Tính toán ổn định phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong và siêu tĩnh ngoài

Bài báo trình bày phương pháp phân tích ổn định cho dàn vòm phẳng tĩnh định trong siêu tĩnh ngoài có kể đến tính phi tuyến hình học của dàn vòm phẳng dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Kết quả phân tích ổn định phi tuyến hình học này được so sánh với kết quả phân tích tuyến tính để thấy được sự ảnh hưởng của tính phi tuyến hình học đến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn.

KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN HÌNH HỌC KẾT CẤU DÀN VỊM PHẲNG TĨNH ĐỊNH TRONG VÀ SIÊU TĨNH NGOÀI ThS PHẠM VĂN ĐẠT Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Tóm tắt: Bài báo trình bày phương pháp phân tích ổn định cho dàn vòm phẳng tĩnh định siêu tĩnh ngồi có kể đến tính phi tuyến hình học dàn vòm phẳng dựa phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Kết phân tích ổn định phi tuyến hình học so sánh với kết phân tích tuyến tính để thấy ảnh hưởng tính phi tuyến hình học đến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn cấu dàn khảo sát số ví dụ phân tích ổn định phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng chịu tải trọng thẳng đứng nút dàn Phương pháp phân tích ổn định dựa phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Phương pháp phân tích ổn định cục phi tuyến hình học kết cấu dàn dựa phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Kết cấu dàn ổn định cục nội lực dàn không vượt lực tới hạn dàn tính theo Euler Từ tác giả đề xuất phương pháp giải toán ổn định cục kết cấu dàn phi tuyến hình học là: Lực tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn lực lớn tác dụng lên kết cấu mà nội lực phải thỏa mãn hai điều kiện: Từ khóa: dàn, phi tuyến hình học, phân tích ổn định Đặt vấn đề Tính tốn ổn định cho kết cấu nằm yêu cầu tính tốn thiết kế kết cấu nói chung tính tốn kết cấu dàn nói riêng Dưới tác dụng tải trọng nút dàn, dàn chịu nén ổn định cục làm cho kết cấu dàn bị phá hỏng Hiện phân tích tính tốn ổn định cục cho kết cấu dàn [7,14,15,16] thường phải coi góc dàn trước sau dàn bị biến dạng khơng đổi (phân tích ổn định tuyến tính) chưa có phương pháp hiệu để phân tích tính tốn ổn định cục dàn kể đến thay đổi góc trục trước sau dàn biến dạng (phân tích ổn định phi tuyến hình học) Ảnh hưởng phi tuyến hình học làm thay đổi giá trị tải trọng tới hạn kết cấu dàn Vì vậy, báo tác giả trình bày phương pháp phân tích tính tốn ổn định cục phi tuyến hình học kết n Z  k 1 Nk  (0) l Ek Fk k m   m 2Pxr ur  r 1 - Lượng ràng buộc Z kết cấu dàn tính theo công thức tài liệu [3] đạt cực trị - Nội lực tất dàn không vượt lực tới hạn dàn tính theo Euler Phương pháp phương pháp riêng tác giả Sau tác giả xin trình bày chi tiết phương pháp xác định tải trọng tới hạn lên kết cấu dàn phi tuyến hình học Xét kết cấu dàn gồm n m nút, gọi lực tác dụng lên nút r theo phương Pxr , Pyr , Pzr ; trước ổn định dàn phải thỏa mãn điều kiện: m  2Pyr v r  r 1  Nk l(0)  k k   lk    Ek Fk  k 1   n  2Pzr w r  r 1  (1) hay:  n N 2 l(0) m m m n  Nk l(0)  k Z   k k    2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k  lk       u j u j  k 1 Ek Fk E F k k r 1 r 1 r 1 k 1     n N 2 l(0) m m m n  Nk l(0)  k Z   k k   2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k   lk     Ek Fk   v j v j  k 1 Ek Fk r 1 r 1 r 1 k 1     n  N  l(0) m m m n  Nk l(0)  k Z   k k   2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k   lk     Ek Fk   w j w j  k 1 Ek Fk r 1 r 1 r 1 k 1    18      (j   m) (1a)      (j   m) (1b)      ( j   m) (1c) Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG  n  N 2 l(0) m m m n  Nk l(0)  k Z   k k   2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k   lk    (i   n) (1d)  Ek Fk   Ni Ni  k 1 Ek Fk r 1 r 1 r 1 k 1    (0)  n  N 2 l(0) m m m n  Nk l  k Z   k k    2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k  lk    (i   n) (1e)    i i  k 1 Ek Fk E F k k r 1 r 1 r 1 k 1     đó: l(0) , lk chiều dài trước biến dạng độ biến dạng dài tuyệt đối Nếu gọi i, j hai           k nút hai đầu k, l(0) lk tính sau: k - Chiều dài trước biến dạng: 2  x j  x i    y j  y i    z j  zi  l(0)  k (2) - Biến dạng dài tuyệt đối thanh: + Khi phân tích tuyến tính: lk   x  x u  u    y  y  v  v    z  z  w  w  / l (0) j i j i j i j i j i j i k (3) + Khi phân tích phi tuyến hình học (kể đến thay đổi góc trục dàn trình dàn biến dạng): 2  x j  u j  xi  ui    y j  v j  yi  vi    z j  w j  zi -wi  lk  Trong công thức (2), (3), (4): (xi , yi ,zi ) , (x j , y j ,z j ) tọa độ nút i, j trước dàn biến dạng; (ui ,v i , w i ) , (u j ,v j ,w j ) : thành phần chuyển vị nút i, j dàn biến dạng Điều kiện để kết cấu dàn thỏa mãn điều kiện ổn định cục nội lực không vượt lực tới hạn viết sau: k Nk  9,8698Ek Jmin / (lk )2 hay: Nk  9,8698Ek Jkmin / (l(0) k ) k   n   k   n  l(0) (4) k lên kết cấu dàn mà nội lực đảm bảo điều kiện cân (1) điều kiện ổn định cục (5) Như vậy, từ toán ổn định kết cấu dàn đưa toán quy hoạch toán học phi tuyến túy với hàm mục tiêu điều kiện ràng buộc sau: - Hàm mục tiêu: f  P  max để thuận tiện cho việc giải tác giả viết hàm mục tiêu dạng: (5a) (6) f  P  - Điều kiện ràng buộc: đẳng thức từ điều (5b) Tải trọng tác dụng tới hạn tải trọng tác dụng lớn kiện (1) bất đẳng thức từ điều kiện (5):  n  N 2 l(0) m m m n  Nk l(0)  k   k k ceq(i)   2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k   lk    0(i   m)  Ek Fk   ui  k 1 Ek Fk r 1 r 1 r 1 k 1    (0) (0)  n N  l m m m n  Nk l  k   k k ceq(im)   2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k   lk    0(i   m)  Ek Fk   vi  k 1 Ek Fk r 1 r 1 r 1 k 1     n  N 2 l(0) m m m n  Nk l(0)  k   k k ceq(2mi)   2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k   lk    0(i   m)  Ek Fk   w i  k 1 Ek Fk r 1 r 1 r 1 k 1     n  N  l(0) m m m n  Nk l(0)  k   k k ceq(3mi)   2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k   lk    0(i   n)  Ek Fk   Ni  k 1 Ek Fk r 1 r 1 r 1 k 1       ceq(3mni)                   n N 2 l(0) k   k    i  k 1 Ek Fk    Nk l(0)  k 2Pr ur  2Pr vr  2Pr w r  k   lk    0(i   n)  Ek Fk   r 1 r 1 r 1 k 1   m m m n     Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015 19 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG k c (k )  Nk  9,8698Ek Jmin / (l(0) k )  k   n  Xác định tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngồi chịu tải trọng hình 1, biết có tiết diện hình vành khuyên: D=20cm, d=18cm; E=2.104(kN/cm2); f l=4800(cm), h=80(cm) k   l Nghiệm toán quy hoạch phi tuyến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn Phân tích ổn định phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm tĩnh định siêu tĩnh ngồi y P P P P 23 24 27 44 P/2 24 26 25 38 25 26 P P 20 21 19 20 21 22 31 22 23 30 46 29 40 28 45 39 5 4 P P P 17 18 16 P 17 32 47 15 33 42 16 P/2 14 34 48 35 43 15 9 13 10 10 36 14 11 11 49 37 12 13 12 18 41 O P 19 x Hình Dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh Lời giải: i   49  Bài tốn có 49 ẩn số nội lực dàn: Ni Điều kiện biên toán chuyển vị nút nút 13 theo phương x phương y không nên: u1  v1  u13  v13  Như vậy, tốn ngồi 49 ẩn số nội lực có 48 ẩn số chuyển vị nút dàn: u2 ;u3 ;u4 ;u5 ;u6 ;u7 ;u8 ;u9 ;u10 ;u11;u12;u14 ;u15 ;u16 ;u17 ;u18 ;u19 ;u20 ;u21;u22;u23 ;u24 ;u25 ;u26 ;v ; cv      v3 ;v ;v ;v ;v ;v ;v ;v10 ;v11;v12 ;v14 ;v15 ;v16 ;v17 ;v18 ;v19 ;v 20 ;v 21;v 22 ;v 23 ; v 24 ;v 25 ;v 26  Phiếm hàm lượng ràng buộc mở rộng (1) của tốn viết sau: 49 L  k 1 Nk 2 l(0) k Ek A k 25   2P.v  (0)  Nk l k  v 26 )  k   Ek Ak k 1    49 r  P(v14 r 15     lk     (7) Bài tốn tính tốn ổn định kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh đưa toán quy hoạch toán học sau: - Hàm mục tiêu: min(f )  min( P) - Các điều kiện ràng buộc phi tuyến bao gồm: (8) + 146 ràng buộc đẳng thức    (0) 49  N  l(0) 26 49  Nk l k  k L   k ceq(i)    2Pyr vr  k   lk     i   49   Ni Ni  k 1 Ek A k  Ek A k   r 14 k 1        49 N  l(0) 26 49 Nk l(0)   k L   k k ceq(i 49)    2Pyr vr  k   lk     i   48   cvi cv i  k 1 Ek A k  Ek A k   r 14 k 1        20        (9a) (9b) Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG ceq(i97)  49 N  l(0) 26 k L   k    2Pyr vr   i i  k 1 Ek Ak r  14      (0)  Nk lk k   Ek A k k 1  49       lk       i   49  (9c) + 49 ràng buộc bất đẳng thức Nk   0,98698.Ek Ik l  (0) (k   49) k hay: c (k )  Nk  0,98698.EkIk l  (0) 0 k   49  (10) k Giải toán quy hoạch toán học phi tuyến tìm giá trị lực tới hạn lên kết cấu Có nhiều cách giải tốn quy hoạch phi tuyến này, nội dung báo tác giả khơng trình bày cách giải xin phép trình bày cách giải báo khác Kết tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngồi phân tích phi tuyến hình học: Pth  111,220(kN) ; Kết phân tích tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngồi phân tích tuyến tính: Pth  150,154(kN) Khi tải trọng đạt đến tải trọng tới hạn theo hai cách phân tích thời điểm nội lực 12 đạt đến tải trọng tới hạn Như vậy, tính tốn kể đến thay đổi góc trục tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn tĩnh định trong, siêu tĩnh giảm 25,929% khơng có thay đổi vị trí ổn định hai phân tích Ngồi ra, tải trọng tác dụng đạt đến tải trọng tới hạn phương trình cân (9) bất đẳng thức (10) thỏa mãn Ảnh hưởng độ thoải dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngồi đến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên dàn vòm Để nghiên cứu ảnh hưởng độ thoải dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngồi đến giá trị tải trọng tới hạn dàn vòm độ sai khác kết giá trị tải trọng tới hạn phân tích tuyến tính phân tích phi tuyến hình học Tác giả tiến hành phân tích dàn vòm mục với độ 1 thoải khác ( k  ;k  ;k  ) Sau phân tích kết lập bảng Bảng Kết phân tích ổn định dàn vòm tĩnh định trong, siêu tĩnh với giá trị k khác Phương pháp Tải trọng tới hạn phân tích k=1/4 k=1/6 k=1/8 PTTT 257,417(kN) 322,978 (kN) 304,877 (kN) PTPTHH 204,154(kN) 267,907 (kN) 255,520 (kN) PTCL 20,691(%) 17,051(%) 16,189(%) Theo kết tính tốn cho thấy độ thoải dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngồi lớn phần trăm chênh lệch tải trọng tới hạn phân tích tuyến tính phân tích phi tuyến hình học lớn Giá trị tải trọng tới hạn lớn k  Ngoài ra, với độ thoải khác hai cách phân tích vị trí ổn định xảy 12 Kết luận Qua kết nghiên cứu trình bày, đưa kết luận sau đây: - Dựa theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss xây dựng phương pháp xác định tải trọng tới hạn cho kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định siêu Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015 tĩnh chịu tải trọng tập trung nút dàn có kể đến thay đổi góc trục trình kết cấu dàn biến dạng Kết tính tốn đảm bảo độ tin cậy; - Khi độ thoải dàn vòm phẳng tĩnh định siêu tĩnh ngồi ví dụ khảo sát lớn phần trăm chênh lệch tải trọng tới hạn phân tích có kể đến thay đổi góc trục trình kết cấu dàn biến dạng phân tích tuyến tính lớn; - Khi phân tích tuyến tính hay phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng tĩnh định siêu tĩnh ngồi ví dụ khảo sát vị trí ổn định kết cấu dàn không thay đổi 21 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG TÀI LIỆU THAM KHẢO TH.VON KANRMAN, H.S.TSIEN (1939), The buckling of Sherical shells by External Pressure, J.Aero.Sci,7:43-50 HÀ HUY CƯƠNG (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/2005, Tr 112 118 10 TUGRUL TALASLIOGLU (2013), Global stability-based design optimization of truss structures using multiple objectives, Sadhana Vol 38, Part 1, February 2013, pp ĐOÀN VĂN DUẨN (2011), Nghiên cứu ổn định đàn hồi 37–68 kết cấu hệ có xét đến biến dạng trượt, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội 11 S.E.KIM (1998), Direct design of truss bridges using advanced PHẠM VĂN ĐẠT (2013), Phân tích phi tuyến dàn phẳng dựa nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí xây dựng số 07/2013 (Tr76-78) analynis, Structural Engineering and Mechanics 12 S.P.TIMOSHENKO, J.M.GERE (1985), Theory of elastic stability, McGRAW-HILL International Editions TRẦN THỊ KIM HUẾ (2005), Phương pháp nguyên lí cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội VŨ ĐÌNH LAI, NGUYỄN XUÂN LỰU, BÙI ĐÌNH NGHI (2002), Sức bền vật liệu, Nhà xuất Giao thông vận tải NGUYỄN VĂN LIÊN, ĐINH TRỌNG BẰNG, NGUYỄN PHƯƠNG THÀNH (2003), Sức bền vật liệu, Nhà xuất Xây dựng (2008), Failure Modes of Single-layer Latticed Domes Supported by Braced Frames Subjected to Harmonic Waves, China Urban Science Edition, p.1-5 14 А А БИТЮРИН (2011), Лекции по устойчивости стержневых систем, Оформление УлГТУ 15 А С ВОЛЬМИР деформируемых LỀU THỌ TRÌNH, ĐỖ VĂN BÌNH (2008), Ổn định cơng главная trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật литературы CARLOS A.FELIPPA (2001), Nonlinear finite element methods, University of Colorado 22 13 XING JI-HUI, PHAM VAN-DAT, YANG QING-SHAN (1967), Устойчивость систем, Издательство «Наука» редакция физико атематической Ngày nhận bài: 23/11/2014 Ngày nhận sửa lần cuối: 27/12/2014 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2015 ... trình kết cấu dàn biến dạng phân tích tuyến tính lớn; - Khi phân tích tuyến tính hay phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng tĩnh định siêu tĩnh ngồi ví dụ khảo sát vị trí ổn định kết cấu dàn. .. hưởng độ thoải dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh đến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên dàn vòm Để nghiên cứu ảnh hưởng độ thoải dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh đến giá trị... khác Kết tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh định trong, siêu tĩnh ngồi phân tích phi tuyến hình học: Pth  111,220(kN) ; Kết phân tích tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu