trưng phương trình ( D  5D  6) y(t )  ( D  1) f (t ) (a) Tìm đa thức đặc tính, phương trình đặc tính, nghiệm đặc tính, chế độ đặc tính hệ thốn gnày (b) Tìm y0 (t ) , thành phần ngõ vào – zêrô đáp ứng y(t ) t  , điều kiện đầu y0 (0)  y (0)  1 2.2-2 Làm lại tập 2.2-1 ( D  4D  4) y(t )  Df (t ) , điều kiện đầu y0 (0)  y (0)  4 2.2-3 Làm lại tập 2.2-1 D( D  1) y(t )  ( D  2) f (t ) , điều kiện đầu y0 (0)  y (0)  2.2-4 Làm lại tập 2.2-1 ( D  9) y(t )  (3D  2) f (t ) , điều kiện đầu y0 (0)  y (0)  2.2-5 Làm lại tập 2.2-1 ( D  4D  13) y(t )  4( D  2) f (t ) , điều kiện đầu y0 (0)  y (0)  15,59 2.2-6 Làm lại tập 2.2-1 D ( D  1) y(t )  ( D  2) f (t ) , điều kiện đầu y0 (0)  y (0)  1 2.2-7 Làm lại tập 2.2-1 ( D  1)( D  5D  6) y(t )  Df (t ) , điều kiện đầu y0 (0)  , y (0)  1 y0 (0)  2.3-1 Tìm đáp ứng xung hệ thống đặc trưng phương trình ( D  4D  3) y(t )  ( D  5) f (t ) 2.3-2 Làm lại tập 2.3-1 ( D  5D  6) y(t )  ( D  D  11) f (t ) 2.3-3 Làm lại tập 2.3-1 với lọc bậc ( D  1) y(t )  ( D  1) f (t ) X 2.3-4 Tìm đáp ứng xung hệ LT – TT BB đặc trưng phương trình ( D  6D  9) y(t )  (2D  9) f (t ) 2.4-1 Nếu c(t )  f (t )  g (t ) , chứng minh Ac  Af Ag , với A f , Ag Ac diện tích tương ứng f (t ), g (t ) c(t ) Kiểm tra đặc tính diện tích tích phân chập thí dụ 2.6 2.8 2.4-2 Nếu f (t )  g (t )  c(t ) , chứng minh f (at )  g (at )  c(at ) Đặc tính tỉ lệ a thời gian tích phân chập cho f (t ) g (t ) tỉ lệ theo a, tích phân chập chúng tỉ lệ theo a (và nhân với / a ) 2.4-3 C hứng tỏ tích phân chập hàm chẵn hàm lẻ hàm lẻ tích phân chập hai hàm lẻ hay hai hàm chẵn hàm chẵn Hướng dẫn: dùng đặc tính tỉ lệ theo thời gian tích phân chập tập 2.4-2 2.4-4 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính e  atu(t )  e btu(t ) 2.4-5 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính u(t )  u(t ) , e  atu(t )  e  atu(t ) tu (t )  u(t ) 2.4-6 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tính sin t.u(t )  u(t ) , cos t.u(t )  u(t ) 2.4-7 Đáp ứng xung đơn vị hệ LT- TT –BB h(t )  e t u(t ) Tìm đáp ứng (trạng thái – zêrơ) y(t ) tín hiệu vào f (t ) (a) u (t ) (b) e t u (t ) (c) e 2t u (t ) (d) sin 3t.u(t ) 3t 2.4-8 Làm lại tập 2.4-7 h(t )  [2e  e 2t ]u(t ) tín hiệu vào f (t ) (a) u (t ) (b) e t u (t ) (c) e 2t u (t ) 2.4-9 Làm lại tập 2.4-7 h(t )  (1  2t ) e 2 tu(t ) tín hiệu vào f (t )  u(t ) 2.4-10 Làm lại tập 2.4-7 h(t )  4e 2 t cos 3t.u(t ) tín hiệu vào f (t ) (a) u (t ) (b) e t u (t ) 2.4-11 Làm lại tập 2.4-7 h(t )  e tu(t ) tín hiệu vào f (t ) (a) e 2t u (t ) , (b) e 2(t3)u(t ) (c) e 2t u (t  3) (d) xung vng vẽ hình P2.4-11, vẽ y (t ) trường hợp (d) Hướng dẫn: ngõ vào (d) viết thành u(t )  u(t  1) Trường hợp (c) (d), dùng tính dời theo thời gian (2.34) tích phân chập (Ngồi ra, dùng tính bất biến tính xếp chồng) 2.4-12 Hệ thống lọc bậc có đáp ứng xung h(t )   (t )  2e t u(t ) (a) Tìm đáp ứng trạng thái –zêrơ lọc có tín hiệu vào e t u (t ) (b) Vẽ ngõ vào đáp ứng trạng thái – zêrô tương ứng 2.4-13 Vẽ hàm f (t )  u (t ) Tìm f (t )  u(t ) vẽ kết t 1 2.4-14 Hình P2.4-14 vẽ f (t ) g (t ) Tìm vẽ c(t )  f (t )  g (t ) 2.4-15 Tìm vẽ c(t )  f (t )  g (t ) vẽ hình P2.4-15 2.4-16 Tìm vẽ c(t )  f1 (t )  f (t ) cặp hàm vẽ hình P2.4-16 2.4-17 Hệ LT – TT – BB, đáp ứng (trạng thái – zêrô) ngõ vào f (t ) y(t ) , chứng minh đáp ứng đáp ứng (trạng thái – zêrô) ngõ vào f (t ) y (t ) , đáp ứng ngõ vào  t  f ( )d  t  y ( )d 2.4-18 Nếu f (t )  g (t )  c(t ) , chứng minh f (t )  g (t )  f (t )  g (t )  c(t ) Mở rộng kết để chứng minh f ( m) (t )  g ( n) (t )  c mn)  (t ) Trong x ( m ) (t ) đạo hàm x(t ) , đạo hàm f (t ) g (t ) tồn Hướng dẫn: Dùng phần đầu hướng dẫn tập 2.4-17 đặc tính dời theo thời gian tích phân chập 2.4-19 Như bàn chương (hình 1.27b), biểu diễn ngõ vào theo thành phần hàm bước, vẽ hình P2.4-19 Nếu g (t ) hàm bước đơn vị hệ LT – TT – BB , chứng minh đáp ứng (trạng thái-zêrô) y(t ) hệ LT – TT – BB theo ngõ vào f (t ) biểu diễn thành  y(t )   f ( ) g (t   )d  f (t )  g (t )  Hướng dẫn: từ hình P2.4-19, thành phần đáp ứng bước tơ bóng cho fu (t  n )  [ f ( ) ]u(t  n ) Đáp ứng hệ thống tổng tất thành phần 2.4-20 Điện tích đường đặt dọc theo truc x có mật độ điện tích f (x) Chứng tỏ điện trường E (x) điện tích đường tạo nên điểm x E( x)  f ( x)  h( x) với h( x)  4x Hướng dẫn: Điện tích khoảng  đặt   n f n  Đồng thời, theo luật Coulomb, điện trường E (r ) khoảng cách r đến điện tích q cho q E (r )  4r 2.4-21 Xác định H (s) , hàm truyền trễ lý tưởng theo thời gian T giây Tìm kết hai phương pháp: dùng phương trình (2.48) dùng phương trình (2.49) 2.5-1 Dùng phương pháp cổ điển, giải ( D  D  12) y(t )  ( D  2) f (t ) điều kiện đầu y(0 )  , y (0 )  ngõ vào f (t ) (a) u (t ) (b) e t u (t ) (c) e 2t u (t ) 2.5-2 Dùng phương pháp cổ điển, giải ( D  6D  25) y(t )  ( D  3) f (t ) điều kiện đầu y(0 )  , y (0 )  ngõ vào f (t )  u(t ) 2.5-3 Dùng phương pháp cổ điển, giải ( D  4D  4) y(t )  ( D  1) f (t ) điều kiện đầu y(0 )  / , y (0 )  , ngõ vào f (t ) (a) e 3t u (t ) (b) e t u (t ) 2.5-4 Dùng phương pháp cổ điển, giải ( D  2D) y(t )  ( D  1) f (t ) điều kiện đầu y(0 )  , y (0 )  , ngõ vào f (t )  u(t ) .. .thời gian hệ thống, thị tốc độ đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào Hằng số thời gian giữ vai trò quan trọng để xác định nhiều hoạt động khác hệ thống đáp ứng theo thời gian tính lọc hệ thống, phân ...đầu đưa vào hệ thống, hệ thống có xu hướng zêrơ khơng có tín hiệu ngõ vào, gọi ổn định tiệm cận Ngược lại, đáp ứng hệ thống tăng vơ hạn, hệ thống khơng ổn định, ngồi có trường hợp hệ thống biên ...tỏ tích phân chập hàm chẵn hàm lẻ hàm lẻ tích phân chập hai hàm lẻ hay hai hàm chẵn hàm chẵn Hướng dẫn: dùng đặc tính tỉ lệ theo thời gian tích phân chập tập 2.4-2 2.4-4 Dùng phương pháp tích phân