Mô hình toán học hệ thống dẫn đường quán tính

Trong điều khiển thiết bị bay chúng ta phải giải quyết vấn đề dẫn đường. Một trong các phương pháp dẫn đường là dẫn đường quán tính không dùng thông tin bên ngoài vật thể chuyển động mà dùng thông tin về gia tốc của bản thân vật thể chuyển động để xác định các tham số dẫn đường. Bài viết này trình bày về một mô hình động học mới cho hệ thống dẫn đường quán tính.

Thơng tin khoa học cơng nghệ MƠ HÌNH TỐN HỌC HỆ THỐNG DẪN ĐƯỜNG QN TÍNH Nguyễn Thái Hòa*, Đỗ Xuân Ngọc, Đào Văn Hưng, Đỗ Ngọc Tuấn Tóm tắt: Trong điều khiển thiết bị bay phải giải vấn đề dẫn đường Một phương pháp dẫn đường dẫn đường qn tính khơng dùng thơng tin bên ngồi vật thể chuyển động mà dùng thơng tin gia tốc thân vật thể chuyển động để xác định tham số dẫn đường Bài báo trình bày mơ hình động học cho hệ thống dẫn đường qn tính Từ khóa: Hệ thống dẫn đường quán tính; Hệ tọa độ quán tính; Khối đo lường qn tính; Góc Euler ĐẶT VẤN ĐỀ Hệ thống dẫn đường quán tính (INS) dựa nguyên lý tính quãng đường qua để xác định tham số chuyển động thiết bị bay (TBB) so với hệ tọa độ Ưu điểm hệ thống INS xác định đồng thời tham số chuyển động TBB mà khơng cần thơng tin từ bên ngồi nên đảm bảo tính độc lập cao Tuy nhiên, nhược điểm hệ thống INS sai số định vị tăng theo thời gian Vì vấn đề hạn chế sai số hệ thống INS có nhiều nghiên cứu lý thuyết giải pháp ứng dụng thực tế Một phương pháp hạn chế sai số hệ thống INS sử dụng mô hình động lực học phi tuyến kết hợp với lọc Kalman thiết kế hệ thống Bài báo này, trình bày mơ hình động lực học phi tuyến sử dụng véc tơ quay cho thuật tốn dẫn đường qn tính Trong mơ hình động học véc tơ quay, đầu quay hồi chuyển đo trực tiếp ước lượng theo cấu trúc phản hồi véc tơ quay Cấu trúc phản hồi có nghĩa đầu quay hồi chuyển xấp xỉ từ véc tơ quay trước Đặc tính cho liên kết chặt chẽ sai số phép đo ước lượng Hơn tính chất cho phép việc tính tốn góc nhanh phương pháp Euler Thông tin vận tốc từ khối đo lường quán tính (IMU) sử dụng làm phép đo đầu vào Và thế, vận tốc thành phần véc tơ quay sử dụng biến trạng thái mơ hình động lực học phi tuyến NGUYÊN LÝ DẪN ĐƯỜNG QUÁN TÍNH Trong nội dung này, chúng tơi trình bày tóm lược nguyên lý dẫn đường quán tính, phương trình động lực học dùng hệ thống dẫn đường quán tính Xét chuyển động diễn theo thuyết tương đối hẹp Galilean Theo sở tốn học dẫn đường quán tính định luật Newton quy luật học chuyển động trọng tâm TBB hệ tọa độ quán tính (i-frame) Quy luật mô tả sau [4]:   d2R  n  g ( R) (1) dt   Trong R véc tơ vị trí TBB; n véc tơ gia tốc nhận cảm khối  tâm TBB; g ( R) véc tơ gia tốc trọng trường TBB lực hấp dẫn trái đất Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 169 Công nghệ thông tin  d2R sinh (xét chuyển động trọng trường trái đất); gia tốc tuyệt đối dt TBB Phương trình (1) thể việc miêu tả toán học chuyển hệ tọa độ quán tính đơn giản Tuy nhiên, giải toán chuyển động thực tế thuận tiện chuyển hệ tọa độ qn tính sang hệ tọa độ khơng qn tính [3-5] Trên sở phương trình (1) người ta xây dựng mơ hình tốn thể động lực học cho chuyển động, thuật toán cho hệ thống dẫn đường  qn tính Thơng tin gia tốc nhận cảm n đo ba cảm biến gia  tốc bố trí trực giao; thơng tin gia tốc trọng trường g ( R) thường mô tả  dạng hàm biết R tùy thuộc vào việc mơ hình hóa trái đất Xét phương trình (1) dạng Cơ-si:    dV   n  g ( R)   dt    d R V  dt (2) Khi xét phương trình (2) hệ tọa độ quay với vận tốc góc  , ta có:    dV dV    V   dt dt     d R  dR   V  dt dt (3)   dV dR , đạo hàm véc tơ R V hệ tọa độ quay với dt dt vận tốc góc  Các phương trình sở cho phép ta xây dựng thuật tốn dẫn đường qn tính khác Thực tế để xây dựng thuật toán số cho hệ thống dẫn đường quán tính, người ta phải lựa chọn dạng sở cho hệ tọa độ dẫn đường để xác định tham số định vị định hướng Hệ tọa độ lựa chọn kiểu loại TTB, đặc điểm quỹ đạo, nhiệm vụ cần giải quy định Thông thường TBB gần trái đất, người ta hay dùng hệ tọa với mặt phẳng sở mặt phẳng ngang định hướng trục theo phương vị (các trục hướng phía bắc phía đông) Khi trục tọa độ định vị theo hướng xác định, người ta quay với vận tốc xác định Và thơng tin vị trí đối tượng xác định kinh độ, vĩ độ độ cao Ellipsoid trái đất Trong MƠ HÌNH TỐN HỌC HỆ THỐNG DẪN ĐƯỜNG QN TÍNH Trong phần này, chúng tơi trình bày số mơ hình tốn học phi tuyến mơ tả mối tương quan trạng thái dẫn đường, trình bày mơ hình tốn học sai số cho đo đạc hệ thống dẫn đường quán tính 3.1 Mơ hình động lực học vận tốc 170 N T Hòa, …, Đỗ Ngọc Tuấn, “Mơ hình tốn học hệ thống dẫn đường qn tính.” Thơng tin khoa học cơng nghệ Phương trình (2) xét hệ tọa độ địa lý địa phương (ENU), hệ động lực học vận tốc biểu diễn:     ve vv  2  sin   e u  2 vu cos    ae   N h  ( N  h) cos     ve      ve vu d      g  w1 (4) v  a    v sin   n n  e  dt    ( N  h) cos  M h    vu    2  a  ve   v 2 cos    u N  h M  h e   Trong đó: g véc tơ gia tốc trọng trường, h độ cao, M , N bán kính cong trái đất xác định theo công thức [1]: a 1  e  a M ,N  12 1  e2 sin   1  e2 sin   Vĩ độ  giá trị khởi tạo ban đầu khối đo lường quán tính (IMU),  T tốc độ quay trái đất Véc tơ v enu   ve , , vu  vận tốc hệ tọa độ ENU Nhiễu trạng thái mơ hình động lực học, ký hiệu w1 , nhiễu giả định bao gồm nhiễu trắng (Gaussian white noise), sai số bán kính trái đất (sai số phương pháp mơ hình hóa trái đất), sai số khởi tạo vị trí ban đầu, sai số hệ thống khối IMU Gia tốc hệ tọa độ ENU, ký hiệu a enu , tính tốn theo cơng thức:  ae  enu enu a a   an   Cimu A  a imu  b a  (5)  au  enu Với Cimu ma trận chuyển trạng thái từ hệ tọa IMU (body frame) sang hệ tọa độ ENU, a imu đầu gia tốc kế hệ tọa độ IMU, ba sai số gia tốc kế (sai số tổ hợp ba thành phần: constant bias, turn-on bias, random walk noise) Hệ số tỉ lệ  SFiia |i 1,2,3  ma trận độ chệch không  MAajk | j ,k 1,2,3; j  k  gia tốc kế mô tả bởi:  SF11a  Aa  I 33   MA21a  MA31a  MA12a MA13a   SF22a MA23a  (6) a a  MA32 SF33  Các giá trị hệ số tỉ lệ, độ chệch không gia tốc kế lấy từ đặc tính khối đo lường quán tính IMU enu Véc tơ quay liên quan đến ma trận chuyển trạng thái Cimu công thức (5) cho [6]: Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 171 Công nghệ thông tin    cos    sin    enu T Cimu   cos    I 33               T (7) 12 Trong đó, véc tơ quay     e ,  n , u  ,     T   , ma trận phản đối xứng véc tơ quay cho bởi:   u  n  (8)      u  e    e e  3.2 Mơ hình động lực học trạng thái Có nhiều nghiên cứu mơ hình hệ động lực học véc tơ quay, mơ hình hệ động lực véc tơ quay cho dạng:    sin   1  2    I33      T 1  (9)       imu    1  cos      Trong đó,  imu vận tốc góc hệ tọa IMU Tuy nhiên công thức không xét vận tốc quay trái đất, không xét vận tốc quay véc tơ vận tốc Vì vậy, xem xét tới vận tốc quay trái đất, hiệu ứng lực Coriolis, gia tốc ly tâm phương trình động lực học (9) xem xét dạng:     imu  imu  enu  enu  w2 (10)   Với    sin     T I 33  1 1T       imu  1 1   2 1  cos       (11)   sin       T T  I33  1.1        enu  1 1  1  cos      Và 1   Sai số mơ hình động lực, ký hiệu w2 giả định nhiễu  trắng, bao gồm sai số bán kính trái đất sai số nhiễu quay hồi Vận tốc góc  enu bao gồm vận tốc góc trái đất enu , vận tốc góc ly tâm  a hiệu ứng lực Coriolis  c Theo [6] mơ tả:  enu v      n       M  h   ve   enu   a   c   cos         N h      sin   ve tan         N h    (12) Vận tốc góc  imu xác định theo cơng thức: 172 N T Hòa, …, Đỗ Ngọc Tuấn, “Mơ hình tốn học hệ thống dẫn đường qn tính.” Thơng tin khoa học công nghệ  imu  A g  imu  b g  (13) Trong b g nhiễu, ký hiệu hệ số tỉ lệ  SFiig |i 1,2,3  ma trận độ chệch không  MAjkg | j ,k 1,2,3; j  k  quay hồi chuyển, đó:  SF11g  Ag  I 33   MA21g  MA31g  MA12g SF22g MA13g   MA23g  (14) g g  MA32 SF33  Các hệ số tỉ lệ, độ chệch khơng lấy từ đặc tính kỹ thuật quay 3.3 Mơ hình đo đạc Vận tốc tốc độ góc sử dụng làm phép đo tham chiếu Mơ hình tốn học cho phép đo vận tốc xây dựng đơn giản, mơ hình mơ tả sau:  ve  1 0   ve  v   0  v   w (15)  n   n vu  0  vu  Trong đó, sai số mơ hình w3 nhiễu trắng đầu gia tốc kế Với mơ hình động lực học đo đạc cho phương trình (15) cho biểu thức [6]:  imu   1        imu    enu        v    n   M h    ve   cos     w   N h       sin   ve tan       N  h    (16) Trong w3 nhiễu trắng phép đo quay hồi chuyển Từ mơ hình động lực học đo đạc, người ta thiết kế lọc để giảm thiểu sai số Thực tế người ta thường dùng lọc Kalman thiết kế hệ thống [2] MÔ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ Trong phần này, chúng tơi trình bày mơ hình IMU với mục đích mơ Vì thành phần sai số giả thiết trình Gauss-Markov bậc với tự tương quan số Hằng số tự tương quan mơ 7000s Các phương trình mô tả sai số quay hồi chuyển, gia tốc kế sử dụng mô cho bởi: 1 ba   ba  2 a2  a u  t  b g   b g  2 g2  g u  t  a g Với ba b g sai số gia tốc kế quay hồi chuyển;  a  g số tự tương quan;  a  50,  g  0.02 độ lệch chuẩn nhiễu ngẫu nhiên; u  t  hàm kỳ vọng nhiễu trắng Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 173 Công ngh nghệệ thông tin Các phép đo ccủa gia tốc kế đđư ược ợc mơ tả theo mơ hình:  sin    imu a    cos  sin   g   cos  cos   Với g véc tơ gia ttốc V ốc trọng tr trường ờng hệ tọa độ quán tính;  ,  , ba góc Euler đđịnh ịnh hhư ướng ớng Mơ hình hóa phép đo vvới ới nhiễu trắng, phép đo đđư ược ợc xác định bởi: 0.01 enu imu a a  a  b  0.01 u  t   0.1  Mơ hình đo đđạc ạc quay hồi chuyển đđược ợc cho bởi: 3.4 106     enu   b  b g  3.6 106  u  t  5.4 106      cos  cos    Với    cos  cos   90  đđầu Với ầu quay hồi chuyển vĩ độ    sin    ới góc ph phương ương vvịị   với Ban đầu đầu góc ph phương ương vvịị đư ợc khởi tạo llàà 50 với ới sai số 0.5, phương phương sai ccủa nhiễu được ước ớc lượng l ợng qua lọc Kalman thích nghi Độ lệch chuẩn nhiễu sử dụng mô nh B Bảng ảng 1: B Bảng ảng Độ Độ lệch chuẩn trình nhi nhiễu ễu Vận ận tốc đông (m/s) 2.5 x 10 Vector quay đông (rad) 4.4 x 10 Vận ận tốc bắc (m/s) 2.5 x 10 Vector quay bbắc ắc (rad) 4.4 x 10 Vận ận tốc llên ên (m/s) 3.3 x 10 Véc tơ quay lên (rad) 4.4 x 10 b Hình 1 Góc phương vvịị tham chiếu thực vvà góc phương vvị ước ước lư l ượng ợng 174 N T Hòa, …, Đỗ ỗ Ngọc Tuấn Tuấn,, ““Mơ Mơ hình tốn h học ọc hệ thống dẫn đđư ường ờng qn tính tính.”” Thơng tin khoa học cơng nghệ Kết mơ (hình 1) cho thấy góc phương vị tính phương pháp véc tơ qoay (đường nét liền) gần giá trị thực so với phương pháp tính góc Euler (đường nét đứt) Góc phương vị tính theo phương pháp góc Euler nhấp nhô khoảng 140 trước hội tụ phải tới 13 giây để hội tụ giá trị thực Trong phương pháp véc tơ quay góc phương vị nhấp nhơ khoảng 20 khoảng giây để hội tụ giá trị thực Hình Sai số phép đo phương pháp véc tơ quay Trên Hình hình ảnh mật độ nhiễu phép đo mô quay hồi chuyển trục X, trục Y trục Z Các giá trị trung bình nhiễu phép đo khoảng từ 15 giây 50 giây tương ứng 3.5 x 10-6 (rad/s), 3.64 x 10-6 (rad/s), 5.44 x 10-6 (rad/s) Vì phương sai nhiễu thiết kế cho lọc Kalman thích nghi với sai số tối đa khoảng 2.9% KẾT LUẬN Tùy theo ứng dụng thực tiễn, dẫn đường qn tính mơ tả mơ hình hóa thuật toán số thể kỹ thuật để giải vấn đề đặt Ưu điểm dẫn đường qn tính cần dùng thơng tin nội thân vật thể chuyển động mà khơng cần thơng tin từ bên ngồi Tuy nhiên, sai số dẫn đường quán tính tăng theo thời gian Chính có nhiều nghiên cứu để cải thiện vấn đề sai số cho hệ thống dẫn đường quán tính Một phương pháp hạn chế sai số hệ thống dẫn đường qn tính sử dụng mơ hình động lực học phi tuyến kết hợp với lọc Kalman thiết kế hệ thống Trong báo này, trình bày mơ hình IMU với đánh giá kết thực tế thu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Jay A Farrell, and Matthew Barth, The Global Positioning System & Inertial Navigation, McGraw-Hill, 1998 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 175 Công nghệ thông tin [2] Mohinder S Grewal, Angus P Andrews, Kalman Filtering Theory and Practice, Prentice Hall, 1993 [3] Robert Grover Brown, Patrick Y.C Hwang, Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filter, John Wiley & Sons, 1997 [4] Robert M Rogers, Applied Mathematics in Integrated Navigation Systems, AIAA, 2000 [5] Oleg Salychev, Inertial Systems in Navigation and Geophysics, Bauman MSTU Press, Moscow, 1998 [6] Mohinder S Grewal, Lawrence R Weill, and Angus P Andrews, Global Positioning systems, Inertial Navigation and Integration, Wiley Interscience, 2001 ABSTRACT A MATHEMATICAL MODEL OF INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS In controlling flight vehicles, we have to solve navigation problems One of the navigation methods is inertial navigation without using information from outside the moving object that uses information about the acceleration of the moving object itself to determine the navigational parameters This paper presents a new dynamic mathematical model of inertial navigation systems Keywords: Inertial navigation system; Inertial coordinates; Inertial measurement unit; Euler angle Nhận ngày 28 tháng 12 năm 2018 Hoàn thiện ngày 28 tháng 02 năm 2019 Chấp nhận đăng ngày 25 tháng năm 2019 Địa chỉ: Viện Công nghệ thông tin/Viện KH-CNQS * Email: thaihoa78th@gmail.com 176 N T Hòa, …, Đỗ Ngọc Tuấn, “Mơ hình tốn học hệ thống dẫn đường quán tính.” ... đạc hệ thống dẫn đường quán tính 3.1 Mơ hình động lực học vận tốc 170 N T Hòa, …, Đỗ Ngọc Tuấn, “Mơ hình tốn học hệ thống dẫn đường qn tính. ” Thơng tin khoa học cơng nghệ Phương trình (2) xét hệ. .. sai số dẫn đường quán tính tăng theo thời gian Chính có nhiều nghiên cứu để cải thiện vấn đề sai số cho hệ thống dẫn đường quán tính Một phương pháp hạn chế sai số hệ thống dẫn đường qn tính sử... đất Trong MƠ HÌNH TỐN HỌC HỆ THỐNG DẪN ĐƯỜNG QN TÍNH Trong phần này, chúng tơi trình bày số mơ hình tốn học phi tuyến mơ tả mối tương quan trạng thái dẫn đường, trình bày mơ hình tốn học sai số