Mục Lục 1. Đềthitoán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2000. 2. Đềthitoán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2001. 3. Đềthitoán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2002. 4. Đềthitoán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2003. Đềthitoán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2000 ( Thời gian 180 phút) Bài 1: a) Giải phơng trình 3 2 3 3 3 1 0 ( 1) 1 x x x x x + + = b) CMR phơng trình x 3 + x - 1 = 0 có mọi nghiệm thoả mãn x 2 - x 0 Bài 2: Giải hệ phơng trình : 2 2 2 y x z y x z x y z y z x z x y + = + = + = Bài 3: Cho a 1 =1 , 1 1 1 2 n n n a a a = + với n=1, 2, 3, ,10. a) Chứng minh rằng : 10 2 0a > b) Tính 2 2 n n n a a = + với n=10 Bài 4: a) Cho đa giác lồi có tất cả các đờng chéo bằng nhau hỏi đa giác đó có thể có bao nhiêu cạnh. b) Cho đa giác có chu vi bằng 4. Chứng tỏ rằng có thể đặt đa giác vào trong một hình tròn có bán kính 1. Bài 5; Cho tứ diện ABCD có các cạnh thoả mãn : AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 CMR trong 4 mặt của tứ diện phải có ít nhất một mặt có cả 3 góc đều nhọn. Đềthitoán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2001 ( Thời gian 180 phút) Bài 1: a) Cho x, y, z là ba số dơng thoả mãn 1 1 1 1 1 1 1x y z + + = + + + . Chứng minh rằng: 3 2x y z+ + b) Cho ba số thực a, b, c 0 . Giải phơng trình : ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) x b x c x c x a x a x b a a b a c b b c b a c c a c b x + + = Bài 2: Cho các số x, y, z thoả mãn x [ ] [ ] 0,1 ; , 0, 2y z đồng thời x + y + z = 3 2 . Hãy tìm Max (x 2 +y 2 +z 2 ) Bài 3: Cho hai đờng thẳng uu' và tt' chéo nhau và vuông góc với nhau. Gọi Ab là đờng vuông góc chung của chúng, đặt AB=2a. Giả sử M, N lần lợt di động trên uu', tt' sao cho ã MON = không đổi ( O là trung điểm của AB ) a) Chứng minh rằng 0 90 > b) Chứng minh rằng diện tích tam giác OMN không đổi . c) Gọi T là hình chiếu của M lên ON và T' = 'AT tt . Chứng minh tích ' BN.BT và ' AT. AT không đổi. Bài 4 : Cho tứ diện có tất cả các góc nhị diện đều là góc nhọn . Chứng minh rằng tích tất cả các cosin của chúng không vợt quá 1 729 . Đềthitoán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2002 ( Thời gian 180 phút) Bài 1: Cho p, q là hai số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phơng trình x 2 +2px+2q = 0 không có nghiệm hữu tỉ. Bài 2: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác . Xác định dạng của tam giác ABC để : . . 4 4 4 A B C s tg tg tg= đạt giá trị lớn nhất . Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài 3: Giải phơng trình (2002) 2x+1 = log 2002 (2002 - 2 2002 x) - 2(2 2001 + 1)x + 2001 Bài 4: Giải hệ 19 5 2003 19 5 2003 19 5 2003 1890 1890 1890 x y z z y z x x z x y y + = + + = + + = + Bài 5: Cho hình chóp OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Giả sử a, b, c là số đo các góc tạo bởi các mặt bên OBC, OCA, OAB lần lợt với mặt đáy ABC. CMR 2 2 2 2 1 1 1 6 ( ) 3 . . . . .tga tgb tgb tgc tgc tga tg a tg b tg c + + + . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Đềthitoán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2003 ( Thời gian 180 phút) Bài 1: Chuyển phân số sau về dạng phân số có mẫu số là số nguyên: 3 3 1 1 2 2 4+ + . Bài 2: Cho hàm số f: N * N * , trong đó N * là tập hợp các số nguyên dơng thoả mãn f(m.f(n))=n 2 f(m), với mọi m,n * N . CMR f(2003) hoặc là một số nguyên tố hoặc là bình phơng của một số nguyên tố. Bài 3: Cho hàm f: * N N * thoả mãn hai điều kiện 1) f(1)=2 2) 1n > thì f(1) + f(2) + . + f(n) = n 2 f(n). Tính 2 lim 2003. . ( ) n n f n = ? Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c. Giả sử R, r theo thứ tự là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp tứ diện đã cho, V là thể tích của tứ diện ABCD . Chứng minh rằng 2 . . . 4 V a b c r R Bài 5: Xác định tất cả các số nguyên dơng n sao cho : 2 3 289 34. 1n n + là số nguyên dơng. . 1. Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2000. 2. Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2001. 3. Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2002. 4. Đề thi toán. cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2002. 4. Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2003. Đề thi toán sơ cấp ĐHSP Hà nội 2 Năm 2000 ( Thời gian 180 phút) Bài 1: a) Giải