Bài giảng Chương 7: Lấy mẫu tín hiệu

Bài giảng Chương 7: Lấy mẫu tín hiệu cung cấp cho người đọc các kiến thức: Định lý lấy mẩu, tính biến đổi Fourier - Biến đổi Fourier rời rạc, biến đổi Fourier nhanh. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

CHƢƠNG 7: LẤY MẨU TÍN HIỆU Nội dung 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Định lý lấy mẩu Tính biến đổi Fourier: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Phụ chương 5.1 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Lấy mẩu Tín hiệu liên tục xử lý cách xử lý mẩu tín hiệu qua hệ thống rời rạc Điều cần thiết phải trì tốc độ lấy mẩu tín hiệu đủ lớn để khơi phục tốt tín hiệu (khơng có sai số hay sai số với độ dung sai chấp nhận được) Điều thực dùng định lý lấy mẩu 5.1 Định lý lấy mẫu Ta chứng minh tín hiệu thực có phổ băng thơng giới hạn B Hz [F()= với   2B ] khơi phục xác (khơng có sai số nào) từ tốc độ lấy mẩu đồng với tốc độ Fs > 2B mẩu/giây Nói cách khác, tốc dộ lấy mẩu tối thiểu Fs = 2B Hz Để chứng minh định lý lấy mẩu, xét tín hiệu f(t) (hình 5.1a) có phổ giới hạn B Hz (hình 5.1b) Để thuận tiện, ta vẽ phổ hàm theo  theo F (Hz) Lấy mẩu f(t) với tốc độ Fs Hz (Fs mẩu/giây) thực cách nhân f(t) với chuỗi xung T(t) (hình 5.1c), gồm xung đơn vị lặp lại theo chu kỳ T giây, với T =1/Fs Kết tín hiệu lấy mẫu f (t ) vẽ hình 5.1d, tín hiệu gồm xung cách T giây (thời gian lấy mẫu) Xung thứ n, nằm t = nT, có cường độ f(nT), giá trị f(t) t = nT (5.1) f (t )  f (t ) T (t )   f (nT ) (t  nT ) n Để tìm F ( ) , biến đổi Fourier f (t ) , ta lấy biến đổi Fourier vế phải phương trình (5.3) thừa số Biến đổi thừa số thứ ngoặc F() Biến đổi thừa số thứ hai f (t ) cos s t F( –s ) + F( +s ) (xem phương trình (4.41), cho thấy phổ F() dời s –s Tương tự, biến đổi Fourier thừa số thứ ba f (t ) cos 2s t F( –2s ) + F( +2s ), cho thấy phổ F() dời 2s –2s, tiếp tục vô hạn Điều tức phổ F ( ) gồm F() lặp lại theo chu kỳ s = 2/T rad/s, hay Fs = 1/T Hz, vẽ hình 5.1e Ngồi có thêm số nhân 1/T phương trình (5.3) Do  (5.4) F ( )   F (  ns ) T n Nếu muốn khôi phục f(t) từ f (t ) , ta phải khôi phục F() từ F ( ) Có thể khơi phục khơng có trùng lắp chu kỳ liên tiếp F ( ) Hình 5.1e cho thấy cần có Fs > 2B (5.5) Đồng thời, thời gian lấy mẩu T =1/Fs Do (5.6) T 2B  Thí dụ 5.1 Trong thí dụ này, ta xét ảnh hưởng tín hiệu lấy mẩu theo tốc độ Nyquist, thấp tốc độ Nyquist (lấy mẩu thiếu), cao tốc độ Nyquist (lấy mẩu lố) Xét tín hiệu f (t )  sin c (5t ) (hình 5.2a) có phổ F ( )  0,2 20  (hình 5.2b) Băng thơng tín hiệu Hz (10 rad/s) Như thế, tốc độ Nyquist 10Hz; tức là, ta phải lấy mẩu tín hiệu với tốc độ khơng nhỏ 10 mẩu/s Khoảng Nyquist T = 1/2B = 0,1 giây Nhắc lại phổ tín hiệu lấy mẩu gồm 1 / T F ( )  T2  20  lặp lại theo chu kỳ với tần số lấy mẩu Fs Hz Ta trình bày thông tin bảng sau với tốc độ lấy mẩu Fs = 5Hz (lấy mẩu thiếu) 10Hz (tốc độ Nyquist) 20Hz (lấy mẩu lố) Tần số lấy mẩu Fs Hz Thời gian lấy mẩu T 0,2 10 Hz 0,1 20 Hz T 0,05 (1/T)F()  20  2 20  4  20  Nhận xét Lấy mẩu thiếu Tốc độ Nyquist Lấy mẩu lố Trong trường hợp đầu (lấy mẩu thiếu), tốc độ lấy mẩu 5Hz (5 mẩu/giây) , phổ F ( ) lặp lại sau 5Hz (10 rad/s) Các phổ liên tiếp trùng lắp, vẽ hình 5.2d, phổ F() khôi phục từ F ( ) ; tức f(t) khôi phục từ mẩu f (t ) hình 5.2c Trường hợp thứ hai, dùng tốc độ lấy mẫu Nyquist 10Hz (hình 5.2e) Phổ F ( ) gồm thành phần phổ T1 F ( ) không trùng lắp lặp lại 10 Hz Do đó, phổ F() khôi phục từ F ( ) dùng mạch lọc thơng thấp lý tưởng có băng thơng Hz (hình 5.2f) Sau cùng, trường hợp cuối lấy mẩu lố (tốc độ lấy mẩu 20Hz); phổ F() gồm gồm thành phần phổ T1 F ( ) không trùng lắp (lặp lại 20 Hz) với băng tần trống chu kỳ liên tiếp Do đó, phổ F() khơi phục từ F ( ) dùng mạch lọc thông thấp lý tưởng hay mạch lọc thực tế (tín hiệu vẽ chấm hình 5.2h)   Bài tập E5.1 Tìm tốc độ Nyquist khoảng Nyquist cho tín hiệu: (a) sinc(100t) sinc(100t) + sinc(50t) Đáp số: khoảng Nyquist 0,01 giây tốc độ Nyquist 100Hz cho hai tín hiệu  5.1-1 Khơi phục tín hiệu: Cơng thức nội suy Q trình khơi phục tín hiệu liên tục f(t) từ mẩu gọi phép nội suy Trong phần 5.1, ta thấy tín hiệu f(t) có băng thơng giới hạn B Hz khơi phục (nội suy) xác từ mẩu Q trình khơi phục cách cho tín hiệu lấy mẩu qua mạch lọc thơng thấp lý tưởng có băng thơng B Hz Từ phương trình (5.3), tín hiệu lấy mẩu chứa thành phần (1/T)f(t) để khôi phục f(t) (hay F()), tín hiệu lấy mẩu phải qua mạch lọc lý tưởng có băng thơng B Hz độ lợi T Do đó, hàm truyền lọc khôi phục (hay nội suy) là:    (5.7) H ( )  Trect    4B  Quá trình nội suy biểu diễn miền tần số tác động lọc Ta xem xét tiếp trình từ quan điểm khác, tức miền thời gian Để bắt đầu, ta hảy xét mạch lọc đơn giản có đáp ứng xung rect Tt  , vẽ hình 5.3a Đây xung cổng (gate pulse) có tâm gốc, có chiều cao đơn vị, độ rộng T (thời gian lấy mẩu) Ta tìm ngõ lọc ngõ vào tín hiệu lấy mẩu f (t ) , Từng mẩu f (t ) , biến thành xung, tạo ngõ xung cổng với chiều cao với cường độ mẩu Thí dụ, mẩu thứ k xung có cường độ f(kT) nằm t  kT viết thành f (kT ) (t  kT ) Khi xung qua lọc, tạo ngõ xung cổng có cao độ f(kT), tâm t = kT (phần nét gián đoạn hình 5.3b) Từng mẩu f (t ) tạo xung cổng tương ứng ngõ lọc dạng xấp xỉ hình bậc thang f(t), vẽ phần chấm hình 5.3b Bộ lọc cho ta dạng thô phép nội suy Hàm truyền H() lọc biến đổi Fourier đáp ứng xung rect Tt  Giả sử, ta dùng tốc độ Nyquist; tức T = 1/2B t h(t )  rect    rect (2 Bt ) T  Và  T     (5.8) H ( )  T sin c      2B  4B  Đáp ứng biên độ H ( ) lọc này, vẽ hình 5.3c, giải thích lý tính thơ phép nội suy Bộ lọc này, gọi mạch lọc giữ bậc zêrơ (zero hold filter), dạng xấu mạch lọc thông thấp lý tưởng (phần tơ bóng hình 5.3c) cần có cho phép nội suy xác Ta cải thiện dạng mạch lọc bậc zêrô cách dùng mạch lọc giử bậc (first order hold filter), cho ta phép nội suy tuyến tính thay dạng nội suy theo bậc thang Bộ nội suy tuyến tính này, với đáp ứng xung xung tam giác  2tT  , cho phép xấp xỉ với đỉnh mẩu nối đường thẳng (xem tập 5.1-5) Hàm truyền lọc nội suy lý tưởng lấy từ phương trình (5.7) vẽ hình 5.4a Đáp ứng xung lọa biến đổi Fourier nghịch H() (5.9a) h(t )  2BT sin c(2BT ) Giả sử lấy mẩu với tốc độ lấy mẩu Nyquist; tức 2BT =1, h(t )  sin c(2BT ) f (t )   f (kT )h(t  kT ) k (5.9b) f (t )   f (kT ) sin c[2B(t  kT )] (5.10a) k f (t )   f (kT ) sin c(2Bt  k ) (5.10b) k Phương trình (5.10) cơng thức nội suy, tìm giá trị f(t) mẩu phép cộng dồn (weighted sum) giá trị mẩu Thí dụ 5.2 Tìm tín hiệu f(t) với băng thơng giới hạn B Hz, có mẩu f(0) = f(T) = f(2T) = f(3T) = = khoảng lấy mẩu khoảng Nyquist f(t); tức T = 1/2B Dùng công thức nội suy (5.10b) để khôi phục f(t) từ mẩu Do tất mẩu Nyquist zêrô, trừ mẩu (tương ứng với k = 0) tổng bên vế phải phương trình (5.10b) Do f(t) = sinc (2Bt) Tín hiệu vẽ 5.4b Quan sát thấy tín hiệu có băng thơng B Hz giá trị mẩu f(0) = f(nT) = (n  0) Các tín hiệu khác khơng thỏa điều kiện   5.1-2 Khó khăn thực tế khơi phục tín hiệu Nếu tín hiệu lấy mẩu với tốc độ Nyquist Fs = 2B Hz, phổ F ( ) bao gồm F() lặp lại nhiều lần mà khơng có khoảng hở chu kỳ kế tiếp, vẽ hình 5.5a Như thấy phần 4.5, mạch lọc dạng khơng thực được; mà xấp xỉ gần dùng vơ số khâu trễ đáp ứng Nói cách khác, ta khơi phục lại tín hiệu f(t) từ mẩu dùng dùng vô số khâu trễ Một giải pháp thực tế lấy mẩu tín hiệu với tốc độ cao tốc độ Nyquist (Fs > 2B hay s  4B) Kết F ( ) , bao gồm F() lặp lại nhiều lần với số hữu hạn khoảng hở chu kỳ kế tiếp, vẽ hình 5.5b Có thể khơi phục F() từ F ( ) dùng mạch lọc thơng thấp có đặc tính ngắt chậm (từ từ), vẽ đường chấm hình 5.5b Nhưng trường hợp này, độ lợi mạch lọc phải zêrô sau chu kỳ thức F() (xem hình 5.5b) Theo tiêu chuẩn Paley-Wiener, khơng thể thực mạch lọc Ưu điểm trường hợp ta xấp xỉ mạch lọc cần có dùng số khâu trễ Điều cho thấy thực tế khôi phục xác tín hiệu f(t) có băng thơng giới hạn từ mẩu tín hiệu, tốc độ lấy mẩu có cao tốc độ Nyquist Tuy nhiên, tốc độ lấy mẩu tăng tín hiệu khơi phục gần với tín hiệu mong muốn Sự bội bạc trùm phổ (The treachery of aliasing) Trong thực tế, khôi phục tín hiệu từ mẩu khó khăn khác Định lý lấy mẩu vừa chứng minh dựa giả thiết tín hiệu có băng thơng giới hạn Các tín hiệu thực tế có thời gian giới hạn; tức có độ rộng xung hữu hạn Ta chứng minh (xem tập 5.1-10) tín hiệu khơng thể đồng thời vừa có thời gian giới hạn băng thơng giới hạn Nếu tín hiệu có thời gian giới hạn, khơng thể có băng thơng giới hạn ngược lại (nhưng tín hiệu có thời gian khơng giới hạn băng thơng khơng giới hạn) Rõ ràng, tín hiệu thực tế, cần có thời gian giới hạn, băng thơng khơng hạn chế; chúng có băng thơng vơ hạn, phổ F ( ) gồm chu kỳ chồng lắp F() lặp lại Fs Hz (tần số lấy mẩu) vẽ hình 5.6 Do có băng thơng vô hạn trường hợp này, nên chồng lắp phổ đặc trưng không thay đổi, bất chấp tốc độ lấy mẩu Do có phần chồng lắp, nên F ( ) khơng đủ thơng tin F(), khơng khả năng, lý thuyết, để khơi phục f(t) từ tín hiệu lấy mẩu f (t ) Nếu tín hiệu lấy mẩu qua mạch lọc thơng thấp lý tưởng, ngõ F() mà phiên F() bị méo dạng hai nguyên nhân riêng biệt sau: Phần đuôi F() bị F > Fs/2 Hz; Phần đuôi tái xuất với dạng gấp lại phổ Chú ý phổ ngang qua Fs/2 = 1/2T Hz Tần số gọi tần số gấp lại Do đó, phổ tự gấp lại tần số gấp lại Thí dụ, thành phần tần số Fs/2+ Fx + Fx lộ diện để “đóng vai” thành phần tần số thấp (Fs/2) – Fx tín hiệu khơi phục Do đó, thành phần tần số cao (Fs/2) lại tái xuất thành phần tần số thấp (Fs/2) Yếu tố đảo phần đuôi gọi gấp phổ (spectral folding) hay trùm phổ (aliasing), vẽ phần tơ bóng hình 5.6 Trong qua trình trùm phổ này, ta khơng thành phần tần số cao (Fs/2) Hz, thành phần lại tái (trùm phổ) thành phần tần số thấp Sự xuất lại phá hủy tính tồn vẹn thành phần tần số thấp, vẽ hình 5.6 Giải pháp: Bộ lọc chống trùm phổ Thực sau, ta biết nguy tiềm tàng nằm thành phần tần số lớn (Fs/2) = (1/2T) Hz Ta cần loại bớt (triệt) thành phần khỏi f(t) trước lấy mẩu f(t) Theo phương pháp này, ta thành phần lớn tần số gấp (Fs/2)Hz; thành phần khơng thể tái để làm hỏng thành phần có tần số thấp tần số gấp Các thành phần tần số cao lọc nhờ mạch lọc thông thấp lý tưởng có băng thơng (Fs/2)Hz Bộ lọc gọi lọc trùm phổ Chú ý phải thực việc chống trùm phổ trước lấy mẩu tín hiệu Bộ lọc chống trùm phổ mạch lọc lý tưởng nên không thực Trong thực tế, ta dùng mạch lọc có tần số cắt dạng dốc đứng, nhằm làm suy giảm sắc nét phổ sót lại tần số gấp (Fs/2) Lấy mẩu thực tế Khi chứng minh định lý lấy mẩu, ta giả sử mẩu lý tưởng có cách nhân tín hiệu f(t) với chuỗi xung có độ rộng hữu hạn, vẽ hình 5.7b Tín hiệu lấy mẩu vẽ hình 5.7c Điều kinh ngạc ta khơi phục hay tái tạo tín hiệu f(t) từ tín hiệu lấy mẩu f (t ) hình 5.7c Đáng ngạc nghiên tốc độ lấy mầu lại khơng thấp tốc độ Nyquist Tín hiệu f(t) khôi phục cho f (t ) qua lọc thơng thấp dù lấy mẩu dùng chuỗi xung Kết có vẽ đáng tin cậy ta xét thực tế việc khôi phục f(t) đòi hỏi kiến thức giá trị mẩu Nyquist Thơng tin có sẳn hay nằm tín hiệu lấy mẩu f (t ) hình 5.7c cường độ mẩu thứ k f(kT) Để chứng minh điều cách giải tích, ta thấy chuỗi xung lấy mẩu pT(t) vẽ hình 5.7b, tín hiệu tuần hồn, biểu diễn thành chuỗi Fourier  2 s  pT (t )  C0   C n cos(ns t   n ) T n1 Và    f (t )  f (t ) pT (t )  f (t ) C0   Cn cos(ns t   n ) n1     C0 f (t )   Cn f (t ) cos(ns t   n ) (5.11) n1 Tín hiệu lấy mẩu f (t ) gồm có C0 f (t ) , C1 f (t ) cos(s t  1 ), C2 f (t ) cos(2s t   ), … Chú ý thừa số thứ C0 f (t ) tín hiệu mong muốn tất thừa số khác tín hiệu điều chế với phổ có tâm s, 2s, 3s, , vẽ hình 5.7e Rõ ràng tín hiệu f(t) khôi phục cách cho f (t ) qua mạch lọc thơng thấp, để có s > 4B ( hay Fs > 2B)  Thí dụ 5.3 Để minh họa việc lấy mẩu thực tế, xét tín hiệu f (t )  sin c (5t ) lấy mẩu dùng chuỗi xung vuông pT (t ) vẽ hình 5.8c Chu kỳ pT (t ) 0,1 giây, để có tần số 10Hz Do s  20 Chuỗi Fourier pT (t ) biểu diễn thành  pT (t )  C0   Cn cos ns t n1 Dùng phương trình (3.66) ta có C0  C0  , C1   , C2   , C3  Cn  3 n sin n4  ; tức , C4  0, C5   5 , Do f (t )  f (t ) pT (t )  2 f (t )  f (t ) cos 20t  f (t ) cos 40t  f (t ) cos 60t     3 Và 1 F ( )  [ F (  20 )  F (  20 )]  [ F (  0 )  F (  40 )] 2   [ F (  0 )  F (  60 )]   3 Trong trường hợp F ( )  0,2 20  Phổ F ( ) vẽ hình 5.8e Quan sát thấy F ( )  phổ gồm F ( ) lặp lại theo chu kỳ 20 rad/s (10Hz) Do đó, khơng có trùng lắp chu kỳ, F ( ) khơi phục dùng lọc thông thấp lý tưởng với băng thông Hz Bộ lọc thơng thấp lý tưởng có độ lợi đơn vị (và băng thông Hz) cho phép thừa số thứ bên vế phải phương trình qua đầy đủ triệt thừa số khác Do đó, ngõ y(t)  y (t )  f (t ) 5.3-1 Một số ứng dụng định lý lấy mẩu Định lý lấy mẩu quan trọng phân tích, xử lý truyền dẫn tín hiệu cho phép ta thay tín hiệu liên tục theo thời gian chuỗi rời rạc số Do đó, việc xử lý tín hiệu liên tục tương đương với việc xử lý chuỗi rời rạc số Phép xử lý đưa ta đến lĩnh vực lọc số Trong lĩnh vực thông tin, việc truyền tin liên tục theo thời gian rút lại thành việc truyền chuỗi số dùng chuỗi xung Tín hiệu liên tục theo thời có kết ổn định vòng số hạng cần có Chương trình MATLAB, có thiết lập DFT dùng thuật tốn FFT, trình bày thí dụ C5.1   Thí dụ dùng máy tính C5.1 Dùng DFT (được thiết lập dùng FFT, thuật toán biến đổi Fourier nhanh) để tính biến đổi Fourier e –2tu(t) T = 0.015625; T0 = 4; N0 = T0/T; t = 0:T:T*(N0 – 1); t = t‟; f = T*exp( - 2*t); f(1) = T*0.5; F = fft(f); [Fp, Fm] =cart2pol(real(F), imag(F)); k = 0:N0 – 1; k = k‟; w =2*pi*k/T0; subplot(211), plot (w(1:128),Fm(1:128)) subplot(212), plot (w(1:128),Fp(1:128))   Thí dụ 5.7 Dùng DFT đẻ tìm biến đổi Fourier 8rect (t) Hàm cổng biến đổi Fourier vẽ hình 5.16a b Để xác định giá trị thời khoảng lấy mẩu T, trước hết ta cần định băng thơng B Trong hình 5.16b, ta thấy F() giảm chậm theo  Do đó, băng thơng lớn Thí dụ, B = 15,5 Hz (97,39 rad/s), F() = - 0,1643, vào khoảng 2% giá trị đỉnh F(0) Do đó, băng thông cao 16 Hz ta dùng tiêu chuẩn 1% để tính tốn băng thơng bàn Tuy nhiên, ta cố tình chọn B = hai lý do: (1) để thấy ảnh hưởng trùm phổ (2) dùng B > cho số mẩu khổng lồ, không hiển thị kích cở giấy sách mà khơng bị thơng tin Do đó, ta chấp nhận yếu tố xấp xỉ để làm rõ ý niệm DFT đồ thị Việc lựa chọn B = đưa đến thời gian lấy mẩu T = 1/2B = 1/8 Nhìn lại lần phổ hình 5.16b, ta thấy việc lựa chọn độ phân giải tần số F0 = ¼ Hz hợp lý Chọn lựa cho ta bốn mẩu mổi búp F() Trường hợp T0 =1/ F0 = giây N0 =T0/4 = 32 Độ rộng f(t) có giây Ta phải làm lại giây (T0 = 4), vẽ hình 5.16c, lấy mẩu 1/8 giây Chọn lựa cho 32 mẩu (N0 =32) Đồng thời, f k  Tf (kT )  f (kT ) Do f(t) =8 rect(t), giá trị fk 1, hay 0,5 (tại điểm gián đoạn) vẽ hình 5.16c Trong hình, fk vẽ minh họa hàm theo t k, cho thích hợp Khi tìm DFT, ta giả sừ f(t) bắt đầu t = (hình 5.14a), lấy N0 mẩu khoảng (0, T0) Tuy nhiên, trường hợp f(t) lại bắt đầu t = -1/2 Khó khăn giải dễ dàng ta thực DFT theo phương pháp thực DFT fk lặp lại tuần hoàn mổi T0 giây Hình 5.16c rõ ràng cho thấy việc lặp lại tuần hoàn đoạn khoảng từ - đến giây giống hệt việc lặp lại đoạn fk khoảng từ đến giây Do đó, bất chấp điểm xuất phát f(t), ta ln mẩu f(t) phần mở rộng tuần hoàn khoảng từ đến T0 Trong thí dụ này, giá trị 32 mẩu  k  and 29  k  31 1  f k    k  27 0,5 k  4,28  Quan sát thấy mẩu cuối nằm t = 31/8, 4, tín hiệu lặp lại t = 4, mẩu t = giống với mẩu t = Lúc này, N0 = 32 0 = 2/32 = /16 Do [xem phương trình (5.18)] 31 Fr   f k e  jr ( /16) k k 0 Giá trị Fr tính từ phương trình vẽ hình 5.16d Các mẩu Fr cách F0 = (1/10) Hz Trong trường hợp T0 = 4, nên độ phân giải tần số F0 (¼) Hz, mong muốn Tần số gấp Fs/2 = B = 4Hz tương ứng với r = N0/2 =16 Do Fr tuần hoàn N0 (N0 = 32), giá trị Fr r = - 16 đến n = - giống r = 16 đến n = 31 Thí dụ, F17 = F-15, F18 = F-14 , tiếp tục DFT cho ta mẩu phổ F() Để so sánh, hình 5.16d vẽ đường tơ bóng đặc tuyến 8sinc(/2), biến đổi Fourier 8rect(t) Các giá trị Fr tính từ phương trình DFT cho thấy có sai số trùm phổ, thấy rõ ta so sánh hai đồ thị vẽ chồng Sai số F2 vào khoảng 1,3% Tuy nhiên, sai số trùm phổ tăng nhanh theo r Thí dụ, sai số F6 vào khoảng 12% sai số F10 vào khoảng 33% Sai số F14 lên đến 72% Sai số phẩn trăm tăng nhanh gần tần số gấp (r =16) f(t) có bước nhảy gián đoạn, làm F() giảm chậm theo 1/ Do đó, gần tần số gấp, phần nghịch (do trùm phổ) tự thân gần F() Hơn nữa, giá trị cuối sai biệt giá trị xác giá trị gấp lại (rất gần với trị xác) Do đó, sai số phần trăm gần tần số gấp (trường hợp r =16) cao, cho dù sai số tuyệt đối bé Rõ ràng, với tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, sai số trùm phổ gần tần số gấp luôn cao (theo nghĩa phần trăm), bất chấp cách lựa chọn N0 Để đảm bảo bỏ qua sai số trùm phổ trị r bất kỳ, ta phải chắn N0 >> r Điều có giá trị với tín hiệu có bước nhảy gián đoạn   Thí dụ dùng máy tính C5.2 Dùng DFT (được thiết lập dùng thuật tốn FFT) tính biến đổi Fourier 8rect(t) Vẽ phổ Fourier Chương trình MATLAB để thiết lập phương trình DFT dùng thuật tốn FFT trình bày phần Đầu tiên ta viết chương trình MATLAB để 32 mẩu fk, tiếp đến tính DFT % (c52.m) N0 = 32; k =0:N0 – 1; f = [ones(1,4) 0.5 zeros(1,23) 0.5 ones(1,3)]; Fr =fft(f); subplot(2,1,1), stem(k,f) xlabel(„k‟); ylabel(„fk‟); subplot(2,1,2), stem(k,Fr) xlabel(„r‟); ylabel(„Fr‟);  5.2-1 Một số đặc tính DFT Biến đổi Fourier rời rạc biến đổi Fourier tín hiệu lấy mẩu lặp lại tuần hồn Do đó, đặc tính biến đổi Fourier dùng cho DFT Tính tuyến tính Nếu f k  Fr g k  Gr , a1 f k  a2 g k  a1Fr  a2Gr Phần chứng minh dễ dàng (5.28) Tính đối xứng liên hợp (5.29) FN0 r  Fr * Dựa vào đặc tính đối xứng liên hợp biến đổi Fourier (Fr =F–r) đặc tính tuần hoàn DFT (F–r = FN0–r), nên ta cần tính phân nửa DFT fk thực, phần lại lượng liên hợp Dời theo thời gian (Dời vòng) f k n  Fr e  jr0n (5.30) Chứng minh: Dùng phương trình (5.18b), tìm DFT nghịch Fr e  jr0n N0 N0 1  Fr e jr0ne jr0k  r 0 N0 N0 1 F e r 0 jr0 ( k n ) r  f k n Dời theo tần số (5.31) f k e jk m  Fr m Chứng minh: tương tự trường hợp đặc tính dời theo thời gian trừ việc ta bắt đầu với phương trình (5.18a) Tích chập vòng (còn gọi tích chập tuần hồn) fk  gk  FrGr fk gk  (1/N0) Fr Gr Hai chuỗi tuần hoàn N0 fk gk có tích chập vòng định nghĩa theo fk  gk = N0 1  n 0 f n g k n  N 1 g n 0 n f k n Để chứng minh (5.32a), ta tìm DFT tích chập vòng fk  gk N0 1    jr0k N0 1  N0 1  jr0k   jr0n     f g e  f g e  )  Fr Gr   n   k n  n n   f n (Gr e k 0  n 0 k 0   n 0  n 0 Dùng phương pháp tương tự để chứng minh (5.32b) N0 1 N0 1 (5.23a) (5.32b) (5.33) Trường hợp chuỗi khơng tuần hồn, tích chập xem theo hai chuỗi, có chuỗi cố định chuỗi nghịch di chuyển qua chuỗi cố định, lần số hạng Nếu hai chuỗi tuần hồn N0, cấu hình lặp lại sau chuỗi dời N0 Rõ ràng tích chập fk  gk trở thành tích tuần hồn N0 (tích vòng N0) (N0 - periodic), dạng tích chập quan sát dễ dàng vẽ 5.17 cho trường hợp N0 = Chuỗi (inner sequence) fk theo chiều kim đồng hồ cố định Chuỗi gk nghịch nên ngược chiều kim đồng hồ Chiều quay theo chiều kim đồng hồ mỏi lần đơn vị Ta nhân số trùng lặp (overlapping) cộng lại Thí dụ, giá trị fk  gk k = (hình 5.17) f0g0 + f1g3 + f2g2 + f3g1 giá trị fk  gk k = (hình 5.17) f0g1 + f1g0 + f2g3 + f3g2 tiếp tục Ứng dụng DFT DFT khơng hữu ích tính biến đổi Fourier trực tiếp biến đổi Fourier nghịch, mà dùng ứng dụng khác tích chập, tương quan lọc Việc dùng thuật tốn FFT hiệu thảo luận phần 5.3 làm tăng thêm tính hấp dẫn DFT Phép tích chập tuyến tính Gọi f(t) g(t) hai tín hiệu cần làm tích chập Thơng thường, tín hiệu có độ độ rộng theo thời gian khác Để thực phép tích chập từ mẩu, ta cần lấy mẩu chúng với tốc độ lấy mẩu (không thấp tốc độ Nyquist hai tín hiệu) Gọi fk (0  k  N1 – 1) gk (0  k  N2 – 1) chuỗi rời rạc biểu diễn mẩu này, c(t) = f(t)  g(t) ta định nghĩa ba chuỗi fk = Tf(kT), gk = Tg(kT) ck = Tc(kT), ck = fk  gk với định nghĩa tổng chập tuyến tính hai chuỗi fk gk fk  gk  f n  n g k n Từ đặc tính chất độ rộng tích chập, ck tồn với  k  N1+N2 – Để dùng kỹ thuật DFT tích chập vòng, ta cần chắn tích chập vòng có kết với tích chập tuyến tính Nói cách khác, tín hiệu có phép tích chập vòng phải có độ dài (N1 +N2 – 1) tín hiệu có từ phép tích chập tuyến tính Bước thực cách cộng thêm N2 – mẩu giả (dummy) có giá trị zêrơ vào gk (đệm zêrơ) Phương pháp thay đổi độ dài fk gk thành N1+N2 – Vậy tích chập vòng giống hệt tích chập tuyến tính trừ việc lặp lại tuần hoàn với chu kỳ N1+N2 – Phần 10.6-3 chứng minh nghiêm ngặt tính chất Ta dùng DFT để tính tích chập fk  gk theo ba bước sau: Tìm DFT Fr Gr tương ứng với fk gk đệm zêrô thích hơp Nhân Fr với Gr Tìm IDFT Fr Gr Phương pháp tích chập thiết lập dùng thuật toán biến đổi Fourier nhanh (sẽ thảo luận sau), gọi tích chập nhanh Lọc Ta thường nghĩ đến lọc theo ý nghĩa giải pháp thiết lập phần cứng (cụ thể là, xây dựng mạch với phần tử RCL mạch khuếch đại thuật tốn) Tuy nhiên có giải pháp phần mềm [thuật tốn từ máy tính nhằm tạo ngõ y(t) từ ngõ vào cho trước f(t)] Mục tiệu thực dùng DFT Nếu f(t) tín hiệu cần lọc, tìm Fr, DFT fk Phổ Fr định dạng (lọc) mong muốn cách nhân Fr với Hr, mẩu hàm truyền mạch lọc H() [Hr = H(r0)] Sau cùng, ta lấy IDFT Fr Hr để có ngõ mạch lọc yk [yk = Ty(kT)] Phương pháp minh họa thí dụ sau  Thí dụ 5.8 Tín hiệu f(t) hình 5.18a qua mạch lọc thơng thấp lý tưởng có hàm truyền H() vẽ hình 5,18b Dùng DFT tìm ngõ mạch lọc Ta tìm DFT 32 điểm f(t) (xem hình 5.16d) Tiếp đến ta nhân Fr với Hr Để tìm Fr, ta dùng F0 = ¼ tính DFT 32 điểm f(t) Do Fr tuần hoàn 32, nên Hr tuần hoàn 32 với mẩu cách ¼ Hz Điều có nghĩa Hr phải lặp lại Hz hay 16 rad/s (xem hình 5.18c) 32 mẩu Hr khoảng (0    16) sau:   r  and 25  r  31  H r    r  23 0,5 r  8,24  Ta nhân Fr với Hr Các mẩu tín hiệu ngõ mong muốn yk tìm cách biến đổi nghịch DFT Fr Hr Tín hiệu ngõ vẽ hình 5.18d Bảng 5.1 ghi giá trị fk , Fr, Hr , Yr yk   Thí dụ dùng máy tính C5.3 Giải thí dụ 5.8 dùng MATLAB Đoạn chương trình MATLAB thí dụ C5.2, ta có Fr 32 điểm, lưu file „c52.m‟ Ta nhập Fr môi trường MATLAB dùng lệnh „c53.m‟ C52; N0 = 32; k = 0; N0 – 1; H = [ones(1,8) 0.5 zeros(1,15) 0.5 ones(1,7)]; Yr = H.*Fr; yk = ifft(Yr); stem(k, yk)  Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Có thể giảm thiểu đáng kể số lượng tính tốn cần cho DFT dùng thuật toán Tukey Cooley đề năm 1965 Thuật toán gọi biến đổi Fourier nhanh (FFT: Fast Fourier Transform), giảm số lượng tính tốn từ bậc N02 thành N0logN0 Để tính mẩu Fr từ phương trinh (5.18a), ta cần N0 phép nhân phức tạp N0 - phép cộng phức tạp Để tính N0 cho giá trị (Fr với r = 0, 1, , N0 - 1), ta cần có tổng N02 phép tính nhân phức tạp N0(N0 – 1) phép cộng phức tạp Khi N0 lớn, phép tính tiêu tốn nhiều thời gian, với máy tính mạnh nửa 5.3 N0 10 11 12 13 14 15 16 fk 1 1 0.5 0 0 0 0 0 0 Fr 8.000 7.179 5.022 2.331 0.000 -1.323 -1.497 -.8616 0.000 5803 6642 3778 0.000 -.2145 -.1949 -.06964 0.000 Hs 1 1 1 1 0.5 0 0 0 0 FrHs 8.000 7.179 5.027 2.331 0.000 -1.323 -1.497 -.8616 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 yk 9385 1.009 1.090 9123 4847 0.08884 -.05698 -.01383 02933 004837 -.01966 -.002156 01534 0009828 -.01338 -.0002876 01280 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 0 0 0 0 0 0.5 1 -.06964 -.1989 -.2145 0.000 3778 6682 5803 0.000 -.8616 -1.497 -1.323 0.000 2.331 5.027 7.179 0 0 0 0.5 1 1 1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -.8616 -1.497 -1.323 0.000 2.331 5.027 7.179 -.0002876 -.01338 0009828 01534 -.002156 -.01966 004837 3933 -.01383 -.05698 08884 4847 9123 1.090 1.090 Tuy có nhiều biến thể từ thuật tốn Tukey – Cooley, chia thành hai nhóm chính: decimation theo thời gian decimation theo tần số Thuật toán đơn giản hóa ta chọn N0 theo lủy thừa bậc 2, cho dù lựa chọn không bị bắt buột Để thuận tiện, định nghĩa WN0  e ( j 2 / N0 )  e  j0 (5.34) Sao cho Fr  fr  Và N 1 fW r k 0 N0 kr N0 N 1 FW r 0 r kr N0  r  N0  (5.35a)  k  N0  (5.35b) Thuật toán decimation theo thời gian Ở ta chia chuỗi liệu N0 điểm fk thành hai chuỗi (N0/2) điểm bao gồm mẩu có số thứ tự chẵn lẻ, sau: f , f , f , , f N0 1 f1 , f , f , , f N0 1        chuôi g k chuôi hk Vậy, từ phương trình (5.35), Fr  N0 1 f k 0 N0 1 2k WN20kr   f k 1WN( 02 k 1) r k 0 (5.36) Đồng thời, W N0  WN20 (5.37) Ta có Fr  N0 1 f k 0 2k W Nkr0  WNr0 N0 1 f k 0 W Nkr0  Gr  WNr0 H r k 1  r  N0  (5.38) Trong Gr Hr DFT (N0/2) điểm chuỗi số chẵn số lẻ gk hk Đồng thời, Gr Hr DFT (N0/2) điểm, tuần hồn (N0/2) Do H  N0   H r (5.39) G  N0   Gr r     r     Hơn N  r     N0 N0 W  WN02 WNr0  e  j WNr0  WNr0 Từ phương trình (5.38), (5.39) (5.40), ta có F  N0   Gr  WNr0 H r r     (5.40) (5.41) Đặc tính dùng để giảm thiểu số lượng tính tốn Ta tính (N0/2) điểm (0 n  (N0/2) – 1) Fr dùng phương trình (5.38) tính (N0/2) điểm cuối dùng phương trình (5.41) là: N Fr  Gr  WNr0 H r (5.42a)  r  1 N (5.42b)  r  1 F  N0   Gr  WNr0 H r r   2   Do đó, tính DFT N0 điểm cách hai DFT (N0/2) điểm, phương trình (5.42) Các phương trình biểu diễn cách thuận tiện dùng graph tín hiệu vẽ hình 5.19 Câu trúc gọi bƣớm (butterfly) HÌnh 5.20a cho thấy thiết lập phương trình (5.39) cho trường hợp N0 = Bước tính DFT (N0/2) điểm Gr Hr Ta lặp lại bước cách chia gk hk thành hai chuỗi (N0/2) điểm tương ứng với mẩu thứ tự chẵn lẻ Tiếp đến ta tiếp tục bước có DFT điểm Các hình 5.20a, 5.20b, 5.20c cho thấy DFT hai điểm khơng cần phép nhân Để đếm số phép tính cần có bước đầu tiên, giả sử ta biết Gr Hr Phương trình (5.42) rõ để tính tất N0 điểm Fr, ta cần N0 phép cộng phức tạp (N0/2) phép nhân phức tạp (tương ứng với WNr0 H r ) Trong bước thứ hai, để tiếp tục tính DFT (N0/2) điểm Gr từ DFT (N0/4), ta cần (N0/2) phép cộng phức tạp (N0/4) phép nhân phức tạp Ta cần số lượng tính tốn cho Hr Do đó, bước thứ hai, ta có N0 phép cộng phức tạp (N0/2) phép nhân phức tạp Số lượng tính tốn cần thiết bước giống Do cần có tổng log2N0 bước để đạt DFT điểm, ta cần có tổng N0log2N0 phép cộng phức tạp (N0/2)log2N0 phép nhân phức tạo, để tính DFT N0 điểm Phương pháp tìm IDFT giống hệt tìm DFT trừ việc dùng WN0  e j ( 2 / N0 ) thay e  j ( 2 / N0 ) (ngoài ra, nhân 1/N0) Một thuật toán FFT khác, thuật toán decimation theo tần số, tương tự thuật tốn decimation theo thời gian Chỉ có khác biệt thay chia fk thành hai chuỗi thứ tự chẵn lẻ, ta chia fk thành thành hai chuỗi tạo từ (N0/2) số đầu (N0/2) số cuối, xử lý với phương pháp điểm đơn DFT đạt cá bước log2N0 Tổng số phép tính thuật toán giống trường hợp decimataion theo thời gian Đối ngẫu định lý lấy mẩu cho tín hiệu có thời gian giới hạn  giây khơi phục phổ F() chúng từ mẩu F() lấy khoảng đồng khơng lớn 1/ Hz Nói cách khác, phổ lấy mẩu với tốc độ khơng nhỏ  mẩu/Hz 5.4 Phụ chƣơng 5.1 Ta chứng minh  N m  0, N ,2 N ,   otherwise k 0 0 Nhắc lại 0N0 = 2 e jm0k  với m = 0, N0, 2N0, , cho N0 1 e jm0k N 1 N 1 k 0 k 0  e jm0k  1  N (5.43) với m = 0, N0, 2N0, , Để tính tổng giá trị khác m, ta ý tổng vế trái phương trình (5.43) chuỗi hình học với cơng sai   e jm0 Do (xem phần B.7-4) N0 1 e jm0 N0  jm0k ( e jm0 N0  e j 2m  ) e  0  jm0 e 1 k 0 5.5 Tóm tắt Tín hiệu có băng thơng giới hạn B Hz khơi phục xác từ mẩu chúng tốc độ lấy mẩu Fs > 2B Hz (định lý lấy mẩu) Phương pháp khôi phục này, dù thực mặt lý thuyếtm có nhiều vấn đề thực tế phải cần lọc với độ lơi zêrô dải (nhiều dải) tần số Các lọc thực hay thực với vô số khâu trễ Do đó, thực tế, ln có sai số khơi phục tín hiệu từ mẩu chúng Hơn nữa, tín hiệu thực tế thường khơng có băng thơng giới hạn, điều làm tăng sai số (sai số trùm phổ) kh khơi phục tín hiệu từ mẩu Sai số trùm phổ giảm thiệu cách giới hạn băng thông tín hiệu băng thơng hiệu Định lý lấy mẩu quan trọng phân tích, xử lý, truyền dẫn tín hiệu cho phép ta thay tín hiệu liên tục theo thời gian chuỗi rời rạc số hạng Do đó, việc xử lý tín hiệu liên tục tương với việc xử lý chuỗi rời rạc số hạng Điều dẫn ta trực tiếp đến lĩnh vực lọc số (hệ thống rời rạc theo thời gian) Trong lĩnh vực thông tin, truyền dẫn tin liên tục theo thời gian giảm thiểu thành việc truyền dẫn chuỗi số hạng Điều mở cửa cho nhiều kỹ thuật thơng tin tín hiệu liên túc chuỗi xung Tính đối ngẫu định lý lấy mẩu cho tin hiệu có thời gian giới hạn  giây phổ F() khôi phục từ mẩu F() lấy thời khoảng đồng không lớn 1/ Hz Nói cách khác, phổ cần lấy mẩu với tốc độ khơng nhỏ  mẩu/Hz Để tính tốn số biến đổi Fourier trực tiếp hay nghịch, ta cần có quan hệ mẩu f(t) F() Định lý lấy mẩu đối ngẫu cung cấp quan hệ định lượng theo dạng biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Tính tốn DFT dễ dùng thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT), giảm thiểu số lượng tính tốn từ khoảng N02 thành N0log N0 Tham khảo Linden, D A , “A Discussion of Sampling Theorem.” Proc IRE, vol 47 pp 1219 – 1226, July 1959 Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications, 2nd revised ed., McGraw-Hill, New York 1986 Bennett, W.R., Introduction to Signal Transmission, McGraw-Hill, New York 1970 Lathi, B.P., Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, CA, 1992 Cooley, J.W., and J.W., Tukey, “An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series, “Mathematics of Computation, Vol 19, p.297 – 301, Aprli 1965 Bài tập 5.1-1 Hình P5.1-1 vẽ phổ Fourier tín hiệu f1(t) f2(t) Tìm tốc độ lấy mẩu Nyquist tín hiệu f1(t), f2(t), f12(t), f23(t), f1(t) f2(t) 5.1-2 Xác định tốc độ lấy mẩu Nyquist khoảng lấy mẩu Nyquist tín hiệu (a) sinc2(100t) (b) 0,01sinc2(100t) (c) sinc (100t) + 3sinc2(60t) (d) sinc (50t) sinc (100t) 5.1-3 Tín hiệu f(t) = sinc (100t) lấy mẩu (dùng xung cách khoảng đồng đều) với tốc độ (a) 150 Hz (b) 200 Hz (c) 300 Hz Với trường hợp (i) Vẽ phổ tín hiệu lấy mẩu, (ii) Nếu bạn khơi phục f(t) từ tín hiệu lấy mẩu, giải thích? (iii) Nếu cho tín hiệu lấy mẩu qua mạch lọc thơng thấp lý tưởng có băng thơng 100 Hz, vẽ phổ tín hiệu 5.1-4 Hình P5.1-4 vẽ mạch giử bậc zêrơ thực tế (a) Tìm đáng ứng xung đơn vị mạch Hướng dẫn: Nhắc lạ đáp ứng xung h(t) ngõ mạch hình P5.1-4 ngõ vào f(t) = (t) (b) (c) Tìm hàm truyền H(), vẽ  H() Chứng tõ tín hiệu lấy mẩu f (t ) ngõ vào mạch, ngõ xấp xỉ bậc thang f(t) Thời khoảng lấy mẩu T 5.1-5 (a) Mạch giử bậc dùng để khơi phục tín hiệu f(t) từ mẩu Đáp ứng xung mạch  t  h(t )     2T  Với T thời khoảng lấy mẩu Xét tín hiệu lấy mẩu tiêu biểu f (t ) chứng tõ mạch thực phép nội suy tuyến tính Nói cách khác, ngõ mạch lọc gồm đỉnh mẩu kết nối đoạn đường thẳng Dùng phương pháp thảo luận phần 5.1-1 (hình 5.3b) (b) Tìm hàm truyền mạch lọc đáp ứng biên độ, so sánh với mạch lọc lý tưởng cần thiết để khơi phục tín hiệu (c) Mạch lọc không nhân (noncausal) không thực Bằng cách làm trễ đáp ứng xung để mạch lọc thực Cho biết khâu trể tối thiểu cần thiết để mạch thực được? Ảnh hưởng khâu trễ lên tín hiệu khơi phục đáp ứng tần số sao? (d) Chứng tõ mạch lọc phần (c) thực từ mạch lọc vẽ hình P5.1-4 nối với mạch lọc y hệt mạch lọc HƯớng dẫn: chứng tõ đáp ứng xung mạch (t/2T) 5.1-6 Tín hiệu f(t) = sinc(200t) lấy mẩu dùng chuỗi xung tuần hồn pT(t) vẽ hình P5.1-6 Tìm vẽ phổ tín hiệu lấy mẩu Nếu khơi phục f(t) Giải thích? Nếu tín hiệuđã lấy mẩu qua mạch lọc thơng thâp lý tưởng có thơng 100 Hz độ lợi đơn vị, tìm ngõ mạch lọc Tìm ngõ mạch lọc băng thông B Hz, với 100 < B < 150 Điều xảy băng thơng lớn 150 Hz? 5.1-7 Trong thí dụ 5.3, ta lấy mẩu tín hiệu f(t) cách nhân tín hiệu với chuỗi xung pT(t), có tín hiệu lấy mẩu vẽ hình 5.8d Phương pháp gọi lấy mẩu tự nhiên Hình P5.1-7 vẽ dạng lấy mẩu thường gọi lấy mẩu dùng đỉnh phẳng (flat top sampling) tín hiệu f(t) = sinc2(5t) (a) Chứng tõ khơi phục f(t) dùng phương pháp lấy mẩu đỉnh phẳng tốc độ lấy mẩu không bé tốc độ Nyquist (b) Nếu khôi phục tín hiệu f(t) phép lẩy mẩu đỉnh phẳng Giải thích? (c) Tìm biểu thức phổ tín hiệu lấy mẩu F ( ) vẽ phát thảo phổ Hướng dẩn: Đầu tiên hảy chứng tõ tín hiệu có đỉnh phẳng sản sinh cách cho tín hiệu f(t) T(t) qua mạch lọc có đáp ứng xung h(t) = pT(t) Để khôi phục tín hiệu từ mẩu, hảy thực q trình ngược lại 5.1-8 Đĩa CD ghi tín hiệu âm số hóa dùng PCM Giả sử băng thơng tín hiệu âm 15 kHz (a) Cho biết tốc độ lấy mẩu bao nhiêu? (b) Nếu mẩu Nyquist lượng tử hóa thành 65536 mức (L = 65536) mã hóa nhị phân, cho biết cần bit để mã hóa mẩu này? (c) Cho biết số bit/s cần thiết để mã hóa tín hiệu âm ? (d) Với lý thực tế thảo luận tài liệu, tín hiệu lấy mẩu với tốc độ lớn tốc độ Nyquist Các CD thực tế dùng 44.100 mẩu/s Nếu dùng L = 65 536, xác định số xung/s cần thiết để mã hóa tín hiệu 5.1-9 Tín hiệu TV (viđêo âm thanh) có băng thơng 4,5 MHz Tín hiệu lấy mẩu, lượng tử mã hóa nhị phân để có tín hiệu PCM (a) Tìm tốc độ lấy mẩu tín hiệu lấy mẩu với tốc độ cao tốc 9dộ Nyquist 20% (b) Nếu mẩu lượng tử thành 1024 mức, cho biết cần xung nhị phân để mã hóa mẩu (c) Tìm tốc độ xung nhị phân (bit/s) tín hiệu mã hóa nhị phân 5.1-10 Chứng tõ tín hiệu khơng thể đồng thời có giới hạn thời gian băng thông Hướng dẫn:Hảy chứng tỏ giả định ngược đưa đến nghịch lý Gải sử tín hiệu đồng thời có giới hạn thời gian băng thông nên F() =0 với   2B Trong trường hợp F ()  F ()rect  4B '  với B’> B Điều tức f(t) với f(t)*2B’sinc(2B’t) Tín hiệu sau khơng thể có giới hạn thời gian phần đuôi hàm sinc tiến vô 5.2-1 Tín hiệu có giới hạn thời gian 10ms có băng thơng 10 kHz, xác định số mẩu tín hiệu cần thiết N0 để tính FFT bậc lủy thừa với độ phân giải tần số F0 50Hz Giải thích khơng cần có đểm zêrơ (zero padding)? 5.2-2 Để tính DFT tín hiệu f(t) hình P5.2-1, viết chuỗi fk (với k=0 đến N0 –1) độ phân giải tần số F0 không bé 0,25 Hz Giả sử băng thông (tần số gấp) f(t) Hz Khơng cần tính DFT, viết chuỗi fk thích hợp 5.2-3 Tìm giá trị N0 T thích hợp để tính DFT tín hiệu e–tu(t) Dùng băng thông nơi đáp ứng biên độ giảm 1% so với trị định (tại  = 0) Tiếp đến, dùng tiêu chuẩn 99% lượng để xác định băng thơng (xem thí dụ 4.16) 5.2-4 Làm lại bải tập 5.2-3 với tín hiệu 2  Hướng dẫn: f (t )   2e t 1 t 1 5.2-5 Viết chuỗi thích hợp fk gk cần thiết để tính tích chập f(t) g(t)) (vẽ hình P5.2-5) dùng DFT Dùng T = 1/8 ... số hữu hạn giá trị Một tín hiệu analog chuyển đổi thành tín hiệu số cách lấy mẩu lƣợng tử hóa (làm tròn) Nếu lấy mẩu tín hiệu analog khơng, chưa có tín hiệu số tín hiệu lấy mẩu vẩn có nhiều giá... Như thế, tín hiệu số hóa với mẩu lượng tử L giá trị Các tín hiệu tín hiệu số L – phân (L – ary ) Theo quan điểm thực tế, tín hiệu nhị phân (là tín hiệu có hai giá trị) tín hiệu hấp dẫn tính đơn... nhị phân ghi vào CD Ƣu điểm tín hiệu số Một số ưu điển tín hiệu số so với tín hiệu analog liệt kê đây: Truyền tín hiệu số ưu việt so với tín hiệu analog tín hiệu số có tính chống nhiễu kênh truyền